MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

 identidad de Brahmagupta-Fibonacci ^[1] [2] expresa el producto de dos sumas de dos cuadrados como una suma de dos cuadrados de dos maneras diferentes. Por lo tanto, el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados se cierra bajo la multiplicación. Concretamente, la identidad dice.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + d ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-bd \ right) ^ {2} + \ left (ad + bc \ right) ^ {2} && (1) \\ & {} = \ left (ac + bd \ right) ^ {2} + \ left (ad-bc \ right) ^ {2}. && (2) \ end {alineado}}}

Por ejemplo,

$${\ displaystyle (1 ^ {2} + 4 ^ {2}) (2 ^ {2} + 7 ^ {2}) = 26 ^ {2} + 15 ^ {2} = 30 ^ {2} + 1 ^ {2}.}

La identidad también se conoce como la identidad de Diophantus , ^[3] [4] como fue probado por primera vez por Diophantus de Alejandría . Es un caso especial de la identidad de cuatro cuadrados de Euler , y también de la identidad de Lagrange .

Brahmagupta probó y usó una identidad más general (la identidad de Brahmagupta ), equivalente a

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left (a ^ {2} + nb ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + nd ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad + bc \ right) ^ {2} && (3) \\ & {} = \ left (ac + nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad-bc \ right) ^ {2}. && (4) \ end {alineado}}}

Esto muestra que, para cualquier A fija , el conjunto de todos los números de la forma x ²  +  A  y ² se cierra bajo la multiplicación.

La identidad se mantiene en el anillo de los números enteros , el anillo de los números racionales y, más generalmente, cualquier anillo conmutativo . Las cuatro formas de la identidad pueden verificarse expandiendocada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener de (1), o (1) de (2), cambiando de b a - b , y de la misma manera con (3) y (4).

Historia [ editar ]

La identidad en realidad se encontró por primera vez en la Aritmética de Diofanto (III, 19), del siglo III dC. Fue redescubierta por Brahmagupta (598–668), un matemático y astrónomo indio , que la generalizó (a la identidad de Brahmagupta ) y la utilizó. en su estudio de lo que ahora se llama la ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducido del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente se tradujo al latín en 1126. ^[5] La identidad apareció más tarde en la sección de Fibonacci .Libro de los cuadrados en 1225.

Identidades relacionadas [ editar ]

Las identidades análogas son las cuatro cuadradas de Euler relacionadas con los cuaterniones , y las ocho cuadradas de Degen derivadas de los octoniones que tienen conexiones con la periodicidad de Bott . También existe la identidad de dieciséis cuadrados de Pfister , aunque ya no es bilineal.

Multiplicación de números complejos [ editar ]

Si a , b , c y d son números reales , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci es equivalente a la propiedad de multiplicatividad para valores absolutos de números complejos :

$${\ displaystyle | a + bi | \ cdot | c + di | = | (a + bi) (c + di) |.}

Esto se puede ver de la siguiente manera: expandiendo el lado derecho y cuadrando ambos lados, la propiedad de multiplicación es equivalente a

$${\ displaystyle | a + bi | ^ {2} \ cdot | c + di | ^ {2} = | (ac-bd) + i (ad + bc) | ^ {2},}

y por la definición de valor absoluto esto a su vez es equivalente a

$${\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-bd) ^ {2} + (ad + bc) ^ {2 }.}

Un cálculo equivalente en el caso de que las variables a , b , c y d sean números racionales muestra que la identidad puede interpretarse como la afirmación de que la norma en el campo Q ( i ) es multiplicativa: la norma está dada por

$${\ displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2},}

y el cálculo de multiplicatividad es el mismo que el anterior.

Aplicación a la ecuación de Pell [ editar ]

En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento de esta identidad a la solución de la ecuación de Pell x ²  -  Ay ²  = 1. Usando la identidad en la forma más general

$${\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ay_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ay_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ay_ {1} y_ {2}) ^ {2} -A (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2},}

fue capaz de "componer" triples ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ) que eran soluciones de x ²  -  Ay ²  =  k , para generar el nuevo triple

$${\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ay_ {1} y_ {2} \ ,, \, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ ,, \, k_ { 1} k_ {2}).}

Esto no solo dio una forma de generar infinitas soluciones para x ²  -  Ay ²  = 1 comenzando con una solución, sino que también, al dividir dicha composición por k ₁ k ₂ , a menudo se pueden obtener soluciones de números enteros o "casi enteros" . El método general para resolver la ecuación de Pell dada por Bhaskara II en 1150, a saber, el método chakravala (cíclico) , también se basó en esta identidad. ^[6]

Escribiendo números enteros como la suma de dos cuadrados [ editar ]

Cuando se usa junto con uno de los teoremas de Fermat , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci demuestra que el producto de un cuadrado y cualquier número de primos de la forma 4 n  + 1 es una suma de dos cuadrados.

la identidad de Brahmagupta dice que el producto de dos números de la forma$${\ displaystyle a ^ {2} + nb ^ {2}}Es en sí mismo un número de esa forma. En otras palabras, el conjunto de tales números se cierra bajo la multiplicación. Específicamente:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left (a ^ {2} + nb ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + nd ^ {2} \ right) & {} = \ left ( ac-nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad + bc \ right) ^ {2} &&& (1) \\ & {} = \ left (ac + nbd \ right) ^ {2} + n \ left (ad-bc \ right) ^ {2}, &&& (2) \ end {alineado}}}

Tanto (1) como (2) se pueden verificar expandiendo cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener de (1), o (1) de (2), cambiando b a - b .

Esta identidad se mantiene tanto en el anillo de los números enteros como en el anillo de los números racionales, y más generalmente en cualquier anillo conmutativo .

Historia [ editar ]

La identidad es una generalización de la llamada identidad de Fibonacci (donde n = 1) que en realidad se encuentra en la Aritmética de Diofanto (III, 19). Esa identidad fue redescubierta por Brahmagupta (598–668), un matemático y astrónomo indio , que la generalizó y la utilizó en su estudio de lo que ahora se llama la ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducido del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente fue traducido al latín en 1126. ^[1]La identidad apareció más tarde en el Libro de cuadrados deFibonacci en 1225.

Aplicación a la ecuación de Pell [ editar ]

En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento a la solución de lo que más tarde se llamó la ecuación de Pell , a saber, x ²  -  Ny ²  = 1. Usando la identidad en la forma

$${\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2},}

fue capaz de "componer" triples ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ) que eran soluciones de x ²  -  Ny ²  =  k , para generar el nuevo triple

$${\ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2} \ ,, \, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ ,, \, k_ { 1} k_ {2}).}

Esto no solo proporcionó una manera de generar infinitas soluciones para x ²  -  Ny ²  = 1 comenzando con una solución, sino que también, al dividir dicha composición por k ₁ k ₂ , a menudo se pueden obtener soluciones de números enteros o "casi enteros" . El método general para resolver la ecuación de Pell dada por Bhaskara II en 1150, a saber, el método chakravala (cíclico) , también se basó en esta identidad.

Cancelar es un proceso matemático utilizado para eliminar subexpresiones de una expresión matemática , cuando esta eliminación no cambia el significado o el valor de la expresión porque las subexpresiones tienen efectos iguales y opuestos. Por ejemplo, una fracción se coloca en los términos más bajos al cancelar los factores comunes del numerador y el denominador . Como otro ejemplo, si a × b = a × c , entonces el término multiplicativo a se puede cancelar si a≠ 0, resultando en la expresión equivalente b = c ; esto es equivalente a dividir por a .

Cancelando en álgebra simple [ editar ]

Si las subexpresiones no son idénticas, aún puede ser posible cancelarlas parcialmente. Por ejemplo, en la ecuación simple 3 + 2 y = 8 y , ambos lados realmente contienen 2 y (porque 8 y es lo mismo que 2 y + 6 y ). Por lo tanto, el 2 y en ambos lados se puede cancelar, dejando 3 = 6 y o y = 0.5. Esto es equivalente a restar 2 y de ambos lados.

En ocasiones, la cancelación puede introducir cambios limitados o soluciones adicionales a una ecuación. Por ejemplo, dada la desigualdad ab ≥ 3 b , parece que la b en ambos lados se puede cancelar para dar un ≥ 3 como solución. Pero la cancelación "ingenua" de esta manera, significará que no obtenemos todas las soluciones (conjuntos de ( a, b ) que satisfacen la desigualdad). Esto se debe a que si b fuera un número negativo , la división por un negativo cambiaría la relación ≥ a una relación ≤. Por ejemplo, aunque 2 es más que 1, –2 es menos que –1. También si b fuera ceroentonces cero veces cualquier cosa es cero y cancelarlo significaría dividir por cero en ese caso, lo que no se puede hacer. De hecho, mientras cancelamos los trabajos, cancelarlos correctamente nos llevará a tres conjuntos de soluciones, no solo a uno que pensamos que teníamos. También nos dirá que nuestra solución "ingenua" es solo una solución en algunos casos, no en todos:

• Si b > 0: podemos cancelar para obtener un ≥ 3.
• Si b <0: font=""> entonces la cancelación da un ≤ 3 en su lugar, porque tendríamos que revertir la relación en este caso.
• Si b es exactamente cero: entonces la ecuación es verdadera para cualquier valor de a , porque ambos lados serían cero y 0 ≥ 0.

Por lo tanto, es posible que se necesite algo de cuidado para garantizar que la cancelación se realice correctamente y que no se pasen por alto o se omitan soluciones. Nuestra simple desigualdad tiene tresconjuntos de soluciones, que son:

• b > 0 y a ≥ 3. (Por ejemplo, b = 5 y a = 6 es una solución porque 6 x 5 es 30 y 3 x 5 es 15, y 30 ≥ 15) 
  o
• b <0 font="" nbsp="" y="">a ≤ 3 (Por ejemplo b = –5 y a = 2 es una solución porque 2 x (–5) es –10 y 3 x (–5) es –15, y –10 ≥ –15) 
  o
• b = 0 (y a puede ser cualquier número) (porque cualquier cosa x cero ≥ 3 x cero)

Nuestra solución "ingenua" (que un ≥ 3) también estaría mal a veces. Por ejemplo, si b = –5, a = 4 no es una solución aunque 4 ≥ 3, porque 4 × (–5) es –20, y 3 x (–5) es –15, y –20 no es ≥ -15.

En álgebra avanzada y abstracta, y series infinitas [ editar ]

En matemáticas más avanzadas, la cancelación se puede utilizar en el contexto de series infinitas , cuyos términos se pueden cancelar para obtener una suma finita o una serie convergente . En este caso, el término telescópico se utiliza a menudo. A menudo es necesario un cuidado considerable y la prevención de errores para garantizar que la ecuación enmendada sea válida, o para establecer los límites dentro de los cuales será válida, debido a la naturaleza de dichas series.

Conceptos relacionados y uso en otros campos [ editar ]

En ciencias computacionales , la cancelación se utiliza a menudo para mejorar la precisión y el tiempo de ejecución de los algoritmos numéricos .

 cambio de variables es una técnica básica que se usa para simplificar problemas en los que las variablesoriginales se reemplazan con funciones de otras variables. La intención es que cuando se expresa en nuevas variables, el problema puede volverse más simple o equivalente a un problema mejor entendido.

El cambio de variables es una operación que está relacionada con la sustitución . Sin embargo, estas son operaciones diferentes, como se puede ver cuando se considera la diferenciación ( regla de la cadena ) o la integración ( integración por sustitución ).

Un ejemplo muy simple de un cambio variable útil puede verse en el problema de encontrar las raíces del polinomio de sexto grado:

$${\ displaystyle x ^ {6} -9x ^ {3} + 8 = 0. \,}

Las ecuaciones polinomiales de sexto grado son generalmente imposibles de resolver en términos de radicales (véase el teorema de Abel-Ruffini ). Esta ecuación particular, sin embargo, puede ser escrita

$${\ displaystyle (x ^ {3}) ^ {2} -9 (x ^ {3}) + 8 = 0}

(Este es un caso simple de una descomposición polinomial ). Por lo tanto, la ecuación se puede simplificar definiendo una nueva variable u = x ³ . Sustituyendo x por$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {u}}} en el polinomio da

$${\ displaystyle u ^ {2} -9u + 8 = 0,}

que es solo una ecuación cuadrática con las dos soluciones:

$${\ displaystyle u = 1 \ quad {\ text {y}} \ quad u = 8.}

Las soluciones en términos de la variable original se obtienen sustituyendo x ³ por u , lo que da

$${\ displaystyle x ^ {3} = 1 \ quad {\ text {y}} \ quad x ^ {3} = 8.}

Luego, asumiendo que uno está interesado solo en soluciones reales , las soluciones de la ecuación original son

$${\ displaystyle x = (1) ^ {1/3} = 1 \ quad {\ text {y}} \ quad x = (8) ^ {1/3} = 2.}

Ejemplo simple [ editar ]

Consideremos el sistema de ecuaciones.

$${\ displaystyle xy + x + y = 71}

$${\ displaystyle x ^ {2} y + xy ^ {2} = 880}

dónde $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} son enteros positivos con {\ displaystyle x> y}. (Fuente: 1991 AIME )

Resolver esto normalmente no es muy difícil, pero puede ser un poco tedioso. Sin embargo, podemos reescribir la segunda ecuación como$${\ displaystyle xy (x + y) = 880}. Haciendo la sustitucion$${\ displaystyle s = x + y, t = xy} reduce el sistema a $${\ displaystyle s + t = 71, st = 880.} Resolviendo esto da $${\ displaystyle (s, t) = (16,55)} o $${\ displaystyle (s, t) = (55,16).} Reemplazando de nuevo el primer par ordenado nos da $${\ displaystyle x + y = 16, xy = 55}, que fácilmente da la solución $${\ displaystyle (x, y) = (11,5).}Reemplazando de nuevo el segundo par ordenado nos da $${\ displaystyle x + y = 55, xy = 16}, lo que no da soluciones. De ahí que la solución que resuelve el sistema sea$${\ displaystyle (x, y) = (11,5)}.

Introducción formal [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle B}ser colectores lisos y dejar$${\ displaystyle \ Phi: A \ rightarrow B} ser un $${\ displaystyle C ^ {r}}- difeomorfismo entre ellos, es decir:$${\ displaystyle \ Phi} es un $${\ displaystyle r}tiempos continuamente diferenciables, mapa biyectivo de$${\ displaystyle A} a $${\ displaystyle B} con $${\ displaystyle r} tiempos continuamente diferenciables inversa de $${\ displaystyle B} a $${\ displaystyle A}. aquí$${\ displaystyle r} puede ser cualquier número natural (o cero), $${\ displaystyle \ infty}( liso ) o$${\ displaystyle \ omega}( analítica ).

El mapa $${\ displaystyle \ Phi}se denomina transformación de coordenadas regulares o sustitución de variables regulares , donde regular se refiere a la$${\ displaystyle C ^ {r}}-nombre de $${\ displaystyle \ Phi}. Por lo general uno escribirá$${\ displaystyle x = \ Phi (y)} para indicar el reemplazo de la variable $${\ displaystyle x} por la variable $${\ displaystyle y} sustituyendo el valor de $${\ displaystyle \ Phi} en $${\ displaystyle y} por cada ocurrencia de $${\ displaystyle x}.

Otros ejemplos [ editar ]

Transformación de coordenadas [ editar ]

Algunos sistemas pueden resolverse más fácilmente al cambiar a coordenadas polares . Consideremos por ejemplo la ecuación.

$${\ displaystyle U (x, y): = (x ^ {2} + y ^ {2}) {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ { 2}}}}} = 0.}

Esta puede ser una función de energía potencial para algún problema físico. Si uno no ve inmediatamente una solución, podría intentar la sustitución.

$${\ displaystyle \ displaystyle (x, y) = \ Phi (r, \ theta)} dada por $${\ displaystyle \ displaystyle \ Phi (r, \ theta) = (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta)).}

Tenga en cuenta que si $${\ displaystyle \ theta} corre fuera de un $${\ displaystyle 2 \ pi}-intervalo de longitud, por ejemplo, $${\ displaystyle [0,2 \ pi]}, el mapa $${\ displaystyle \ Phi}Ya no es bijective. Por lo tanto$${\ displaystyle \ Phi} debe limitarse a, por ejemplo, $${\ displaystyle (0, \ infty] \ times [0,2 \ pi)}. Date cuenta cómo$${\ displaystyle r = 0} se excluye, por $${\ displaystyle \ Phi} No es biyectivo en el origen ($${\ displaystyle \ theta}puede tomar cualquier valor, el punto se asignará a (0, 0)). Luego, sustituyendo todas las apariciones de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por$${\ displaystyle \ Phi} y usando la identidad $${\ displaystyle \ sin ^ {2} x + \ cos ^ {2} x = 1}, obtenemos

$${\ displaystyle V (r, \ theta) = r ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {r ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta} {r ^ {2}}}}} = r ^ {2} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}} = r ^ {2} \ left | \ sin \ theta \ right |.}

Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente: $${\ displaystyle \ sin (\ theta) = 0}, asi que $${\ displaystyle \ theta = 0} o $${\ displaystyle \ theta = \ pi}. Aplicando el inverso de$${\ displaystyle \ Phi} demuestra que esto es equivalente a $${\ displaystyle y = 0} mientras $${\ displaystyle x \ not = 0}. De hecho, vemos que para$${\ displaystyle y = 0} La función se desvanece, salvo el origen.

Tenga en cuenta que, si hubiéramos permitido $${\ displaystyle r = 0}, el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la biyectividad de$${\ displaystyle \ Phi}Es crucial. Tenga en cuenta también que la función es siempre positiva (para$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}), de ahí los valores absolutos.

La diferenciación [ editar ]

Artículo principal: Regla de la cadena

La regla de la cadena se utiliza para simplificar la diferenciación complicada. Por ejemplo, consideremos el problema de calcular la derivada.

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x ^ {2}).}

Escritura

$${\ displaystyle y = \ sin u \ quad {\ text {y}} \ quad u = x ^ {2}}

obtenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {d} {dx}} \ sin (x ^ {2}) = \ overbrace {{\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \, {\ frac {du} {dx}}} ^ {\ text {Esta parte es la regla de la cadena.}} = \ left ({\ frac {d} {du}} \ sin u \ right ) \ left ({\ frac {d} {dx}} x ^ {2} \ right) \\ [8pt] = {} & {\ big (} \ cos u {\ big)} (2x) = \ cos (x ^ {2}) \ cdot 2x. \ end {alineado}}}

Integración [ editar ]

Artículo principal: Integración por sustitución.

Las integrales difíciles a menudo se pueden evaluar cambiando las variables; esto está habilitado por la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena anterior. Las integrales difíciles también pueden resolverse simplificando la integral utilizando un cambio de variables dado por la matriz jacobianacorrespondiente y el determinante . El uso del determinante jacobiano y el correspondiente cambio de variable que proporciona es la base de los sistemas de coordenadas tales como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos.

Ecuaciones diferenciales [ editar ]

Los cambios variables para la diferenciación y la integración se enseñan en el cálculo elemental y los pasos rara vez se llevan a cabo en su totalidad.

El uso muy amplio de los cambios de variables es evidente cuando se consideran las ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes se pueden cambiar utilizando la regla de la cadena o las variables dependientes se cambian, lo que da lugar a una cierta diferenciación que se debe realizar. Los cambios exóticos, como la combinación de variables dependientes e independientes en las transformaciones de puntos y contactos, pueden ser muy complicados, pero permiten mucha libertad.

Muy a menudo, una forma general para un cambio se sustituye en un problema y los parámetros seleccionados en el camino para simplificar mejor el problema.

Escalado y desplazamiento [ editar ]

Probablemente el cambio más simple es la escala y desplazamiento de las variables, que las reemplaza con nuevas variables que se "estiran" y "mueven" por cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para resolver los parámetros físicos de los problemas. Para un n ^º derivado orden, el cambio simplemente resulta en

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = {\ frac {y _ {\ text {scale}}} {x _ {\ text {scale}} ^ {n}} } {\ frac {d ^ {n} {\ hat {y}}} {d {\ hat {x}} ^ {n}}}}

dónde

$${\ displaystyle x = {\ hat {x}} x _ {\ text {scale}} + x _ {\ text {shift}}}

$${\ displaystyle y = {\ hat {y}} y _ {\ text {scale}} + y _ {\ text {shift}}.

Esto se puede mostrar fácilmente a través de la regla de la cadena y la linealidad de la diferenciación. Este cambio es muy común en las aplicaciones prácticas para eliminar los parámetros físicos de los problemas, por ejemplo, el problema del valor límite.

$${\ displaystyle \ mu {\ frac {d ^ {2} u} {dy ^ {2}}} = {\ frac {dp} {dx}} \ quad; \ quad u (0) = u (L) = 0}

describe el flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; µ es la viscosidady$${\ displaystyle dp / dx}El gradiente de presión , ambas constantes. Al escalar las variables el problema se convierte

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} {\ hat {u}}} {d {\ hat {y}} ^ {2}}} = 1 \ quad; \ quad {\ hat {u}} ( 0) = {\ hat {u}} (1) = 0}

dónde

$${\ displaystyle y = {\ hat {y}} L \ qquad {\ text {y}} \ qquad u = {\ hat {u}} {\ frac {L ^ {2}} {\ mu}} {\ frac {dp} {dx}}.}

El escalado es útil por muchas razones. Simplifica el análisis tanto reduciendo el número de parámetros como simplemente solucionando el problema. La escala adecuada puede normalizar las variables, es decir, hacer que tengan un rango sin unidades sensible, como 0 a 1. Finalmente, si un problema requiere una solución numérica, mientras menos parámetros haya, menos cálculos habrá.

Momento vs. velocidad [ editar ]

Consideremos un sistema de ecuaciones.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} m {\ dot {v}} & = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \\ [5pt] m {\ dot {x}} & = { \ frac {\ partial H} {\ partial v}} \ end {alineado}}}

para una función dada $${\ displaystyle H (x, v)}. La masa puede ser eliminada por la sustitución (trivial).$${\ displaystyle \ Phi (p) = 1 / m \ cdot p}. Claramente este es un mapa biyectivo de$${\ displaystyle \ mathbb {R}} a $${\ displaystyle \ mathbb {R}}. Bajo la sustitucion$${\ displaystyle v = \ Phi (p)} el sistema se convierte

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {p}} & = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \\ [5pt] {\ dot {x}} & = {\ frac {\ partial H} {\ partial p}} \ end {alineado}}}

Mecánica lagrangiana [ editar ]

Artículo principal: Mecánica lagrangiana.

Dado un campo de fuerza $${\ displaystyle \ varphi (t, x, v)}, Newton 's ecuaciones de movimiento son

$${\ displaystyle m {\ ddot {x}} = \ varphi (t, x, v).}

Lagrange examinó cómo cambian estas ecuaciones de movimiento bajo una sustitución arbitraria de variables $${\ displaystyle x = \ Psi (t, y)}, $${\ displaystyle v = {\ frac {\ partial \ Psi (t, y)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ Psi (t, y)} {\ partial y}} \ cdot w. }

Encontró que las ecuaciones.

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial {L}} {\ parcial y}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ parcial {L}} { \ parcial {w}}}}

Son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función. $${\ displaystyle L = TV}, donde T es la cinética, y V la energía potencial.

De hecho, cuando la sustitución se elige bien (explotando por ejemplo simetrías y restricciones del sistema) estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.