MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

operación binaria es conmutativa si cambiar el orden de los operandos no cambia el resultado. Es una propiedad fundamental de muchas operaciones binarias , y muchas pruebas matemáticas dependen de ello. Más conocido como el nombre de la propiedad que dice "3 + 4 = 4 + 3" o "2 × 5 = 5 × 2" , la propiedad también se puede utilizar en configuraciones más avanzadas. El nombre es necesario porque hay operaciones, como división y resta , que no lo tienen (por ejemplo, "3 - 5 ≠ 5 - 3" ); tales operaciones nosonconmutativo, y por lo tanto se denominan operaciones no conmutativas . La idea de que las operaciones simples, como la multiplicación y la suma de números, son conmutativas, se asumió implícitamente durante muchos años. Por lo tanto, esta propiedad no fue nombrada hasta el siglo XIX, cuando las matemáticas comenzaron a formalizarse. ^[1] [2] Existe una propiedad correspondiente para las relaciones binarias ; se dice que una relación binaria es simétrica si la relación se aplica independientemente del orden de sus operandos; por ejemplo, la igualdad es simétrica ya que dos objetos matemáticos iguales son iguales independientemente de su orden.

Una operación $${\ displaystyle \ circ}es conmutativo si y solo si $${\ displaystyle x \ circ y = y \ circ x} para cada $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}. Esta imagen ilustra esta propiedad con el concepto de una operación como una "máquina de cálculo". No importa para la salida.$${\ displaystyle x \ circ y} o $${\ displaystyle y \ circ x}respectivamente qué orden los argumentos $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} tener - el resultado final es el mismo.

Usos comunes [ editar ]

La propiedad conmutativa (o ley conmutativa ) es una propiedad generalmente asociada con operaciones y funciones binarias . Si la propiedad conmutativa se mantiene para un par de elementos bajo una determinada operación binaria, se dice que los dos elementos conmutan bajo esa operación.

Definiciones matemáticas [ editar ]

Más información: Función simétrica.

El término "conmutativo" se utiliza en varios sentidos relacionados. ^[4] [5]

1. Una operación binaria $${\ displaystyle *}en un conjunto S se llama conmutativo si:

   $${\ displaystyle x * y = y * x \ qquad {\ mbox {para todos}} x, y \ en S}

   Una operación que no satisface la propiedad anterior se llama no conmutativa .
2. Se dice que x conmuta con y debajo.$${\ displaystyle *} Si:

   $${\ displaystyle x * y = y * x}

3. Una función binaria $${\ displaystyle f \ colon A \ times A \ to B}se llama conmutativo si:
   $${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x) \ qquad {\ mbox {para todos}} x, y \ en A}

Ejemplos [ editar ]

Operaciones conmutativas en la vida cotidiana [ editar ]

La acumulación de manzanas, que puede verse como una adición de números naturales, es conmutativa.

• Ponerse los calcetines se asemeja a una operación conmutativa, ya que el calcetín que se coloca primero no es importante. De cualquier manera, el resultado (tener ambos calcetines puestos) es el mismo. Por el contrario, ponerse ropa interior y pantalones no es conmutativo.
• La conmutación de la adición se observa cuando se paga un artículo con efectivo. Independientemente del orden en que se entreguen las facturas, siempre dan el mismo total.

Operaciones conmutativas en matemáticas [ editar ]

La adición de vectores es conmutativa, porque $${\ displaystyle {\ vec {a}} + {\ vec {b}} = {\ vec {b}} + {\ vec {a}}}.

Dos ejemplos conocidos de operaciones binarias conmutativas: ^[4]

• La suma de números reales es conmutativa, ya que

$${\ displaystyle y + z = z + y \ qquad {\ mbox {para todos}} y, z \ in \ mathbb {R}}

Por ejemplo, 4 + 5 = 5 + 4, ya que ambas expresiones son 9.

• La multiplicación de números reales es conmutativa, ya que

$${\ displaystyle yz = zy \ qquad {\ mbox {para todos}} y, z \ in \ mathbb {R}}

Por ejemplo, 3 × 5 = 5 × 3, ya que ambas expresiones son iguales a 15.

• Algunas funciones de verdad binarias también son conmutativas, ya que las tablas de verdad para las funciones son las mismas cuando se cambia el orden de los operandos.

Por ejemplo, la función bicondicional lógica p ↔ q es equivalente a q ↔ p. Esta función también se escribe como p IFF q, o como p ≡ q, o como E pq .

La última forma es un ejemplo de la notación más concisa en el artículo sobre funciones de verdad, que enumera las dieciséis posibles funciones de verdad binarias de las cuales ocho son conmutativas: V pq = V qp ; A pq (OR) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (AND) = K qp ; X pq(NOR) = X qp ; O pq = O qp .

• Otros ejemplos de operaciones binarias conmutativas incluyen la suma y multiplicación de números complejos , la suma y la multiplicación escalar de vectores , y la intersección y unión de conjuntos .

Operaciones no conmutativas en la vida cotidiana [ editar ]

• La concatenación , el acto de unir cadenas de caracteres, es una operación no conmutativa. Por ejemplo,

EA + T = COMER ≠ TEA = T + EA

• Lavar y secar la ropa se asemeja a una operación no conmutativa; El lavado y luego el secado producen un resultado notablemente diferente al secado y luego al lavado.
• Girar un libro 90 ° alrededor de un eje vertical y luego 90 ° alrededor de un eje horizontal produce una orientación diferente que cuando las rotaciones se realizan en el orden opuesto.
• Los giros del Cubo de Rubik no son conmutativos. Esto puede ser estudiado usando la teoría de grupos .
• Los procesos de pensamiento no son conmutativos: una persona hizo una pregunta (A) y luego una pregunta (B) puede dar respuestas diferentes a cada pregunta que una persona primero (B) y luego (A), porque hacer una pregunta puede cambiar el estado de la persona. de la mente.
• El acto de vestir es conmutativo o no conmutativo, dependiendo de los artículos. Ponerse la ropa interior y la ropa normal no es conmutativa. Ponerse los calcetines izquierdo y derecho es conmutativo.
• Barajar un mazo de cartas no es conmutativo. Dadas las dos formas, A y B, de barajar un mazo de cartas, hacer A primero y luego B en general no es lo mismo que hacer primero B y luego A.

Operaciones no conmutativas en matemáticas [ editar ]

Algunas operaciones binarias no conmutativas: ^[6]

Resta y la división [ editar ]

La resta es no conmutativa, ya que$${\ displaystyle 0-1 \ neq 1-0}.

La división es no conmutativa, ya que$${\ displaystyle 1 \ div 2 \ neq 2 \ div 1}.

Funciones de la verdad [ editar ]

Algunas funciones de verdad no son conmutativas, ya que las tablas de verdad para las funciones son diferentes cuando se cambia el orden de los operandos. Por ejemplo, las tablas de verdad para f (A, B) = A Λ ¬B (A AND NOT B) yf (B, A) = B Λ ¬A son

UNA	segundo	f (A, B)	f (B, A)
F	F	F	F
F	T	F	T
T	F	T	F
T	T	F	F

Para las ocho funciones no conmutativas, B qp = C pq ; M qp = L pq ; C qp = B pq ; L qp = M pq ; F qp = G pq ; I qp = H pq ; G qp = F pq ; H qp = I pq . ^[7]

Multiplicación de matrices [ editar ]

La multiplicación de matrices es casi siempre no conmutativa, por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {{bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ neq {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 y 1 \ final {bmatrix}}}

Producto vectorial [ editar ]

El producto vectorial (o producto cruzado ) de dos vectores en tres dimensiones es anti-conmutativo ; es decir, b× a = - ( a × b ).

Historia y etimología [ editar ]

El primer uso conocido del término fue en una revista francesa publicada en 1814.

Los registros del uso implícito de la propiedad conmutativa se remontan a tiempos antiguos. Los egipcios utilizaron la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar los productosinformáticos . ^[8] [9] Se sabe que Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su libro Elementos . ^[10] Los usos formales de la propiedad conmutativa surgieron a fines del siglo XVIII y principios del XIX, cuando los matemáticos comenzaron a trabajar en una teoría de las funciones. Hoy en día, la propiedad conmutativa es una propiedad bien conocida y básica utilizada en la mayoría de las ramas de las matemáticas.

El primer uso registrado del término conmutativo fue en una memoria de François Servois en 1814, ^[1] [11] que usaba la palabra conmutativo cuando describía funciones que tienen lo que ahora se llama la propiedad conmutativa. La palabra es una combinación de la palabra francesa commuter que significa "sustituir o cambiar" y el sufijo -ative que significa "que tiende a", por lo que la palabra literalmente significa "que tiende a sustituir o cambiar". El término apareció en inglés en 1838 ^[2] en el artículo de Duncan Farquharson Gregory titulado "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" publicado en 1840 en laTransacciones de la Royal Society de Edimburgo. ^[12]

La lógica proposicional [ editar ]

Reglas de transformacion
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Implicación de introducción  /eliminación ( modus ponens ) Introducción  / eliminación de Biconditional Conjunción de introducción  / eliminación Disyunción introducción  / eliminación Silogismo disyuntivo  / hipotético. Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  /modus ponendo tollens
Reglas de reemplazo
Asociatividad La conmutatividad Distributividad Doble negacion Las leyes de morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica del predicado
Generalización universal  / instanciación Generalización existencial  / instanciación
v t mi

Regla de reemplazo [ editar ]

En lógica proposicional funcional a la verdad, conmutación , ^[13] [14]o conmutatividad ^{[15] se} refieren a dos reglas válidas de reemplazo . Las reglas permiten transponer variables proposicionales dentro de expresiones lógicas en pruebas lógicas . Las reglas son:

$${\ displaystyle (P \ lor Q) \ Leftrightarrow (Q \ lor P)}

y

$${\ displaystyle (P \ land Q) \ Leftrightarrow (Q \ land P)}

dónde "$${\ displaystyle \ Leftrightarrow}"es un símbolo metalógico que representa" se puede reemplazar en una prueba con ".

Conectivos funcionales de la verdad [ editar ]

La conmutatividad es una propiedad de algunos conectivos lógicosde la lógica proposicional funcional de la verdad . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la conmutatividad es una propiedad de conectivos particulares. Las siguientes son tautologías de verdad funcional .

Conmutatividad de la conjunción

$${\ displaystyle (P \ land Q) \ leftrightarrow (Q \ land P)}

Conmutatividad de la disyunción

$${\ displaystyle (P \ lor Q) \ leftrightarrow (Q \ lor P)}

Conmutación de la implicación (también llamada ley de permutación)

$${\ displaystyle (P \ to (Q \ to R)) \ leftrightarrow (Q \ to (P \ to R))}

Comutatividad de equivalencia (también llamada ley conmutativa completa de equivalencia)

$${\ displaystyle (P \ leftrightarrow Q) \ leftrightarrow (Q \ leftrightarrow P)}

La teoría de conjuntos [ editar ]

En la teoría de grupos y conjuntos , muchas estructuras algebraicas se denominan conmutativas cuando ciertos operandos satisfacen la propiedad conmutativa. En las ramas más altas de las matemáticas, como el análisis y el álgebra lineal, la conmutatividad de operaciones bien conocidas (como la suma y la multiplicación en números reales y complejos) a menudo se usa (o se supone implícitamente) en las pruebas. ^{[16] [17] [18]}

Las estructuras matemáticas y conmutatividad [ editar ]

• Un semigrupo conmutativo es un conjunto dotado de una operación total, asociativa y conmutativa.
• Si la operación además tiene un elemento de identidad , tenemos un monoide conmutativo
• Un grupo abeliano , o grupo conmutativo es un grupo cuya operación grupal es conmutativa. ^[17]
• Un anillo conmutativo es un anillo cuya multiplicación es conmutativa. (La adición en un anillo siempre es conmutativa). ^[19]
• En un campo tanto la suma como la multiplicación son conmutativas. ^[20]

Propiedades relacionadas [ editar ]

Asociatividad [ editar ]

Artículo principal: Propiedad asociativa.

La propiedad asociativa está estrechamente relacionada con la propiedad conmutativa. La propiedad asociativa de una expresión que contiene dos o más apariciones del mismo operador indica que las operaciones de orden se realizan no afecta el resultado final, siempre que el orden de los términos no cambie. En contraste, la propiedad conmutativa establece que el orden de los términos no afecta el resultado final.

La mayoría de las operaciones conmutativas encontradas en la práctica también son asociativas. Sin embargo, la conmutatividad no implica asociatividad. Un contraejemplo es la función.

$${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x + y} {2}},}

que es claramente conmutativo (el intercambio de x e y no afecta el resultado), pero no es asociativo (ya que, por ejemplo,$${\ displaystyle f (-4, f (0, + 4)) = - 1} pero $${\ displaystyle f (f (-4,0), + 4) = + 1}). Se pueden encontrar más ejemplos de este tipo en magmas conmutativos no asociativos .

Distributivo [ editar ]

Artículo principal: Propiedad distributiva.

Simetría [ editar ]

Gráfica que muestra la simetría de la función de suma.

Artículo principal: Simetría en matemáticas.

Algunas formas de simetría pueden vincularse directamente a la conmutatividad. Cuando un operador conmutativo se escribe como una función binaria, la función resultante es simétrica a lo largo de la línea y = x . Como ejemplo, si permitimos que una función f represente la suma (una operación conmutativa) de modo que f ( x , y ) = x + y, entonces f sea ​​una función simétrica, que se puede ver en la imagen adyacente.

Para las relaciones, una relación simétrica es análoga a una operación conmutativa, en el sentido de que si una relación R es simétrica, entonces$${\ displaystyle aRb \ Leftrightarrow bRa}.

Operadores que no conmutan en la mecánica cuántica [ editar ]

Artículo principal: Relación de conmutación canónica.

En la mecánica cuántica formulada por Schrödinger , las variables físicas están representadas por operadores lineales como x (es decir, multiplicar por x ), y$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}}. Estos dos operadores no conmutan como puede verse al considerar el efecto de sus composiciones $${\ displaystyle x {\ frac {d} {dx}}} y $${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x}(también llamados productos de operadores) en una función de onda unidimensional $${\ displaystyle \ psi (x)}:

$${\ displaystyle x \ cdot {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ psi = x \ cdot \ psi '\ \ neq \ \ psi + x \ cdot \ psi' = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} x} \ left (x \ cdot \ psi \ right)}

De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg , si los dos operadores que representan un par de variables no conmutan, entonces ese par de variables se complementan mutuamente , lo que significa que no pueden medirse o conocerse de manera simultánea con precisión. Por ejemplo, la posición y el momento lineal en la dirección x de una partícula están representados por los operadores$${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}, respectivamente (donde $${\ displaystyle \ hbar}es la constante de Planck reducida ). Este es el mismo ejemplo, excepto por la constante.$${\ displaystyle -i \ hbar}Por lo tanto, nuevamente los operadores no conmutan y el significado físico es que la posición y el momento lineal en una dirección dada son complementarios.