Un rombo de Fresnel es un prisma óptico que introduce una diferencia de fase de 90 ° entre dos componentes perpendiculares de polarización, por medio de dos reflexiones internas totales . Si el haz incidente está polarizado linealmente a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, el haz emergente está polarizado circularmente , y viceversa. Si el haz incidente está polarizado linealmente en alguna otra inclinación, el haz emergente está polarizado elípticamente con un eje principal en el plano de reflexión, y viceversa.
El rombo usualmente toma la forma de un paralelepípedoderecho , es decir, un prisma recto basado en paralelogramo . Si el rayo incidente es perpendicular a una de las caras rectangulares más pequeñas, el ángulo de incidencia y reflexión en la siguiente cara es igual al ángulo agudo del paralelogramo. Este ángulo se elige de modo que cada reflexión introduzca una diferencia de fase de 45 ° entre las componentes polarizadas paralela y perpendicular al plano de reflexión. Para un índice de refracción suficientemente alto , hay dos ángulos que cumplen con este criterio; por ejemplo, un índice de 1.5 requiere un ángulo de 50.2 ° o 53.3 °.
A la inversa, si el ángulo de incidencia y reflexión es fijo, la diferencia de fase introducida por el rombo depende solo de su índice de refracción, que normalmente varía ligeramente sobre el espectro visible. Así, el rombo funciona como si fuera una placa de cuarto de onda debanda ancha , en contraste con una placa de cuarto de onda birrefringente convencional (doblemente refractiva), cuya diferencia de fase es más sensible a la frecuencia (color) de la luz. El material del que está hecho el rombo - generalmente de vidrio - es específicamente no birrefringente.
El rombo de Fresnel lleva el nombre de su inventor, el físico francés Augustin-Jean Fresnel , quien desarrolló el dispositivo en etapas entre 1817 [1] y 1823. [2] Durante ese tiempo, lo implementó en experimentos cruciales que involucraban polarización, birrefringencia y óptica. rotación , [3] [4] [5] todo lo cual contribuyó a la eventual aceptación de su teoría de la luz de onda transversal .
Operación [ editar ]
Las ondas electromagnéticas incidentes (como la luz) consisten en vibraciones transversales en los campos eléctrico y magnético; estos son proporcionales y en ángulo recto entre sí y, por lo tanto, pueden ser representados por (digamos) solo el campo eléctrico. Al golpear una interfaz, las oscilaciones del campo eléctrico se pueden resolver en dos componentes perpendiculares, conocidos como los s y p componentes, que son paralelas a la superficie y el plano de incidencia, respectivamente; en otras palabras, las componentes s y p son respectivamente cuadradas y paralelas al plano de incidencia. [6]
La luz que pasa a través de un rombo de Fresnel experimenta dos reflexiones internas totales en ángulos de incidencia cuidadosamente seleccionados. Después de una reflexión, el componente p avanza 1/8 de un ciclo (45 °; π / 4 radianes ) con respecto al componente s . Con dos reflexiones de este tipo, se obtiene un desplazamiento de fase relativo de 1/4 de un ciclo (90 °; π / 2). [7] La palabra relativa es crítico: como la longitud de onda es muy pequeña en comparación con las dimensiones del aparato típico, los individuales avances de fase sufridos por las s y p componentes no son fácilmente observables, pero ella diferencia entre ellos es fácilmente observable a través de su efecto sobre el estado de polarización de la luz emergente.
Si la luz entrante es linealmente polarizada (polarizada en un plano), las s y p componentes están inicialmente en la fase ; por lo tanto, después de dos reflexiones, "el componente p está 90 ° adelante en la fase", [7], de modo que la polarización de la luz emergente es elíptica con los ejes principales en las direcciones s y p (Fig. 1). De manera similar, si la luz entrante está polarizada elípticamente con los ejes en las direcciones s y p , la luz emergente está polarizada linealmente.
En el caso especial en el que las componentes s y p entrantes no solo están en fase, sino que también tienen magnitudes iguales, la polarización lineal inicial es de 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, y la polarización elíptica final es circular . Si la luz polarizada circularmente se inspecciona a través de un analizador(segundo polarizador), parece haber sido completamente "despolarizada", porque su brillo observado es independiente de la orientación del analizador. Pero si esta luz es procesada por un segundo rombo, se repolariza a 45 ° con respecto al plano de reflexión en ese rombo, una propiedad no compartida por la luz ordinaria (no polarizada).
Dispositivos relacionados [ editar ]
Para una polarización de entrada general, el efecto neto del rombo es idéntico al de una placa de cuarto de onda birrefringente (doblemente refractiva) , excepto que una placa birrefringente simple proporciona la separación deseada de 90 ° a una sola frecuencia, y no aproximadamente) a frecuencias muy diferentes, mientras que la separación de fase dada por el rombo depende de su índice de refracción , que varía solo ligeramente en un amplio rango de frecuencias (ver Dispersión ). Dos rombos de Fresnel se pueden usar en tándem (generalmente cementados para evitar los reflejos en su interfaz) para lograr la función de una placa de media onda. La disposición en tándem, a diferencia de un solo rombo de Fresnel, tiene la característica adicional de que el rayo emergente puede ser colineal con el rayo incidente original. [8]
Teoría [ editar ]
Para especificar el desplazamiento de fase en la reflexión, debemos elegir una convención de signos para el coeficiente de reflexión , que es la relación entre la amplitud reflejada y la amplitud incidente. En el caso de las componentes s , para las cuales las vibraciones incidentes y reflejadas son normales (perpendiculares) al plano de incidencia, la elección obvia es decir que un coeficiente de reflexión positivo , correspondiente al cambio de fase cero , es uno para el cual los campos incidente y reflejado tienen la misma dirección (sin inversión; sin "inversión"). En el caso de los componentes p , este artículo adopta la convención de que un positivoEl coeficiente de reflexión es aquel en el que los campos incidente y reflejado se inclinan hacia el mismo medio. Luego podemos cubrir ambos casos diciendo que un coeficiente de reflexión positivo es uno para el cual la dirección del vector de campo normal al plano de incidencia (el vector eléctrico para la polarización s , o el vector magnético para la polarización p ) no se modifica por el reflejo. (Pero se debe advertir al lector que algunos autores usan una convención diferente para los componentes p , con el resultado de que el cambio de fase establecido difiere en 180 ° del valor dado aquí).
Con la convención de signos elegido, los avances de fase en la reflexión interna total, para las s y pcomponentes, se dan, respectivamente, por [9]
- ( 1 )
y
- ( 2 )
donde θ i es el ángulo de incidencia, y n es el índice de refracción de la (ópticamente más denso) medio relativa interna al medio externo (ópticamente más raro). (Sin embargo, algunos autores usan el índice de refracción recíproco, [10] para que sus expresiones para los cambios de fase se vean diferentes a las anteriores).
- .
Esto se representa en negro en la Fig. 2, para ángulos de incidencia que exceden el ángulo crítico, para tres valores del índice de refracción. Se puede ver que un índice de refracción de 1.45 no es suficiente para dar una diferencia de fase de 45 °, mientras que un índice de refracción de 1.5 es suficiente (por un margen delgado) para dar una diferencia de fase de 45 ° en dos ángulos de incidencia: aproximadamente 50.2 ° y 53.3 °.
Para θ i mayor que el ángulo crítico, los cambios de fase en la reflexión total se deducen de los valores complejos de los coeficientes de reflexión. Para completar, la Fig. 2 muestra también los desplazamientos de fase en parcialreflexión, para θ i menos que el ángulo crítico. En este último caso, los coeficientes de reflexión para los s y pcomponentes son reales , y se expresan convenientemente por ley de los senos de Fresnel [12]
- ( 3 )
y la ley tangente de Fresnel [13]
- ( 4 )
donde θ i es el ángulo de incidencia y θ t es el ángulo de refracción (con subíndice t para transmitida ), y el signo de este último resultado es una función de la convención descrita anteriormente. [14] (Ahora podemos ver una desventaja de esa convención, a saber, que los dos coeficientes tienen signos opuestos a medida que nos acercamos a la incidencia normal; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en la incidencia del pastoreo).
Por ley del seno de Fresnel, r s es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (ya que θt > θ i densa-a-rara incidencia), dando un desplazamiento de fase δ s de cero. Pero, por su ley tangente, r p es negativo para ángulos pequeños (es decir, cerca de la incidencia normal) y cambia de signo en el ángulo de Brewster , donde θ i y θ t son complementarios. Así, el desplazamiento de fase δ p es de 180 ° para pequeño θ i pero cambia a 0 ° en el ángulo de Brewster. La combinación de la complementariedad con rendimientos ley de Snell θi = arctan (1 / n ) el ángulo de Brewster para la incidencia-denso-a raro. [15]
Esto completa la información necesaria para trazar δ s y δ p para todos los ángulos de incidencia en la Fig. 2, [9]en la que δ p está en rojo y delta s en azul. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ p (rojo) cae de 180 ° a 0 °, y el ángulo crítico es donde ambos δ p y δ s (rojo y azul) comienzan a elevarse otra vez. A la izquierda del ángulo crítico se encuentra la región de parcial.reflexión; aquí ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0 ° o 180 °) con magnitudes menores que 1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total ; allí ambos coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a 1.
En la Fig. 2, la diferencia de fase δ se calcula mediante una resta final; Pero hay otras formas de expresarlo. El mismo Fresnel, en 1823, [16] dio una fórmula para cos δ . Born y Wolf (1970, p. 50) derivar una expresión para ( δ / 2), y encontrar su máximo analíticamente.
(Para derivaciones de las ecuaciones anteriores, consulte la reflexión interna total , especialmente Derivación de onda evanescente y Los desfases .)
Historia [ editar ]
Fondo [ editar ]
Augustin-Jean Fresnel llegó al estudio de la reflexión interna total a través de su investigación sobre la polarización. En 1811, François Arago descubrió que la luz polarizada aparentemente era "despolarizada" de una manera dependiente de la orientación y del color cuando se pasaba a través de una rebanada de cristal birrefringente : la luz emergente mostraba colores cuando se veía a través de un analizador (segundo polarizador). La polarización cromática , como se llamó a este fenómeno, fue investigada más a fondo en 1812 por Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot estableció que un caso estudiado por Arago, a saber, el corte de cuarzoperpendicular a su eje óptico , era en realidad una rotación gradual de laPlano de polarización con la distancia. [17] Continuó descubriendo que ciertos líquidos, incluida la trementina ( térébenthine ), compartían esta propiedad (ver Rotación óptica ).
En 1816, Fresnel ofreció su primer intento de una teoría de la polarización cromática basada en ondas . Sin (aún) invocar explícitamente ondas transversales , esta teoría trató la luz como si consistiera de dos componentes polarizados perpendicularmente. [18]
Etapa 1: Prismas acoplados (1817) [ editar ]
En 1817, Fresnel notó que la luz polarizada en el plano parecía estar parcialmente despolarizada por la reflexión interna total, si inicialmente se polarizaba en un ángulo agudo con respecto al plano de incidencia. [19] Al incluir la reflexión interna total en un experimento de polarización cromática, descubrió que la luz aparentemente despolarizada era una mezcla de componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de incidencia, y que la reflexión total introdujo una diferencia de fase entre ellos. [20] La elección de un ángulo de incidencia apropiado (aún no especificado exactamente) dio una diferencia de fase de 1/8 de ciclo. Dos reflexiones de este tipo de las "caras paralelas" de "dos prismas acoplados""dio una diferencia de fase de 1/4 de ciclo. En ese caso, si la luz se polarizaba inicialmente a 45 ° con respecto al plano de incidencia y reflexión, parecía estar completamente despolarizada después de las dos reflexiones. Estos hallazgos se informaron en una memoria presentada y leída a la Academia Francesa de Ciencias en noviembre de 1817. [1]
En un "suplemento" fechado en enero de 1818, [3] Fresnel informó que la rotación óptica podría ser emulada pasando la luz polarizada a través de un par de "prismas acoplados", seguido de una lámina birrefringentecomún cortada en paralelo a su eje, con el eje en 45 ° al plano de reflexión de los prismas, seguido de un segundo par de prismas a 90 ° del primero. [21] Esta fue la primera evidencia experimental de una relación matemática entre la rotación óptica y la birrefringencia.
Etapa 2: paralelepípedo (1818) [ editar ]
La memoria de noviembre de 1817 [1] lleva la nota marginal sin fecha: "Desde entonces he reemplazado estos dos prismas acoplados por un paralelepípedo en vidrio". Una referencia fechada a la forma paralelepipiada, la forma que ahora reconoceríamos como un rombo de Fresnel, se encuentra en una memoria que Fresnel leyó a la Academia el 30 de marzo de 1818, y que posteriormente se perdió hasta 1846. [22] En esa memoria , [4] Fresnel informó que si la luz polarizada estaba completamente "despolarizada" por un rombo, sus propiedades no se modificaron aún más por un paso posterior a través de un medio de rotación óptica, ya sea un cristal o un líquido o incluso su propio emulador; por ejemplo, la luz conservó su capacidad de ser repolarizada por un segundo rombo.
Interludio (1818–22) [ editar ]
Como ingeniero de puentes y carreteras, y como defensor de la teoría de la onda de la luz, Fresnel seguía siendo un forastero en el establecimiento de la física cuando presentó su paralelepípedo en marzo de 1818. Pero era cada vez más difícil de ignorar. En abril de 1818 reclamó prioridad para las integrales de Fresnel . En julio presentó las grandes memorias sobre difracción que inmortalizaron su nombre en los libros de texto de física elemental. En 1819 llegó el anuncio del premio por las memorias sobre difracción, la publicación de las leyes de Fresnel-Arago y la presentación de la propuesta de Fresnel de instalar "lentes escalonadas" en los faros.
En 1821, Fresnel derivó fórmulas equivalentes a sus leyes de seno y tangente ( ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), arriba ) al modelar ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que anteriormente se había llamado el plano de polarización . [23] [24]Confirmó rápidamente que las ecuaciones predecían correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45 ° con respecto al plano de incidencia, para que la luz incidiera del aire sobre el vidrio o el agua. [25]La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel expuso su teoría madura de la polarización cromática, basada en ondas transversales. [26] Los detalles de la derivación se dieron más adelante, en una memoria leída a la Academia en enero de 1823. [2] La derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en el Componente normal de vibración. [27](La primera derivación de los principios electromagnéticos fue dada por Hendrik Lorentz en 1875. [28] )
Mientras tanto, en abril de 1822, Fresnel explicaba las direcciones y polarizaciones de los rayos refractados en cristales birrefringentes de la clase biaxial , una hazaña que ganó la admiración de Pierre-Simon Laplace .
Uso en experimentos (1822–3) [ editar ]
Al final de una memoria sobre birrefringencia inducida por el estrés, leída en septiembre de 1822, [29]Fresnel propuso un experimento, con un rombo de Fresnel, con el propósito de verificar que la rotación óptica es una forma de birrefringencia. Este experimento, como el que acababa de realizar en la birrefringencia inducida por el estrés, requería una fila de prismas con sus ángulos de refracción en direcciones alternas, con dos semiprismas en los extremos, haciendo que todo el conjunto fuera rectangular. Fresnel predijo que si los prismas se cortaran de cuarzo monocristalino con sus ejes ópticos alineados a lo largo de la fila y con direcciones alternas de rotación óptica, un objeto visto al observar el eje óptico común daría dos imágenes, que parecerían no polarizadas si se observan a través de un analizador solo; pero si se ven a través de un rombo de Fresnel, se polarizarían a ± 45 ° con respecto al plano de reflexión.
La confirmación de esta predicción se informó en una memoria presentada en diciembre de 1822, [5] en la que Fresnel acuñó los términos polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica . [30] En el experimento, el rombo de Fresnel reveló que las dos imágenes estaban polarizadas circularmente en direcciones opuestas, y la separación de las imágenes mostró que las diferentes polarizaciones (circulares) se propagaban a diferentes velocidades. Para obtener una separación visible, Fresnel necesitaba solo un prisma de 14 ° -152 ° -14 ° y dos semiprismas. [31]
Por lo tanto, aunque ahora pensamos en el rombo de Fresnel principalmente como un dispositivo para convertir entre polarización lineal y circular, no fue hasta las memorias de diciembre de 1822 que el propio Fresnel pudo describirlo en esos términos.
En la misma memoria, Fresnel explicó la rotación óptica al observar que la luz polarizada linealmente podría resolverse en dos componentes polarizados circularmente girando en direcciones opuestas. Si estos componentes se propagaban a velocidades ligeramente diferentes (como lo había demostrado con el cuarzo), entonces la diferencia de fase entre ellos, y por lo tanto la orientación de su resultante polarizada linealmente, variaría continuamente con la distancia. [32]
Etapa 3: Cálculo de ángulos (1823) [ editar ]
El concepto de polarización circular fue útil en la memoria de enero de 1823, [2] que contiene las derivaciones detalladas de las leyes de seno y tangente: en esa misma memoria, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, los coeficientes de reflexión resultantes Fueron complejos con unidad de magnitud. Notando que la magnitud representaba la relación de amplitud como de costumbre, adivinó que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis mediante el experimento. [33] La verificación involucrada.
- calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90 ° entre las s y pcomponentes, para diversos números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
- someter la luz a ese número de reflexiones internas totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45 ° con respecto al plano de incidencia, y
- Comprobando que la polarización final fue circular . [34]
Este procedimiento era necesario porque, con la tecnología de las veces, no se podía medir los s y pdesplazamientos de fase directamente, y no se podía medir un grado arbitrario de ellipticality de polarización, tal como podría ser causada por la diferencia entre la fase de turnos Pero se podría verificar que la polarización era circular , porque el brillo de la luz era insensible a la orientación del analizador.
Para vidrio con un índice de refracción de 1,51, Fresnel calculó que una diferencia de fase de 45 ° entre los dos coeficientes de reflexión (por lo tanto, una diferencia de 90 ° después de dos reflexiones) requería un ángulo de incidencia de 48 ° 37 'o 54 ° 37'. Cortó un rombo hasta el último ángulo y encontró que funcionaba como se esperaba. [35] Así se completó la especificación del rombo de Fresnel.
De manera similar, Fresnel calculó y verificó el ángulo de incidencia que daría una diferencia de fase de 90 ° después de tres reflexiones en el mismo ángulo y cuatro reflexiones en el mismo ángulo. En cada caso, había dos soluciones, y en cada caso informó que el ángulo de incidencia más grande daba una polarización circular precisa (para una polarización lineal inicial a 45 ° con respecto al plano de reflexión). Para el caso de tres reflexiones, también probó el ángulo más pequeño, pero descubrió que daba cierta coloración debido a la proximidad del ángulo crítico y su ligera dependencia de la longitud de onda. (Compare la Fig. 2 anterior, que muestra que la diferencia de fase δ es más sensible al índice de refracción para ángulos de incidencia más pequeños).
Para mayor confianza, Fresnel predijo y verificó que cuatro reflexiones internas totales a 68 ° 27 'darían una polarización circular precisa si dos de las reflexiones tuvieran agua como medio externo mientras que las otras dos tuvieran aire, pero no si las superficies reflectantes fueran todas Mojado o todo seco. [36]
Significado [ editar ]
En resumen, la invención del rombo no fue un evento único en la carrera de Fresnel, sino un proceso que abarcó gran parte de él. Podría decirse que el cálculo del cambio de fase en la reflexión interna total marcó no solo la finalización de su teoría del rombo, sino también la finalización esencial de su reconstrucción de la óptica física sobre la hipótesis de la onda transversal (véase Augustin-Jean Fresnel ).
El cálculo del cambio de fase también fue un hito en la aplicación de números complejos. Leonhard Euler había sido pionero en el uso de exponentes complejos en soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , en el entendimiento de que la parte real de la solución era la parte relevante. [37] Pero el tratamiento de Fresnel de la reflexión interna total parece haber sido la primera ocasión en la que se adjuntó un significado físico al argumentode un número complejo. Según Salomon Bochner ,
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