ÓPTICA

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Gráficos de S ( x ) y C ( x ) . El máximo de C ( x ) es de aproximadamente 0.977451424. Si los integrandes de S y C se definieran usando$${\ displaystyle \ pi t ^ {2} / 2} en lugar de $${\ displaystyle t ^ {2}}, entonces la imagen se escalaría vertical y horizontalmente (ver más abajo).

Las integrales de Fresnel S ( x ) y C ( x ) son dos funciones trascendentales que llevan el nombre de Augustin-Jean Fresnel que se utilizan en la óptica y están estrechamente relacionadas con la función de error (erf). Surgen en la descripción de campo cercano de difracción de Fresnel fenómenos y se definen a través de los siguientes integrales representaciones:

$${\ displaystyle S (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin (t ^ {2}) \, dt, \, \, \,}$${\ displaystyle C (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ cos (t ^ {2}) \, dt.}

El gráfico paramétrico simultáneo de S ( x ) y C ( x ) es la espiral de Euler (también conocida como espiral de Cornu o clotoide). Recientemente, se han utilizado en el diseño de autopistas y otros proyectos de ingeniería. 

Definición [ editar ]

Integrales de Fresnel con argumentos pi t ² /2 en lugar de t ² convergen a 0,5.

Las integrales de Fresnel admiten las siguientes expansiones de series de potencias que convergen para todas las x :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S (x) & = \ int _ {0} ^ {x} \ sin (t ^ {2}) \, dt = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}}. \\ C (x) & = \ int _ {0} ^ {x} \ cos (t ^ {2}) \, dt = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {4n + 1}} {(2n)! (4n + 1)}}. \ End {alineado}}}

Algunos autores, incluidos Abramowitz y Stegun , (eqs 7.3.1 - 7.3.2) utilizan$${\ displaystyle \ pi t ^ {2} / 2}para el argumento de las integrales que definen S ( x ) y C ( x ). Esto cambia sus límites al infinito desde$${\ displaystyle \ textstyle (1/2) \ cdot {\ sqrt {\ pi / 2}}} a $${\ displaystyle 1/2} y la longitud del arco para el primer giro en espiral $${\ displaystyle (2 \ pi)} a 2 (en $${\ displaystyle t = 2}), todo más pequeño por un factor $${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2 / \ pi}}}. Las funciones alternativas también se llaman integrales de Fresnel normalizadas .

Espiral de Euler [ editar ]

Artículo principal: espiral de Euler.

Espiral de euler $${\ displaystyle (x, y) = (C (t), S (t))}. La espiral converge hacia el centro de los agujeros en la imagen como$${\ displaystyle t} Tiende a infinito positivo o negativo.

La espiral de Euler , también conocida como espiral de Cornu o clotoide , es la curva generada por un gráfico paramétrico de$${\ displaystyle S (t)}en contra $${\ displaystyle C (t)}. La espiral de Cornu fue creada por Marie Alfred Cornu como un nomograma para los cálculos de difracción en ciencia e ingeniería.

De las definiciones de las integrales de Fresnel, los infinitesimales. $${\ displaystyle dx} y $${\ displaystyle dy} son así:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} dx & = C '(t) \, dt = \ cos (t ^ {2}) \, dt, \\ dy & = S' (t) \, dt = \ sin (t ^ {2}) \, dt. \ End {alineado}}}

Por lo tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como

$${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {t_ {0}} dt = t_ {0}.}

Es decir, el parámetro. $${\ displaystyle t} es la longitud de la curva medida desde el origen $${\ displaystyle (0,0)}, y la espiral de Euler tiene longitud infinita . El vector$${\ displaystyle (\ cos (t ^ {2}), \ sin (t ^ {2}))}También expresa el vector tangente unidad a lo largo de la espiral, dando$${\ displaystyle \ theta = t ^ {2}}. Dado que tes la longitud de la curva, la curvatura$${\ displaystyle \ kappa} se puede expresar como

$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {R}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} = 2t.}

Y la tasa de cambio de curvatura con respecto a la longitud de la curva es

$${\ displaystyle {\ frac {d \ kappa} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = 2.}

Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad lo hace útil como una curva de transición en la ingeniería de carreteras y ferrocarriles: si un vehículo sigue la espiral a velocidad unitaria, el parámetro$${\ displaystyle t}En los derivados anteriores también representa el tiempo. Es decir, un vehículo que sigue la espiral a velocidad constante tendrá una velocidad constante de aceleración angular .

Las secciones de las espirales de Euler se incorporan comúnmente a la forma de los bucles de montaña rusa para hacer lo que se conoce como bucles clothoid .

Propiedades [ editar ]

• C ( x ) y S ( x ) son funciones impares de x .
• Asintótica de las integrales de Fresnel como $${\ displaystyle x \ to \ infty} vienen dados por las fórmulas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {{\ mbox {sign}} {(x)}} {2}} - \ left [1 + O (x ^ {- 4}) \ right] \ left ({\ frac {\ cos {(x ^ {2})}} {x {\ sqrt {2 \ pi }}}} + {\ frac {\ sin {(x ^ {2})}} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} derecha) \ derecha), \\ C (x ) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ left ({\ frac {{\ mbox {sign}} {(x)}} {2}} + \ left [1 + O ( x ^ {- 4}) \ derecha] \ izquierda ({\ frac {\ sin {(x ^ {2})}} {x {\ sqrt {2 \ pi}}}} - {\ frac {\ cos { (x ^ {2})}} {x ^ {3} {\ sqrt {8 \ pi}}}} \ right) \ right). \ end {alineado}}}

Complejo Fresnel integral S (z)

• Usando las expansiones de la serie de potencias anteriores, las integrales de Fresnel se pueden extender al dominio de números complejos , y se convierten en funciones analíticas de una variable compleja.
• Las integrales de Fresnel se pueden expresar utilizando la función de error de la siguiente manera: ^[2]

Complejo Fresnel integral C ( z )

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {1 + i} {4}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) -i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right) \ right], \\ C (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {1-i} {4}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right) + i \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ derecha) \ derecha]. \ fin {alineado}}}

o

{\ displaystyle {\ begin {alineado} C (z) + iS (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {1 + i} {2}} \ operatorname { erf} \ left ({\ frac {1-i} {\ sqrt {2}}} z \ right), \\ S (z) + iC (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} { 2}}} {\ frac {1 + i} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {1 + i} {\ sqrt {2}}} z \ right). \ End {alineado} }}

• C y S son funciones completas .

Límites a medida que x se acerca al infinito [ editar ]

Las integrales que definen C ( x ) y S ( x ) no pueden evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales , excepto en casos especiales. Los límites de estas funciones a medida que x va al infinito son conocidos:

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos t ^ {2} \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin t ^ {2} \, dt = {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {4}} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {8}}}.}

El contorno del sector utilizado para calcular los límites de las integrales de Fresnel.

Los límites de C y S como el argumento tiende a infinito se pueden encontrar mediante los métodos de análisis complejo . Esto utiliza el contorno integral de la función.

$${\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}

alrededor del límite de la región con forma de sector en el plano complejo formado por el eje x positivo , la bisectriz del primer cuadrante y = x con x ≥ 0 , y un arco circular de radio R centrado en el origen.

A medida que R va hacia el infinito, la integral a lo largo del arco circular$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}tiende a 0

$${\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {2}} e ^ {- t ^ {2}} dt \ right | \ leq \ int _ {\ gamma _ {2}} | e ^ {- t ^ {2}} | dt = R \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} e ^ {- R ^ {2} \ cos 2t} dt \ leq R \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} e ^ {- R ^ {2} (1 - {\ frac {4} {\ pi}} t)} dt = {\ frac {\ pi} {4R}} \ left (1-e ^ {- R ^ {2}} \ derecha),}

donde coordenadas polares $${\ displaystyle z = Re ^ {it}}se utilizaron y la desigualdad de Jordania se utilizó para la segunda desigualdad. La integral a lo largo del eje real.$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}Tiende a la mitad integral gaussiana.

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}.}

Tenga en cuenta también que debido a que el integrando es una función completa en el plano complejo, su integral a lo largo de todo el contorno es cero. En general, debemos tener

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt = \ int _ {\ gamma _ {3}} e ^ {- t ^ {2}} \ dt

dónde $${\ displaystyle \ gamma _ {3}}denota la bisectriz del primer cuadrante, como en el diagrama. Para evaluar el lado derecho, parametrice la bisectriz como

$${\ displaystyle t = re ^ {\ pi i / 4} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) r}

donde r va desde 0 hasta $${\ displaystyle + \ infty}. Tenga en cuenta que el cuadrado de esta expresión es justo$${\ displaystyle + ir ^ {2}}. Por lo tanto, la sustitución da el lado derecho como

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ir ^ {2}} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \, dr.}

Usando la fórmula de Euler para tomar partes reales e imaginarias de$${\ displaystyle e ^ {- ir ^ {2}}} da esto como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ int _ {0} ^ {\ infty} (\ cos (r ^ {2}) - i \ sin (r ^ {2})) {\ frac {\ sqrt { 2}} {2}} (1 + i) \, dr \\ = {} & {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ cos (r ^ {2}) + \ sin (r ^ {2}) + i \ left (\ cos (r ^ {2}) - \ sin (r ^ {2}) \ derecha) \ derecha] \, dr = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + 0i, \ end {alineado}}}

donde hemos escrito $${\ displaystyle 0i}para enfatizar que el valor de la integral gaussiana original es completamente real con cero partes imaginarias. Dejando$${\ displaystyle I_ {C} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (r ^ {2}) \, dr, I_ {S} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (r ^ {2}) \, dr} y luego igualar partes reales e imaginarias produce el siguiente sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas $${\ displaystyle I_ {C}, I_ {S}}:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} I_ {C} + I_ {S} & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}, \\ I_ {C} -I_ {S} & = 0 . \ end {alineado}}}

Resolviendo esto para $${\ displaystyle I_ {C}} y $${\ displaystyle I_ {S}} Da el resultado deseado.

Generalización [ editar ]

La integral

$${\ displaystyle \ int x ^ {m} \ exp (ix ^ {n}) \, dx = \ int \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l} x ^ { m + nl}} {l!}} \, dx = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ {l}} {(m + nl + 1)}} {\ frac {x ^ {m + nl + 1}} {l!}}}

es una función hipergeométrica confluente y también una función gamma incompleta ^[3]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int x ^ {m} \ exp (ix ^ {n}) \, dx & = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end { array}} \ mid ix ^ {n} \ right) \\ & = {\ frac {1} {n}} i ^ {(m + 1) / n} \ gamma \ left ({\ frac {m + 1 } {n}}, - ix ^ {n} \ right), \ end {alineado}}}

que se reduce a las integrales de Fresnel si se toman partes reales o imaginarias:

$${\ displaystyle \ int x ^ {m} \ sin (x ^ {n}) \, dx = {\ frac {x ^ {m + n + 1}} {m + n + 1}} \, _ {1 } F_ {2} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {1} {2}} + {\ frac {m + 1} {2n}} \\ {\ frac {3} {2 }} + {\ frac {m + 1} {2n}}, {\ frac {3} {2}} \ end {array}} \ mid - {\ frac {x ^ {2n}} {4}} \ Correcto)}.

El término principal en la expansión asintótica es

$${\ displaystyle _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {m + 1} {n}} \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n} } \ end {array}} \ mid ix ^ {n} \ right) \ sim {\ frac {m + 1} {n}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {m + 1} {n}} \ right) e ^ {i \ pi (m + 1) / (2n)} x ^ {- m-1},}

y por lo tanto

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {m} \ exp (ix ^ {n}) \, dx = {\ frac {1} {n}} \, \ Gamma \ left ({ \ frac {m + 1} {n}} \ derecha) e ^ {i \ pi (m + 1) / (2n)}.}

Para m  = 0, la parte imaginaria de esta ecuación en particular es

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin (x ^ {a}) \, dx = \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {a}} \ right) \ sin \ izquierda ({\ frac {\ pi} {2a}} \ derecha),}

con el lado izquierdo convergiendo para un  > 1 y el lado derecho es su extensión analítica a todo el plano, menos donde se encuentran los polos de$${\ displaystyle \ Gamma (a ^ {- 1})}.

La transformación de Kummer de la función hipergeométrica confluente es

$${\ displaystyle \ int x ^ {m} \ exp (ix ^ {n}) \, dx = V_ {n, m} (x) e ^ {ix ^ {n}},}

con

$${\ displaystyle V_ {n, m}: = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ begin {array} {c } 1 \\ 1 + {\ frac {m + 1} {n}} \ end {array}} \ mid -ix ^ {n} \ right).}

Aproximación numérica [ editar ]

Para cálculos de precisión arbitraria, la serie de potencias es adecuada para pequeños argumentos. Para grandes argumentos, las expansiones asintóticas ^[4] convergen más rápido. También se pueden usar métodos de fracción continua. ^[5]

Para el cálculo de precisión del objetivo particular, se han desarrollado otras aproximaciones. Cody ^[6] desarrolló un conjunto de aproximaciones eficientes basadas en funciones racionales que dan errores relativos hasta2 × 10 ⁻¹⁹ . Van Snyder publicó una implementación de FORTRAN de la aproximación de Cody que incluye los valores de los coeficientes necesarios para la implementación en otros idiomas. ^[7] Boersma desarrolló una aproximación con error menor que1.6 × 10 ⁻⁹ . ^[8]

Aplicaciones [ editar ]

Las integrales de Fresnel se utilizaron originalmente en el cálculo de la intensidad del campo electromagnético en un entorno donde la luz se curva alrededor de objetos opacos. ^[9] Más recientemente, se han utilizado en el diseño de autopistas y ferrocarriles, específicamente en sus zonas de transición de curvatura, consulte la curva de transición de la vía . ^[1] Otras aplicaciones son las montañas rusas ^[9] o el cálculo de las transiciones en una pista de velódromo para permitir una entrada rápida a las curvas y una salida gradual.