ÓPTICA

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Una lente de gradiente con una variación parabólica del índice de refracción ( n ) con la distancia radial ( x ). La lente enfoca la luz de la misma manera que una lente convencional.

La óptica de gradiente ( GRIN ) es la rama de la óptica que cubre los efectos ópticos producidos por un gradiente del índice de refracción de un material. Esta variación gradual se puede utilizar para producir lentes con superficies planas, o lentes que no tienen las aberraciones típicas de las lentes esféricas tradicionales. Las lentes de índice de gradiente pueden tener un gradiente de refracción que es esférico, axial o radial.

En la naturaleza [ editar ]

La lente del ojo es el ejemplo más obvio de la óptica de gradiente-índice en la naturaleza. En el ojo humano , el índice de refracción de la lente varía de aproximadamente 1.406 en las capas centrales hasta 1.386 en las capas menos densas de la lente. ^[1] Esto le permite al ojo obtener imágenes con buena resolución y baja aberración en distancias cortas y largas. ^[2]

Otro ejemplo de la óptica de gradiente en la naturaleza es el espejismo común de un charco de agua que aparece en una carretera en un día caluroso. La piscina es en realidad una imagen del cielo, aparentemente ubicada en la carretera, ya que los rayos de luz se refractan (doblan) desde su trayectoria recta normal. Esto se debe a la variación del índice de refracción entre el aire caliente y menos denso en la superficie de la carretera y el aire frío más denso que hay sobre ella. La variación en la temperatura (y, por lo tanto, la densidad) del aire provoca un gradiente en su índice de refracción, lo que hace que aumente con la altura. ^[3] Este gradiente de índice causa la refracción de los rayos de luz (en un ángulo poco profundo hacia la carretera) desde el cielo, doblándolos hacia el ojo del espectador, y su ubicación aparente es la superficie de la carretera.

La atmósfera de la Tierra actúa como una lente GRIN, lo que permite a los observadores ver el Sol unos minutos después de que realmente está debajo del horizonte, y los observadores también pueden ver estrellas que están debajo del horizonte. ^[3] Este efecto también permite la observación de señales electromagnéticas de satélites después de que hayan descendido por debajo del horizonte, como en las mediciones de radio ocultación .

Aplicaciones [ editar ]

La capacidad de las lentes GRIN para tener superficies planas simplifica el montaje de la lente, lo que las hace útiles donde muchas lentes muy pequeñas deben montarse juntas, como en fotocopiadoras y escáneres . La superficie plana también permite que una lente GRIN se fusione fácilmente a una fibra óptica para producir una salida colimada .

En aplicaciones de imágenes, las lentes GRIN se utilizan principalmente para reducir las aberraciones. El diseño de tales lentes implica cálculos detallados de aberraciones, así como la fabricación eficiente de las lentes. Se han utilizado varios materiales diferentes para las lentes GRIN, incluidos vidrios ópticos, plásticos, germanio , seleniuro de zinc y cloruro de sodio .

Ciertas fibras ópticas (fibras de índice graduado ) están hechas con un perfil de índice de refracción que varía radialmente; este diseño reduce fuertemente la dispersión modal de una fibra óptica multimodo . La variación radial en el índice de refracción permite una distribución sinusoidal de la altura de los rayos dentro de la fibra, evitando que los rayos salgan del núcleo . Esto difiere de las fibras ópticas tradicionales, que se basan en la reflexión interna total , en que todos los modos de las fibras GRIN se propagan a la misma velocidad, lo que permite un mayor ancho de banda temporal para la fibra. ^[4]

Los recubrimientos antirreflectantes son generalmente efectivos para rangos estrechos de frecuencia o ángulo de incidencia. Los materiales de índice graduado están menos restringidos. ^[5]

Fabricación [ editar ]

Las lentes GRIN se fabrican mediante varias técnicas:

• Irradiación de neutrones : el vidrio rico en boro se bombardea con neutrones para provocar un cambio en la concentración de boro y, por lo tanto, en el índice de refracción de la lente. ^[6]
• Deposición química de vapor : involucra la deposición de diferentes vidrios con índices de refracción variables, sobre una superficie para producir un cambio refractivo acumulativo. ^[7]
• Polimerización parcial : un monómero orgánico se polimeriza parcialmente utilizando luz ultravioleta a intensidades variables para obtener un gradiente de refracción. ^[8]
• Intercambio de iones : el vidrio se sumerge en un líquido fundido con iones de litio . Como resultado de la difusión , los iones de sodio en el vidrio se intercambian parcialmente con los de litio, con una mayor cantidad de intercambio que ocurre en el borde. De este modo, la muestra obtiene una estructura de material de gradiente y un gradiente correspondiente del índice de refracción. ^[9]
• Relleno de iones: la separación de fase de un vidrio específico hace que se formen poros, que luego pueden llenarse utilizando una variedad de sales o concentraciones de sales para dar un gradiente variable. ^[10]
• Escritura directa por láser : mientras se expone punto por punto a la estructura prediseñada, se varía la dosis de exposición (velocidad de exploración, potencia del láser, etc.). Esto corresponde al grado de conversión de monómero a polímero espacialmente ajustable que resulta en un índice de refracción diferente. El método es aplicable a elementos microópticos de forma libre y óptica de múltiples componentes. ^[11]

Historia [ editar ]

En 1854, JC Maxwell sugirió una lente cuya distribución del índice de refracción permitiría que todas las regiones del espacio se fotografiaran de forma clara. Conocida como la lente ojo de pez Maxwell , implica una función de índice esférico y se espera que también tenga una forma esférica. ^[12] (Maxwell, 1854). Sin embargo, esta lente no es práctica de hacer y tiene poca utilidad, ya que solo los puntos en la superficie y dentro de la lente tienen una imagen nítida y los objetos extendidos sufren de aberraciones extremas. En 1905, RW Wood.usó una técnica de inmersión creando un cilindro de gelatina con un gradiente de índice de refracción que varió simétricamente con la distancia radial desde el eje. Posteriormente se demostró que las rebanadas en forma de disco del cilindro tenían caras planas con distribución de índice radial. Demostró que, aunque las caras de la lente eran planas, actuaban como lentes convergentes y divergentes dependiendo de si el índice estaba disminuyendo o aumentando en relación con la distancia radial. ^[13] En 1964, se publicó un libro póstumo de RK Luneburg en el que describió una lente que enfoca los rayos de luz paralelos incidentes sobre un punto en la superficie opuesta de la lente. ^[14]Esto también limita las aplicaciones de la lente porque es difícil usarla para enfocar la luz visible; Sin embargo, tiene alguna utilidad en aplicaciones de microondas .

Teoría [ editar ]

Una lente de índice de gradiente no homogénea posee un índice de refracción cuyo cambio sigue la función $${\ displaystyle n = f (x, y, z)}De las coordenadas de la comarca de interés en el medio. De acuerdo con el principio de Fermat, la integral de trayectoria de la luz ( L ), tomada a lo largo de un rayo de luz que une cualquiera de los dos puntos de un medio , es estacionaria con respecto a su valor para cualquier curva cercana que une los dos puntos. La integral de la trayectoria de la luz viene dada por la ecuación.

$${\ displaystyle L = \ int _ {S_ {o}} ^ {S} n \, ds}, donde n es el índice de refracción y S es la longitud del arco de la curva. Si se usan coordenadas cartesianas , esta ecuación se modifica para incorporar el cambio en la longitud del arco para un gradiente esférico, a cada dimensión física:

$${\ displaystyle L = \ int _ {S_ {o}} ^ {S} n (x, y, z) {\ sqrt {x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2} }} \, ds}

donde prime corresponde a d / d s. ^[15] La integral de la trayectoria de la luz es capaz de caracterizar la trayectoria de la luz a través de la lente de manera cualitativa, de modo que la lente se pueda reproducir fácilmente en el futuro.

El gradiente de índice de refracción de las lentes GRIN se puede modelar matemáticamente de acuerdo con el método de producción utilizado. Por ejemplo, las lentes GRIN hechas de un material de índice de gradiente radial, como los microlentes SELFOC , ^[16] tienen un índice de refracción que varía según:

$${\ displaystyle n_ {r} = n_ {o} \ left (1 - {\ frac {Ar ^ {2}} {2}} \ right)}, donde n _r es el índice de refracción a una distancia, r , del eje óptico ; n _o es el índice de diseño en el eje óptico, y A es una constante positiva.

retraso de grupo es el retardo de tiempo de las envolventes de amplitud de las diversas componentes sinusoidales de una señal a través de un dispositivo bajo prueba , y es una función de la frecuencia de cada componente. El retardo de fase , en contraste, es el retardo de tiempo de la fase en oposición al retardo de tiempo de la envolvente de amplitud .

Todos los componentes de frecuencia de una señal se retrasan cuando pasan a través de un dispositivo como un amplificador, un altavoz o se propagan a través del espacio o un medio, como el aire. Este retraso de la señal será diferente para las distintas frecuencias, a menos que el dispositivo tenga la propiedad de ser una fase lineal. (La "fase lineal" y la " fase mínima " a menudo se usan indistintamente, pero en realidad son bastante diferentes). La variación del retardo significa que las señales que consisten en múltiples componentes de frecuencia sufrirán distorsión porque estos componentes no se retrasan la misma cantidad de tiempo en el Salida del dispositivo. Esto cambia la forma de la señal además de cualquier retraso constante o cambio de escala. Una variación de retardo suficientemente grande puede causar problemas tales como una pobre fidelidaden la interferencia de audio o entre símbolos (ISI) en la demodulación de información digital de una señal portadora analógica . Los módems de alta velocidad utilizan ecualizadores adaptativos para compensar el retraso de grupo no constante.

Introducción [ editar ]

El retardo de grupo es una medida útil de la distorsión de tiempo y se calcula diferenciando , con respecto a la frecuencia, la respuesta de fase del dispositivo bajo prueba (DUT): el retardo de grupo es una medida de la pendiente de la respuesta de fase en cualquier frecuencia dada . Las variaciones en el retardo de grupo causan distorsión de la señal, al igual que las desviaciones de la fase lineal causan distorsión.

En (LTI) teoría sistema lineal invariante en el tiempo , la teoría de control , y en digitales o analógico de procesamiento de señales , la relación entre la señal de entrada,$${\ displaystyle \ displaystyle x (t)}, a la señal de salida, $${\ displaystyle \ displaystyle y (t)}, de un sistema LTI se rige por una operación de convolución :

$${\ displaystyle y (t) = (h * x) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (u) h (tu) \, du}

O, en el dominio de la frecuencia ,

$${\ displaystyle Y (s) = H (s) X (s) \,}

dónde

$${\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} x (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt}

$${\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} y (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt}

y

$${\ displaystyle H (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} h (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt}.

aquí $${\ displaystyle \ displaystyle h (t)}es la respuesta de impulso en el dominio del tiempo del sistema LTI y$${\ displaystyle \ displaystyle X (s)}, $${\ displaystyle \ displaystyle Y (s)}, $${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}, son las transformadas de Laplace de la entrada$${\ displaystyle \ displaystyle x (t)}, salida $${\ displaystyle \ displaystyle y (t)}, y respuesta al impulso $${\ displaystyle \ displaystyle h (t)}, respectivamente. $${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}Se llama la función de transferencia del sistema LTI y, como la respuesta al impulso$${\ displaystyle \ displaystyle h (t)}, define completamente las características de entrada-salida del sistema LTI.

Supongamos que un sistema de este tipo está impulsado por una señal casi sinusoidal, es decir, una sinusoide que tiene una envolvente de amplitud{\ displaystyle \ displaystyle a (t)> 0} que está cambiando lentamente en relación con la frecuencia $${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}de la sinusoide. Matemáticamente, esto significa que la señal de conducción cuasi sinusoidal tiene la forma

$${\ displaystyle x (t) = a (t) \ cos (\ omega t + \ theta) \}

y la envolvente amplitud que cambia lentamente $${\ displaystyle \ displaystyle a (t)} significa que

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ log {\ big (} a (t) {\ big)} \ right | \ ll \ omega \.}

Entonces, la salida de tal sistema LTI se aproxima muy bien como

$${\ displaystyle y (t) = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ a (t- \ tau _ {g}) \ cos {\ big (} \ omega (t- \ tau _ {\ phi}) + \ theta {\ big)} \ ;.}

aquí $${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}} y $${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {\ phi}}, el retardo de grupo y el retardo de fase , respectivamente, vienen dados por las siguientes expresiones (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular). $${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}). La sinusoide, como lo indican los cruces por cero, se retrasa en el tiempo por el retardo de fase,$${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {\ phi}}. La envolvente de la sinusoide se retrasa en el tiempo por el retraso del grupo,$${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}.

En un sistema de fase lineal (con ganancia no inversora), ambos$${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}} y $${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {\ phi}} son constantes (es decir, independientes de $${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}) e iguales, y su valor común es igual al retraso global del sistema; y el cambio de fase desenvuelto del sistema (a saber,$${\ displaystyle \ displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi}}) es negativo, con magnitud que aumenta linealmente con la frecuencia $${\ displaystyle \ displaystyle \ omega}.

Más generalmente, se puede mostrar que para un sistema LTI con función de transferencia $${\ displaystyle \ displaystyle H (s)}impulsado por una sinusoide compleja de unidad de amplitud,

$${\ displaystyle x (t) = e ^ {i \ omega t} \}

la salida es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} y (t) & = H (i \ omega) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = \ left ({\ big |} H (i \ omega) { \ big |} e ^ {i \ phi (\ omega)} \ right) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ end {alineado}} \}

donde el cambio de fase $${\ displaystyle \ displaystyle \ phi} es

$${\ displaystyle \ phi (\ omega) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ arg \ left \ {H (i \ omega) \ right \} \ ;.}

Adicionalmente, se puede demostrar que el grupo retrasa, $${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {g}}, y retraso de fase, $${\ displaystyle \ displaystyle \ tau _ {\ phi}}, son dependientes de la frecuencia y pueden calcularse a partir del cambio de fase $${\ displaystyle \ displaystyle \ phi} por

$${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}} \}

$${\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \} .

Retraso grupal en óptica [ editar ]

En física , y en particular en óptica , el término retraso de grupo tiene los siguientes significados:

1. La tasa de cambio del cambio de fase total con respecto a la frecuencia angular ,

$${\ displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}

a través de un dispositivo o medio de transmisión , donde$${\ displaystyle \ phi \}es el cambio de fase total en radianes , y$${\ displaystyle \ omega \}es la frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo, igual a$${\ displaystyle 2 \ pi f \}, dónde $${\ displaystyle f \}es la frecuencia ( hercios si el retraso del grupo se mide en segundos).

2. En una fibra óptica , el tránsito de tiempo requerido para óptica de potencia , que viaja a un determinado modo de 's de velocidad de grupo , que recorrer una distancia dada.

Nota: Para fines de medición de la dispersión de fibra óptica , la cantidad de interés es el retraso de grupo por unidad de longitud, que es el recíproco de la velocidad de grupo de un modo particular. El retraso medido del grupo de una señal a través de una fibra óptica muestra una dependencia de la longitud de onda debido a los diversos mecanismos de dispersión presentes en la fibra.

A menudo es deseable que el retraso de grupo sea constante en todas las frecuencias; De lo contrario hay un borrón temporal de la señal. Porque el retraso del grupo es$${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}, como se define en (1), por lo tanto, se deduce que se puede lograr un retraso de grupo constante si la función de transferencia del dispositivo o medio tiene una respuesta de fase lineal (es decir,$${\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ phi (0) - \ tau _ {g} \ omega \} donde el grupo se retrasa $${\ displaystyle \ tau _ {g} \}es una constante). El grado de no linealidad de la fase indica la desviación del retardo de grupo de una constante.

Retraso de grupo en audio [ editar ]

El retraso de grupo tiene cierta importancia en el campo de audio y especialmente en el campo de reproducción de sonido. Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, en particular los altavoces y las redes de cruce de altavoces de múltiples vías , introducen un retraso de grupo en la señal de audio. Por lo tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, especialmente si se supone que la cadena de audio proporciona una reproducción de alta fidelidad . Blauert & Laws (1978) ha proporcionado los mejores umbrales de la tabla de audibilidad .

Frecuencia	Límite	Periodos (Ciclos)
500 Hz	3.2 ms	1.6
1 kHz	2 ms	2
2 kHz	1 ms	2
4 kHz	1.5 ms	6
8 kHz	2 ms	dieciséis

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz, se puede escuchar una demora de grupo de aproximadamente 1,6 ms con auriculares en una condición no reverberante. ^[1]

Tiempo de retardo verdadero [ editar ]

Se dice que un aparato de transmisión tiene un verdadero retardo de tiempo ( TTD ) si el retardo de tiempo es independiente de la frecuencia de la señal eléctrica. ^{[2] [3] El} TTD es una característica importante de las líneas de transmisión sin pérdida y de baja pérdida, sin dispersión. TTD permite un amplio ancho de banda de señal instantánea sin virtualmente ninguna distorsión de la señal, como la ampliación del pulso durante la operación de pulsos.