ÓPTICA

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Dispersión de frecuencia en grupos de ondas de gravedad en la superficie de aguas profundas. El     cuadrado rojo se mueve con la velocidad de fase y los     círculos verdes se propagan con la velocidad de grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad de grupo . El cuadrado rojo supera dos círculos verdes cuando se mueve de la izquierda a la derecha de la figura.

Las nuevas olas parecen surgir en la parte posterior de un grupo de ondas, crecen en amplitud hasta que están en el centro del grupo y se desvanecen en el frente del grupo de ondas.

Para las ondas de gravedad de superficie, las velocidades de las partículas de agua son mucho más pequeñas que la velocidad de fase, en la mayoría de los casos.

Propagación de un paquete de ondas que demuestra una velocidad de fase mayor que la velocidad de grupo sin dispersión.

Esto muestra una onda con la velocidad de grupo y la velocidad de fase que van en diferentes direcciones. ^[1] La velocidad del grupo es positiva (es decir, la envolvente de la onda se mueve hacia la derecha), mientras que la velocidad de la fase es negativa (es decir, los picos y valles se mueven hacia la izquierda).

La velocidad de grupo de una onda es la velocidad con la cual la forma de la envoltura general de las amplitudes de la onda, conocida como la modulación o envolvente de la onda, se propaga a través del espacio.

Por ejemplo, si se arroja una piedra en medio de un estanque muy quieto, en el agua aparece un patrón circular de ondas con un centro inactivo, también conocido como onda capilar . El anillo de ondas en expansión es el grupo de ondas , dentro del cual se pueden discernir ondas individuales de diferentes longitudes de onda que viajan a diferentes velocidades. Las ondas más cortas viajan más rápido que el grupo en general, pero sus amplitudes disminuyen a medida que se acercan al borde de ataque del grupo. Las ondas más largas viajan más lentamente y sus amplitudes disminuyen a medida que emergen del límite posterior del grupo.

Definición e interpretación [ editar ]

Definición [ editar ]

  Un paquete de ola .

  El sobre del paquete de onda. La envolvente se mueve a la velocidad del grupo.

La velocidad de grupo v _g se define mediante la ecuación: ^{[2] [3] [4] [5]}

$${\ displaystyle v_ {g} \ \ equiv \ {\ frac {\ partial \ omega} {\ partial k}} \,}

donde ω es la frecuencia angular de la onda (generalmente expresada en radianes por segundo ), y k es el número de onda angular(generalmente expresado en radianes por metro). La velocidad de fasees: v _p = ω / k .

La función ω ( k ) , que da ω en función de k , se conoce como la relación de dispersión .

• Si ω es directamente proporcional a k , entonces la velocidad del grupo es exactamente igual a la velocidad de la fase. Una onda de cualquier forma viajará sin distorsión a esta velocidad.
• Si ω es una función lineal de k , pero no directamente proporcional ( ω = ak + b ) , entonces la velocidad de grupo y la velocidad de fase son diferentes. La envolvente de un paquete de ondas (ver figura a la derecha) viajará a la velocidad de grupo, mientras que los picos y valles individuales dentro de la envolvente se moverán a la velocidad de fase.
• Si ω no es una función lineal de k , la envolvente de un paquete de onda se distorsionará a medida que se desplaza. Dado que un paquete de ondas contiene un rango de diferentes frecuencias (y, por lo tanto, diferentes valores de k ), la velocidad de grupo ∂ω / ∂k será diferente para los diferentes valores de k . Por lo tanto, la envolvente no se mueve a una sola velocidad, sino que sus componentes ( k ) se mueven a diferentes velocidades, distorsionando la envolvente. Si el paquete de ondas tiene un rango estrecho de frecuencias, y ω ( k )es aproximadamente lineal en ese rango estrecho, la distorsión del pulso será pequeña, en relación con la no linealidad pequeña. Ver más discusión a continuación . Por ejemplo, para ondas de gravedad de aguas profundas ,$${\ textstyle \ omega = {\ sqrt {gk}}}, y por lo tanto v _g = v _p / 2 .
  Esto subyace en el patrón de vigilia de Kelvin para la ola de proa de todos los barcos y objetos de natación. Independientemente de la velocidad con la que se mueven, siempre que su velocidad sea constante, en cada lado la estela forma un ángulo de 19.47 ° = arcosina (1/3) con la línea de recorrido. ^[6]

Más información: Teoría de la onda aerea § Tabla de cantidades de onda

Derivación [ editar ]

Una derivación de la fórmula para la velocidad de grupo es la siguiente. ^[7] [8]

Considere un paquete de ondas en función de la posición x y el tiempo t : α ( x , t ) .

Sea A ( k ) su transformada de Fourier en el tiempo t = 0 ,

$${\ displaystyle \ alpha (x, 0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k) e ^ {ikx}.}

Por el principio de superposición , el paquete de ondas en cualquier momento t es

$${\ displaystyle \ alpha (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k) e ^ {i (kx- \ omega t)},}

donde ω es implícitamente una función de k .

Supongamos que el paquete de ondas α es casi monocromático , de modo que A ( k ) tiene un pico pronunciado alrededor de un número de onda central k ₀ .

Entonces, la linealización da

$${\ displaystyle \ omega (k) \ approx \ omega _ {0} + \ left (k-k_ {0} \ right) \ omega '_ {0}}

dónde

$${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega (k_ {0})} y $${\ displaystyle \ omega '_ {0} = \ left. {\ frac {\ partial \ omega (k)} {\ partial k}} \ right | _ {k = k_ {0}}}

(vea la siguiente sección para la discusión de este paso). Luego, después de algún álgebra,

$${\ displaystyle \ alpha (x, t) = e ^ {i \ left (k_ {0} x- \ omega _ {0} t \ right)} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \ , A (k) e ^ {i (k-k_ {0}) \ left (x- \ omega '_ {0} t \ right)}.

Hay dos factores en esta expresión. El primer factor,$${\ displaystyle e ^ {i \ left (k_ {0} x- \ omega _ {0} t \ right)}}, describe una onda monocromática perfecta con el vector de onda k ₀ , con picos y valles que se mueven a la velocidad de la fase $${\ displaystyle \ omega _ {0} / k_ {0}} dentro de la envoltura del paquete de ondas.

El otro factor,

$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dk \, A (k) e ^ {i (k-k_ {0}) \ left (x- \ omega '_ {0} t \ right )}},

Da el sobre del paquete de ondas. Esta función de envolvente depende de la posición y el tiempo solo a través de la combinación$${\ displaystyle (x- \ omega '_ {0} t)}.

Por lo tanto, la envoltura del paquete de ondas se desplaza a la velocidad

$${\ displaystyle \ omega '_ {0} = \ left. {\ frac {d \ omega} {dk}} \ right | _ {k = k_ {0}} ~,}

lo que explica la fórmula de velocidad de grupo.

Términos de orden superior en la dispersión [ editar ]

Distorsión de grupos de ondas por efectos de dispersión de orden superior, para ondas de gravedad de superficie en aguas profundas (con v _g = ½ v _p ).

Esto muestra la superposición de tres componentes de onda, con 22, 25 y 29 longitudes de onda respectivamente que se ajustan en un dominio horizontal periódico de 2 km de longitud. Las amplitudes de onda de los componentes son respectivamente 1, 2 y 1 metro.

Parte de la derivación anterior es la aproximación de la serie de Taylor que:

$${\ displaystyle \ omega (k) \ approx \ omega _ {0} + (k-k_ {0}) \ omega '_ {0} (k_ {0})}

Si el paquete de ondas tiene una dispersión de frecuencia relativamente grande, o si la dispersión ω (k) tiene variaciones bruscas (como las debidas a una resonancia ), o si el paquete se desplaza a distancias muy largas, esta suposición no es válida, y es de orden superior. Los términos en la expansión de Taylor se vuelven importantes.

Como resultado, la envoltura del paquete de ondas no solo se mueve, sino que también se distorsiona, de una manera que puede ser descrita por la dispersión de velocidad de grupo del material . En términos generales, diferentes componentes de frecuencia del paquete de ondas viajan a diferentes velocidades, con los componentes más rápidos moviéndose hacia la parte frontal del paquete de ondas y el movimiento más lento hacia la parte posterior. Eventualmente, el paquete de onda se estira. Este es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibras ópticas y en el diseño de láseres de pulso corto de alta potencia.

Historia [ editar ]

La idea de una velocidad de grupo distinta de la velocidad de fase de una onda fue propuesta por primera vez por WR Hamilton en 1839, y el primer tratamiento completo fue por Rayleigh en su "Teoría del sonido" en 1877. ^[9]

Otras expresiones [ editar ]

Para la luz, el índice de refracción n , la longitud de onda de vacío λ ₀ y la longitud de onda en el medio λ están relacionados por

$${\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}}, \; \; \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}} = {\ frac {2 \ pi v_ {p}} {\ omega}}, \; \; n = {\ frac {c} {v_ {p}}} = {\ frac {\ lambda _ {0}} {\ lambda}}, }

con v _p  =  ω / k la velocidad de fase .

La velocidad del grupo, por lo tanto, se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes fórmulas,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} v_ {g} & = {\ frac {c} {n + \ omega {\ frac {\ partial n} {\ partial \ omega}}}} = {\ frac {c} { n- \ lambda _ {0} {\ frac {\ partial n} {\ partial \ lambda _ {0}}}}} \\ & = v_ {p} \ left (1 + {\ frac {\ lambda} { n}} {\ frac {\ partial n} {\ partial \ lambda}} \ right) = v_ {p} - \ lambda {\ frac {\ partial v_ {p}} {\ partial \ lambda}} = v_ { p} + k {\ frac {\ partial v_ {p}} {\ partial k}}. \ end {alineado}}}

En tres dimensiones [ editar ]

Ver también: onda plana.

Para las ondas que viajan a través de tres dimensiones, como las ondas de luz, las ondas de sonido y las ondas de materia, las fórmulas para la velocidad de la fase y del grupo se generalizan de manera directa: ^[10]

Una dimensión: $${\ displaystyle v_ {p} = \ omega / k, \ quad v_ {g} = {\ frac {\ partial \ omega} {\ partial k}}, \,}

Tres dimensiones: $${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {p} = {\ hat {\ mathbf {k}}} {\ frac {\ omega} {| \ mathbf {k} |}}, \ quad \ mathbf {v} _ {g} = {\ vec {\ nabla}} _ {\ mathbf {k}} \, \ omega \,}

dónde

$${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} _ {\ mathbf {k}} \, \ omega}

significa el gradiente de la frecuencia angular ω en función del vector de onda$${\ displaystyle \ mathbf {k}}y $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}es el vector unitario en la dirección k .

Si las ondas se propagan a través de un medio anisotrópico (es decir, no simétrico por rotación), por ejemplo un cristal , entonces el vector de velocidad de fase y el vector de velocidad de grupo pueden apuntar en diferentes direcciones.

En lossy o medios lucrativas [ editar ]

La velocidad de grupo se suele considerar como la velocidad a la que se transmite la energía o la información a lo largo de una onda. En la mayoría de los casos, esto es preciso, y la velocidad de grupo se puede considerar como la velocidad de la señal de la forma de onda . Sin embargo, si la onda se desplaza a través de un medio absorbente o lucrativo, esto no siempre es válido. En estos casos, la velocidad del grupo puede no ser una cantidad bien definida, o puede no ser una cantidad significativa.

En su texto "Propagación de ondas en estructuras periódicas", ^[11] Brillouin argumentó que en un medio disipativo la velocidad del grupo deja de tener un significado físico claro. Loudon da un ejemplo sobre la transmisión de ondas electromagnéticas a través de un gas atómico. ^[12] Otro ejemplo son las ondas mecánicas en la fotosfera solar : las ondas se amortiguan (por el flujo de calor radiativo desde los picos a los canales), y en relación con eso, la velocidad de la energía es a menudo sustancialmente más baja que la velocidad de grupo de las ondas. ^[13]

A pesar de esta ambigüedad, una forma común de extender el concepto de velocidad de grupo a medios complejos es considerar soluciones de ondas planas amortiguadas espacialmente dentro del medio, que se caracterizan por un vector de onda de valor complejo . Luego, la parte imaginaria del vector de onda se descarta arbitrariamente y la fórmula habitual para la velocidad de grupo se aplica a la parte real del vector de onda, es decir,

$${\ displaystyle v_ {g} = \ left ({\ frac {\ partial (\ operatorname {Re} k)} {\ partial \ omega}} \ right) ^ {- 1}.}

O, de manera equivalente, en términos de la parte real del índice de refracción complejo , n = n + iκ , uno tiene ^[14]

$${\ displaystyle {\ frac {c} {v_ {g}}} = n + \ omega {\ frac {\ partial n} {\ partial \ omega}}.

Se puede demostrar que esta generalización de la velocidad de grupo continúa relacionada con la velocidad aparente del pico de un paquete de ondas. ^{[ cita requerida ]} La definición anterior no es universal, sin embargo: alternativamente, se puede considerar el tiempo de amortiguación de las ondas estacionarias ( k real , complejo ω ), o permitir que la velocidad del grupo sea una cantidad de valor complejo. ^[15] [16] Diferentes consideraciones producen distintas velocidades, pero todas las definiciones concuerdan con el caso de un medio sin pérdidas y sin ganancias.

La generalización anterior de la velocidad de grupo para medios complejos puede comportarse de manera extraña, y el ejemplo de dispersión anómala sirve como una buena ilustración. En los bordes de una región de dispersión anómala,$${\ displaystyle v_ {g}}se vuelve infinito (superando incluso la velocidad de la luz en el vacío ), y$${\ displaystyle v_ {g}}puede fácilmente convertirse en negativo (su signo se opone a Re k ) dentro de la banda de dispersión anómala. ^{[17] [18] [19]}

Velocidades del grupo superluminal [ editar ]

Desde la década de 1980, varios experimentos han verificado que es posible que la velocidad de grupo (como se define anteriormente) de los pulsos de luz láser enviados a través de materiales con pérdida, o materiales rentables, supere significativamente la velocidad de la luz en el vacío c . También se observó que los picos de los paquetes de ondas se movían más rápido que c .

En todos estos casos, sin embargo, no hay posibilidad de que las señales puedan transmitirse más rápido que la velocidad de la luz en el vacío , ya que el alto valor de v _gno ayuda a acelerar el movimiento real del frente de onda agudo que se produciría al inicio de cualquier señal real. Esencialmente, la transmisión aparentemente superluminal es un artefacto de la aproximación de banda estrecha utilizada anteriormente para definir la velocidad del grupo y ocurre debido a los fenómenos de resonancia en el medio intermedio. En un análisis de banda ancha, se observa que la velocidad de propagación aparentemente paradójica de la envolvente de la señal es en realidad el resultado de la interferencia local de una banda de frecuencias más amplia en muchos ciclos, todos los cuales se propagan de manera perfectamente causal y a una velocidad de fase. El resultado es similar al hecho de que las sombras pueden viajar más rápido que la luz, incluso si la luz que las causa siempre se propaga a la velocidad de la luz; ya que el fenómeno que se está midiendo está ligeramente relacionado con la causalidad.