ÓPTICA

La óptica hamiltoniana ^[1] y la óptica lagrangiana ^[2] son dos formulaciones de la óptica geométrica que comparten gran parte del formalismo matemático con la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana .

Principio de Hamilton [ editar ]

Artículo principal: Principio de Hamilton.

En física , el principio de Hamilton establece que la evolución de un sistema$${\ displaystyle \ left (q_ {1} \ left (\ sigma \ right), \ cdots, q_ {N} \ left (\ sigma \ right) \ right)} descrito por $${\ displaystyle N} coordenadas generalizadas entre dos estados especificados en dos parámetros especificados σ _A y σ _B es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero), de la acción funcional , o

$${\ displaystyle \ delta S = \ delta \ int _ {\ sigma _ {A}} ^ {\ sigma _ {B}} L \ left (q_ {1}, \ cdots, q_ {N}, {\ dot { q}} _ {1}, \ cdots, {\ dot {q}} _ {N}, \ sigma \ right) \, d \ sigma = 0}

dónde $${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {k} = dq_ {k} / d \ sigma}. Condición$${\ displaystyle \ delta S = 0} es válido si y solo si se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial L} {\ parcial q_ {k}}} - {\ frac {d} {d \ sigma}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {q} } _ {k}}} = 0}

con $${\ displaystyle k = 1, \ cdots, N}.

El impulso se define como

$${\ displaystyle p_ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}}}

y las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden volver a escribir como

$${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {k}}}}

dónde $${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d \ sigma}.

Un enfoque diferente para resolver este problema consiste en definir un Hamiltoniano (tomando una transformada de Legendre del Lagrangiano ) como

$${\ displaystyle H = \ sum _ {k} {{\ dot {q}} _ {k}} p_ {k} -L}

para el cual se puede derivar un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales al observar cómo el diferencial totaldel Lagrangiano depende del parámetro σ , posiciones$${\ displaystyle q_ {i} \,} y sus derivados $${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}relativo a σ . Esta derivación es la misma que en la mecánica hamiltoniana, solo con el tiempo t ahora reemplazado por un parámetro general σ . Esas ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de Hamilton.

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q_ {k}}} = - {\ punto {p}} _ {k} \ ,, \ quad {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p_ {k}}} = {\ dot {q}} _ {k} \ ,, \ quad {\ frac {\ partial H} {\ partial \ sigma}} = - {\ partial L \ over \ partial \ sigma} \ ,.}

con $${\ displaystyle k = 1, \ cdots, N}. Las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange son de segundo orden.

La óptica lagrangiana [ editar ]

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica. ^[3] [4] En el espacio euclidiano 3D , las coordenadas generalizadas ahora son las coordenadas del espacio euclidiano .

El principio de Fermat [ editar ]

Artículo principal: Principio de Fermat.

El principio de Fermat establece que la longitud óptica de la trayectoria seguida por la luz entre dos puntos fijos, A y B , es un punto estacionario. Puede ser un máximo, un mínimo, una constante o un punto de inflexión . En general, a medida que la luz viaja, se mueve en un medio de índice de refracción variable que es un campo escalar de posición en el espacio, es decir,$${\ displaystyle n = n \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right)}En el espacio euclidiano 3D . Suponiendo ahora que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , la trayectoria de un rayo de luz se puede parametrizar como$${\ displaystyle s = \ left (x_ {1} \ left (x_ {3} \ right), x_ {2} \ left (x_ {3} \ right), x_ {3} \ right)} comenzando en un punto $${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (x_ {1} \ left (x_ {3A} \ right), x_ {2} \ left (x_ {3A} \ right), x_ {3A} \ right)} y terminando en un punto $${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ left (x_ {1} \ left (x_ {3B} \ right), x_ {2} \ left (x_ {3B} \ right), x_ {3B} \ right)}. En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas$${\ displaystyle x_ {1}} y $${\ displaystyle x_ {2}} Tomar el papel de las coordenadas generalizadas. $${\ displaystyle q_ {k}} mientras $${\ displaystyle x_ {3}} asume el papel de parámetro $${\ displaystyle \ sigma}, es decir, parámetro σ  = x ₃ y N = 2.

En el contexto del cálculo de variaciones, esto se puede escribir como ^[2]

$${\ displaystyle \ delta S = \ delta \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} n \, ds = \ delta \ int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} n {\ frac {ds} {dx_ {3}}} \, dx_ {3} = \ delta \ int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} L \ izquierda (x_ {1}, x_ { 2}, {\ dot {x}} _ {1}, {\ dot {x}} _ {2}, x_ {3} \ right) \, dx_ {3} = 0}

donde ds es un desplazamiento infinitesimal a lo largo del rayo dado por$${\ displaystyle ds = {\ sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} y

$${\ displaystyle L = n {\ frac {ds} {dx_ {3}}} = n \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ punto {x}} _ {2} ^ {2}}}}

es el lagrangiano óptico y $${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}.

La longitud del camino óptico (OPL) se define como

$${\ displaystyle S = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} n \, ds = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} L \, dx_ {3}}

donde n es el índice de refracción local como una función de la posición a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B .

Las ecuaciones de Euler-Lagrange [ editar ]

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica utilizando el Lagrangiano definido en el principio de Fermat . Las ecuaciones de Euler-Lagrange con el parámetro σ  = x ₃ y N = 2 aplicadas al principio de Fermat dan como resultado

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {k}}} - {\ frac {d} {dx_ {3}}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {x }} _ {k}}} = 0}

con k = 1,2 y donde L es el lagrangiano óptico y$${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}.

Momento óptico [ editar ]

El momento óptico se define como

$${\ displaystyle p_ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {k}}}}

y de la definición de la lagrangiana óptica. $${\ displaystyle L = n {\ sqrt {1 + {\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2}}}} esta expresión puede ser reescrita como

$${\ displaystyle p_ {k} = n {\ frac {{\ dot {x}} _ {k}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x }} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n {\ frac {dx_ {k}} {\ sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n {\ frac {dx_ {k}} {ds}}}

Impulso óptico

o en forma vectorial

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = n {\ frac {\ mathbf {ds}} {ds}} = \ left (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3} \ right)}

$${\ displaystyle = \ left (n \ cos \ alpha _ {1}, n \ cos \ alpha _ {2}, n \ cos \ alpha _ {3} \ right) = n \ mathbf {\ hat {e}} }

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}}}es un vector unitario y los ángulos α ₁ , α ₂ y α ₃ son los ángulos pque forman el eje x ₁ , x ₂ y x ₃ respectivamente, como se muestra en la figura "momento óptico". Por lo tanto, el momento óptico es un vector de norma.

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {p} \ | = {\ sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2}}} = n}

donde n es el índice de refracción en el que se calcula p . El vector p apunta en la dirección de propagación de la luz. Si la luz se propaga en una óptica de gradiente, la trayectoria del rayo de luz es curva y el vector p es tangente al rayo de luz.

La expresión para la longitud del camino óptico también se puede escribir en función del momento óptico. Teniendo en cuenta que$${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {3} = dx_ {3} / dx_ {3} = 1} La expresión para el Lagrangiano óptico se puede reescribir como

$${\ displaystyle L = n {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = {\ dot {x}} _ {1} {\ frac {n {\ dot {x}} _ {1}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + {\ dot {x}} _ {2} {\ frac {n {\ dot {x}} _ {2}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ { 2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + {\ frac {n {\ dot {x}} _ {3}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}}}

$${\ displaystyle = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} + {\ dot {x}} _ {3} p_ {3 } = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}}

y la expresión para la longitud del camino óptico es

$${\ displaystyle S = \ int L \, dx_ {3} = \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s}

Ecuaciones de Hamilton [ editar ]

De manera similar a lo que sucede en la mecánica hamiltoniana , también en óptica el hamiltoniano se define por la expresión dada anteriormente para N = 2 correspondiente a las funciones$${\ displaystyle x_ {1} \ left (x_ {3} \ right)} y $${\ displaystyle x_ {2} \ left (x_ {3} \ right)} estar determinado

$${\ displaystyle H = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} -L}

Comparando esta expresión con $${\ displaystyle L = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}} para los resultados lagrangianos en

$${\ displaystyle H = -p_ {3} = - {\ sqrt {n ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}}}

Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con el parámetro σ  = x ₃ y k = 1,2 aplicadas a la óptica son ^[5] [6]

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial x_ {k}}} = - {\ punto {p}} _ {k} \ ,, \ quad {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p_ {k}}} = {\ dot {x}} _ {k}}

con $${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}} y $${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}.

Aplicaciones [ editar ]

Se supone que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , según el principio de Hamilton anterior, las coordenadas$${\ displaystyle x_ {1}} y $${\ displaystyle x_ {2}}Tomar el papel de las coordenadas generalizadas. $${\ displaystyle q_ {k}} mientras $${\ displaystyle x_ {3}} asume el papel de parámetro $${\ displaystyle \ sigma}, es decir, parámetro σ  = x ₃ y N = 2.

Refracción y reflexión [ editar ]

Artículos principales: Ley de Snell y Reflexión especular.

Si el plano x ₁ x ₂ separa dos medios del índice de refracción n _A debajo y n _B sobre él, el índice de refracción viene dado por una función escalonada

{\ displaystyle n (x_ {3}) = {\ begin {cases} n_ {A} & {\ mbox {if}} x_ {3} <0 amp="" if="" mbox="" n_="" x_=""> 0 \\\ fin {casos}}}

y de las ecuaciones de Hamilton

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial x_ {k}}} = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} {\ sqrt {n (x_ {3}) ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}} = 0}

y por lo tanto $${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {k} = 0} o $${\ displaystyle p_ {k} = {\ text {Constante}}}para k = 1,2.

Un rayo de luz entrante tiene el momento p _A antes de la refracción (debajo del plano x ₁ x ₂ ) y el momento p _Bdespués de la refracción (sobre el plano x ₁ x ₂ ). El rayo de luz forma un ángulo θ _A con el eje x ₃ (el normal a la superficie refractiva) antes de la refracción y un ángulo θ _B con el eje x ₃ después de la refracción. Como los componentes p ₁ y p ₂ del momento son constantes, solo p ₃ cambian dep _3 A a p _3 B .

Refracción

La figura "refracción" muestra la geometría de esta refracción a partir de la cual $${\ displaystyle d = \ | \ mathbf {p} _ {A} \ | \ sin \ theta _ {A} = \ | \ mathbf {p} _ {B} \ | \ sin \ theta _ {B}}. Ya que$${\ displaystyle \ | \ mathbf {p} _ {A} \ | = n_ {A}} y $${\ displaystyle \ | \ mathbf {p} _ {B} \ | = n_ {B}}, esta última expresión se puede escribir como

$${\ displaystyle n_ {A} \ sin \ theta _ {A} = n_ {B} \ sin \ theta _ {B}}

que es la ley de refracción de snell .

En la figura "refracción", la normal a los puntos de superficie refractiva en la dirección del eje x ₃ , y también de vector$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {p} _ {A} - \ mathbf {p} _ {B}}. Una unidad normal$${\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {v} / \ | \ mathbf {v} \ |} a la superficie refractiva se puede obtener a partir del momento de los rayos entrantes y salientes mediante

$${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {A} - \ mathbf {p} _ {B}} {\ | \ mathbf {p} _ {A} - \ mathbf {p } _ {B} \ |}} = {\ frac {n_ {A} \ mathbf {i} -n_ {B} \ mathbf {r}} {\ | n_ {A} \ mathbf {i} -n_ {B } \ mathbf {r} \ |}}}

donde i y r son una vectores unitarios en las direcciones de la incidente y rayos refractados. Además, el rayo saliente (en la dirección de$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {B}}) está contenido en el plano definido por el rayo entrante (en la dirección de $${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {A}}) y lo normal $${\ displaystyle \ mathbf {n}} a la superficie.

Un argumento similar puede ser utilizado para la reflexión en la derivación de la ley de la reflexión especular , sólo que ahora con n _A = n _B , resultando en θ _A = θ _B . Además, si i y r son vectores unitarios en las direcciones del rayo incidente y refractado respectivamente, la normal correspondiente a la superficie viene dada por la misma expresión que para la refracción, solo con n _A = n _B

$${\ displaystyle \ mathbf {n} = {\ frac {\ mathbf {i} - \ mathbf {r}} {\ | \ mathbf {i} - \ mathbf {r} \ |}}}

En forma vectorial, si i es un vector unitario que apunta en la dirección del rayo incidente y n es la unidad normal a la superficie, la dirección r del rayo refractado viene dada por: ^[3]

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = {\ frac {n_ {A}} {n_ {B}}} \ mathbf {i} + \ left (- \ left (\ mathbf {i} \ cdot \ mathbf {n} \ right) {\ frac {n_ {A}} {n_ {B}}} + {\ sqrt {\ Delta}} \ right) \ mathbf {n}}

con

$${\ displaystyle \ Delta = 1- \ left ({\ frac {n_ {A}} {n_ {B}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ left (\ mathbf {i} \ cdot \ mathbf {n} \ right) ^ {2} \ right)}

Si i · n <0 -="" entonces="" font="" nbsp="">n debe usarse en los cálculos. Cuando{\ displaystyle \ Delta <0 font="">, la luz sufre una reflexión interna total y la expresión del rayo reflejado es la de la reflexión:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {i} -2 \ left (\ mathbf {i} \ cdot \ mathbf {n} \ right) \ mathbf {n}}

Rayos y frentes de onda [ editar ]

De la definición de longitud de trayectoria óptica. $${\ displaystyle S = \ int L \, dx_ {3}}

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x_ {k}}} = \ int {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {k}}} \, dx_ {3} = \ int { \ frac {dp_ {k}} {dx_ {3}}} \, dx_ {3} = p_ {k}}

Rayos y frentes de onda

con k = 1,2 donde las ecuaciones de Euler-Lagrange $${\ displaystyle \ parcial L / \ parcial x_ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}con k = 1,2 se utilizaron. Además, a partir de la última de las ecuaciones de Hamilton. $${\ displaystyle \ parcial H / \ parcial x_ {3} = - \ parcial L / \ parcial x_ {3}} y de $${\ displaystyle H = -p_ {3}} encima

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x_ {3}}} = \ int {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {3}}} \, dx_ {3} = \ int { \ frac {dp_ {3}} {dx_ {3}}} \, dx_ {3} = p_ {3}}

combinando las ecuaciones para los componentes del momento p resulta en

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ nabla S}

Como p es un vector tangente a los rayos de luz, las superficies S = Constante deben ser perpendiculares a esos rayos de luz. Estas superficies se llaman frentes de onda . La figura "rayos y frentes de onda" ilustra esta relación. También se muestra el momento óptico p , tangente a un rayo de luz y perpendicular al frente de onda.

Campo vectorial $${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ nabla S}Es un campo vectorial conservador . El teorema de gradiente se puede aplicar a la longitud del camino óptico (como se indicó anteriormente ) dando como resultado

$${\ displaystyle S = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} \ nabla S \ cdot d \ mathbf {s} = S (\ mathbf {B}) -S (\ mathbf {A})}

y la longitud del camino óptico S calculada a lo largo de una curva C entre los puntos A y B es una función de solo sus puntos finales A y B y no la forma de la curva entre ellos. En particular, si la curva está cerrada, comienza y termina en el mismo punto, o A = B, de modo que

$${\ displaystyle S = \ oint \ nabla S \ cdot d \ mathbf {s} = 0}

Este resultado se puede aplicar a un ABCDA de trayectoria cerrada como en la figura "longitud de trayectoria óptica"

$${\ displaystyle S = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} + \ int _ {\ mathbf {B}} ^ {\ mathbf {C}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} + \ int _ {\ mathbf {C}} ^ {\ mathbf {D}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} + \ int _ {\ mathbf {D}} ^ {\ mathbf {A}} \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = 0}

Longitud del camino óptico

para el segmento AB de curva, el momento óptico p es perpendicular a un desplazamiento d s a lo largo de la curva AB , o$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = 0}. Lo mismo es cierto para el segmento de CD . Para el segmento BC, el momento óptico ptiene la misma dirección que el desplazamiento d s y$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = nds}. Para el segmento DA, el momento óptico p tiene la dirección opuesta al desplazamiento d s y$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = -n \, ds}. Sin embargo, invirtiendo la dirección de la integración para que la integral se tome de A a D , d s invierte la dirección y$${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {s} = n \, ds}. De estas consideraciones

$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {B}} ^ {\ mathbf {C}} n \, ds = \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {D}} n \, ds}

o

$${\ displaystyle S _ {\ mathbf {BC}} = S _ {\ mathbf {AD}}}

y la longitud del camino óptico S _BC entre los puntos B y C a lo largo del rayo que los conecta es la misma que la longitud del camino óptico S _AD entre los puntos A y D a lo largo del rayo que los conecta. La longitud del camino óptico es constante entre los frentes de onda.

Espacio de fase [ editar ]

Artículo principal: espacio de fase

La figura "Espacio de fase 2D" muestra en la parte superior algunos rayos de luz en un espacio bidimensional. Aquí x ₂ = 0 y p ₂ = 0, así que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores crecientes x ₃ . En este caso$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}y la dirección de un rayo de luz está completamente especificada por el componente p ₁ del momento$${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {3})}ya que p ₂ = 0. Si p ₁ se da, p ₃ se puede calcular (dado el valor del índice de refracción n) y por lo tanto p ₁ es suficiente para determinar la dirección del rayo de luz. El índice de refracción del medio en el que viaja el rayo está determinado por$${\ displaystyle \ | \ mathbf {p} \ | = n}.

Espacio de fase 2D

Por ejemplo, rayos r _C cruza eje x ₁ en la coordenada x _Bcon un impulso óptico p _C , que tiene su punta en un círculo de radio n centrada en la posición x _B . La coordenada x _B y la coordenada horizontal p _1 C del momento p _C definen completamente el rayo r _C cuando cruza el eje x ₁ . Este rayo puede ser definido por un punto r _C = ( x _B , p _1C ) en el espacio x ₁ p ₁ como se muestra en la parte inferior de la figura. El espacio x ₁ p ₁ se llama espacio de fase y diferentes rayos de luz pueden representarse por diferentes puntos en este espacio.

Como tal, el rayo r _D mostrado en la parte superior está representado por un punto r _D en el espacio de fase en la parte inferior. Todos los rayos que cruzan el eje x ₁ en la coordenada x _B contenida entre los rayos r _C y r _D están representados por una línea vertical que conecta los puntos r _C y r _D en el espacio de fase. Por consiguiente, todos los rayos de cruzar eje x ₁ en la coordenada x _A contenida entre los rayos r _A y r _Bestán representados por una línea vertical que conecta los puntos r _A y r _B en el espacio de fase. En general, todos los rayos que cruzan el eje x ₁entre x _L y x _R están representados por un volumen R en el espacio de fase. Los rayos en el límite ∂ R del volumen R se llaman rayos de borde. Por ejemplo, en la posición x _A de eje x ₁ , los rayos r _A y r _B son los rayos marginales ya que todos los otros rayos están contenidos entre estos dos.

En geometría tridimensional el momento óptico está dado por $${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})} con $${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}. Si se dan p ₁ y p ₂ , se puede calcular p ₃ (dado el valor del índice de refracción n ) y, por lo tanto, p ₁ y p ₂ son suficientes para determinar la dirección del rayo de luz. Un rayo que viaja a lo largo del eje x ₃ se define entonces por un punto ( x ₁ , x ₂ ) en el plano x ₁ x ₂ y una dirección ( p ₁ , p ₂ ). Luego puede definirse por un punto en el espacio de fase tridimensional x₁ x ₂ p ₁ p ₂ .

Conservación de la eficacia óptica [ editar ]

Artículo principal: Etendue

Figura "variación de volumen" muestra un volumen V obligado por un área A . Con el tiempo, si el límite A semueve, el volumen de V puede variar. En particular, un área infinitesimal dA con una unidad de puntería hacia afuera normal n se mueve con una velocidad v .

Variación de volumen

Esto conduce a una variación de volumen. $${\ displaystyle dV = dA (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) dt}. Haciendo uso del teorema de Gauss , la variación en el tiempo del volumen total del volumen V que semueve en el espacio es

$${\ displaystyle {\ frac {dV} {dt}} = \ int _ {A} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n} \, dA = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {v } \, dV}

El término más a la derecha es una integral de volumen sobre el volumen V y el término medio es la integral de superficie sobre el límite A del volumen V . Además, v es la velocidad con la que se mueven los puntos en V.

En la óptica de coordenadas $${\ displaystyle x_ {3}}toma el papel del tiempo. En el espacio de fase un rayo de luz se identifica por un punto$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, p_ {1}, p_ {2})}que se mueve con una " velocidad "$${\ displaystyle \ mathbf {v} = ({\ dot {x}} _ {1}, {\ dot {x}} _ {2}, {\ dot {p}} _ {1}, {\ dot { p}} _ {2})} donde el punto representa un derivado relativo a $${\ displaystyle x_ {3}}. Un conjunto de rayos de luz que se extienden sobre$${\ displaystyle dx_ {1}} en coordenada $${\ displaystyle x_ {1}}, $${\ displaystyle dx_ {2}} en coordenada $${\ displaystyle x_ {2}}, $${\ displaystyle dp_ {1}} en coordenada $${\ displaystyle p_ {1}} y $${\ displaystyle dp_ {2}} en coordenada $${\ displaystyle p_ {2}} ocupa un volumen $${\ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2}}en fase de espacio. En general, un gran conjunto de rayos ocupa un gran volumen.$${\ displaystyle V}en el espacio de fase al que se puede aplicar el teorema de Gauss

$${\ displaystyle {\ frac {dV} {dx_ {3}}} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \, dV}

y usando las ecuaciones de Hamilton

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial {\ dot {x}} _ {1}} {\ partial x_ {1}}} + {\ frac {\ partial {\ dot {x}} _ {2}} {\ parcial x_ {2}}} + {\ frac {\ parcial {\ punto {p}} _ {1}} {\ parcial p_ {1}}} + {\ frac {\ partial {\ dot {p}} _ {2}} {\ parcial p_ {2}}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} {\ frac {\ parcial H} { \ parcial p_ {1}}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {2}}} {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p_ {2}}} - {\ frac {\ parcial} {\ parcial p_ {1}}} {\ frac {\ parcial H} {\ parcial x_ {1}}} - {\ frac {\ parcial} {\ parcial p_ {2}}} {\ frac {\ parcial H } {\ parcial x_ {2}}} = 0}

o $${\ displaystyle dV / dx_ {3} = 0} y $${\ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2} = {\ text {Constant}}} lo que significa que el volumen del espacio de fase se conserva a medida que la luz viaja a lo largo de un sistema óptico.

El volumen ocupado por un conjunto de rayos en el espacio de fase se llama etendue , que se conserva a medida que los rayos de luz avanzan en el sistema óptico a lo largo de la dirección x ₃ . Esto corresponde al teorema de Liouville , que también se aplica a la mecánica hamiltoniana .

Sin embargo, el significado del teorema de Liouville en la mecánica es bastante diferente del teorema de conservación de la época. El teorema de Liouville es esencialmente de naturaleza estadística y se refiere a la evolución en el tiempo de un conjunto de sistemas mecánicos de propiedades idénticas pero con condiciones iniciales diferentes. Cada sistema está representado por un solo punto en el espacio de fase, y el teorema establece que la densidad promedio de los puntos en el espacio de fase es constante en el tiempo. Un ejemplo serían las moléculas de un gas clásico perfecto en equilibrio en un contenedor. Cada punto en el espacio de fase, que en este ejemplo tiene dimensiones 2N, donde N es el número de moléculas, representa uno de un conjunto de contenedores idénticos, un conjunto lo suficientemente grande como para permitir tomar un promedio estadístico de la densidad de puntos representativos.^[3]

Óptica de imagen y no imagen [ editar ]

Artículo principal: Óptica sin imágenes.

La figura "conservación de etendue" muestra a la izquierda un sistema óptico bidimensional diagramático en el que x ₂ = 0 y p ₂ = 0, por lo que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores crecientes de x ₃ .

Conservacion de etendue

Los rayos de luz que cruzan la abertura de entrada de la óptica en punto x ₁ = x _I están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _B representada por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la abertura de entrada (derecha, abajo esquina de la figura). Todos los rayos que atraviesan la abertura de entrada están representados en el espacio de fases por una región R _I .

Además, los rayos de luz que cruzan la abertura de salida de la óptica en el punto x ₁ = x _O están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _Brepresentadas por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la abertura de salida (a la derecha , esquina superior de la figura). Todos los rayos que atraviesan la abertura de salida están representados en el espacio de fases por una región R _O .

La conservación de la duración en el sistema óptico significa que el volumen (o área en este caso bidimensional) en el espacio de fase ocupado por R _I en la apertura de entrada debe ser el mismo que el volumen en el espacio de fase ocupado por R _O en la apertura de salida .

En la óptica de formación de imágenes, todos los rayos de luz que cruzan la abertura de entrada en x ₁ = x _I son redirigidos por ella hacia la abertura de salida en x ₁ = x _O donde x _I = mx _O . Esto asegura que una imagen de la entrada se formó en la salida con un aumento m . En el espacio de fase, esto significa que las líneas verticales en el espacio de fase en la entrada se transforman en líneas verticales en la salida. Ese sería el caso de la línea vertical r _A r _B en R _I transformada a la línea vertical r _A r _B en R _O .

En la óptica sin imágenes , el objetivo no es formar una imagen, sino simplemente transferir toda la luz desde la apertura de entrada a la apertura de salida. Esto se logra mediante la transformación de los rayos marginales ∂ R _I de R _I a borde rayos ∂ R _O de R _O . Esto se conoce como el principio del rayo de borde .

Generalizaciones [ editar ]

Arriba se asumió que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , en el principio de Hamilton arriba, las coordenadas$${\ displaystyle x_ {1}} y $${\ displaystyle x_ {2}}Tomar el papel de las coordenadas generalizadas. $${\ displaystyle q_ {k}} mientras $${\ displaystyle x_ {3}} asume el papel de parámetro $${\ displaystyle \ sigma}, es decir, parámetro σ  = x ₃ y N = 2. Sin embargo, son posibles diferentes parametrizaciones de los rayos de luz, así como el uso de coordenadas generalizadas .

Parametrización rayos general [ editar ]

Se puede considerar una situación más general en la que la trayectoria de un rayo de luz se parametriza como $${\ displaystyle s = \ left (x_ {1} \ left (\ sigma \ right), x_ {2} \ left (\ sigma \ right), x_ {3} \ left (\ sigma \ right) \ right)}en el que σ es un parámetro general. En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas$${\ displaystyle x_ {1}}, $${\ displaystyle x_ {2}} y $${\ displaystyle x_ {3}} Tomar el papel de las coordenadas generalizadas. $${\ displaystyle q_ {k}}con N = 3. La aplicación del principio de Hamilton a la óptica en este caso lleva a

$${\ displaystyle \ delta S = \ delta \ int _ {\ mathbf {A}} ^ {\ mathbf {B}} n \, ds = \ delta \ int _ {\ sigma _ {A}} ^ {\ sigma _ {B}} n {\ frac {ds} {d \ sigma}} \, d \ sigma}

$${\ displaystyle = \ delta \ int _ {\ sigma _ {A}} ^ {\ sigma _ {B}} L \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, {\ dot {x }} _ {1}, {\ dot {x}} _ {2}, {\ dot {x}} _ {3}, \ sigma \ right) \, d \ sigma = 0}

donde ahora $${\ displaystyle L = nds / d \ sigma} y $${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d \ sigma} y para las cuales las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas a esta forma del principio de Fermat dan como resultado

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x_ {k}}} - {\ frac {d} {d \ sigma}} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ punto {x} } _ {k}}} = 0}

con k = 1,2,3 y donde L es el lagrangiano óptico. También en este caso el momento óptico se define como

$${\ displaystyle p_ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {k}}}}

y el Hamiltoniano P se define por la expresión dada anteriormente para N = 3 correspondiente a las funciones$${\ displaystyle x_ {1} \ left (\ sigma \ right)}, $${\ displaystyle x_ {2} \ left (\ sigma \ right)} y $${\ displaystyle x_ {3} \ left (\ sigma \ right)} estar determinado

$${\ displaystyle P = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} + {\ dot {x}} _ {3} p_ { 3} -L}

Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con k = 1,2,3 ópticas aplicadas son

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial x_ {k}}} = - {\ punto {p}} _ {k} \ ,, \ quad {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p_ {k}}} = {\ dot {x}} _ {k}}

con $${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d \ sigma} y $${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d \ sigma}.

El lagrangiano óptico está dado por

$${\ displaystyle L = n {\ frac {ds} {d \ sigma}} = n \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) {\ sqrt {{\ dot {x} } _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = L \ left (x_ { 1}, x_ {2}, x_ {3}, {\ dot {x}} _ {1}, {\ dot {x}} _ {2}, {\ dot {x}} _ {3} \ right )}

y no depende explícitamente del parámetro σ . Por esa razón, no todas las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange serán posibles rayos de luz, ya que su derivación asumió una dependencia explícita de L en σque no ocurre en la óptica.

Los componentes del momento óptico se pueden obtener de

$${\ displaystyle p_ {k} = n {\ frac {{\ dot {x}} _ {k}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x }} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n {\ frac {dx_ {k}} {\ sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n {\ frac {dx_ {k}} {ds}}}

dónde $${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d \ sigma}. La expresión para el lagrangiano se puede reescribir como

$${\ displaystyle L = n {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = {\ dot {x}} _ {1} {\ frac {n {\ dot {x}} _ {1}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + {\ dot {x}} _ {2} {\ frac {n {\ dot {x}} _ {2}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ { 2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + {\ dot {x}} _ {3} {\ frac {n {\ dot {x}} _ {3}} {\ sqrt {{\ dot {x}} _ {1} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {2} ^ {2} + {\ dot {x}} _ {3 } ^ {2}}}}}

$${\ displaystyle = {\ dot {x}} _ {1} p_ {1} + {\ dot {x}} _ {2} p_ {2} + {\ dot {x}} _ {3} p_ {3 }}

Comparando esta expresión para L con la del Hamiltoniano P, se puede concluir que

$${\ displaystyle P = 0}

De las expresiones para los componentes. $${\ displaystyle p_ {k}} de los resultados del momento óptico

$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3} \ derecha) = 0}

El hamiltoniano óptico es elegido como

$${\ displaystyle P = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ derecha) = 0}

aunque se podrían hacer otras elecciones. ^[3] [4] Las ecuaciones de Hamilton con k = 1,2,3 definidas anteriormente junto con$${\ displaystyle P = 0} Definir los posibles rayos de luz.

Coordenadas generalizadas [ editar ]

Al igual que en la mecánica hamiltoniana , también es posible escribir las ecuaciones de la óptica hamiltoniana en términos de coordenadas generalizadas. $${\ displaystyle \ left (q_ {1} \ left (\ sigma \ right), q_ {2} \ left (\ sigma \ right), q_ {3} \ left (\ sigma \ right) \ right)}momenta generalizada $${\ displaystyle \ left (u_ {1} \ left (\ sigma \ right), u_ {2} \ left (\ sigma \ right), u_ {3} \ left (\ sigma \ right) \ right)}y Hamiltonian P como ^[3] [4]

$${\ displaystyle {\ frac {dq_ {1}} {d \ sigma}} = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial u_ {1}}} \ quad \ quad {\ frac {du_ {1}} { d \ sigma}} = - {\ frac {\ partial P} {\ partial q_ {1}}}}

$${\ displaystyle {\ frac {dq_ {2}} {d \ sigma}} = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial u_ {2}}} \ quad \ quad {\ frac {du_ {2}} { d \ sigma}} = - {\ frac {\ partial P} {\ partial q_ {2}}}}

$${\ displaystyle {\ frac {dq_ {3}} {d \ sigma}} = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial u_ {3}}} \ quad \ quad {\ frac {du_ {3}} { d \ sigma}} = - {\ frac {\ partial P} {\ partial q_ {3}}}}

$${\ displaystyle P = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} -n ^ {2} = 0}

donde el momento óptico es dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = u_ {1} \ nabla q_ {1} + u_ {2} \ nabla q_ {2} + u_ {3} \ nabla q_ {3}}

$${\ displaystyle = u_ {1} \ | \ nabla q_ {1} \ | {\ frac {\ nabla q_ {1}} {\ | \ nabla q_ {1} \ |}} + u_ {2} \ | \ nabla q_ {2} \ | {\ frac {\ nabla q_ {2}} {\ | \ nabla q_ {2} \ |}} + u_ {3} \ | \ nabla q_ {3} \ | {\ frac { \ nabla q_ {3}} {\ | \ nabla q_ {3} \ |}}}

$${\ displaystyle = u_ {1} a_ {1} \ mathbf {\ hat {e}} _ {1} + u_ {2} a_ {2} \ mathbf {\ hat {e}} _ {2} + u_ { 3} a_ {3} \ mathbf {\ hat {e}} _ {3}}

y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {1}}, $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {2}} y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {3}}son vectores unitarios . Se obtiene un caso particular cuando estos vectores forman 

base ortonormal , es decir, todos son perpendiculares entre sí. En ese caso,$${\ displaystyle u_ {k} a_ {k} / n} Es el coseno del ángulo el momento óptico. $${\ displaystyle \ mathbf {p}} hace al vector unitario $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {k}}.