Geometría

 En relación con el círculo apolíneo

Dada triángulo ABC, su círculo Apollonian (CE) (locus de puntos C *, de tal manera que C * A / C * B = CA / CB), su circunferencia circunscrita (DA) y el círculo (HA) que pasa a través de D, A, B. Demostrar que los puntos C, G, I (I diametral de D wr a H) están en una línea.

El círculo apolíneo (CE) corta ortogonalmente la circunferencia circunscrita (DA). Los puntos A, B son wr inversa al círculo (CE). De ahí que cada círculo que pasa a través de estos puntos será cortado círculo (CE) también ortogonal. Especialmente círculo (IA) recortará ortogonalmente tanto (CE) y (DA). Por lo tanto voy a tener los mismos poderes a estos círculos (igual al cuadrado de IB). Por lo tanto voy a estar en el eje radical (CG) de los dos círculos (CE) y (DA) .

 Propiedad pedal apolíneo

El triángulo pedal de un punto E, con respecto al triángulo t = (ABC), es el triángulo formado por las proyecciones de E ₁ , E ₂ , E ₃ en los lados de t (o sus prolongaciones ver Pedal.html ). Considere el círculo apolíneo c (D, | DA |), que se define como el lugar geométrico de los puntos P tales que | PA | / | PB | = | AB | / | AC |.
[1] Sea F la inversa de E respecto a (c) y E ₁ E ₂ E ₃ , F ₁ F ₂ F ₃ los pedales correspondientes. A continuación, la longitud de relación de lados homólogos (Fe | E ₂ E ₃ | / | F ₂ F ₃ |) es igual a la relación | AE | / | AF | = | A ₁ E | / | A ₁ F | para todos dichos pares de lados.
[2] Triángulos E ₁ E ₂ E ₃ y F ₁ F ₂ F ₃ son similares y orientado a la inversa.

[1] Ese | E ₂ E ₃ | / | F ₂ F ₃ | = | AE | / | FA | se ve fácilmente desde los cuadriláteros cíclicos {AE ₂ EE ₃ } y {AF ₃ FF ₂ }. E ₂ E ₃ y F, respectivamente, ₂ F ₃ son acordes de las circunferencias circunscritas a estos cuadriláteros vistos de A bajo el mismo ángulo, por lo que sus longitudes que están en proporción que los diámetros de estos círculos, que son precisamente | AE | y | FA | correspondientemente .
El cociente de los otros lados necesita un poco más de trabajo. Por ejemplo | E ₁ E ₂ | / | F ₁ F ₂ | = (| BE | * sin (B)) / (| CF | * sin (C)) = (*), y uno tiene la relación de las longitudes de segmentos cuyos extremos son inversa con respecto a (c) (véase InverseLengths.html ), como es el caso de la FQ y BE.
De hecho, por el teorema del seno de triángulos, (*) = (| BE | * b) / (| CF | * c). Por la referencia citada: | BE | / | CF | = (r ² / (| DF | * | DC |)), b / c = r / | DB | => (*) = r ³ / (| DF | * | DC | * | DB |) = r / | DF | = | AE | / | FA |.
[2] es una consecuencia inmediata de [1].

 círculos Apolonio

Denotemos por un = | BC |, b = | CA |, c = | AB | las longitudes de los lados del triángulo ABC. El círculo de Apolonio un 'en el lado BC es el lugar geométrico de los puntos
G, tal que | GB | / | CG | = c / b. Análogo es la definición de los círculos de Apolonio en lados CA y AB. El tema se estudia en
cierta medida en el archivo Apollonian_Circles.html . Aquí se da otra caracterización del círculo de Apolonio en el lado BC. El Apolonio circunde "un (pasando por el vértice A) es el lugar geométrico de los puntos G, de tal manera que sus triángulos pedales (véase Pedal.html ) son isoscelli en su vértice acostado en BC ([Johnson, p.295]).

La siguiente igualdad, basado en la fórmula sine muestra por qué.
                                       | ED | / | EF | = (| ES | * sin (B)) / (| CG | * sin (C))
                                                       = (c * sin (B)) / (b * sin (C))         
                                                       = 1.

 2. pedales equiláteros

Como consecuencia, los puntos de isodinámicas {j, j '} (intersección puntos de los tres círculos Apollonian, ver referencia anterior) se caracterizan
por tener pedales (y circumcevians, ver Circumcevian.html ) que son triángulos equiláteros.

 3. Trilinears de puntos isodinámicas

En realidad esto debe aparecer en la sección de puntos isodinámicas o / y trilinears (ver Isodynamic.html y Trilinears.html ). Es sin embargo la
aparición de la equilátero aquí que ofrece los medios para calcular fácilmente este tipo de coordenadas para J. El resultado es que los trilinears de
los puntos isodinámicas J, J 'son                                       
                                                     (x ₁ : x ₂ : x ₃ ) = ( sin (A + π / 3), sin (B + π / 3), sin (C + π / 3)) para J y                                  
                                                     (x ' ₁ : x ' ₂ : x ' ₃ ) = (sen (A-π / 3), sin (B-π / 3), sin (C-π / 3)) para J '.

El objetivo es calcular los ratios (x ₁ : x ₂ : x ₃ .) de las distancias de J desde los lados de ABC
(1) Ángulo BJC es A + (π / 3). De hecho,
                                                  el ángulo (BJC) = 2π - BJA) - AJC  
                                                                    = 2π - (π - BAJ - ABJ) - (π - CAJ - JCA)
                                                                    = A + (DEJ + FEJ) = A + π / 3.
     Última igualdad resultante de los cuadriláteros cíclicos DBEJ y FJEC.
(2) Calcular el doble del área de triángulos JBC, JCA y división:
                                     2area (JBC) = x ₁ * AC = t ₂ t * ₃ * sin (A + π / 3),
                                     2area (JCA) = x ₂ * CA = t ₃ t * ₁ * sin (B + π / 3) =>
                       (x ₁ * AC) / (x ₂ * CA) = (t ₂ * sen (A + π / 3)) / (t ₁ * sin (B + π / 3)) =>
                                       x ₁ / x ₂   = sin (A + π / 3) / sen (B + π / 3),
donde el último es debido a la simplificación la propiedad del punto isodinámico t ₂ / t ₃ = AB / AC, etc ..