Geometría

 Círculos apolíneo

Dado un segmento AB y un número real positivo k, el círculo Apollonian del segmento orientado AB, para la relación de k, se define como el lugar geométrico de los puntos P, tal que | PA | / | PB | = k.

[1] Si la PC y PD son los bissectors del ángulo APB, es un teorema elemental bien conocido que | CA | / | CB | = | DA | / | DB | = k, por lo tanto, C, D, que están bien puntos definidos en la línea AB, pertenecen al lugar. Pero el CPD ángulo es un derecho. Por lo tanto, cada punto P del locus parece el segmento CD bajo un ángulo recto. Por lo tanto, pertenece al círculo con CD diámetro.
[2] Bueno, los ángulos de OPA y PBO son iguales. Para ver esto, añadir a la OPA APC ángulo y obtener OPC. Añadir a PBO el CPB ángulo = APC (porque bisectriz PC) para obtener OCP = OPC (isósceles).
[3] Estos ángulos beeing iguales implica que los triángulos OPA y OPB son similares. Esto implica que | || OP OP | = | OA OB || |. Esto significa: (i) que la OP es tangente a la circunferencia circunscrita c de ABP, (ii) que la que el círculo Appolonian a es ortogonal a la circunferencia circunscrita c ABP.
[4] Pues bien, nos movemos lentamente hacia aguas más profundas: Los círculos de cerramiento de todos los triángulos APB (P beeing en lo apolíneo) construyen un "círculo-paquete" X de círculos que pasan por A, B. El círculo apolíneo pertenece al conjunto ortogonal Y de X, cuyos miembros se caracterizan por beeing ortogonal a todos los miembros de X . Por lo tanto, el círculo apolíneo se caracteriza por beeing ortogonal a ambos, el círculo que encierra de PAB y el segmento AB y pasa por el punto P.
[5] Consideremos ahora los círculos apolíneo de los lados (orientados) de un triángulo ABC . Con esto queremos decir lo siguiente tres círculos:
c ₁ : el lugar geométrico de puntos P, tal que | PB | / | PC | = | AB | / | AC |, (pasa a través de A),
c ₂ : el lugar geométrico de puntos P , tal que | PC | / | PA | = | BC | / | BA |, (pasa a través de B),
c ₃ : el lugar geométrico de puntos P, tal que | PA | / | PB | = | CA | / | CB |, (pasa a C).
Denota aún más la circunferencia circunscrita de ABC con d.

[6] Los tres círculos pasan a través de dos puntos comunes K y L. De hecho, se supone que K es un punto común de c ₁ y c ₃ . Entonces | KB | / | KC | = | AB | / | AC | y | KA | / | KB | = | CA | / | CB |.Multiplicando al lado del otro: | KA | / | KC | = | AB | / | CB |. Así K pertenece a c ₂ .
[7] De ello se desprende que los centros de U, V, W de los tres círculos están en una línea. Esto se llama el Lemoine línea del triángulo.
[8] Los centros de U, V, W del c ₁ , c ₂ , c ₃ son, respectivamente, en las líneas BC, CA, AB. En las líneas de adición UA, VB, WC son tangentes a d, en A, B, C, respectivamente, y c ₁ , c ₂ , c ₃ son todos ortogonal a d (véase [3] más arriba).
[9] siendo d ortogonal a la paquete de intersección tipo que contiene los tres círculos c ₁ , c ₂ , c ₃ implica que K, L y O (centro de d) son colineales. La línea que contiene K, L y O se llama eje Brocard . del triángulo
[10] Se deduce que, K y L son inversas con respecto a la circunferencia circunscrita d.
[11] Consideremos ahora la inversión F ₁ con respecto a c ₁ :
(i) F ₁ permuta los miembros del haz de c1, c2, c3, que son todos ortogonal a d.
(ii) F ₁ (B) = C (mostrado al principio). Por lo tanto F ₁ (c ₃ ) = c ₂ .
(iii) Se deduce que las inversiones F ₁ , F ₂ , F ₃ wr a los tres círculos, aplicados a estos círculos ellos permutan. Debido a la inversión conserva los ángulos, todos los ángulos entre los círculos c ₁ , c ₂ y c ₃ en K (y L) son iguales entre sí y-igual a 60 grados.
[12] Además, cada centro de la c1, c2, c3 es el centro de similitud para los otros dos círculos.
[13] La propiedad tangencia de la AU (véase [8]) implica que es el conjugado armónico de la simediano a través de A wr a los lados AB, AC. Esto a su vez implica que el eje Lemoine es el trilineal polar delpunto simediano (no dibujada) del triángulo. Ver las referencias abajo para algunos más discusiones al respecto.
Una gran cantidad de hechos. Y esto es sólo el comienzo. Los puntos K, L son llamados puntos isodinámicas del triángulo ABC.
EucliDraw tiene una herramienta especial para construir los círculos apolíneo de ABC:
1) Seleccione la herramienta desde el elemento de menú [Shape-Tools \ Círculo Herramientas \ apolíneo Círculo .] 2 ) Haga clic tres veces primero: en AB, segundo: en la AC, tercera: el BC. Esto define el círculo c ₁ . 3) Haga clic tres veces primero: el BC, segundo: en BA, tercera: en CA. Esto define el círculo c ₂ . 4) Haga clic tres veces primero: en CA, segundo: el CB, tercera: el AB. Esto define el círculo c₃ . Cambie a la herramienta de selección (CTRL + 1). Captura y modificar el triángulo. Observe cómo cambia la forma.

 apolíneo Bundle

Considere un segmento a = EG y los círculos apolíneo dividen en diversas proporciones (ver el archivo Apollonian_Circles.html ). Todos estos círculos son miembros de un paquete círculo hiperbólica que yo llamo el apolíneo Bundle del segmento.
El eje radical común de los círculos son miembros del paquete es la línea media del segmento.
Como con cada paquete, se genera el paquete apolíneo a partir de dos miembros particulares, uno de los cuales puede ser la línea medial (e) del segmento.
Considere un miembro-círculo (f) del haz de dividir en la relación de k (azul). A continuación, el miembro del haz, pasando a través del centro de K (f) (el oro círculo c) se divide en la relación k². En la siguiente figura la relación de k se define por las longitudes de dos segmentos k = | AB | / | CD |.

 2. Propiedades

1) Cada hiperbólica círculo de haz es lo apolíneo Bundle del segmento definido por sus puntos limitantes     . (correspondiente a E, G anterior)
2) Los círculos del paquete se puede parametrizar por su relación k = | FE | / | FG | .
3) Los miembros de la izquierda de la línea (e) son aquellos para los que k <1 .="" br="" nbsp="">4) Los miembros de la derecha de (e) son aquellos para los que k> 1.
5) Dos miembros con relaciones inversas k * k '= 1 son . wr simétrica a (e)
6) Un semicírculo con diámetro EG da otra parametrización del paquete, en el siguiente sentido.
    6.1) Cada miembro del haz lo corta exactamente en un punto P yk = | PE | / | PG | = tan (phi).
    6.2) Esto da otra manera de construir el círculo correspondiente a la relación k:
    . 6.2) Encontrar (phi) de tal manera que phi = arctan (k) y localizar el punto P en el medio círculo en EG
    6.3) Dibujar PK ortogonal a OP en P. Esto determina el centro y el radio K | KP |. de la k-relación de círculo
7) Aviso de que el medio círculo mencionado anteriormente es parte del círculo-miembro mínimo del haz que es ortogonal a el apolíneo. Por lo tanto la tangencia de OP en círculo (f).
8) Puntos {W, W *} son conjugado armónico con respecto a {E, G}. Su-razón doble (E, G, W, W *) = (WE / WG) :( W * E / W * G) = - 1. Inversamente cada par de puntos conjugados armónicos con respecto a {E, G} define un círculo del haz Apollonian y una relación transversal (E, G, W, W *) = - 1.

 3. Formularium

Dada una OA segmento de longitud (coordenada) a, y una relación (k <0 br="" nbsp="" say="">1) la coordenada X de tal manera que XO / XA = k está en x = ka / (k-1),
2) la coordenada de X 'tal que XO / XA = -k es en x' = ka / (k + 1),
3) el centro del círculo Apollonian está en (x + x ') / 2 = ak ² / (k ² - 1),
4) la distancia (o el diámetro del círculo apolínea) es XX '= -2ka / (k ² -1).