Geometría

Las afinidades y sus puntos fijos

Aquí considero afinidades f (ver Affinity.html ) del avión y clasificarlos de acuerdo al número de sus puntos fijos es decir, puntos P tales que f (P) = P.
Al hacer que tomo en cuenta también el comportamiento de f en la extendida avión, incluyendo los puntos del infinito . Estas adicionales puntos de theplane se pueden identificar con el común dirección de líneas paralelas, una línea L que define un punto en el infinito, ya que determina una dirección de líneas paralelas.
Como se verá a continuación, Affinités siempre poseen puntos fijos que pueden ser puntos ordinarios o puntos en el infinito.
En lo que sigue me identifico la (afín) avión con el conjunto de tripples:

El conjunto de puntos en el infinito se identifica con tripples representación de direcciones:

puesto que los dos tripples definen la misma dirección en el plano. Un punto fijo en el infinito de una afinidad f corresponde a una línea L que mapea bajo f para una línea L 'paralela a L. Para un tratamiento más formal en afinidades miran [Audin, pp. 7].

 1. Un punto fijo ordinario única

El genérico Affinity ( Affinity.html ) tiene un único punto fijo en el plano. Esto puede verse considerando un paralelogramo ABCD y su imagen A'B'C'D 'bajo la afinidad f. Entonces considere las intersecciones de la correspondiente lados opuestos. Comencemos con el par lateral (AB, CD) y su imagen de par (A'B ', C'D'). Los puntos de intersección {E, F} correspondientemente de los pares (CD, C'D '), (AB, A'B') definen una línea y consideran un punto P en esta línea. Sea {E ', F'} son las imágenes de estos puntos y P 'la imagen de P. Por la propiedad de las afinidades de preservar relaciones PE / PF = P'E' / P'F ', por lo tanto, ya sea e'f' es paralela a EF o hay un punto O intersección de líneas EF y e'f '. Suponiendo que el caso genérico de intersección vemos fácilmente que O es un punto fijo de la afinidad.De hecho, PP 'está siempre paralela a A'B', por lo tanto, para Ptending a O su imagen de punto P 'tiende también a O.Thus, si hay un único punto fijo O, esto es en la línea EF. Un argumento similar se puede aplicar a otro par de lados paralelos (AD, BC), sus imágenes (A'D ', B'C') y los puntos de intersección correspondiente {G, H} de pares laterales (AD, A 'D') y (BC, B'C '). Así, en el caso genérico el punto fijo es el punto de intersección O de las dos líneas EF y GH ([Kovacs, p. 103]).

 2. El caso de homología axial

Un caso especial que es posible es que la línea coincide e'f 'con EF. En este caso toda la línea EF consiste en puntos fijos de la afinidad. Por las razones preservationof debe ser EC / ED = E'c '/ E'D' = CE / ED '. Por lo tanto CC 'y DD' son paralelos y EF divide estas líneas en la misma proporción. La siguiente figura ilustra este caso.
En ese caso, todos los puntos que no me miente en la línea fija mapas de EF a un punto I 'en el paralelo de CC "de I y de tal manera que KI' / KI es constante igual a k,
independientemente de la posición I. Tales afinidades son llamados homologías axiales (o cepas ([CoxIntro, p. 203]) con EF eje y relación homología k.
El fijo) dirección de las líneas II ('se llama dirección conjugada de la homología.
En el caso k = -1, la homología axial se denomina una reflexión afín . Por cada punto I, el segmento II 'tiene entonces su centro en el eje, la línea II' beingalso siempre paralela a una dirección fija CC '.

Las propiedades indicadas anteriormente pueden demostrarse fácilmente. En primer lugar demostrar que la línea BC y su imagen línea B'C 'se cruzan también en el eje EF. Esto es visto por findingthe punto de intersección de BC con EF y demostrando que B'C 'pasa también a través de ese punto. Análoga es la prueba de la declaración sobre la Segunda '. Observación Tomando los ejes de coordenadas a lo largo de dos líneas especiales: a) la línea EF yb) una línea paralela a la dirección II ', la afinidad es representado a través de la matriz:

 3. El caso paralelo (sin punto fijo)

Puede suceder que la línea e'f 'es paralela a EF (punto O en el infinito). En este caso, ilustrado por la figura de abajo, los puntos P de la línea EF mapa para puntos P 'onE'F' para que EE'P'P es un paralelogramo. Por lo tanto, la composición de la afinidad f con la traducción g que envía P 'de nuevo a P obtenemos una nueva afinidad f' = g * f,
lo que deja todos los puntos de la línea EF fijo. Por lo tanto, en este caso la afinidad original puede ser escrito como una composición f = g ^-1 f 'es decir, como un producto de homología anaxial y una traducción .
Por los argumentos de la sección anterior de la afinidad f 'es una homología axial . Por lo tanto teniendo en cuenta la A''B''C''D paralelogramo '' = g (A'B'C'D '), líneas {AA' ', BB' ', CC' ',' DD '} son todas paralelas y intersectar el eje EF de f 'correspondiente en los puntos {A *, B *, C *, D *} tal que la ratiosA * A / A * A' '= B * B / B B *' '= ... = D * D / D * D '' = k son todos iguales.

En este caso la afinidad f original no puede tener un punto fijo . De hecho, si había un punto O tal fijo, entonces la línea L ₁ a través de él paralela a EE 'sería invariante bajo f. Lo mismo sería cierto también para la línea L ₂ a través de él y paralela a EF. Luego se seguiría que todas las líneas paralelas a L L ₁ son alsoinvariant y esto implicaría que todos los puntos de L ₂ son fijos. Obviamente la misma propiedad sería válida para el mapa inversa y luego 'wouldmap por f A'B'C'D ^-1 en un paralelogramo con líneas (CD, C'D ') coincidiendo así como líneas (AB, A'B' ) coincidiendo, por lo tanto, {E, F} no existiría.
Pero este fue un supuesto básico desde el comienzo de la discusión. Esta contradicción demuestra la afirmación acerca de la inexistencia de punto fijo en este caso. Observación En este caso, aunque la afinidad tiene dos puntos fijos en el infinito , coincidiendo con la dirección del eje y el conjugado a él directionof la homología f axial '. Así, en caso de que la afinidad no tiene puntos fijos ordinarios que tiene al menos dos puntos fijos en el infinito.

 4. El rolle de los puntos del infinito

Sección 1-maneja el caso de una afinidad con un único punto fijo en el avión. Sección-2 maneja el caso de una línea entera que permanece fija (el eje de homología) y un punto en el infinito que permanece fija (el determinado por la dirección común de todos los segmentos II '). Sección-3 maneja el caso de un solo punto en el infinito, que permanece fijo. Este es el punto determinado por la dirección común de los paralelos {EF, e'f '}. Combinando puntos fijos ordinarios y puntos fijos que se encuentran en infiinity tenemos otros dos tipos de afinidades: Los primeros son aquellos que dejan toda la línea fija en el infinito, es decir, aquellas que el mapa cada línea a una línea paralela (ver sección 6).
Estas afinidades se denominan dilataciones ([CoxIntro, p. 194], sección 6 abajo). El segundo tipo son los que tienen un punto fijo ordinario y un segundo punto fijo en el infinito.
En este último caso se puede encontrar fácilmente dos líneas invariantes que pasan por el punto de la afinidad fijo. Las direcciones de estas líneas representan dos puntos en el infinito que se fijan por f.

De hecho, se supone que los mapas de la línea L a una línea paralela L ', de modo que la dirección común de {L, L'} representa el punto en el infinito fijado por la afinidad f. Supongamos también que A es el punto fijo ordinario de la afinidad y dibujar L ₀ paralela a L a través de A. Entonces, por la invariancia de la dirección de L deduce que L ₀ es invariante bajo f, por tanto, un paralelogramo ABCD con lados {AD, BC} mentira, respectivamente, en L { ₀ , L} se asigna a un AB'C'D paralelogramo 'con lados {AD', B'C '}, respectivamente, en L { ₀ , L '}. Entonces líneas {BB ', CC'} encuentran en un punto E o son paralelos. Suponiendo que las líneas se cruzan en el punto E ordinaria podemos mostrar que la línea AE es invariante bajo f. De hecho, cada punto P en mapas línea L a un punto P 'en L', de manera que el PP 'pasa por E. Esto se deduce por la igualdad de proporciones PB / PC = P'B' / P'C '. En particular, el punto Q intersección de EA con L se asigna al punto de intersección Q 'de EA con L' y esto muestra la invariancia de la línea AE. Esto implica que cada línea paralela a AE mapas también a una línea paralela a AE es decir, la dirección de AE representa un segundo punto en el infinito, que se fija por f.Observación-1 Los puntos fijos en el infinito demostrar un comportamiento diferente de la de los puntos ordinarios , con respecto a la línea que definen (la línea en el infinito). De hecho dos puntos fijos ordinarios definen una línea, que sigue siendo puntual fija (conservación de proporciones). Por el contrario, como es aquí el caso, dos puntos fijos en el infinito no implican que toda la línea en el infinito permanece fijo. También tres puntos fijos ordinarios para f implican que coincide posteriores con la identidad. Por el contrario, como es aquí el caso, dos puntos fijos en el infinito más uno ordinario no implican que f es la identidad. También dos puntos fijos ordinarios más un punto en el infinito (definen una homología axial, como en la sección-2) no implica que f coincide con la identidad.

Observación-2 Presentación de coordenadas a lo largo de los ejes AD, AQ podemos representar f través de una matriz M de la forma anteriormente. Su primera representación como el producto de la derecha muestra que tal mapa es la composición de dos homologías axiales (sección 2). De hecho, las matrices simples de la derecha representan homologías obviamente axiales. Como se ve a partir de la matriz de representación o la figura, el producto es conmutativo es decir, los factores que se toman en cualquier orden representan por sus productos de la misma afinidad. Los dos factores que representan f como producto son dos cepas vinculados en el sentido de que el eje de uno define la dirección conjugado de la otra . La segunda representación como un producto muestra que la afinidad también se puede expresar como el producto de una cepa y una homotecia. Observación-3 El mismo comportamiento se produce cuando las líneas BB 'y CC' son paralelas es decir, E tiende a infinito. Entonces se convierte en la línea AE paralelo a estas dos líneas y, como en el caso anterior, se mantiene invariante bajo la afinidad f.

 5. Dos puntos fijos ordinarios, cizallas

En el caso de la afinidad tiene dos puntos fijos ordinarios {A, B}, se determina por completo por un tercer punto C y su imagen C '. En este caso todos los puntos de la línea AB remainfixed y, además de la línea CC 'permanece invariante bajo la afinidad. Esto implica que todas las líneas paralelas a CC mapa también a una línea paralela. El caso es idéntica a la sección 2 oneof. Teniendo en cuenta las líneas {IC, I'c '} para un momento me arbitraria y su imagen yo mostramos de nuevo fácilmente que la relación KI' / KI es constante e independiente de la posiciónde I.

Si la afinidad tiene la línea AB fijo y los mapas de un punto de C a C ' de modo que CC 'es paralela a AB , entonces se llama una cizalla ([CoxIntro, p. 203]). En ese caso lineCC 'permanece invariante bajo fy se deduce fácilmente que todas las líneas paralelas a AB permanecen también invariante bajo la afinidad. Además, se ve fácilmente que en cada lineparallel a AB la afinidad coincide con una traducción. En la figura por debajo de este es visible desde el hecho de que CC 'y II' son segmentos de igual longitud.
Teniendo los ejes a lo largo de las líneas AB y AC una coordenada puede ver fácilmente que la afinidad puede ser representado por una matriz simple de la forma:

Obviamente tijeras no tienen otros puntos fijos fuera de la línea AB, que se llama su eje . Además por cada par de puntos (C, P) sus imágenes (C ', P') definir las líneas se cruzan en su eje. CPand C'P 'Observación Afinidades que tienen una línea L que consiste en su totalidad de puntos fijos se llaman afinidades axiales . Por los resultados de esta sección y sección 2 tales afinidades son o cepas o tijeras .La diferencia de los dos tipos es la existencia de un punto adicional fija en el infinito, que para las cepas no miente en el (ampliado) L, mientras que para tijeras que no mienta sobre (la extendida) L.

 6. Tres puntos fijos en el infinito, dilataciones

En el caso de la afinidad tiene tres puntos en el infinito fijo, entonces se corrige cada punto en el infinito y es una dilatación (sección 4). La siguiente figura ilustra por qué. TriangleABC tiene sus lados paralelos a las tres direcciones determinadas por los tres distinguidos puntos en el infinito. Por supuesto su imagen-triángulo A'B'C 'tendrá su sidesparallel a correspondientes lados de ABC, por lo que será (anti) homotética a la misma (o traducir de la misma).

De ello se deduce que la afinidad original, coincide con la homotecia o traducción (anti) asociar {A, B, C} a {A ', B', C '}. Estos son mapas que fijan cada punto de theline en el infinito, por lo tanto, la prueba de la reclamación. Observación-1 se deduce que las traducciones se caracterizan por la fijación de cada punto en el infinito y no tener otros puntos fijos (ordinarias). De manera equivalente, theyare caracterizado por dejando tres puntos en el infinito invariante y no teniendo otro (ordinaria) de punto fijo. homotecias a su vez se caracterizan por tener un único punto fijo ordinario y tres (de ahí todos) los puntos fijos en el infinito. Observación-2 El conjunto de todas las dilataciones es un Grupo . Por lo tanto, la composición de las dilataciones o tomar inversas obtenemos dilataciones de nuevo. El subconjunto de translationsis un subgrupo de este grupo. La composición de una homotecia y una traducción está en una homotecia general. La composición de dos homotecias puede ser una homotecia, pero en algunos casos (ver Homotheties_Composition.html ) puede ser también una traducción. Por lo tanto, el conjunto de homotecias, al no estar cerrado bajo composición, es no un grupo.

 7. No hay puntos fijos en absoluto? (Imposible)

Suponga que la afinidad no tiene puntos fijos en absoluto (ni ordinarios ni en el infinito). A continuación, los casos de las secciones 1,2 y 3 deben ser excluidos, ya que en estos casos theyappear puntos fijos.Esto significa que tomar un paralelogramo ABCD y su A'B'C'D imagen ", las alineaciones parejas (AB, A'B ') y (CD, C'D') debe ser paralela, de lo contrario obtendríamos puntos { E, F} como en la sección-1 y caer de nuevo a esos casos. Pero esto demuestra que AB y CD definen dos direcciones o puntos en el infinito que son fixedby la afinidad. Una contradicción que demuestra que cada afinidad ha fijado puntos ya sea ordinaria o en el infinito .

 8. Dos y un punto fijo en el infinito

Una afinidad que tiene dos puntos fijos en el infinito define dos direcciones de líneas que se asignan a las líneas paralelas. Si además existe un punto fijo común, entonces los caseis la descrita en la sección 4-por el producto de dos cepas. Si no hay un punto ordinario fijo, luego de tomar cualquier punto O y dos líneas a través de él {L, L '} parallelto las direcciones fijas y aplicar f a este sistema se obtiene el punto O' = f (O) y líneas {N = f (L), N '= f (L')} correspondientemente paralela a {L, L '}. Sea G la traducción en el envío de O 'de nuevo a O. Entonces la transformación f composite' = g * f fija O y hojas líneas invariantes {L, L '}, por lo tanto, por la sección-4, que es el producto oftwo cepas s ₂ * s ₁ . Por lo tanto la afinidad original es el producto de tres afinidades especiales f = g ^-1 * s ₂ * s ₁ .
Si la afinidad sólo tiene un punto fijo en el infinito entonces hay una única dirección de las líneas de L tal que L '= f (L ) es paralela a L. Si la afinidad tiene además un punto fijo isolatedordinary, a continuación, los resultados de sección 4 se pueden aplicar y muestran que la afinidad es de nuevo el producto de dos cepas y también hay un FixedPoint adicional en el infinito. Esto contradice nuestra suposición, por lo tanto, no hay ninguna afinidad con exactamente un punto fijo ordinario y un punto fijo en el infinito .
Si la afinidad tiene exactamente un punto fijo en el infinito y no hay otros puntos fijos, luego tomar un punto O y una línea L a través de él en la dirección de la punto fijo. Applyingf encontramos O '= f (O) y L' = f (L) paralela a L. Vamos entonces g ser de nuevo la traducción en el envío de O 'de nuevo a O. La afinidad compuesta f' = g * f deja fijo O y la línea L invariante,
por lo tanto, por la sección-4 se determina un punto fijo adicional en el infinito, que es también punto fijo de la original f. Esto contradice de nuevo el supuesto de f, por lo tanto, no hay ninguna afinidad con exactamente un punto fijo en el infinito y no hay otros puntos fijos .