Geometría

 Todas las cónicas que circunscriben un triángulo

Considere un triángulo ABC inscrito en una cónica. Entonces los puntos de intersección de pares de líneas que consisten por un lado (Fe BC) y la tangente al vértice opuesto (Fe A) se cortan en tres puntos A *, B *, C * que son en la misma línea e. e coincide con el trilineal polar del punto E con respecto al triángulo ABC, E es el polo de correo wr a la cónica (ver PascalOnTriangles.html ). Esto implica que todas las cónicas que circunscriben el triángulo ABC se fija parametrizados por la ubicación del punto correspondiente E. Además la cónica se puede construir inmediatamente con un proyectividad.

Para entender el argumento de considerar primero una cónica circunscrita y el punto E y la línea de correo correspondiente, tal como se describe en la referencia arriba. A continuación, fije un triángulo equilátero A'B'C 'y su centro E'. Hay una única proyectividad H mapeo A, B, C, E, respectivamente, a A ', B', C ', E'. Teniendo en cuenta la tétrada armónico (BCA * A '') y su imagen bajo H se ve que los mapas de línea e bajo H sobre la línea en el infinito y A '' en el medio de B'C 'y la cónica sí mapas sobre la circunferencia circunscrita A'B'C '. De ello se desprende que cada cónica ABC circunscribe se puede obtener a través de la proyectividad inversa F = H ^-1 y la imagen F (c) de la circunferencia circunscrita de A'B'C '.
Un caso particular representa la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. El correspondiente E siendo el punto simediano y e siendo el eje Lemoine del triángulo. Otro caso interesante es el circumellipse Steiner. Para obtener esta uno cónica identifica E con el centroide (punto de intersección de las medianas) de ABC.

Todas las parábolas circunscritas alrededor de un triángulo

Problema: Para construir todas las parábolas que pasan por tres puntos dados A, B, C. La solución se puede conseguir de una manera muy sencilla y estructural mediante el uso de la propiedad del triángulo anticomplementaria A'B'C 'en relación con el eje de la parábola discutido en AnticomplementaryAndCircumparabola.html . No se demostró que los paralelos al eje de un circumparabola de ABC a partir de los vértices del triángulo anticomplementaria A'B'C 'cumplen con los lados opuestos de A'B'C' en la parábola. Por lo tanto , teniendo un punto D pivotante en la circunferencia circunscrita y la definición de la dirección del eje a través de la línea OD (O el circuncentro de ABC), obtenemos todos circumparabolas de ABC determinando tres puntos adicionales {A '', B '', C ''} a través el cual debe pasar la parábola. {A '', B '', C ''} son, respectivamente, los puntos de intersección de los paralelismos con OD line desde los vértices {A ', B', C '} con los lados opuestos de este triángulo .

Tener seis puntos de la parábola podemos dibujar con la herramienta de dibujo una cónica a través de cinco puntos (seleccionando cinco de ellos). Por otra manera de generar un circumparabola consulte el archivo CircumparabolaGeneration.html .
Tenga en cuenta que hay tres direcciones particulares de OD para el que la parábola degenera a un par de líneas paralelas. Estos se producen cuando OD es paralelo a los lados del triángulo. Por ejemplo en el caso de DO tiende a ser paralela a AB, puntos {A, B, C ''} y {A '', B '', C} convertido corrspondingly colineales, las dos líneas de apoyo a ellas es la línea AB y su paralelo de C. Observación-1 La figura muestra también el lugar geométrico de la correspondiente perspector de la circumparabola. Es la elipse Steiner interior del triángulo ABC. Por cierto, menciono aquí el papel estructural de la elipse Steiner interior de un triángulo. Para perspectors en esta elipse la cónica correpsonding es una parábola. Perspectors ubicados dentro de la elipse producir elipses y perspectors ubicados fuera de esta elipse corresponden a hipérbolas. Nota-2 Hay varias propiedades adicionales aquí, como, por ejemplo, la tangencia de la parábola a la línea en el infinito, que a su vez es el trilineal polar G, el centroide del triángulo. La generalización de todas estas propiedades se discuten en un marco más general en el archivo CircumconicsTangentToLine.html .

 2. Parábolas trhough cuatro puntos

Dados cuatro puntos {A, B, C, D} en posición general que pueden utilizar la construcción anterior para explorar la existencia de parábolas que pasan por estos puntos. Por esta considerar el conjunto S de todas las parábolas a través {A, B, C} y determinar las ubicaciones de D para la cual no es una parábola en S que pasa a través D.

Es fácil de ver que cada parábola que pasa a través {A, B, C} no tiene puntos dentro de los dominios angulares indicados anteriormente. Por lo tanto, (i) por cada punto D ₀ mentir en estos dominios no hay parábola que pasa por {A, B, C, D ₀ }, (ii) por cada punto D ₂ en el complemento abierta de estos ámbitos siempre hay dos parábolas que pasan por {A, B, C, D ₂ }.
En cuanto a la existencia de estas parábolas uno puede aplicar la teoría general de las cónicas que pasan por cuatro puntos y tangentes a una recta dada (ver FourPtsAndTangent.html ). La línea en el presente caso es la línea en el infinito. Observen La condición de la existencia de parábolas, a través de cuatro puntos mencionados anteriormente usando los dominios indicados, es equivalente a la existencia de un cuadrilátero convexo con vértices {A, B, C, D }.

 3. Parábolas trhough cuatro puntos, sus ejes

Dados cuatro puntos {A, B, C, D} que satisface la propiedad convexidad de la sección anterior (observación), hay dos parábolas reales a través de estos puntos. Sus ejes se pueden determinar usando el teorema de Desargues involución (ver DesarguesInvolution.html ).

De hecho todas las cónicas que pasan por estos cuatro puntos inducen, a través de sus puntos de intersección, en cualquier línea L una involución homográfica (ver InvolutionBasic.html ). Selección de la línea L sea la línea en el infinito, las dos parábolas se corresponden con los puntos fijos de esta involución, que se traduce en las direcciones de los ejes de las parábolas.
Por lo tanto, la identificación de la línea en el infinito con el lápiz O * de líneas a través un punto arbitrario O, podemos construir las dos direcciones de las parábolas como puntos fijos de una involución en O *.
[1] La involución se define mediante la elaboración de una línea arbitraria L y teniendo en cuenta sus puntos de intersección con las líneas de O *.
[ 2] Más precisamente, dado los cuatro puntos {A, B, C, D} debe tener en cuenta los pares de puntos en L (A ', C'), (B ', D') obtenido por la intersección de L con paralelos respectivamente a {FA , FC, EB, ED}.
[3] Los dos pares (A ', C'), (B ', D') definir unívocamente la involución en L, que puede ser representado por los círculos del círculo de haz generados por los círculos de diámetros A'C 'y B'D' (véaseInvolution.html ).
[4] Los puntos fijos de esta involución son los puntos límite M, N de este círculo bunde. Ellos se pueden construir como intersecciones de L con un círculo arbitraria (c) ortogonal a los círculos con diámetros A'C 'y B'D'.
[5] Los ejes de las parábolas son paralelas a las líneas de OM y ON.

 4. El caso de trapecios

Cuando los cuatro puntos dados {A, B, C, D} son vértices de un trapecio, entonces sólo hay un no-degenerada parábola, cuya construcción se considera en ParabolaCircumscribingTrapezium.html . El otro es el degenerado parábola representada por la unión de las dos líneas carying los lados paralelos del trapecio.