Geometría

Analogon

Puntos dados ABC, consideran dos puntos D = (1-s) B + SC, E = (1-t) B + A, con s fijos, t. En la misma línea correspondiente considerar también los puntos G = (1-h) D + HC y F = (1-h) E + ha. Demostrar que el punto de intersección de H CA línea y la línea FG es independiente de la posición de B, a condición de los puntos A, C y números s, t, h permanecen fijos.

En el cálculo anterior x es la relación DG / DC = EF / EA. El punto B es libre móvil (interruptor para la selección de herramientas CTRL + 1) y moviéndolo uno ve que H permanece constante.

 Analogon-2

Teniendo en cuenta los puntos A, B, C, líneas que definen BA y BC, consideran otros dos puntos en estas líneas correspondientemente: D = (1-s) B + SA, E = (1-t) B + C, con s fijos, t. En la misma línea correspondiente considerar también los puntos G = (1-x) D + xA y H = (1-x) E + xC. Variar el número real x, y en la línea de la variable resultante GH (x) consideran el punto definí a I = (1-t) H + tG con fijo t. Demostrar que para la variable x y todos los demás datos fijos, punto I se mueve en una línea (rojo), que pasa por F = (1-t) C + tA.

En el archivo Analogon.html discutimos la relación de la letra J de B y los otros datos. Mira el archivo Trianalogon.html para una aplicación de este alojamiento en los lados de un triángulo.

 solución analítica

El siguiente problema se discute en [SalmonConics, p. 51] mediante la aplicación de las coordenadas polares:
Dada la base c = AB y la suma de los lados m = a + b = AK de un triángulo ABC, erguido en el B la perpendicular
a lado a = BC intersección de la bisectriz externa del ángulo C en P.
Para encontrar el locus de P.
El producto de la solución mediante el uso de el ángulo θ = π / 2-B en un sistema de coordenadas polares centrado en B.
La primera observación es que BCP = π / 2 - C / 2 y de PCB triángulo: a = r * tan (C / 2). Entonces, con el fin de encontrar
la dependencia del radio r de θ es suficiente para expresar una y tan (C / 2) en términos de θ.
Para este uso la fórmula coseno para ABC:
b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B),
sustituyendo b = ma y cosB = sen (θ) obtenemos,
m ² - 2ma + a ² = a ² + c ² - 2ac sen (θ), ya partir de esto,
a = (m ² - c ² ) / (2 (m-CSIN (θ)).
También tan (C / 2) se puede expresar en términos de los datos y θ dadas.
tan (C / 2) = bsinC / (b (1 + cos ( C))),
pero Bsin (C) = CSIN (B) = CCO (θ), y bcos (C) = a-CCO (B) = a-CSIN (θ),
por lo tanto, Tan (C / 2) = CCOs (θ) / (m-CSIN (θ)).
La sustitución de los valores encontrados en a = r * tan (C / 2) produce,
(m ² -c ² ) / (2 (m-CSIN (θ))) = r * c * cos (θ) / (mc * sen (θ)) => rcos (θ) = (m ² -c ² ) / (2c).
Por lo tanto el locus es una línea perpendicular a AB a una distancia ( m ² -c ² ) / (2c) de B.

 2. solución sintética

¿Cuál es la línea misteriosa (PQ en la figura) encontrado por el cálculo anterior? La solución analítica es bueno y bien
para localizarlo rápidamente, pero no da ninguna información por su significado y contenido geométrica. Solución sintética siguiente da
una descripción mucho más detallada de la relación de este locus para el triángulo y su geometría. Primero el CP bisectriz invita a reflexionar todo en él, obteniendo K, simétrica a B, de tal manera que m = a + b es la dado longitud de la suma de los lados. El H medio de BK describe un círculo k construible a partir de los datos que se dan. De hecho, sacar de paralelismos H a las ortogonales KE, KI se cruzan AB en G, J, que son los centros que de BE y BI correspondientemente. Puntos G, J y H son construible está viendo GJ segmento bajo un adecuado ángulo. Así H está en la k círculo con GJ diámetro. El locus (línea PQ) es el polo de B con respecto a este círculo con GJ diámetro. Para ver este aviso que los paralelismos con KA, KP de H cruzan segmentos AB, BP, respectivamente, en sus centros que. Desde AKP es un ángulo recto por lo que es LHN, por lo tanto círculos k y BHPQ son ortogonales, en consecuencia, k y el círculo k 'con BQ diámetro también son ortogonales. Este porque tanto k 'y BHPQ pertenecen al círculo-lápiz de círculos que pasan a través { B, Q} que son simultáneamente ortogonal ak y la línea AB. Esto demuestra la reclamación. La prueba también muestra que el lugar, que es la línea PQ, es la inversa de k del pequeño círculo con BL diámetro. Moral La prueba analítica es fácil, general aplicable, potente y rápido para encontrar la solución. La síntesis es difícil, especializado para el problema particular, lento, que requiere conocimiento y experiencia en el área especial a la que pertenece el problema. Su gran ventaja es que aunque se ofrece información sobre las conexiones geométricas implicadas, algo que está totalmente ausente de los métodos analíticos. Observación A menudo, una primera solución sintética puede ser reemplazado por uno más sencillo, más adelante. Aquí, por ejemplo, una mucho más simples resultados de la solución sintéticos por oberving que {HG, HJ} son las bisectrices en H de triángulo BHQ. En ángulo de hecho (BHQ) = ángulo (BPQ) = π / 2-θ = B, el ángulo ( BHG) = ángulo (BKE) = ángulo (AKE) -C / 2 = (π-A) / 2-C / 2 = B / 2. Por lo tanto, es una cuestión de gusto, cómo gastar (residuos?) la tiempo, en un calculativa vita o una vita contemplativa. Me inclino hacia la segunda.