Geometría

 Anticomplementaria y circumparabola

Deje que los vértices de nuestro triángulo básico, señala {a, b, c}, ya sea en la parábola 4ky-x ² = 0 (k es la distancia foco-vértice). Considere también los puntos {a '= b + ca, b' = c + b, c '= a + bc} que son los vértices del triángulo anticomplementaria .
Los paralelos de {a ', b', c '} al eje de la parábola cumplir con los lados opuestos del triángulo anticomplementaria en puntos de la parábola.

De hecho, la línea paralela L ₁ de un '= b + ca, es la línea que tiene constantes coordenada x e igual a (b ₁ + c ₁ -a ₁ ). La línea L ₂ a través {b ', c'} en forma paramétrica es b '+ t (C'-b) y cumple con L ₁ en un punto tal que b ' ₁ + t (c ' ₁ -b ₁ ) = b ₁ + c ₁ -a ₁ . Desde que sigue inmediatamente que
t = (b ₁ -a ₁ ) / (b ₁ -c ₁ ).
Por lo tanto, la coordenada del punto de intersección es b ' ₂ + t (c ' ₂ -b ' ₂ ) = a ₂ + (2t-1) (b ₂ -c ₂ ), que la sustitución y ₂ = x ₁ ² / (4k) se reduce a (1 / (4k)) (b ₁ c + ₁ -a ₁ ) ² , lo que demuestra la reclamación. Observación-1 De ello se deduce que por cada triple de puntos no colineales {A, B, C} y cada dirección L, hay cónica que pasa a través de los seis puntos {A, B, C, A '', B ' ', C' '}, donde los tres últimos puntos son las intersecciones de los paralelos a L a partir de los vértices y los lados opuestos a estos vértices del triángulo anticomplementaria. Además, para todas las direcciones no coinciden con los lados de la ABC cónica es una parábola, mientras que para las direcciones que coinciden con un lado del triángulo de las correspondientes degenerados cónicas a un conjunto de dos líneas paralelas. Nota-2parábolas no degnerate tocan la línea en el infinito a su "punto" que corresponde a la dirección del eje. Esto se utiliza en la referencia dada a continuación. Las observaciones tienen una consecuencia agradable para parábolas que circunscriben un triángulo.

 Las hipérbolas antiparalelas de un triángulo

Los antiparallels B'C 'a la base BC del triángulo ABC son creados por los lados de intersección AB, AC con círculos (c') que pasa por los vértices B y C. Por su definición, BCC'B cuadrángulo 'es cíclico, la dirección (e ) de segmentos B'C 'es constante e igual a la dirección de la tangente a la circunferencia circunscrita (c) de ABC en A. Por lo tanto, todos estos segmentos son ortogonales a la línea AO, O siendo el circumcenter de ABC. La discusión aquí es sobre las propiedades del punto de intersección P de las diagonales del cuadrilátero cíclico BCC'B '. [1] El lugar de P es una hipérbola rectangular que pasa por los vértices de ABC. [2] La hipérbola tiene su centro en la M medio de BC y sus ejes paralelos a las bisectrices de ángulo A. [3] Lado BC y la línea (e) son direcciones conjugadas de la hipérbola. [4] Sea A ₁será el punto de intersección de BC con la tangente a la ABC-circunferencia circunscrita (e) en A. Tome la simétrica A ₂ de A con respecto a A ₁ . La hipérbola pasa a través de los vértices de triángulo ACA₂ y es invariante bajo la conjugación isotónico con respecto a la mediana de CA ₁ de este triángulo. [5] La tangente a la hipérbola en A coincide con la línea simediano de triángulo ABC a través de vértice A.

[1, 2] Desde la M medio de BC dibujar el B''C paralelo '' a la bisectriz exterior del ángulo A. Desde la ciclicidad de BCC'B cuadrilátero 'se deduce que los dos pequeños (amarillo) triángulos BB ₁ B ' 'y CC''C₃ son iguales y A'B''C '', PB''C '' son isosceli. La primera isósceles es una traducción de los isósceles fijos AB ₁ C ₃ por B ₁ B ''.
Proyecto P en los paralelismos con las bisectrices de ángulo A pasar de M. Las proyecciones crean rectángulo PM'MM '' tiene la misma zona que C ₁ C ₂ C''C ₃ . La base de longitud de última paralelogramo es C''C ₃ = d * cuna (phi) y su altura h '= f * tan (phi). De ahí que su área es igual a (d * f). Esto demuestra que P se encuentra en una hipérbola rectangular, centrada en M y que tiene asíntotas para los paralelos a las bisectrices de ángulo A. Mediante la variación de la posición de B'C 'vemos fácilmente que la hipérbola pasa a través de los vértices del triángulo ABC.
[ 3, 4] Considerar el punto P '= f (P). El medio de PP 'está en línea BC y P' es un punto de la hipérbola. Para verlo dibujar P'C y P'B y sus intersecciones B '', C '' con los lados del triángulo. Basta con demostrar que B''C '' es paralela a B'C ', o lo que es equivalente, en paralelo a PP'. Esto es una consecuencia de un ejercicio fácil en Thales teorema (ver ThalesApplication.html ).
[5] es una consecuencia del hecho de que {P, P '} son conjugado armónico con respecto a {P ₁ , P ₂ }, siendo más tarde las intersecciones de PP 'con los lados del triángulo. Por lo tanto, AP es el conjugado armónico de la línea AP 'con respecto a la par de lados (AB, AC) de triángulo. Como P se acerca a A, la línea AP tiende a la tangente en A y PP 'a e = AA ₂ . La propiedad se deduce del hecho bien conocido en la simediano y la tangente (e) a la circunferencia circunscrita en A. Observación-1 Debido a la conjugación de las direcciones de BC y (e), las tangentes en los puntos B, C (y que se simétrica con respecto al centro de la hipérbola) son paralelos a la línea (e). Observación-2 Como cada hipérbola rectangular que pasa a través de los vértices no, la hipérbola pasa también a través de la H. El ortocentro simétrica de H con respecto a la media de el lado cumple AO en el punto A ₃ en la circunferencia circunscrita. Así, un ₃ es la antípoda de A y la hipérbola es fácilmente construible haciendo pasar una cónica a través de los cinco puntos {A, B, C, H, A ₂ }. Observación-3 La generación de una cónica mediante la traducción de una línea, como B 'C', paralela a sí misma y teniendo en cuenta el punto P intersección de las líneas BC 'y CB' es un caso especial de la Maclaurin generación de las cónicas (ver Maclaurin.html ) a través de líneas pivotantes alrededor de un punto X. Aquí X es un punto en la línea en el infinito. De hecho, la dirección antiparalela de BC determina el punto único en el infinito X ₀ , para lo cual la cónica correspondiente es una hipérbola rectangular. Cada lado del triángulo define una hipérbola rectangular análoga.

 Antiparallels

Antiparallels a la base AB de un triángulo ABC se llaman las líneas JH, definidos por la intersección de los lados CA, CB del triángulo con los círculos que pasan por AB. Los antiparallels a AB son paralelas entre sí y también paralelas a la tangente a la circunferencia circunscrita que pasa por C.
Un especial antiparalela a lado AB es la línea [PQ], uniéndose a los pies de las alturas BP, AQ del triángulo.
Por lo tanto, antiparallels son paralelos a los lados de la órtico triángulo.

Los middles (M) de los segmentos JH se mueven en una línea de CK, que es la [simediano] de la wr triángulo para C. La tangente en C y esta simediano hacer junto con los lados de C a [haz armónico] de líneas, dividiendo cada línea de intersección de estas cuatro líneas en [relación armónica].
Mover M a la intersección L de la simediano con la tangente en A, vemos que la otra tangente, en B, pasa también de L. De hecho, los puntos M, F el centro del círculo {ABD} y L coincide en este caso. Por lo tanto el punto simediano de ABC (que es el punto de los tres simedianas intersección (ver Symmedian.html )) es el punto de su triángulo tangencial Gergonne. Mover M a la posición, de manera que AB = JH (que F y G coincidentes), vemos que la simediano es el simétrico de la mediana de C, con respecto a la bisectriz del C.
Mira el archivo Symmedian_0.html para un más detallada discusión de la línea simediano desde un vértice y sus propiedades. File AntiparallelHyperbola.html contiene una discusión sobre el lugar de los puntos de intersección de las líneas AH, BJ, que es una hipérbola rectangular que pasa a través de los vértices del triángulo.