Geometría

Arcs sucesivos en triángulos

Considere un triángulo t = (ABC). Comience con un punto arbitrario D en el lado de CA y dibujar arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, de modo que el punto de inicio de la siguiente es el punto final de la anterior. Los resultados de la construcción en un arco-polígono p1 = (DEGIKM), cerrando de nuevo al punto de partida G (arc-polígono-1).
En el mismo sentido, se construye el p2 arco polígono = PNO de los puntos de contacto con la circunferencia inscrita del triángulo t. Los dos polígonos de arco son de hecho cerrados, sus vértices en el mismo lado definen segmentos iguales: {DP = ES = OG = PI = ...}, y los vértices de la primera p1 arco polígono están en un círculo, concéntrico a la circunferencia inscrita del t. El triángulo t2 = QRS, formado por las diagonales del arco p1-polígono es anti-homotética a la t3 = NOP triángulo, formado por los puntos de contacto de la t triángulo con su circunferencia inscrita. El centro de homotecia es el punto U de t Gergonne. Busque en SuccessiveArcsHex.html de un teorema similar sobre hexágonos circumscriptible y sugerencias para las pruebas.

La proposición se puede generalizar a polígonos circunscritos con un número impar arbitraria, n = 2m + 1, de lados. El procedimiento correspondiente de arcos sucesivos produce una 2n lados, inscrito en el círculo de arco polígono, cuya circunferencia circunscrita es concéntrica con la circunferencia inscrita del n-gon originales.

Hexagonal de arco polígono

Considere un hexágono circumscriptible p = ABCDEF. Comience con un punto G arbitrario en EF lado y dibujar arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, por lo que el punto de inicio de la siguiente es el punto final de la anterior. Los resultados de la construcción en un p1 arco polígono = GJKNOR, cerrando de nuevo al punto de partida G (arc-polígono-1).
En el mismo sentido, se construye el p2 arco polígono = HILMPQ de los puntos de contacto del hexágono con circumscriptible su circunferencia inscrita (arc-polígono-2).
Los dos polígonos de arco se cerró de hecho, sus vértices en el mismo lado definen segmentos iguales, y los vértices de la primera p1 arco polígono están en un círculo, concéntrico a la circunferencia inscrita del original polígono p.

El p2 arco polígono, de los puntos de contacto del hexágono circumscriptible con su circunferencia inscrita (arc-polígono-2) es, obviamente, cerrado, ya que las tangentes desde un punto a un círculo son iguales. Los segmentos, {HG, IJ, LK, ...} son iguales, ya que están en pares definidos por círculos concéntricos. La primera p1 arc-polígono es, entonces, fácilmente visible, a ser cerrado. Dado que los segmentos iguales, mencionados anteriormente, son también tangente a la circunferencia inscrita, sus puntos finales, que son los vértices de p1, están en un círculo concéntrico a la circunferencia inscrita del polígono originales. Para la continuación de la discusión, mira el archivo SuccessiveArcsHex2.html . El tema se relaciona con la composición de rotaciones alrededor de los vértices de un polígono. Los vértices del polígono p1 de arco constituyen una órbita del grupo generado por estas rotaciones.

Hexagonal de arco polígono (2)

Continuación de SuccessiveArcsHex.html . Considere un hexágono circumscriptible p = ABCDEF. Comience con un punto G arbitrario en EF lado y dibujar arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, por lo que el punto de inicio de la siguiente es el punto final de la anterior. Los resultados de la construcción en un arco a1-polígono = GJKNOR, cerrando de nuevo al punto de partida G (arc-polígono-1). En el mismo sentido, se construye el arco-polígono a2 = HILMPQ, de los puntos de contacto del hexágono circumscriptible con su circunferencia inscrita (arc-polígono-2). En la referencia anterior, se muestra que los segmentos {HG, JI, LK, ...} son iguales y a2 tiene sus vértices en un círculo concéntrico a la circunferencia inscrita de p. Aquí investigamos la t1 triángulo, formado por las diagonales de a1. Está demostrado que este triángulo tiene sus vértices en las diagonales de p. Lo mismo es cierto para el t2 triángulo, formado por las diagonales de a2. Además los dos triángulos son anti-homotética, el centro de homotecia siendo la intersección del punto (punto Brianchon) de las diagonales del p.

Comience con líneas PI, MH y FC. Se reúnen en un punto T, de acuerdo con el teorema de Brianchon. Argumentos análogos mostrar que triángulo t2 = UTI, formado por las diagonales de a2, tiene sus vértices en las diagonales de p. De la igualdad de los segmentos (MN = HG), se deduce que MAL, una diagonal de a1 es paralela a MH, diagonal de a2. Observaciones análogas son válidas para las otras diagonales también. Entonces líneas GN, DO, siendo paralelo a MT, PT, respectivamente, a la misma distancia, se reúnen en la línea de CT, en el que conoce a MT y PT