Geometría

Generación de la parábola Artzt

Dado un triángulo ABC, la Artzt parábola relativa a lado BC (ver Artzt.html ) es la tangente parábola a los lados AB, AC en los puntos B y C respectivamente. Aquí se demuestra que esta parábola es el sobre de las diagonales B'C 'de paralellograms AB'PC' para un P deslizamiento punto de BC.

La prueba se da aquí se modela como un ejercicio en el uso de coordenadas trilineales (ver Trilinears.html ). El (generalizada) trilinears utilizado aquí se definen a través de la base proyectiva {A, ​​B, C, D}, D siendo el medio de la mediana AM del triángulo.
En estos sistema estos cuatro puntos básicos tienen coordenadas {A = (1, 0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), D = (1,1,1)}. Líneas laterales de los triángulos corresponden a las ecuaciones BC (x = 0), CA (y = 0), AB (z = 0). Un punto en AB tiene coordenadas (0, s, t). La línea en el infinito corresponde a la ecuación 2x + y + z = 0 y su intersección con la línea ax + by + cz = 0, es el punto en el infinito de la tarde y tiene coordenadas (bc, 2c-a, a-2b). Estas observaciones permiten la determinación de las dos líneas de P paralela a las líneas laterales del triángulo.
Líneas PB ', PC' asumida en la forma ax + by + cz = 0 debe ser satisfecha por (0, s, t), dando así bs + ct = 0, una solución de más tarde siendo (b = -t, c = s).
PB 'es paralela a AC (y = 0), de ahí su punto en el infinito es (1,0, -2) . Desde esta satisface también la ecuación de la línea, se obtiene por ello los coeficientes (a = 2s, b = -t, c = s).
Análogamente PC 'es paralela a AB (z = 0), y tiene un punto en el infinito (-1 , 2,0), por lo tanto (a = -2t, b = -t, c = s). Por lo tanto, las dos líneas son PB '(2SX-ty + sz = 0) y el PC "(- 2TX-ty + sz = 0). Su puntos de intersección B 'con z = 0, y C' con y = 0 satisfacer correspondientemente 2SX-ty = 0, satisfecho por (x = t, y = 2s) y -2tx + sz = 0, satisfecho por (x = s , z = 2t). Por lo tanto B '(t, 2s, 0) y C' (s, 0,2t) y su línea B'C 'está dada por x- (2ª) (t ² ) y- (s ² ) z = 0.
Cálculo la envolvente de estas líneas llegamos a la ecuación x ² -YZ = 0, lo que representa una tangente cónica a AB, AC en los puntos B, C correspondientemente y que pasa por D.
Para ver que esta es una parábola, encontrar sus puntos en el infinito es decir, resolver el sistema {x ² = yz, 2x + y + z = 0}, que ajuste x = - (y + z) / 2 en el primero da (yz) ² = 0 y, finalmente, el único punto en el infinito (-1 , 1,1). Esto ya muestra que la cónica es una parábola. Párrafo siguiente podría ser omitido pero sirve como prueba para los cálculos.
Las tangentes a un punto de la curva de tener coeficientes proporcionales a (2x, -z, -y), por lo tanto, por su punto en el infinito (1,1,1) el tangente tiene coeficientes (-2, -1, -1) = - (2,1,1), por lo tanto, coincide con la línea en el infinito. Esto completa la prueba de que la curva es una parábola y la identifica con la parábola Artzt según.

 Generación de la parábola Artzt II

Dado un triángulo ABC, la Artzt parábola relativa a lado BC (ver Artzt.html ) es la tangente parábola a los lados AB, AC en los puntos B y C respectivamente. Aquí se demuestra que esta parábola es la envolvente de la diagonales GF de paralellograms AGEF para un punto E se desliza en BC.

La idea clave es utilizar los muchos triángulos similares creados por la figura. La cifra que se complementa con la línea simediano AI y la AD media. Los siguientes hechos resultan fácilmente:
[1] Las circunferencias circunscritas a los triángulos AGF pasan por un punto fijo en la M simediano AI.
De hecho, sea G el punto de esta circunferencia circunscrita con el lado AB intersección. Entonces triángulos MGB y MFA son similares. Tienen ángulo (BGM) = ángulo (AFM). Tienen MG / GF = c / b y finalmente también BG / AF = c / b. En primer lugar la igualdad es debido a la propiedad característica de los puntos de la simediano (véase [3] en Symmedian_0.html ). En segundo lugar, porque la FA es paralela e igual a GE. Así ángulo (GBM) = ángulo (MAF) es constante y M permanece fija.
[2] ángulo (MGF) = ángulo (MAF) también es fijo. Por lo tanto la proyección de M en GF crea un triángulo rectángulo CMG, que mediante la variación de E varía restante siempre semejante a sí misma, se ha fijado vértice M y G se desliza en la línea AB. Por lo tanto (ver Similarly_Rotating.html ) el otro vértice Q se desliza en una línea L . Esta línea es la tangente de la parábola Artzt en su vértice. Las siguientes observaciones confirman esta afirmación.
[3] Línea L es ortogonal a la AD media.
Esto se observa al considerar la M'M''M posición especial de triángulo CMG (ibid), en la que M 'es el punto de intersección de AB con L y M '' la proyección de M sobre L. ángulo (AM'M '') = ángulo (M'MM '') = pi / 2-ángulo (GAK) y esto demuestra la reclamación.
[4] Triángulos AGM y AKF y son similares.
Esto porque el ángulo (AMG) = ángulo (AFG) y el ángulo (GAM) = ángulo (KAF). Más tarde, debido a la simetría en el AH bisectriz.
[5] Sea O la intersección de la paralela a la mediana de E con FG. Triángulos AGK, EFO, OGM son similares a AMF .
De hecho, por [3] AG / AK = AM / AF y el ángulo (GAK) = ángulo (MAF). Esto demuestra la similitud de los triángulos GAK y MAF. Por el paralelogramo, triángulo es igual a EFO AGK triángulo.También triángulo GOE y AKF son iguales y tenemos ángulo (MGO) = ángulo (GAK) y GM / AG = AK / KF = AK / GO. Esto demuestra la similitud de triángulos GAK y MGO.
[6] Tome el P simétrica de M con respecto a P. P se mueve en una línea L ', paralela a L al doble de distancia de M que la distancia de la L de M (obvio) .
[7] OP es paralela a la mediana y igual a OM.
Esto es también evidente, a partir de la similitud de los triángulos GOM y EOF, por el cual O, P y E están en la misma línea.
[8] O está en la parábola con el foco y la directriz M L '. GF es la tangente a la parábola en O.
obvio desde el comentario anterior y las propiedades generales de parábolas (ver Parabola.html ). Observaciones [1] La discusión aquí es una alternativa a la de Artzt_Generation.html , donde el uso de proyectiva (trilineal) coordina da una prueba aparentemente simple. Algunos cálculos más serían necesarios para ubicar allí la directriz y el foco de la parábola, que aquí se determina explícitamente, como lo es también el punto de tangencia O.

 Artzt Parábolas de segunda clase

Considere un triángulo ABC. Tome las bisectrices exteriores / interiores en ángulo C y las líneas mediales de los lados CA, CB. Las cuatro líneas de Ares tangente al mismo tiempo a una parábola q _C .Análogamente se definen otras dos parábolas q _A , q _B , correspondiente a los otros vértices del triángulo ABC. Estos tienen, entre otras, las siguientes propiedades:
[1] El enfoque de q _C . está en la simediano de C en el vértice correspondiente del segundo triángulo Brocard
[2] La directriz de la parábola q _C es la mediana de C.
[3] La línea de centros que B'C 'de los lados CA, CB es también tangente a q _C .
[4] La línea media de la PN B'C anterior también es tangente a q _C .
Parábolas como q _C se llaman parábolas Artzt de segunda clase . También los hay de primera clase examinados en Artzt.html .

Según Miquel (ver Miquel_Point.html ) el foco F es el punto de intersección común de las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos DCJ, CEK, DF, JLK, de los cuales los dos primeros son en ángulo recto en C, la tercera y cuarta son isosceli .
- ángulo (B''CJ) = ángulo (B'JC) = pi / 2 - C / 2, implica que B''C es ortogonal a BC. Análogamente CC '' es ortogonal a AC. Así triángulos ACF y CBF son similares con ángulos iguales en F y ángulo (FBC) = ángulo (ACF). Además ángulo (AFB) = 2 * ángulo (C) y CF biseca ángulo (AFB). Esto caracteriza la CF simediano, y también F como el vértice correspondiente del segundo triángulo Brocard.
C de estar en la directriz de la parábola q _C implica que el simétrico de F con respecto a la tangente CJ, que biseca el ángulo C, está en el directriz también. Por lo tanto más tarde coincide con la simétrica de la CF simediano con respecto a la bisectriz CJ, que lo identifica con el CM mediana. 
- Observe la igualdad de ángulo (ICB) = ángulo (ACF) = ángulo (FBC), por tanto, la concurrencia de las líneas C 'C' ', FB y CI en el mismo punto. Del mismo modo la concurrencia de líneas AF, B'B '', CI en el mismo punto.
- Dibujar el diámetro de la circunferencia circunscrita QR que es ortogonal a lado AB. El ortogonal a AB que pasa por P, medio de B'C ', cumple con CE en el punto N, medio de DE (ya que P es el medio de CM), en consecuencia cuadrilátero CNC'L es cíclico, su circunferencia circunscrita (d) de ser tangente a la circumcircle (LC tiene la radio como un diámetro). Además se passe a través de B ', simétrico de C' con respecto a NP. También CK y NP se cortan en S en (d).
- (d) pasa a través F. De hecho FB ', FC' siendo las medianas de triángulos semejantes AFC, CFB, implica que el ángulo (B'FC ') = ángulo (AFC ) = pi-C.
- El simétrico de F con respecto a PN es T, el punto de (d intersección) con CP. De hecho, ser CS la bisectriz del ángulo (FCT) identifica T en este lugar. Desde T está en la directriz PN es tangente a la parábola q _C .
- Por la simetría anterior CFTS 'es un trapecio isósceles cuyo ángulo de diagonales es atravesada por líneas NS y B'C'. Por lo tanto el simétrico de F con respecto a B'C 'está en el CP directriz. Así B'C 'también es tangente a la parábola q _C .