Geometría

Artzt Parábolas (primera clase)

Dado un triángulo ABC la Artzt-parábola con respecto a A, que denotamos por p _BC , es una parábola que pasa por los vértices {B, C} y estar allí tangente respectivamente a las líneas {BA, CA}.
A partir de las propiedades generales de parábolas (ver Parabola.html ) se deduce que esta parábola pasa también a través de la K centro del segmento EF de middles de lados {AC, AB} respectivamente.
De ello se deduce también que el eje de la parábola es paralela a la AD mediana.

 2. Construcción en coordenadas barycentric

La construcción de p _BC se puede hacer por medio de la bitangente familia de las cónicas f (t) = y * z - t * x ² .
Esto describe todas las cónicas que pasa a través {B, C} y estar allí tangente a las líneas {BA, CA} respectivamente. Las letras representan las líneas:
x = 0 (línea C),
y = 0 (línea CA),
z = 0 (línea AB).
La parábola es, precisamente, la cónica-miembro de esta familia que pasa por el punto K.
En la norma barycentric sistema de coordenadas (x, y, z) representan las coordenadas y K tiene coordenadas (1, 1/2, 1/2). Esto implica que en este sistema la ecuación de la parábola es y * z - (1/4) x ² = 0.

 3. Descripción geométrica

El Artzt parábola p _BC se puede describir geométricamente también como una dotación de una línea muy fácilmente construible.
De hecho, considere la posibilidad de un punto arbitrario D sobre la base BC del triángulo y proyectarla en paralelo a los lados de los puntos C 'en CA y B 'en AB. La dotación de la B'C diagonal 'del DB'AC paralelogramo' es el Artzt parábola p _BC .
Prueba de ello puede encontrarse en Artzt_Generation2.html . Archivo Artzt_Generation.html contiene una segunda prueba de la misma hecho utilizando coordenadas baricéntricas.
Otra forma de generar esta parábola se puede encontrar en el archivo ArtztIsosceles.html .

Las tres parábolas Artzt de un triángulo

Por cada triángulo ABC hay tres parábolas denotados por p _AB , p _aC , p _CA . Parábola p _AB pasa a través de A, B y es tangente hay a los lados CA, CB, respectivamente. Análogamente se definen las otras parábolas. Archivo Artzt.html comienza la discusión de las propiedades básicas de estas curvas. He aquí algunos datos adicionales. 
[1] Sus ejes son paralelos a las medianas de un triángulo ABC. 
[2] Parábola p _AB es tangente a la línea DE en su parte media, D, E siendo los centros que de los lados AC, BC. Resultado análogo para las otras parábolas. 
[3] sus puntos focales coinciden con los vértices del triángulo segundo Brocard de ABC. 
[4] Cada par de parábolas tiene un punto de intersección en la mediana que es paralelo al eje de la tercera parábola. 
[5] El tres puntos de intersección A ', B', C 'de [4] definir un triángulo homotética a DEF con respecto al centroide J de ABC y con una relación de homotecia igual a 2/3. 
[6] La tangente a parábola p _BC en A 'es paralelo al eje de la otra parábola a través de ese punto (paralela a la mediana BE). 
parábolas Artzt de segundo tipo se discuten en el archivo Artzt2.html .

[1,2] Seguimiento de los hechos generales sobre parábolas. Parábola p _BC por ejemplo, es el miembro de la familia bittangent U * Vk * W ² = 0, pasando por G. U, V denota las ecuaciones de AB, AC y W que de la línea BC. [3] se discute en la referencia en el segundo triángulo de Brocard. 

 Generación canónica de la parábola Artzt.

Comience con un ejercicio fácil:
Consideremos un triángulo rectángulo isósceles OXY. Puntos de Proyecto P de la hipotenusa en P _x , P _y en sus lados ortogonales y al punto F 'en la paralela a XY de O. El punto de intersección de Z P _x P _yy FF ', F siendo el medio de XY, tiene la propiedad ZF ZF = '.

[1] El círculo (c) que circunscribe el PP rectángulo _y OP _x pasa a través de F 'y F (ambas OP vista bajo un ángulo recto).
[2] OFPF 'es un rectángulo, FF' es un diámetro de (c), y es ortogonal a P _x P _y desde el ángulo (P _y DE) = pi / 4. Esta propiedad muestra que Z se encuentra en una parábola con foco F y directriz DE '.Además muestra que P _x P _y es tangente a esta parábola en Z. La parábola pasa a través de los puntos X, Y y esto lo identifica con la parábola Artzt del triángulo OXY relativa a lado XY. Esta parábola se caracteriza por su propiedad para ser tangente a los lados OX, OY en los puntos X, Y, respectivamente. Es interesante para transferir la construcción anterior a un triángulo arbitrario a través de un mapeo OXY afinidad a ese triángulo.

La figura anterior muestra la parábola de la imagen en la afinidad P '= A (P) transformar OXY al triángulo arbitrario O'X'Y'. El paralelismo mapa aspectos, pero no hay relaciones métricas y ortogonalidad. P_x , P _y mapa para 'P _x , P ' _y ​​, por lo que P'P ' _x es paralelo a O'X 'y P'P' _y paralelo a O'Y '. P ' _x P ' _y ​​es la diagonal del paralelogramo P'P ' _x O'P ' _y ​​de nuevo y es tangente a la parábola.
Por lo tanto, la parábola Artzt, en el caso general, es la envolvente de las diagonales de los paralelogramos construido a partir de puntos P 'trazando paralelos a los lados O'X', O'Y '.
El foco y la directriz se no conserva en general. Por lo tanto, F ₁ = A (F) no es más el foco, pero sólo la mitad de X'Y '. El eje de la parábola, sin embargo, es paralela a la O'F mediana ₁ . Interesante es también la elipse c '= A (c), pasando a través de los seis puntos {O', F ₂ , 'P _y , P ', F ₁ , P ' _x } y que tiene su centro en el medio de F ₁ F ₂ .