Geometría

Área del triángulo en Barycentrics

Considere el triángulo ABC de referencia y una segunda DEF, cuyos vértices tienen coordenadas barycentric absolutos (ver BarycentricCoordinates.html ) wr a ABC: D (d _x , d _y , d _z ), E (e _x , e _y , e _z ), F (f_x , f _y , f _z ). Denotemos por (D _x , D _y D _z ), etc los correspondientes coordenadas trilineales. Las relaciones básicas entre coordenadas cartesianas barycentric y se expresan a través de las relaciones vector:
                                                          D = d _x * A + d _y * B + d _z * C,
y análogos fórmulas para E y F. Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene:

(Ver AreaThroughDet.html ) determinantes Tomar deducimos la fórmula para el área de DEF, en términos de ABC y sus correspondientes barycentrics (absolutos):

Utilizando la relación básica entre barycentrics absolutos y trilinears absolutos:
                                                           e _x = (1/2) * a * E _x / área (ABC):

Área del triángulo pedal de un punto

Considere el triángulo ABC de referencia y un punto P. El pedal del triángulo de P con respecto al ABC es el triángulo P _un P _b P _c de las proyecciones de P en los lados de ABC (ver Pedal.html ). 
[1] La área del triángulo pedal es el área (P _un P _b P _c ) = (R ² - | PO | ² ) * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2 , donde R es la circunradio de ABC y O es el circuncentro (R ² - | PO | ² es el poder de P wr a la circunferencia circunscrita). [2] Por P pasar círculos concéntricos a la circunferencia circunscrita, los triángulos pedales tienen área constante y viceversa. En particular, para P en la circunferencia circunscrita el área correspondiente es cero, los tres puntos de proyección estar en la línea de Simson P. [3] Denotando por (x, y, z) las coordenadas trilineales de P, y teniendo en cuenta firmado (orientado ) áreas: la zona (P _un P _b P _c ) = (1/2) * (sin (A) * y * z + sin (B) * z * x + sen (C) * x * y) es una cuadrática forma en el trilineal coordina.

[1] La fórmula sigue extendiendo PC para cortar el círculo circunscrito de ABC en D y la observación de que el ángulo (P _c P _un P _b ) = ángulo (PAD). También ángulo (AP) es igual al ángulo A del triángulo y por el teorema del seno aplicado a triángulo DBP tenemos:. Sin (<(DBP)) / | PD | = sen (A) / | PB | (*) 
Además, desde AP _b P _c P es cíclica y PA es un diámetro que tenemos | PA | = | P _b P _c |. * sin (A) y ecuaciones análogas para el PB segmentos y PC (**) 
Ahora utilizan (*) y (**) el área del triángulo pedal es: 
área (P _un P _b P _c ) = | P _un P _b | * | P _un P _c | * sin (<(P _c P _un P _b )) / 2 = | PC | * sin (C) * | PB | * sin (B) * sin (DBP) / 2 = | PC | * | PD | * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2 
= (R ² - | PO | ² ) * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2. 
[2] sigue inmediatamente a partir de [1]. 
[3] Sigue dividiendo el área del triángulo en la suma: área (P _un P _b P _c ) = área (PP _b P _c ) + área (P _un PP _c ) + área (P _un P _b . P) Observaciones [1] la fórmula (1) es general válido, incluso cuando el punto P está fuera del triángulo, siempre usamos áreas orientadas. La siguiente figura ilustra la prueba correspondiente. [2] Igualando las expresiones (1) y (3) se obtiene: el pecado (A) * y * z + sin (B) * z * x + sen (C) * x * y = (R ² - | PO | ² ) * sin (A) * sin (B) * sin (C). <==> a * y * z + b * z * x + c * x * y = (R ² - | PO | ² ) * a * b * c / (4 * R ² ). Al tomar P en el círculo obtenemos su ecuación en trilinears (véase también CircumcircleInTrilinears.html ). [3] La ecuación anterior muestra que la forma cuadrática f (x, y, z) = a * y * z * z + b * x + c * x * y, donde a, b, c denotar las longitudes de los lados del triángulo, es positiva dentro de la circunferencia circunscrita, cero en la circunferencia circunscrita y negativa fuera. Observe que (x, y, z) no son independientes, sino satisfacer la ecuación a * x + b * c * y + z = 2 * Área (ABC). Puntos en el infinito satisfacer a * x + b * c * y + z = 0 y caen "lejos" de la circunferencia circunscrita de ABC, no donde f es negativa. Esto está de acuerdo con la fórmula para la distancia de dos puntos en trilinears (véase la última fórmula en BarycentricsFormulas.html ). 

Área del triángulo en varios sistemas de coordenadas

Uso de la subdivisión del triángulo que se muestra, demostrar que el área de la OAB triángulo es igual a. 
                              zona (AOB) = sen (w) * (x * y'-x '* y) / 2. 
Aquí A (x, y) , B (x ', y') son las coordenadas de los puntos con respecto a los ejes oblicuos mostrado, siendo W el ángulo de los ejes de coordenadas. Deducir que la misma área se expresa a través. 
                              de área (AOB) = (u '* v-v' * u) / (2 * sen (w)). 
Aquí (u, v) son los normales coordenadas WR a los ejes: es decir, firmó distancias del punto A de los ejes.

En particular, cuando w = 90 grados, entonces sen (w) = 1 y la fórmula da el área como el determinante de los vectores columna correspondiente, que representa ahora las coordenadas cartesianas con respecto a estos ejes ortogonales:

Tomando el origen como el tercer punto C de un triángulo y que denota las coordenadas cartesianas con C (c ₁ , c ₂ ), B (b ₁ , b ₂ ), A (un ₁ , un ₂ ) tenemos:

Durante un par de fórmulas similares, dando a la zona en barycentrics y trilinears, consulte el archivo AreaInBarycentrics.html .

 2. Área del triángulo en varios sistemas de coordenadas

Algunas fórmulas adicionales para polígonos cuyos vértices se expresan en coordenadas ortogonales (Salmón p. 32). Si los vértices del polígono son {(x _i , y _i )}, entonces rearanging los términos obtenemos. 
                                     área (P _n ) = (1/2) ((x ₁ y ₂ -x ₂ y ₁ ) ​​+ .. . + (x _n y ₁ -x ₁ y _n )). 
                                     área (P _n ) = (1/2) (x ₁ (y ₂ -y _n ) + x ₂ (y ₃ -y ₁ ) ​​+ ... x + _n (y ₁ -y _n-1 )). 
                                     zona (P _n ) = (1/2) (y ₁ (x _n -x ₂ ) + y ₂ (x ₁ -x ₃ ) + ... + y _n (x _n-1 -x ₁ )). 
El área del triángulo ABC delimitada por las líneas (ver ThreeLines.html ). 
                                                ax + by + c = 0, A'x + B'y + c '= 0 , a''x + b''y + c '' = 0.