Geometría

Parábola generado a partir de una línea por afinidad

Sea F una transformación afín ( afinidad ver Affinity.html ). Bajo ciertas condiciones (ver Nota-2 en la parte inferior) se puede corresponder a cada línea L del plano de una parábola de la siguiente manera:
[1] La imagen F (L) = L 'es también una línea. Por cada punto X de L la imagen F (X) es un punto de L 'y la línea L _X que es la línea que pasa por {X, F (X)} es tangente a una parábola c _L .
Parábola c _L tiene la siguiente propiedades:
[2] Sea S el punto de contacto de la línea L con la parábola c _L . Entonces S '= F (S) es el punto de intersección de las líneas {L, L' = F (L)}.
[3] El punto F (F (S)) = S '' es un punto de contacto de c _L con la línea L '.
[4] Por cada punto X de la línea recta L XX ', donde X' = F (X) (X en la línea L ') es tangente a c _L en un punto W que es el conjugado armónico de V con respecto a {X, X '}, donde V es el punto de intersección XX' con la línea SS ''. Especialmente la T media "de las SS 'mapas a F (T') = T '', que es el medio de SS '' y la línea O'o '' es tangente a la parábola en su parte media T.
[5] Triángulo SS'S ' 'tiene parábola c _L tangente a los lados {S'S, S'S ''} en sus vértices {S, S ''} y es único con esta propiedad. En otras palabras, no hay otro punto R de la misma parábola que tiene correspondiente triángulo RR'R '' con R '= F (R), R' '= F (F (R)) y las líneas {R'R, R' R ''} tangente a c _L en {R, R ''} correspondientemente.

Para probar [1] tomar puntos apropiados en L empezando por el punto de intersección S 'de las líneas L y L'. Debido a la invertibilidad de F, debe ser el punto S en L con F (S) = S '. Sea S '' = F (S ') = F (F (S)).
Tomando el origen de coordenadas en S 'y ejes correspondientemente las líneas {L, L'} definir x = S'X ey = S'X ' . Usando la propiedad de las afinidades de preservar relaciones a lo largo de las líneas que vemos fácilmente que una relación de la forma y = ax + b, con constantes {a, b} es válida. Por lo tanto [1] resultados mediante la aplicación de la propiedad examinado en el archivo ThalesParabola.html .
Propiedades [2] y [3] resultar fácilmente de la definición de la parábola, como un sobre, por el que sus puntos están limitando puntos de intersecciones de dos vecino líneas, como por ejemplo líneas de SS 'y XX', cuando XX 'tiende a coincidir con SS'. Obviamente este punto límite es S. Análogamente vemos que S '' = F (S ') es un punto de parábola.
Claim [4] resulta de la dualidad de la pole-polar. Obviamente SS '' es el polo de S 'con respecto a la parábola y pasa a través de V, de ahí la polar de V pasa también a partir de S'. Los resultados de reclamo por la proyección de la cruz-relación (X, X ', V, W) el XX' de S 'en la línea SS' '.
Para [5] existe posiblemente una prueba más simple. Aquí aplico el teorema de Brianchon (ver Brianchon.html ). Para simplificar la figura empiezo a usar una elipse.
Supongamos que hay dos triángulos SS'S '' y RR'R '' como se requiere en [5]. Por el teorema mencionado las diagonales del cuadrilátero formado por las tangentes {SS ', S'S' ', RR', R'R ''} y las líneas que unen los puntos de contacto pasar a través de un punto común O.

Punto I, siendo la intersección de {SR, S'R '} se asigna al punto de las líneas {S'R intersección', S''R ''} que es otra vez Ï, por lo tanto, este es un punto fijo de F. Entonces los ratios de SO / O = S'O / O '= S''O / O' 'muestran que las líneas {SS' ', RR' '} son paralelas. Por lo tanto SS''RR '' es un trapecio y en el caso c _L es una línea de S'R parábola 'se une a los middles de los lados paralelos y es paralelo al eje de la parábola.
El resto de la prueba se desprende de propiedades de la parábola que circunscribe trapecio SS''RR '' (ver ParabolaCircumscribingTrapezium.html ). Podemos definir proyectividad F 'al requerir de ella para trazar {F' (S) = S ', F' (S ') = S' ', F' (R) = R ', F' (R ') = R ''}. 'Coincide entonces con afinidad F (considerados como una proyectividad especial) en cuatro puntos {S, S' Proyectividad F, R, R '}, por lo tanto, por las propiedades generales de projectivities, mapas F y F' son idénticos. Pero en la referencia anterior se demuestra que F 'no puede ser nunca una afinidad.

 2. La correspondencia de una parábola a un punto

Sea F una afinidad. Que también D el conjunto del avión para el que {x, x ', x' '} con X' = F (X), X '' = F (X ') no están alineados. El análisis anterior muestra que para cada x de D hay una tangente parábola en {x, x ''} para líneas {×× ', x' '×'}. El análisis muestra que la correspondencia es 1-1, es decir, a diferentes puntos corresponden diferentes parábolas. Observación-1: Hay afinidades (como reflexiones, traducciones, homotecias) para los que D está vacío. Observación-2: De hecho se aplican los argumentos anteriores a los puntos X tumbado en el conjunto D. Observación-3: La parábola c _L es un caso especial de una cónica generada por el método de Chasles-Steiner (ver Chasles_Steiner.html .) File ProjectivityGeneratedConic.html maneja una generalización del tema por el cual el afinidad se sustituye por un proyectividad que conduce a las cónicas más generales que parábolas.

Bruja de Agnesi

Bruja de Agnesi (1748) (llamada también "versiera")
1) círculo fijo con centro en A (0, a), tangente al eje x en el origen O
2) el punto Q en el círculo
3) línea de s por el origen O y este punto Q
4) r tangente al círculo, paralelo al eje x
5) el punto B, la intersección de las líneas de r y s
6) de la línea t ortogonal a r, que pasa por B
8) punto P: proyección de Q en t El lugar geométrico de los puntos P correspondiente a los puntos Q en el círculo es la curva denominada [bruja de Agnesi]. En forma paramétrica que está dada por (2 * a * t, 2 * a / (1 ​​+ t ^ 2)). Se puede expresar también como gráfica de la función f (x) = (8 * a ^ 3) / (x ^ 2 + 4 * a ^ 2). Para ver la animación, seleccione la herramienta Mover (Ctrl-2) y arrastre el punto P. Para cambiar la forma de la curva de arrastre punto A (0, a).