Física - Mecánica clásica

Par de Lax

En la mecánica clásica el estado de un sistema se especifica por un punto en el espacio fase o espacio fásico. En general es un espacio de dimensión par con coordenadas de posición ${\displaystyle q_{i}\,(t)}$ y momento ${\displaystyle p_{i}\,(t)}$. La evolución del sistema en el tiempo se describe especificando al hamiltoniano, que es una función definida sobre el espacio fase y se denota por ${\displaystyle H(q_{i},\,p_{i})}$. Las ecuaciones de movimiento, dado el hamiltoniano, son un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}\,}$	${\displaystyle ={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$
${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}\,}$	${\displaystyle =-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}.}$

En el contexto de los sistemas hamiltonianos integrables es que aparece el concepto de par de Lax y se define como sigue.

Definición.

El par de Lax ${\displaystyle L,\,M}$ consiste de dos matrices u operadores en un espacio de Hilbert. Con ayuda del par de Lax es posible escribir las ecuaciones de movimiento de Hamilton de la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {d\,L}{dt}}\equiv {\dot {L}}=[M,\,L],}$

donde ${\displaystyle [M,\,L]=ML-LM}$ denota al conmutador de las matrices ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle L}$. La característica más importante de la existencia del par de Lax, radica en que permite construir de una forma simple las cantidades conservadas del sistema. La observación clave es la siguiente. La solución a la ecuación de evolución de ${\displaystyle L}$ es de la forma

${\displaystyle L(t)=a^{-1}(t)\,L(0)\,a(t),}$

donde la matriz invertible ${\displaystyle a(t)}$ es determinada por la ecuación

${\displaystyle M={\frac {d\,a}{dt}}\,a^{-1}.}$

De aquí se sigue que si ${\displaystyle F(L)}$ es una función invariante de ${\displaystyle L}$, tal que ${\displaystyle L\to aLa^{-1}}$, entonces ${\displaystyle F(L\,(t))}$ es una constante de movimiento. Dichas funciones son funciones de los eigenvalores o valores propios de ${\displaystyle L}$. Se dice entonces que la ecuación de evolución para ${\displaystyle L}$ es isoespectral, lo que significa que el espectro de ${\displaystyle L}$ se conserva con la evolución en el tiempo.

La representación del par de Lax para un sistema dado no es única. Hay una norma que puede modificar las matrices, pero deja invariante la ecuación diferencial de ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle L\to aLa^{-1},}$

${\displaystyle M\to aMa^{-1}+{\frac {da}{dt}}a^{-1},}$

donde ${\displaystyle a}$ es una matriz invertible.

Oscilador armónico.

Sean

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}p&\omega q\\\omega q&-p\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&-\omega /2\\\omega /2&0\end{pmatrix}}.}$

Este par de Lax es equivalente a las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico:

${\displaystyle {\dot {q}}=p,}$

${\displaystyle {\dot {p}}=-\omega ^{2}q.}$

Observemos que el hamiltoniano ${\displaystyle H}$ se puede escribir como ${\displaystyle Tr(L^{2})/4}$. Este ejemplo se puede generalizar a un número n de osciladores armónicos independientes escribiendo ${\displaystyle L,\,M}$ en forma diagonal por bloques. Cada bloque es una matriz de ${\displaystyle 2\,\times \,2}$ como las mostradas arriba. En este caso las cantidades conservadas son ${\displaystyle Tr\,(L^{2p})=2\,\sum \,(2\,F_{i})^{p}}$, donde ${\displaystyle 2\,F_{i}=p_{i}^{2}+\omega ^{2}\,q_{i}^{2}}$ y ${\displaystyle Tr\,(L^{2\,p+1})=0}$, de tal forma que son equivalentes al conjunto de ${\displaystyle F_{i}}$.

Ecuación de Korteweg-deVries.

La formulación en términos del par de Lax, de la evolución temporal de un sistema dinámico, fue desarrollada por Peter Lax en el contexto de la propagación de ondas no lineales en medios continuos. En el método de dispersión inversa se hace uso del par de Lax para resolver una gran variedad de sistemas no lineales que aparecen en la física. De particular importancia es la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV),

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

KdV tienen soluciones suaves para todo tiempo (positivo y negativo) dada una condición inicial que también sea suficientemente suave, digamos de clase ${\displaystyle C^{3}}$. La solución de onda solitaria es una solución especial dada por la expresión siguiente

${\displaystyle u(x,\,t)=12\,c^{2}\,sech^{2}[c\,(x-4\,c^{2}\,t)].}$

Estas ondas se mueven a la derecha con velocidad ${\displaystyle 4\,c^{2}}$. Notemos que su amplitud depende de la rapidez de la onda; es decir, cuanto mayor sea la amplitud de las ondas mayor será su rapidez.

El descubrimiento de la dispersión elástica de solitones de la ecuación KdV alentó su investigación, convirtiéndose en un gran progreso teórico ya que proveyó de un método para resolver analíticamente sistemas no lineales. El descubrimiento teórico original fue hecho en la Universidad de Princeton, en los Estados Unidos, por Gardner, Greene, Kruskal y Miura. Posteriormente otros investigadores clarificaron y simplificaron la teoría y, en última instancia, construyeron muchos más ejemplos de estos sistemas especiales. Uno de los primeros artículos de investigación que tuvo una enorme influencia en el desarrollo del tema fue el artículo de 1968 de Peter Lax. Gardner, Greene, Kruskal y Miura habían hallado que los valores propios del operador de Schrödinger

${\displaystyle L=D^{2}+{\frac {1}{6}}u,}$

${\displaystyle \left(D={\frac {d}{dx}}\right)}$

eran constantes en el tiempo si ${\displaystyle u\,(t)}$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de KdV. Los primeros artículos de investigación en el área eran complicados dados los extensos cálculos que acompañaron los descubrimientos originales. Lax simplificó y clarificó conceptualmente la situación introduciendo el esquema de Heisenberg o de operadores que ahora se conoce como par de Lax.

La ecuación de KdV se puede escribir en términos del par de Lax dadas las matrices ${\displaystyle L,\,M}$:

${\displaystyle L=D^{2}+{\frac {1}{6}}u,}$

${\displaystyle M=-4\,D^{3}+{\frac {1}{2}}\,(u\,D+D\,u),}$

donde la matriz ${\displaystyle M}$ es un operador adjunto de tercer orden no simétrico.

Se debe hacer notar que aunque un par de Lax nos provee de cantides conservadas no hace referencia a los paréntesis de Poisson. Sin embargo, la noción de sistema integrable según Liouville, requiere conocer una estructura de Poisson junto con la propiedad de involución de las cantidades conservadas. Se puede mostrar la forma general de los paréntesis de Poisson en relación a los elementos matriciales del par de Lax que garantiza la propiedad de involución de las cantidades conservadas.

partícula en un potencial de simetría esférica, es un término para referirse a toda una serie de problemas o sistemas físicos interesantes en que una partícula está en un campo exterior central con simetría esférica. Este tipo de sistemas aparece tanto en mecánica clásica, donde el caso más notorio son las órbitas planetarias, como en mecánica cuántica donde el caso más interesante es el átomo con un sólo electrón.

Sistemas cuánticos con simetría esférica

Entre los casos cuánticos físicamente interesantes que están entre la colección de potenciales de simetría esférica están:

• La partícula en una caja (cavidad) esférica
• El átomo hidrogenoide

Formulación

Debido a la simetría esférica del problema conviene usar coordenadas esféricas para buscar las funciones de onda del sistema cuántico (el problema puede llegar a ser irresoluble por los medios comunes si se usa otro tipo de coordenadas). Un sistema cuántico con un potencial de simetría esférica tiene un conjunto de estados estacionarios cuya función de onda calculable es solución de ecuación diferencial de Schrödinger en coordenadas esféricas y con un potencial dependiendo sólo de la coordenada radial:

(1)${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (r,\theta ,\varphi )+V(r)\Psi (r,\theta ,\varphi )=E\Psi (r,\theta ,\varphi )}$

Separación de variables

Una técnica común para resolver la ecuación (1) es usar la técnica de separación de variables consistente en buscar soluciones particulares que sean producto de una o más funciones cada una dependiendo sólo de algunas de las coordenadas. Así a partir de las propiedades del operador laplaciano y la separación de variables para las coordenada radial y las coordenadas angulares, que las soluciones de la ecuación (1) pueden escribirse como el producto de una función de la coordenada radial por una función de las coordenadas angulares del siguiente modo:

${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle \Delta \Psi =(\Delta R_{nl})Y_{lm}+2(\nabla R_{nl})\cdot (\nabla Y_{lm})+R_{nl}(\Delta Y_{lm})=(\Delta R_{nl})Y_{lm}+R_{nl}(\Delta Y_{lm})}$

Gracias a esta última propiedad puede probarse que la función anterior será solución de (1) si y sólo si la función R_nl(r) satisface la siguiente ecuación (2a) y Y_lm(θ,φ) satisface (2b):

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}R_{nl}(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR_{nl}(r)}{dr}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{nl}(r)\right)+V(r)R_{nl}(r)=ER_{nl}(r)\qquad (2a)}$

${\displaystyle \Delta Y_{lm}(\theta ,\varphi )=-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}Y_{lm}(\theta ,\varphi )\qquad (2b)}$

La solución (2b) será físicamente admisible si es periódica en los dos variables, es decir, si después de girar un ángulo 2π la función toma los mismos valores, matemáticamente, Y_lm(θ,φ) = Y_lm(θ+2pπ,φ+2qπ) para cualesquiera p y q enteros. Puede probarse que la ecuación (2b) sólo es periódica si l y m son números enteros, por tanto los estados físicos reales se caracterizan por valores enteros de esos dos números cuánticos, y en ese caso la función solución Y_lm, se llama armónico esférico y viene dada por el producto de una exponencial compleja por un polinomio de Legendre:

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{l}^{m}(\cos {\theta })}$

Por ser las coordenadas esféricas ortogonales el segundo miembro de la anterior ecuación se anula y por las propiedades del armónico esférico Y_lm asociado a los l y m. Finalmente el hamiltoniano para una partícula en un potencial de simetría esférica debe ser de la forma:

(3)${\displaystyle {\hat {H}}|\Psi \rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}R_{nl}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {dR_{nl}}{dr}}+\left[V(r)-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]R_{nl}\right)Y_{lm}}$

Valores propios de la energía y el momento angular

Los valores propios del momento angular en un campo de simetría esférica son siempre los mismos ya que no dependen de la forma concreta del potencial. Estos valores están cuantizados y dependen del número cuántico ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$. A partir de las ecuaciones anteriores resulta sencillo probar los valores propios del momento angular vienen dados por ${\displaystyle \scriptstyle \hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$, ya que:

${\displaystyle L^{2}|\Psi \rangle =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)|\Psi \rangle }$

Para un potencial atractivo la ecuación (2) admite un número finito o infinito numerable de posibles soluciones ${\displaystyle \scriptstyle E=E_{n\ell }<0 annotation="">$. Estas son los posibles valores de la energía de los estados ligados. El análogo clásico de un estado ligado es una situación en que la partícula se mueve en una región finita y acotada del espacio. Además de esas soluciones de energía negativa que representan estados ligados, existirán soluciones de energía positiva si el potencial está acotado superiormente, es decir, si ${\displaystyle \scriptstyle V(r)\leq V_{0}}$. Este segundo conjunto de soluciones consistirá en general en un conjunto infinito numerable de funciones no-normalizables o estados de colisión, que matemáticamente son miembros de un espacio de Hilbert equipado que incluye al espacio de Hilbert convencional al que pertenecen las soluciones de energía negativa.

Sistemas clásicos con simetría esférica

Formulación

Debido a la simetría esférica del problema conviene usar coordenadas esféricas para encontrar las trayectorias de la partícula. El enfoque más sencillo clásico más cercano al anterior problema cuántico es precisamente el usado en la mecánica hamiltoniana que es el que emplearemos en esta sección. Para ello necesitamos encontrar los momentos conjugados asociados a las coordenadas esféricas, cosa que puede hacerse buscando previamente el lagrangiano del sistema:

${\displaystyle L(r,\theta ,\varphi ,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\varphi }})={1 \over 2}\left(m{\dot {r}}^{2}+mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mr^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)-V(r)}$

${\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\qquad p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\qquad p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\qquad }$

Empezaremos escribiendo la función hamiltoniana o suma de la energía cinética y la energía potencial y a continuación plantearemos las ecuaciones de Hamilton para el sistema:

(4)${\displaystyle H(r,\theta ,\varphi ,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\varphi }})={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)+V(r)}$

Las ecuaciones canónicas de Hamilton nos dan:

${\displaystyle {\dot {p}}_{\varphi }=-{\frac {\partial H}{\partial \varphi }}=0\qquad {\dot {p}}_{\theta }=-{\frac {\partial H}{\partial \theta }}=\qquad {\dot {p}}_{r}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}=-{\frac {dV(r)}{dr}}-2{\frac {1}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$

De la primera ecuación de deducimos que ${\displaystyle p_{\varphi }}$ es una constante del movimiento ya que su valor no cambia. Para poder integrar las otras ecauciones necesitamos buscar alguna integral del movimiento que nos simplifique el problema.

Integrales del movimiento

Trivialmente una constante del movimiento viene dada por el hamiltoniano, que en sí mismo es una integral del movimiento. En la sección anterior encontramos que otro de uno de los momentos conjugados era otra constante del movimiento. Sin embargo, ninguna de esas dos constantes nos resulta de gran ayuda para integrar las ecuaciones del movimiento. Sin embargo, puesto que un campo potencial con simetría esférica es un campo central, sabemos en el movimiento de una partícula no se sale del plano que contiene la velocidad inicial y el vector de posición y además el momento angular permanece constante, se puede ver que el momento angular puede expresarse en función de los momentos conjugados de las variables angulares como:

(5)${\displaystyle L^{2}=2m\left(p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=2m^{2}r^{4}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\right)}$

Además se puede ver que las derivadas de esta función cumplen:

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial p_{\theta }}}={1 \over 2mr^{2}}{\frac {\partial L^{2}}{\partial p_{\theta }}}\qquad {\frac {\partial H}{\partial \theta }}={1 \over 2mr^{2}}{\frac {\partial L^{2}}{\partial \theta }}}$

Se puede comprobar fácilmente a partir éstas dos últimas relaciones y de las las ecuaciones de Hamilton que esta función es una integral de movimiento y que, por tanto, su valor permanece constante, sin más que derivar respecto al tiempo:

${\displaystyle {\frac {dL^{2}}{dt}}={\frac {\partial L^{2}}{\partial p_{\theta }}}{\dot {p}}_{\theta }+{\frac {\partial L^{2}}{\partial p_{\varphi }}}{\dot {p}}_{\varphi }+{\frac {\partial L^{2}}{\partial \theta }}{\dot {\theta }}=2mr^{2}\left({\frac {\partial H}{\partial p_{\theta }}}{\dot {p}}_{\theta }+0+{\frac {\partial H}{\partial \theta }}{\dot {\theta }}\right)=2mr^{2}\left({\dot {\theta }}{\dot {p}}_{\theta }-{\dot {p}}_{\theta }{\dot {\theta }}\right)=0}$

Trayectorias

Si introducimos en la ecuación del momento radial, momento conjugado de la coordenada radial, el cuadrado del momento angular, que como se ha visto permanece constante con el tiempo se tiene:

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}=-{\frac {dV(r)}{dr}}-2{\frac {L^{2}}{r^{3}}}\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {r}}+{\frac {dV(r)}{dr}}+2{\frac {L^{2}}{r^{3}}}=0}$