GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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Un acnodo en el origen (curva descrita en el texto)

Un acnodo es un punto aislado en el conjunto de soluciones de una ecuación polinomial en dos variables reales. Los términos equivalentes son " punto aislado o punto ermitaño ". ^[1]

Por ejemplo la ecuacion

$${\ displaystyle f (x, y) = y ^ {2} + x ^ {2} -x ^ {3} = 0}

tiene un acnodo en el origen, porque es equivalente a

$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} (x-1)}

y $${\ displaystyle x ^ {2} (x-1)} no es negativo solo cuando $${\ displaystyle x} ≥ 1 o $${\ displaystyle x = 0}. Por lo tanto, sobre los números reales , la ecuación no tiene soluciones para{\ displaystyle x <1 font=""> a excepción de (0, 0).

En contraste, sobre los números complejos, el origen no está aislado ya que existen raíces cuadradas de números reales negativos. De hecho, el complejo conjunto de soluciones de una ecuación polinomial en dos variables complejas nunca puede tener un punto aislado.

Un acnodo es un punto crítico, o singularidad , de la función polinomial definitoria, en el sentido de que ambas derivadas parciales$${\ displaystyle \ partial f \ over \ partial x} y $${\ displaystyle \ partial f \ over \ partial y}desaparecer. Además, la matriz de Hessiande las segundas derivadas será positiva definida o negativa definida , ya que la función debe tener un mínimo local o un máximo local en la singularidad.

La curvatura afín especial , también conocida como curvatura afín afín o curvatura afín , es un tipo particular de curvatura que se define en una curva plana que permanece sin cambios bajo una transformación afín especial(una transformación afín que conserva el área ). Las curvas de curvatura constante afín k son precisamente todas las cónicas planas no singulares . Los que tienen k  > 0 son elipsis , los que tienen k  = 0 son parábolas y los que tienen k  <0 font="" nbsp="" son="">hipérbolas..

La curvatura euclidiana habitual de una curva en un punto es la curvatura de su círculo oscilante , el único círculo que hace contacto de segundo orden (que tiene tres puntos de contacto) con la curva en el punto. De la misma manera, la curvatura afín especial de una curva en un punto P es la curvatura afín especial de su hyperosculating cónica , que es la cónica única toma de cuarto orden de contacto (que tiene cinco puntos de contacto) con la curva en P . En otras palabras, es la posición límite de la cónica (única) a través de P y cuatro puntos P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄en la curva, a medida que cada uno de los puntos se aproxima a P :

$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4} \ a P.}

En algunos contextos, la curvatura afina se refiere a una κ invariable diferencial del grupo afín general , que puede obtenerse fácilmente de la curvatura afina especial k por κ = k ^−3/2 d k / d s , donde s es el arco afín especial longitud. Cuando no se usa el grupo afín general, la curvatura afín especial k también se conoce como curvatura afín ( Shirokov 2001b ).

Definición formal [ editar ]

Especial afín arclength [ editar ]

Para definir la curvatura afín especial, primero es necesario definir la longitud de arco afín especial (también llamada la longitud de arco afín ). Considere una curva de plano afín$${\ displaystyle \ beta (t)}. Elija coordenadas para el plano afín, de modo que el área del paralelogramo abarcada por dos vectores$${\ displaystyle a = (a_ {1}, \; a_ {2})} y $${\ displaystyle b = (b_ {1}, \; b_ {2})}viene dado por el determinante

$${\ displaystyle \ det \ left [a \; b \ right] = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}

En particular, el determinante.

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {dt}} & {\ frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} \ end {bmatrix}} }

es un invariante bien definido del grupo afín especial, y proporciona el área firmada del paralelogramo abarcada por la velocidad y la aceleración de la curva β. Considere una reparameterización de la curva β, digamos con un nuevo parámetro s relacionado con t mediante una reparameterización regular s  =  s ( t ). Este determinante experimenta entonces una transformación del siguiente orden, por la regla de la cadena :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {dt}} & {\ frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} \ end {bmatrix}} & = \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {ds}} {\ frac {ds} {dt}} & \ left ({\ frac {d ^ {2 } \ beta} {ds ^ {2}}} \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {d \ beta} {ds}} {\ frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} \ right) \ end {bmatrix}} \\ & = \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {3} \ det { \ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {ds}} & {\ frac {d ^ {2} \ beta} {ds ^ {2}}} \ end {bmatrix}}. \ end {alineado} }}

La reparameterización puede ser elegida para que

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {ds}} & {\ frac {d ^ {2} \ beta} {ds ^ {2}}} \ end {bmatrix}} = 1}

siempre que la velocidad y la aceleración, dβ / d t y d ² β / d t ² sean linealmente independientes . La existencia y la singularidad de tal parametrización siguen por integración:

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt [{3}] {\ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {d \ beta} {dt}} & {\ frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} \ end {bmatrix}}}} \, \, dt.}

Esta integral se denomina longitud de afinidad especial , y se dice que una curva que lleva esta parametrización está parametrizada con respecto a su longitud de afinidad especial.

Curvatura especial afín [ editar ]

Supongamos que β ( s ) es una curva parametrizada con su longitud afín especial. Entonces, la curvatura afín especial (o curvatura afines ) está dada por

{\ displaystyle k (s) = \ det {\ begin {bmatrix} \ beta '' (s) & \ beta '' '(s) \ end {bmatrix}}.

Aquí β 'denota la derivada de β con respecto a s .

Más generalmente ( Guggenheimer 1977 , §7.3; Blaschke 1923 , §5), para una curva plana con parametrización arbitraria

$${\ displaystyle t \ mapsto (x (t), y (t)),

La curvatura afín especial es:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} k (t) & = {\ frac {x''y '' '- x' '' y ''} {(x'y '' - x''y ') ^ {5/3}}} - {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {1} {(x'y '' - x''y ') ^ {2/3}}} \ derecha] '' \\ & = {\ frac {4 (x''y '' '- x' '' y '') + (x'y '' '' - x '' '' y ')} { 3 (x'y '' - x''y ') ^ {5/3}}} - {\ frac {5} {9}} {\ frac {(x'y' '' - x '' 'y ') ^ {2}} {(x'y' '- x''y') ^ {8/3}}} \ end {alineado}}}

siempre que la primera y la segunda derivada de la curva sean linealmente independientes. En el caso especial de una gráfica y  =  y ( x ), estas fórmulas se reducen a

$${\ displaystyle k = - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {(y '') ^ {2/3}}} \ right) '' = = \ \ frac {1 } {3}} {\ frac {y '' ''} {(y '') ^ {5/3}}} - {\ frac {5} {9}} {\ frac {(y '' ') ^ {2}} {(y '') ^ {8/3}}}}

donde el primo denota diferenciación con respecto a x ( Blaschke 1923 , §5; Shirokov 2001a ).

Curvatura afín [ editar ]

Supongamos, como antes, que β ( s ) es una curva parametrizada por una longitud afín especial. Hay un par de invariantes de la curva que son invariantes bajo el grupo afín general general ( Shirokov 2001b ), el grupo de todos los movimientos afines del plano, no solo los que preservan el área. El primero de estos es

$${\ displaystyle \ sigma = \ int {\ sqrt {k (s)}} \, ds,}

a veces se denomina artrolongación afín (aunque esto conlleva confusión con la longitud afín especial descrita anteriormente). El segundo se conoce como la curvatura afín :

$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {k ^ {3/2}}} {\ frac {dk} {ds}}.}

Cónicas [ editar ]

Supongamos que β ( s ) es una curva parametrizada por una longitud de arco afín especial con una curvatura afín constante k . Dejar

{\ displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ begin {bmatrix} \ beta '(s) & \ beta' '(s) \ end {bmatrix}}.

Tenga en cuenta que det C _β , ya que se supone que β tiene la parametrización de longitud de afinidad especial, y que

$${\ displaystyle k = \ det (C _ {\ beta} '). \,}

De la forma de C _{β se} desprende que

{\ displaystyle C _ {\ beta} '= C _ {\ beta} {\ begin {bmatrix} 0 & -k \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}.

Al aplicar una transformación afín especial adecuada, podemos organizar que C _β (0) =  I sea ​​la matriz de identidad. Como k es constante, se deduce que C _β está dada por la matriz exponencial

{\ displaystyle {\ begin {alineado} C _ {\ beta} (s) & = \ exp \ left \ {s \ cdot {\ begin {bmatrix} 0 & -k \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ right \} \\ & = {\ begin {bmatrix} \ cos {\ sqrt {k}} s & {\ sqrt {k}} \ sin {\ sqrt {k}} s \\ - {\ frac {1} {\ sqrt { k}}} \ sin {\ sqrt {k}} s & \ cos {\ sqrt {k}} s \ end {bmatrix}}. \ end {alineado}}}

Los tres casos son ahora los siguientes.

k  = 0

Si la curvatura se desvanece de manera idéntica, al pasar a un límite,

{\ displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \ end {bmatrix}}}

entonces β '( s ) = (1, s), y así la integración da

$${\ displaystyle \ beta (s) = (s, s ^ ​​{2} / 2) \,}

hasta una traducción constante global, que es la parametrización afín especial de la parábola y  =  x ² /2.

k  > 0

Si la curvatura afín especial es positiva, entonces se sigue que

$${\ displaystyle \ beta '(s) = \ left (\ cos {\ sqrt {k}} s, {\ frac {1} {\ sqrt {k}}} \ sin {\ sqrt {k}} s \ right )}

así que eso

$${\ displaystyle \ beta (s) = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {k}}} \ sin {\ sqrt {k}} s, - {\ frac {1} {k}} \ cos {\ sqrt {k}} s \ right)}

hasta una traducción, que es la parametrización afín especial de la elipse kx ²  +  k ² y ²  = 1.

k  <0 font="">

Si k es negativo, entonces las funciones trigonométricas en C _β dan paso a funciones hiperbólicas :

{\ displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ begin {bmatrix} \ cosh {\ sqrt {| k |}} s & {\ sqrt {| k |}} \ sinh {\ sqrt {| k |}} s \\ {\ frac {1} {\ sqrt {| k |}}} \ sinh {\ sqrt {| k |}} s & \ cosh {\ sqrt {| k |}} s \ end {bmatrix}}. }

Así

$${\ displaystyle \ beta (s) = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {| k |}}} \ sinh {\ sqrt {| k |}} s, {\ frac {1} {| k |}} \ cosh {\ sqrt {| k |}} s \ right)}

Hasta una traducción, que es la parametrización afín especial de la hipérbola.

$${\ displaystyle - | k | x ^ {2} + | k | ^ {2} y ^ {2} = 1.}

Caracterización hasta congruencia afín [ editar ]

La curvatura afín especial de una curva inmersa es el único invariante (local) de la curva en el siguiente sentido:

• Si dos curvas tienen la misma curvatura afín especial en cada punto, entonces una curva se obtiene de la otra por medio de una transformación afín especial.

De hecho, una declaración un poco más fuerte sostiene:

• Dada cualquier función continua k  : [ a , b ] →  R , existe una curva β cuyas primera y segunda derivadas son linealmente independientes, de modo que la curvatura afín especial de β con relación a la parametrización afín especial es igual a la función k dada . La curva β se determina de forma única hasta una transformación afín especial.

Esto es análogo al teorema fundamental de las curvas en la geometría diferencial clásica de las curvas euclidianas , en el que la clasificación completa de las curvas planas hasta el movimiento euclidiano depende de una única función κ, la curvatura de la curva. Sigue esencialmente aplicando el teorema de Picard-Lindelöf al sistema.

{\ displaystyle C _ {\ beta} '= C _ {\ beta} {\ begin {bmatrix} 0 & -k \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}

donde C _β  = [β ′ β ′ ′]. Un enfoque alternativo, enraizado en la teoría de los marcos en movimiento , es aplicar la existencia de un primitivo para el derivado de Darboux .

Derivación de la curvatura por invarianza afín [ editar ]

La curvatura afín especial puede derivarse explícitamente mediante técnicas de teoría invariante . Para simplificar, suponga que una curva de plano afín se da en la forma de un gráfico y  =  y ( x ). El grupo afín especial actúa en el plano cartesiano a través de transformaciones de la forma.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & \ mapsto ax + by + \ alpha \\ y & \ mapsto cx + dy + \ beta, \ end {alineado}}}

con ad  -  bc  = 1. Los siguientes campos vectoriales abarcan el álgebra de Lie de generadores infinitesimales del grupo afín especial:

$${\ displaystyle T_ {1} = \ parcial _ {x}, \ quad T_ {2} = \ parcial _ {y}}

$${\ displaystyle X_ {1} = x \ parcial _ {y}, \ quad X_ {2} = y \ parcial _ {x}, \ quad H = x \ parcial _ {x} -y \ parcial _ {y} .}

Una transformación afín no solo actúa sobre los puntos, sino también sobre las líneas tangentes a los gráficos de la forma y  =  y ( x ). Es decir, hay una acción del grupo afín especial sobre triples de coordenadas.

$${\ displaystyle (x, y, y '). \,}

La acción de grupo es generada por campos vectoriales.

$${\ displaystyle T_ {1} ^ {(1)}, T_ {2} ^ {(1)}, X_ {1} ^ {(1)}, X_ {2} ^ {(1)}, H ^ { (1)}}

Definido en el espacio de tres variables ( x , y , y ′). Estos campos vectoriales pueden ser determinados por los siguientes dos requisitos:

• Bajo la proyección en el plano xy , deben proyectar a los generadores originales correspondientes de la acción.$${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, X_ {1}, X_ {2}, H}, respectivamente.
• Los vectores deben preservar hasta la escala de la estructura de contacto del espacio del chorro.

$${\ displaystyle \ theta _ {1} = dy-y'dx.}

Concretamente, esto significa que los generadores X ⁽¹⁾ deben satisfacer

$${\ displaystyle L_ {X ^ {(1)}} \ theta _ {1} \ equivocar 0 {\ pmod {\ theta _ {1}}}}

donde L es el derivado de Lie .

Del mismo modo, la acción del grupo puede extenderse al espacio de cualquier número de derivados

$${\ displaystyle (x, y, y ', y' ', \ dots, y ^ {(k)}).}

Los campos vectoriales prolongados que generan la acción del grupo afín especial deben satisfacer inductivamente, para cada generador X  ∈ { T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H }:

• La proyección de X ^(k) sobre el espacio de las variables ( x , y , y ′,…, y ^( k −1) ) es X ^( k −1) .
• X ^( k ) conserva el contacto ideal:

$${\ displaystyle L_ {X ^ {(k)}} \ theta _ {k} \ equiv 0 0 \ \ pmod {\ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {k}}}}

dónde

$${\ displaystyle \ theta _ {i} = dy ^ {(i-1)} - y ^ {(i)} dx.}

La realización de la construcción inductiva hasta el orden 4 da.

$${\ displaystyle T_ {1} ^ {(4)} = \ parcial _ {x}, \ quad T_ {2} ^ {(4)} = \ parcial _ {y}}

$${\ displaystyle X_ {1} ^ {(4)} = x \ parcial _ {y} + \ parcial _ {y '}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} X_ {2} ^ {(4)} = y \ parcial _ {x} & - y '^ {2} \ parcial _ {y'} - 3y'y '' \ parcial _ {y ''} - (3y '' ^ {2} + 4y'y '' ') \ parcial _ {y' ''} \\ & - (10y''y '' '+ 5y'y' ' '') \ parcial _ {y '' ''} \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle H ^ {(4)} = x \ parcial _ {x} -y \ parcial _ {y} -2y '\ parcial _ {y'} - 3y '' \ parcial _ {y ''} - 4y '' '\ parcial _ {y' ''} - 5y '' '' \ parcial _ {y '' ''.}

La curvatura especial afín.

$${\ displaystyle k = {\ frac {1} {3}} {\ frac {y '' ''} {(y '') ^ {5/3}}} - {\ frac {5} {9}} {\ frac {(y '' ') ^ {2}} {(y' ') ^ {8/3}}}}

no depende explícitamente de x , y o y ′, y por lo tanto satisface

$${\ displaystyle T_ {1} ^ {(4)} k = T_ {2} ^ {(4)} k = X_ {1} ^ {(4)} k = 0.}

El campo vectorial H actúa diagonalmente como un operador de homogeneidad modificado , y se verifica fácilmente que H ⁽⁴⁾ k  = 0. Finalmente,

$${\ displaystyle X_ {2} ^ {(4)} k = {\ frac {1} {2}} [H, X1] ^ {(4)} k = {\ frac {1} {2}} [H ^ {(4)}, X1 ^ {(4)}] k = 0.}

Los cinco campos vectoriales.

$${\ displaystyle T_ {1} ^ {(4)}, T_ {2} ^ {(4)}, X_ {1} ^ {(4)}, X_ {2} ^ {(4)}, H ^ { (4)}}

forman una distribución involutiva en (un subconjunto abierto de) R ^{6, de} modo que, según el teorema de integración de Frobenius , se integran localmente para dar una foliación de R ⁶ por hojas de cinco dimensiones. Concretamente, cada hoja es una órbita local del grupo afín especial. La función k parametriza estas hojas.

Sistema motor humano [ editar ]

Los movimientos de dibujo bidimensionales curvilíneos humanos tienden a seguir la parametrización equifina. ^[1]Esto se conoce más comúnmente como la ley de potencia de dos tercios, según la cual la velocidad de la mano es proporcional a la curvatura euclidiana aumentada a la tercera potencia negativa. ^[2] A saber,

$${\ displaystyle v = \ gamma \ kappa ^ {- {\ frac {1} {3}}},}

dónde $${\ displaystyle v} es la velocidad de la mano, $${\ displaystyle \ kappa} Es la curvatura euclidiana y $${\ displaystyle \ gamma} Es una constante denominada factor de ganancia de velocidad.