MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

dad de cuatro cuadrados de Euler.

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En matemáticas , la identidad de cuatro cuadrados de Euler dice que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de cuatro cuadrados , es en sí mismo una suma de cuatro cuadrados.

La identidad algebraica [ editar ]

Para cualquier par de cuádruples de un anillo conmutativo , las siguientes expresiones son iguales:

$${\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}.}

Euler escribió sobre esta identidad en una carta fechada el 4 de mayo de 1748 a Goldbach ^[1] [2] (pero usó una convención de signos diferente a la anterior). Se puede probar con álgebra elemental .

La identidad fue utilizada por Lagrange para probar su teorema de cuatro cuadrados . Más específicamente, implica que es suficiente para probar el teorema de los números primos , después de lo cual se sigue el teorema más general. La convención de signos utilizada anteriormente corresponde a los signos obtenidos al multiplicar dos cuaterniones. Otras convenciones de signos se pueden obtener cambiando cualquier$${\ displaystyle a_ {k}} a $${\ displaystyle -a_ {k}}, y / o cualquiera $${\ displaystyle b_ {k}} a $${\ displaystyle -b_ {k}}.

Si el $${\ displaystyle a_ {k}} y $${\ displaystyle b_ {k}}son números reales , la identidad expresa el hecho de que el valor absoluto del producto de dos cuaterniones es igual al producto de sus valores absolutos, de la misma manera que la identidad de dos cuadrados de Brahmagupta-Fibonacci para los números complejos . Esta propiedad es la característica definitiva de la composición de álgebras .

El teorema de Hurwitz establece que una identidad de forma,

$${\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + ... + a_ {n} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + ... + b_ {n} ^ {2}) = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} + c_ {3} ^ {2} + ... + c_ {n} ^ {2}}

donde el $${\ displaystyle c_ {i}}Son funciones bilineales de la$${\ displaystyle a_ {i}} y $${\ displaystyle b_ {i}}solo es posible para n = 1, 2, 4 u 8.

La prueba de los cuaterniones de identidad usando [ editar ]

Dejar

$${\ displaystyle \ alpha = a_ {1} + a_ {2} i + a_ {3} j + a_ {4} k}

y

$${\ displaystyle \ beta = b_ {1} + b_ {2} i + b_ {3} j + b_ {4} k}

Se un par de cuaterniones. Sus conjugados de cuaternión son.

$${\ displaystyle \ alpha ^ {*} = a_ {1} -a_ {2} i-a_ {3} j-a_ {4} k}

y

$${\ displaystyle \ beta ^ {*} = b_ {1} -b_ {2} i-b_ {3} j-b_ {4} k}.

Entonces

$${\ displaystyle A = \ alpha \ alpha ^ {*} = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}}

y

$${\ displaystyle B = \ beta \ beta ^ {*} = b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}}.

El producto de estos dos es

$${\ displaystyle AB = \ alpha \ alpha ^ {*} \ beta \ beta ^ {*}}

dónde $${\ displaystyle \ beta \ beta ^ {*}} Es un número real, por lo que puede conmutar con el cuaternión. $${\ displaystyle \ alpha ^ {*}} flexible

$${\ displaystyle AB = \ alpha \ beta \ beta ^ {*} \ alpha ^ {*}}.

(No se utilizan corchetes porque los cuaterniones son asociativos). El conjugado de un producto es igual al producto conmutado de los conjugados (de los factores), por lo que

$${\ displaystyle AB = \ alpha \ beta (\ alpha \ beta) ^ {*} = \ gamma \ gamma ^ {*}}

dónde $${\ displaystyle \ gamma} es el producto de Hamilton $${\ displaystyle \ alpha} y $${\ displaystyle \ beta}:

$${\ displaystyle \ gamma = (a_ {1} + \ langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} \ rangle) (b_ {1} + \ langle b_ {2}, b_ {3}, b_ {4} \ rangle)}

$${\ displaystyle \ qquad = a_ {1} b_ {1} + a_ {1} \ langle b_ {2}, \ b_ {3}, \ b_ {4} \ rangle + \ langle a_ {2}, \ a_ { 3}, \ a_ {4} \ rangle b_ {1} + \ langle a_ {2}, \ a_ {3}, \ a_ {4} \ rangle \ langle b_ {2}, \ b_ {3}, \ b_ {4} \ rangle}

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

$${\ displaystyle \ gamma = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) i + (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) j + (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ { 3} b_ {2}) k}

Entonces

$${\ displaystyle \ gamma ^ {*} = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) - (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) i- (a_ {1} b_ {3} + a_ {3 } b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) j- (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) k}

y

$${\ displaystyle AB = \ gamma \ gamma ^ {*} = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} ) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) ^ {2}}.

(Si $${\ displaystyle \ gamma = r + {\ vec {u}}}donde r es la parte escalar y$${\ displaystyle {\ vec {u}} = \ langle u_ {1}, u_ {2}, u_ {3} \ rangle} es la parte del vector, entonces $${\ displaystyle \ gamma ^ {*} = r - {\ vec {u}}} asi que $${\ displaystyle \ gamma \ gamma ^ {*} = (r + {\ vec {u}}) (r - {\ vec {u}}) = r ^ {2} -r {\ vec {u}} + r {\ vec {u}} - {\ vec {u}} {\ vec {u}} = r ^ {2} + {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}} - {\ vec { u}} \ times {\ vec {u}} = r ^ {2} + {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}} = r ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2}.})

La identidad de Pfister [ editar ]

Pfister encontró otra identidad cuadrada para cualquier poder par: ^[3]

Si el $${\ displaystyle c_ {i}}son solo funciones racionales de un conjunto de variables, por lo tanto, tiene un denominador , entonces es posible para todos$${\ displaystyle n = 2 ^ {m}}.

Por lo tanto, un tipo diferente de identidad de cuatro cuadrados se puede dar como,

$${\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} + a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} +}

$${\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} -a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}

$${\ displaystyle \ left (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + {\ frac {a_ {3} u_ {1}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2 } ^ {2}}} - {\ frac {a_ {4} u_ {2}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {2} +}

$${\ displaystyle \ left (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} - {\ frac {a_ {4} u_ {1}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2 } ^ {2}}} - {\ frac {a_ {3} u_ {2}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

dónde,

$${\ displaystyle u_ {1} = b_ {1} ^ {2} b_ {4} -2b_ {1} b_ {2} b_ {3} -b_ {2} ^ {2} b_ {4}}

$${\ displaystyle u_ {2} = b_ {1} ^ {2} b_ {3} + 2b_ {1} b_ {2} b_ {4} -b_ {2} ^ {2} b_ {3}}

Tenga en cuenta también el hecho incidental de que,

$${\ displaystyle u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} = (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) ^ {2} (b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2})}

solución extraña (o solución espuria ) es una solución, como la de una ecuación, que surge del proceso de resolver el problema, pero no es una solución válida al problema. Una solución que faltaes una solución que es una solución válida al problema, pero desapareció durante el proceso de solución del problema. Ambas son frecuentemente la consecuencia de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables, lo que evita que la cadena de implicaciones lógicas en la prueba sea bidireccional.

Soluciones extrañas: multiplicación [ editar ]

Uno de los principios básicos del álgebra es que uno puede multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin cambiar las soluciones de la ecuación. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que antes no estaban presentes. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

$${\ displaystyle x + 2 = 0.}

Si multiplicamos ambos lados por cero, obtenemos

$${\ displaystyle 0 = 0.}

Esto es cierto para todos los valores de x , por lo que el conjunto de soluciones es todos los números reales. Pero claramente no todos los números reales son soluciones a la ecuación original. El problema es que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos invertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede invertir.

Más sutilmente, supongamos que tomamos la misma ecuación y multiplicamos ambos lados por x . Obtenemos

$${\ displaystyle x (x + 2) = (0) x,}

$${\ displaystyle x ^ {2} + 2x = 0.}

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones, - 2 y 0. Pero si cero se sustituye por x en la ecuación original, el resultado es la ecuación no válida 2 = 0. Este resultado contraintuitivo se produce porque en el caso donde x = 0, se multiplica ambos lados. por x multiplica ambos lados por cero, y por lo tanto necesariamente produce una ecuación verdadera como en el primer ejemplo.

En general, cuando multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas donde esa expresión es igual a cero. Pero no es suficiente excluir estos valores, porque pueden haber sido soluciones legítimas a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original x  + 2 = 0 por x  + 2. Obtenemos

$${\ displaystyle (x + 2) (x + 2) = 0 (x + 2),}

$${\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 4 = 0,}

que tiene una sola solución real: x = −2, y esta es una solución a la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque x  + 2 sea cero para este valor de x .

Soluciones extrañas: racional [ editar ]

Soluciones extrañas pueden surgir naturalmente en problemas que involucran fracciones con variables en el denominador. Por ejemplo, considera esta ecuación:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x-2}} = {\ frac {3} {x + 2}} - {\ frac {6x} {(x-2) (x + 2)}} \, .}

Para comenzar a resolver, multiplicamos cada lado de la ecuación por el mínimo denominador común de todas las fracciones contenidas en la ecuación. En este caso, el mínimo denominador común es$${\ displaystyle (x-2) (x + 2)}. Después de realizar estas operaciones, las fracciones se eliminan y la ecuación se convierte en:

$${\ displaystyle x + 2 = 3 (x-2) -6x \ ,.}

Resolviendo esto se obtiene la solución única x  = −2. Sin embargo, cuando sustituimos la solución de nuevo en la ecuación original, obtenemos:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {- 2-2}} = {\ frac {3} {- 2 + 2}} - {\ frac {6 (-2)} {(- 2-2) (- 2 + 2)}} \ ,.}

La ecuación entonces se convierte en:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {- 4}} = {\ frac {3} {0}} + {\ frac {12} {0}} \ ,.}

Esta ecuación no es válida, ya que uno no puede dividir por cero . Por lo tanto, la solución x = –2 es extraña y no es válida, y la ecuación original no tiene solución.

Debido a esto, la única forma efectiva de lidiar con la multiplicación por expresiones que involucran variables es sustituir cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación original y confirmar que esto produce una ecuación válida. Después de descartar soluciones que produzcan una ecuación no válida, tendremos el conjunto correcto de soluciones. En algunos casos, como en el ejemplo anterior, todas las soluciones pueden descartarse, en cuyo caso la ecuación original no tiene solución.

Soluciones faltantes: división [ editar ]

Las soluciones extrañas no son demasiado difíciles de tratar porque solo requieren verificar todas las soluciones para su validez. Sin embargo, más insidiosas son las soluciones faltantes, que pueden ocurrir al realizar operaciones en expresiones que no son válidas para ciertos valores de esas expresiones.

Por ejemplo, si resolviéramos la siguiente ecuación, la solución correcta se obtiene al restar 4 de ambos lados y luego dividir ambos lados entre 2:

$${\ displaystyle 2x + 4 = 0,}

$${\ displaystyle 2x = -4,}

$${\ displaystyle x = -2.}

Por analogía, podemos suponer que podemos resolver la siguiente ecuación restando 2 x de ambos lados, luego dividiendo por x :

$${\ displaystyle x ^ {2} + 2x = 0,}

$${\ displaystyle x ^ {2} = - 2x,}

$${\ displaystyle x = -2.}

La solución x  = −2 es de hecho una solución válida a la ecuación original; pero la otra solución, x  = 0, ha desaparecido. El problema es que dividimos ambos lados por x , lo que implica la operación indefinida de dividir por cero cuando x  = 0.

En general, es posible (y aconsejable) evitar la división por cualquier expresión que pueda ser cero; sin embargo, cuando esto sea necesario, es suficiente para asegurar que cualquier valor de las variables que lo hacen cero tampoco cumpla con la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tenemos esta ecuación:

$${\ displaystyle x + 2 = 0.}

Es válido dividir ambos lados por x −2, obteniendo la siguiente ecuación:

$${\ displaystyle {\ frac {x + 2} {x-2}} = 0.}

Esto es válido porque el único valor de x que hace que x −2 sea igual a cero es x = 2, y x = 2 no es una solución a la ecuación original.

En algunos casos no estamos interesados ​​en ciertas soluciones; por ejemplo, es posible que solo queramos soluciones donde x es positivo. En este caso, está bien dividir por una expresión que es solo cero cuando x es cero o negativo, porque esto solo puede eliminar soluciones que no nos interesan.

Otras operaciones [ editar ]

La multiplicación y la división no son las únicas operaciones que pueden modificar el conjunto de soluciones. Por ejemplo, toma el problema:

$${\ displaystyle x ^ {2} = 4.}

Si tomamos la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos:

$${\ displaystyle x = 2.}

No estamos tomando la raíz cuadrada de ningún valor negativo aquí, ya que tanto x ² como 4 son necesariamente positivos. Pero hemos perdido la solución x  = −2. La razón es que x no es en realidad la raíz cuadrada positiva de x ² . Si x es negativo, la raíz cuadrada positiva de x ² es -x . Si el paso se toma correctamente, conduce a la ecuación:

$${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = {\ sqrt {4}}.}

$${\ displaystyle | x | = 2.}

$${\ displaystyle x = \ pm 2.}

Esta ecuación tiene las mismas dos soluciones que la original: x = 2 y x = −2.