GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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Este artículo es sobre la figura geométrica. Para otras aplicaciones, vea Elipse (desambiguación) .

"Elíptica" redirige aquí. Para la omisión sintáctica de las palabras, vea Elipsis (lingüística) . Para la marca de puntuación, ver Elipsis .

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos

En matemáticas , una elipse es una curva en un plano que rodea dos puntos focales , de manera que la suma de las distancias a los dos puntos focales es constante para cada punto de la curva. Como tal, es una generalización de un círculo, que es un tipo especial de una elipse que tiene ambos puntos focales en la misma ubicación. El alargamiento de una elipse se representa por su excentricidad , que para una elipse puede ser cualquier número desde 0 (el caso límite de un círculo ) hasta arbitrariamente cerca pero menor que 1.

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que resulta de la intersección de un cono por un plano (vea la figura a la derecha). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas: parábolas e hipérbolas , ambas abiertas y sin límites . La sección transversal de un cilindro es una elipse, a menos que la sección sea paralela al eje del cilindro.

Analíticamente , una elipse también se puede definir como el conjunto de puntos, de modo que la relación de la distancia de cada punto en la curva desde un punto dado (llamado foco o punto focal) a la distancia desde ese mismo punto en la curva a un La línea dada (llamada directriz ) es una constante. Esta relación es la excentricidad mencionada de la elipse.

Una elipse también puede definirse analíticamente como el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de sus distancias a dos focos es un número fijo.

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería. Por ejemplo, la órbita de cada planeta en el sistema solares aproximadamente una elipse con el baricentro del par planeta-sol en uno de los puntos focales. Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan los planetas y todos los demás sistemas que tienen dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo están bien descritas por elipsoides . Las elipses también surgen como imágenes de un círculo bajo proyección paralela y los casos acotados de proyección en perspectiva , que son simplemente intersecciones del cono proyectivo con el plano de proyección. También es el más sencillo.La figura de Lissajous se formó cuando los movimientos horizontal y vertical son sinusoides con la misma frecuencia. Un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en la óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apollonius de Perga en sus cónicas , enfatizando la conexión de la curva con la "aplicación de áreas".

Definición como locus de puntos [ editar ]

Elipse: definicion

Elipse: definición con círculo director

Una elipse puede definirse geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar de puntos ) en el plano euclidiano:

• Una elipse se puede definir utilizando dos puntos fijos, $${\ displaystyle F_ {1}}, $${\ displaystyle F_ {2}}, llamados focos y una distancia, usualmente denotados $${\ displaystyle 2a}. La elipse definida con$${\ displaystyle F_ {1}}, $${\ displaystyle F_ {2}} y $${\ displaystyle 2a} es el conjunto de puntos $${\ displaystyle P} tal que la suma de las distancias $${\ displaystyle | PF_ {1} |, \ | PF_ {2} |} es constante e igual a $${\ displaystyle 2a}. Para omitir el caso especial de un segmento de línea, se supone que{\ displaystyle 2a> | F_ {1} F_ {2} |.} Más formalmente, para un determinado $${\ displaystyle a}, una elipse es el conjunto $${\ displaystyle E = \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a \} \.}

El punto medio $${\ displaystyle C}El segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea a través de los focos se denomina eje mayor, y la línea perpendicular a ella a través del centro se llama eje menor. El eje mayor contiene los vértices.$${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}que tienen distancia $${\ displaystyle a}hacia el centro. La distancia$${\ displaystyle c}De los focos al centro se le llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {a}}} es la excentricidad $${\ displaystyle e}.

El caso $${\ displaystyle F_ {1} = F_ {2}} Produce un círculo y se incluye.

La ecuacion $${\ displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}se puede ver de otra manera (ver foto): 
si$${\ displaystyle c_ {2}} es el circulo con punto medio $${\ displaystyle F_ {2}} y radio $${\ displaystyle 2a}, entonces la distancia de un punto $${\ displaystyle P} al circulo $${\ displaystyle c_ {2}} es igual a la distancia al foco $${\ displaystyle F_ {1}}:

$${\ displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}

$${\ displaystyle c_ {2}} Se llama la directriz circular (relacionada con el enfoque $${\ displaystyle F_ {2}}) de la elipse. ^[1] [2] Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse con la ayuda de una directriz (línea) a continuación.

Usando las esferas de Dandelin se puede probar que cualquier sección plana de un cono con un plano, que no contiene el vértice y cuya pendiente es menor que la pendiente de las líneas en el cono, es una elipse.

En coordenadas cartesianas [ editar ]

parámetros de forma: 
a : eje semi mayor, 
b : eje semi menor 
c : excentricidad lineal, 
p : recto semi-latus.

Ecuación [ editar ]

Si se introducen coordenadas cartesianas de modo que el origen sea el centro de la elipse y el eje x sea ​​el eje mayor y

los focos son los puntos$${\ displaystyle F_ {1} = (c, 0), \ F_ {2} = (- c, 0)},

los vértices son$${\ displaystyle V_ {1} = (a, 0), \ V_ {2} = (- a, 0)}.

Para un punto arbitrario $${\ displaystyle (x, y)} la distancia al foco $${\ displaystyle (c, 0)} es $${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}}} y al segundo foco $${\ displaystyle {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}. De ahí el punto$${\ displaystyle (x, y)} está en la elipse si se cumple la siguiente condición

$${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}} + {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a \.}

Remueva las raíces cuadradas con cuadrados adecuados y use la relación $${\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}} Para obtener la ecuación de la elipse:

• $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

o, resuelto para y ,

$${\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}.}

Los parametros de forma $${\ displaystyle a, \; b}Se denominan los ejes semi mayor y semi menor . Los puntos$${\ displaystyle V_ {3} = (0, b), \; V_ {4} = (0, -b)}son los co-vértices .

De la ecuación se desprende que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes de coordenadas y, por lo tanto, simétrica con respecto al origen.

Excentricidad [ editar ]

La excentricidad de una elipse puede expresarse en términos de la relación de ejes semimor menor y semi mayor como

$${\ displaystyle e = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}.}

Esta definición se basa en el eje principal 2 de una de una elipse no ser más corto que su eje menor de 2 b . Las elipses con ejes iguales son simplemente círculos, es decir, elipsis con excentricidad cero. El grado de aplanamiento de las elipsis aumenta a medida que aumenta su excentricidad.

Semielus recto [ editar ]

La longitud de la cuerda a través de uno de los focos, que es perpendicular al eje mayor de la elipse, se denomina latus rectum . La mitad de ella es el recto semi-latus $${\ displaystyle p}. Un calculo muestra

• $${\ displaystyle p = {\ frac {b ^ {2}} {a}}.}

El recto semi-latus $${\ displaystyle p}También se puede ver como el radio de curvatura de los círculos oscilantes en los vértices en el eje mayor.

Tangente [ editar ]

Una linea arbitraria $${\ displaystyle g}intersecta una elipse en 0, 1 o 2 puntos. En el primer caso, la línea se llama línea exterior , en el segundo caso tangente y secante en el tercer caso. A través de cualquier punto de una elipse hay exactamente una tangente.

La tangente en un punto. $${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} de la elipse $${\ displaystyle \; {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \;} tiene la ecuación de coordenadas

• $${\ displaystyle \ {\ frac {x_ {0}} {a ^ {2}}} x + {\ frac {y_ {0}} {b ^ {2}}} y = 1 \ ;.}

Una ecuación vectorial de la tangente es

• $${\ displaystyle \ {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \ end {pmatrix}} + s \; {\ begin {pmatrix} -y_ {0} a ^ {2} \\ x_ {0} b ^ {2} \ end {pmatrix}} \ quad} con$${\ displaystyle \ quad s \ in \ mathbb {R} \.}

Prueba: sea$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} un punto de elipse y $${\ displaystyle \; {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \ end {pmatrix}} + s \; {\ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix}} \;} la ecuación vectorial de una recta $${\ displaystyle g} (que contiene $${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}). Insertando la ecuación de la línea en la ecuación de la elipse y respetando$${\ displaystyle \; {\ tfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \;}rendimientos

$${\ displaystyle {\ frac {(x_ {0} + su) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(y_ {0} + sv) ^ {2}} {b ^ { 2}}} = 1 \, \ quad \ longrightarrow \ quad 2s \; \ left ({\ frac {x_ {0} u} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {0} v} { b ^ {2}}} \ right) + s ^ {2} \; \ left ({\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0 \.}

En caso de $${\ displaystyle \; (1) \; {\ tfrac {x_ {0}} {a ^ {2}}} u + {\ tfrac {y_ {0}} {b ^ {2}}} v = 0 \; } línea $${\ displaystyle g} y la elipse tiene un solo punto $${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} en común y $${\ displaystyle g}es una tangente . La dirección de la tangente es ortogonal al vector.$${\ displaystyle ({\ tfrac {x_ {0}} {a ^ {2}}}, {\ tfrac {y_ {0}} {b ^ {2}}}) ^ {T}} que es entonces un vector normal de la tangente y la tangente tiene la ecuación $${\ displaystyle \; {\ tfrac {x_ {0}} {a ^ {2}}} x + {\ tfrac {y_ {0}} {b ^ {2}}} y = k \;} con un desconocido aún $${\ displaystyle k}. Porque$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} está en la tangente y en la elipse, se obtiene $${\ displaystyle k = 1}. 
En caso de $${\ displaystyle \; (2) \; {\ tfrac {x_ {0}} {a ^ {2}}} u + {\ tfrac {y_ {0}} {b ^ {2}}} v \ neq 0 \ ;} línea $${\ displaystyle g} Tiene un segundo punto con la elipse en común.

Con ayuda de (1) uno encuentra que $${\ displaystyle \; (- y_ {0} a ^ {2}, x_ {0} b ^ {2}) ^ {T} \;} es un vector tangente en el punto $${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}, lo que prueba la ecuación vectorial.

Si $${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} y $${\ displaystyle (u, v)} Son dos puntos de la elipse, tal que $${\ displaystyle \; {\ tfrac {x_ {0} u} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y_ {0} v} {b ^ {2}}} = 0 \}se mantiene, luego los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados de la Elipse (ver más abajo ). En caso de$${\ displaystyle a = b} la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal".

Ecuación de una elipse desplazada [ editar ]

Si la elipse se desplaza de tal manera que su centro es $${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})} la ecuación es

• $${\ displaystyle {\ frac {(x-c_ {1}) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(y-c_ {2}) ^ {2}} {b ^ { 2}}} = 1 \.}

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y.

La construcción de puntos basada en la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire.

Representación paramétrica [ editar ]

Puntos de elipse calculados por la representación racional con parámetros espaciados iguales ($${\ displaystyle \ Delta u = 0.2})

Representación paramétrica estándar [ editar ]

Usando las funciones seno y coseno. $${\ displaystyle \ cos, \ sin}, una representación paramétrica de la elipse $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} Puede ser obtenido, :

• {\ displaystyle (x, y) = (a \ cos t, b \ sin t), \ 0 \ leq t <2 font="" pi="">

El parámetro t se puede tomar como se muestra en el diagrama y se debe a de la Hire . ^[3]

El parámetro t (llamado la anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo de$${\ displaystyle (x (t), y (t)) ^ {T}}con el eje x (ver diagrama a la derecha). Para otras interpretaciones del parámetro t vea la sección Dibujo de elipsis .

Representación racional [ editar ]

Con la sustitución. $${\ displaystyle u = \ tan (t / 2)} y las fórmulas trigonométricas que uno obtiene

$${\ displaystyle \ cos t = (1-u ^ {2}) / (u ^ {2} +1) \, \ quad \ sin t = 2u / (u ^ {2} +1)}

y la ecuación paramétrica racional de una elipse

• {\ displaystyle \ {\ begin {array} {lcl} x (u) & = & a (1-u ^ {2}) / (u ^ {2} +1) \\ y (u) & = & 2bu / ( u ^ {2} +1) \ end {array}} \;, \ quad - \ infty

que cubre cualquier punto de la elipse $${\ displaystyle \; {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \;} excepto el vértice izquierdo $${\ displaystyle (-a, 0)}. 
por$${\ displaystyle u \ en [0,1],} esta fórmula representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario al aumentar $${\ displaystyle u.} El vértice izquierdo es el límite. $${\ displaystyle \ lim _ {u \ to \ pm \ infty} (x (u), y (u)) = (- a, 0) \ ;.}
Las representaciones racionales de las secciones cónicas son populares con el diseño asistido por computadora(consulte la curva Bezier ).

Pendiente tangente como parámetro [ editar ]

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente. $${\ displaystyle m} de la tangente en un punto de la elipse puede obtenerse de la derivada de la representación estándar $${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = (a \ cos t, b \ sin t) ^ {T}}:

$${\ displaystyle {\ vec {x}} '(t) = (- a \ sin t, b \ cos t) ^ {T} \ quad \ rightarrow \ quad m = - {\ frac {b} {a}} \ cot t \ quad \ rightarrow \ quad \ cot t = - {\ frac {ma} {b}}.

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene:

$${\ displaystyle \ cos t = {\ frac {\ cot t} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}}} = {\ frac {-ma} {\ pm {\ sqrt { m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \, \ quad \ quad \ sin t = {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } t}}}} = {\ frac {b} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}.}

Reemplazo $${\ displaystyle \ cos t} y $${\ displaystyle \ sin t} De la representación estándar se rinde.

• $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m) = \ left (- {\ frac {ma ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \;, \; {\ frac {b ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} }} \ derecha) ^ {T}, \, m \ in \ mathbb {R}.}

Dónde $${\ displaystyle m} es la pendiente de la tangente en el punto de elipse correspondiente, $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {+}} es el superior y $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {-}}La mitad inferior de la elipse. Los puntos con tangentes verticales (vértices).$${\ displaystyle (\ pm a, 0)}) no están cubiertos por la representación. 
La ecuación de la tangente en el punto.$${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)} tiene la forma $${\ displaystyle y = mx + n}. El todavia desconocido$${\ displaystyle n} Puede determinarse insertando las coordenadas del punto de elipse correspondiente $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)}:

• $${\ displaystyle y = mx \ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} \ ;.}

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo ortopático contiene otra prueba, que omite el cálculo diferencial y las fórmulas trigonométricas.

Elipse cambiado [ editar ]

Una elipse desplazada con centro.$${\ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})} puede ser descrito por

• {\ displaystyle (c_ {1} + a \ cos t \;, \; c_ {2} + b \ sin t), \ 0 \ leq t <2 font="" pi="">

Una representación paramétrica de una elipse arbitraria está contenida en la sección Elipse como una imagen afín de la unidad del círculo x ² + y ² = 1 a continuación.

Parámetros a y b [ editar ]

Los parametros $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b}representan las longitudes de los segmentos de línea y, por lo tanto, son números reales no negativos. A lo largo de este artículo. $${\ displaystyle a} es el eje semi mayor, es decir, $${\ displaystyle a \ geq b \.} En general la ecuación de elipse canónica. $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} puede tener {\ displaystyle a (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha); de esta forma el eje semi-mayor sería$${\ displaystyle b}. Esta forma se puede convertir a la forma asumida en el resto de este artículo simplemente mediante la transposición de los nombres de las variables$${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} y los nombres de los parámetros $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b.}

Definición por la propiedad directriz [ editar ]

Elipse: propiedad directriz

Las dos líneas a distancia. $${\ displaystyle d = {\ frac {a ^ {2}} {c}}}y paralelas al eje menor se llaman directrices de la elipse (ver diagrama).

• Para un punto arbitrario $${\ displaystyle P} de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:

$${\ displaystyle {\ frac {| PF_ {1} |} {| Pl_ {1} |}} = {\ frac {| PF_ {2} |} {| Pl_ {2} |}} = e = {\ frac {c} {a}} \.}

La prueba para la pareja. $${\ displaystyle F_ {1}, l_ {1}} se deduce del hecho de que $${\ displaystyle | PF_ {1} | ^ {2} = (xc) ^ {2} + y ^ {2}, \ | Pl_ {1} | ^ {2} = \ left (x - {\ tfrac {a ^ {2}} {c}} \ right) ^ {2}} y $${\ displaystyle y ^ {2} = b ^ {2} - {\ tfrac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} x ^ {2}} satisfacer la ecuación

$${\ displaystyle | PF_ {1} | ^ {2} - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} | Pl_ {1} | ^ {2} = 0 \.}

El segundo caso está probado de forma análoga.

La declaración inversa también es cierta y se puede usar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

• Para cualquier punto $${\ displaystyle F} (foco), cualquier linea $${\ displaystyle l} (directriz) no a través $${\ displaystyle F}y cualquier numero real $${\ displaystyle e} con {\ displaystyle 0  el lugar de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la línea es $${\ displaystyle e,} es decir,

$${\ displaystyle E = \ left \ {P \ mid {\ frac {| PF |} {| Pl |}} = e \ right \}}

Es una elipse.

La elección $${\ displaystyle e = 0}, que es la excentricidad de un círculo, en este contexto no está permitido. Uno puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito.

(La elección $${\ displaystyle e = 1}cede una parábola , y si{\ displaystyle e> 1}, una hipérbola .

Lápiz de cónicas con un vértice común y un recto medio-común.

Prueba

Dejar {\ displaystyle F = (f, 0), \ e> 0}, y asumir $${\ displaystyle (0,0)}Es un punto en la curva. La directriz$${\ displaystyle l} tiene ecuación $${\ displaystyle x = - {\ tfrac {f} {e}}}. Con$${\ displaystyle P = (x, y)}, la relación $${\ displaystyle | PF | ^ {2} = e ^ {2} | Pl | ^ {2}} produce las ecuaciones

$${\ displaystyle (xf) ^ {2} + y ^ {2} = e ^ {2} \ left (x + {\ tfrac {f} {e}} \ right) ^ {2} = (ex + f) ^ {2}} y $${\ displaystyle x ^ {2} (e ^ {2} -1) + 2xf (1 + e) ​​-y ^ {2} = 0.}

La sustitucion $${\ displaystyle p = f (1 + e)} rendimientos

• $${\ displaystyle x ^ {2} (e ^ {2} -1) + 2px-y ^ {2} = 0.}

Esta es la ecuación de una elipse ({\ displaystyle e <1 font="">), o una parábola ($${\ displaystyle e = 1}), o una hipérbola ({\ displaystyle e> 1}). Todas estas cónicas no degeneradas tienen, en común, el origen como un vértice (ver diagrama).

Si {\ displaystyle e <1 font="">, introduce nuevos parámetros $${\ displaystyle a, b} así que eso $${\ displaystyle 1-e ^ {2} = {\ tfrac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}, {\ text {y}} \ p = {\ tfrac {b ^ {2}} {una}}}, y luego la ecuación anterior se convierte en

$${\ displaystyle {\ tfrac {(xa) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \,}

que es la ecuación de una elipse con centro $${\ displaystyle (a, 0)}, el eje x como eje mayor, y el semieje mayor / menor$${\ displaystyle a, b}.

Caso general

Si el foco es $${\ displaystyle F = (f_ {1}, f_ {2})} y la directriz $${\ displaystyle ux + vy + w = ​​0}, se obtiene la ecuación

$${\ displaystyle \ left (x-f_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (y-f_ {2} \ right) ^ {2} = e ^ {2} \ cdot {\ frac {\ left (ux + vy + w \ right) ^ {2}} {u ^ {2} + v ^ {2}}} \.}

(El lado derecho de la ecuación usa la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia$${\ displaystyle | Pl |}.)