GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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Curva del diablo para a = 0,8 y b = 1 .

Curva del diablo con $${\ displaystyle a}con un rango de 0 a 1 yb = 1 (con el color de la curva de azul a rojo).

En geometría , la curva de un diablo es una curva definida en el plano cartesiano por una ecuación de la forma

$${\ displaystyle y ^ {2} (y ^ {2} -a ^ {2}) = x ^ {2} (x ^ {2} -b ^ {2}).}

Las curvas del diablo fueron estudiadas en gran medida por Gabriel Cramer .

El nombre proviene de la forma que toma su lemniscate central cuando se grafica. La forma se llama así por el diábolo del juego de malabares , que consiste en dos palos, una cuerda y un puntal giratorio a semejanza del lemniscado. La confusión es el resultado de la palabra italiana diavolo que significa "diablo". 

La geometría diferencial de las curvas es la rama de la geometría que trata las curvas suaves en el plano y el espacio euclidiano mediante métodos de cálculo diferencial e integral .

Muchas curvas específicas se han investigado a fondo utilizando el enfoque sintético . La geometría diferencialtoma otro camino: las curvas se representan en una forma parametrizada , y sus propiedades geométricas y diversas cantidades asociadas a ellas, como la curvatura y la longitud del arco , se expresan a través de derivadas e integrales utilizando el cálculo vectorial . Una de las herramientas más importantes que se utilizan para analizar una curva es el marco Frenet , un marco en movimiento que proporciona un sistema de coordenadas en cada punto de la curva que está "mejor adaptado" a la curva cerca de ese punto.

La teoría de las curvas es mucho más simple y estrecha en su alcance que la teoría de las superficies y sus generalizaciones de dimensiones superiores porque una curva regular en un espacio euclidiano no tiene geometría intrínseca. Cualquier curva regular puede estar parametrizada por la longitud del arco (la parametrización natural ) y desde el punto de vista de una partícula de punto teórico en la curva que no sabe nada sobre el espacio ambiental, todas las curvas parecen iguales. Las diferentes curvas de espacio solo se distinguen por la forma en que se doblan y giran. Cuantitativamente, esto se mide por los invariantes geométricos diferenciales llamados curvatura y torsión de una curva. El teorema fundamental de las curvas. Afirma que el conocimiento de estos invariantes determina completamente la curva.

Definiciones [ editar ]

Artículo principal: Curva

Puedo) $${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}, (ii) $${\ displaystyle r \ in \ {\ mathbb {N} \ cup \ infty \}}, y (iii) $${\ displaystyle I}Ser un intervalo no vacío de números reales. Entonces una función vectorial

$${\ displaystyle \ gamma: I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

de clase $${\ displaystyle C ^ {r}} (es decir, las funciones componentes de $${\ displaystyle \ gamma} son $${\ displaystyle r}-veces continuamente diferenciables ) se llama parametrico$${\ displaystyle C ^ {r}}-curva o una $${\ displaystyle C ^ {r}}-parametrización. Tenga en cuenta que$${\ displaystyle \ gamma [I] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}Se llama la imagen de la curva paramétrica. Es importante distinguir entre una curva paramétrica.$${\ displaystyle \ gamma} y su imagen $${\ displaystyle \ gamma [I]}, porque un subconjunto dado de $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Puede ser la imagen de varias curvas paramétricas distintas. El parámetro$${\ displaystyle t} en $${\ displaystyle \ gamma (t)}se puede pensar que representa el tiempo, y $${\ displaystyle \ gamma}La trayectoria de una partícula en movimiento en el espacio. Cuando$${\ displaystyle I} es un intervalo cerrado $${\ displaystyle [a, b]}, $${\ displaystyle \ gamma (a)} se llama el punto de partida y $${\ displaystyle \ gamma (b)} el punto final de $${\ displaystyle \ gamma}. Si los puntos inicial y final coinciden, es decir$${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b),} $${\ displaystyle \ gamma}Se llama un cerrado o un bucle. Además, $${\ displaystyle \ gamma} se llama un paramétrico cerrado $${\ displaystyle C ^ {r}}-curvarse si y solo si $${\ displaystyle {\ gamma ^ {(k)}} (a) = {\ gamma ^ {(k)}} (b)} para todos $${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} _ {\ leq r}}.

Si $${\ displaystyle \ gamma | _ {(a, b)} :( a, b) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}es inyectivo , entonces$${\ displaystyle \ gamma}es sencilla .

Si cada función componente de $${\ displaystyle \ gamma: I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}se puede expresar como una serie de potencias , entonces$${\ displaystyle \ gamma}es analítico (es decir, ser de clase)$${\ displaystyle C ^ {\ omega}}).

$${\ displaystyle - \ gamma} está escrito para la curva paramétrica que se recorre en la dirección opuesta a la de $${\ displaystyle \ gamma}.

$${\ displaystyle \ gamma} es regular de orden $${\ displaystyle m} (dónde $${\ displaystyle m \ leq r}) si y solo si para cualquiera $${\ displaystyle t \ in I},

$${\ displaystyle \ left \ {\ gamma '(t), \ gamma' '(t), \ ldots, {\ gamma ^ {(m)}} (t) \ right \}}

es un subconjunto linealmente independiente de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}.

En particular, un paramétrico. $${\ displaystyle C ^ {1}}-curva $${\ displaystyle \ gamma}es regular si y solo si$${\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq \ mathbf {0}} para cualquier $${\ displaystyle t \ in I}.

Re-parametrización y equivalencia relación [ editar ]

Ver también: Vector de posición y función vectorial.

Dada la imagen de una curva paramétrica, hay varias parametrizaciones diferentes de la curva paramétrica. La geometría diferencial tiene como objetivo describir las propiedades de las curvas paramétricas que son invariantes en ciertas re-parametrizaciones. Por lo tanto, tenemos que definir una relación de equivalenciaadecuada en el conjunto de todas las curvas paramétricas. Las propiedades geométricas diferenciales de una curva paramétrica (por ejemplo, su longitud, su marco de Frenet y su curvatura generalizada) son invariantes en la parametrización y, por lo tanto, propiedades de la clase de equivalencia en sí. Las clases de equivalencia son llamadas$${\ displaystyle C ^ {r}}Las curvas y son objetos centrales estudiados en la geometría diferencial de las curvas.

Dos parametricos $${\ displaystyle C ^ {r}}-curvas, $${\ displaystyle \ gamma _ {1}: I_ {1} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} y $${\ displaystyle \ gamma _ {2}: I_ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}, se dice que son equivalentes si y solo si existe un biyectivo$${\ displaystyle C ^ {r}}-mapa $${\ displaystyle \ phi: I_ {1} \ a I_ {2}} tal que

$${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ phi '(t) \ neq 0}

y

$${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad {\ gamma _ {2}} (\ phi (t)) = {\ gamma _ {1}} (t).}

$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}luego se dice que es una re-parametrización de$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}.

La parametrización define una relación de equivalencia en el conjunto de todos los parámetros $${\ displaystyle C ^ {r}}-curvas de clase $${\ displaystyle C ^ {r}}. La clase de equivalencia de esta relación simplemente una$${\ displaystyle C ^ {r}}-curva.

Una relación de equivalencia aún más fina de orientado paramétrico$${\ displaystyle C ^ {r}}-Las curvas pueden definirse requiriendo $${\ displaystyle \ phi} satisfacer {\ displaystyle \ phi '(t)> 0}.

Parametrico equivalente $${\ displaystyle C ^ {r}}-Las curvas tienen la misma imagen, y orientadas paramétricas equivalentes. $${\ displaystyle C ^ {r}}-Las curvas incluso recorren la imagen en la misma dirección.

Longitud y parametrización naturales [ editar ]

Artículo principal: Longitud de arco

Ver también: Curva § Longitud de una curva.

La longitud $${\ displaystyle l} de un paramétrico $${\ displaystyle C ^ {1}}-curva $${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}} Se define como

$${\ displaystyle l ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | ~ \ mathrm {d} {t}.}

La longitud de una curva paramétrica es invariante en la parametrización y, por lo tanto, es una propiedad geométrica diferencial de la curva paramétrica.

Para cada parametrico regular $${\ displaystyle C ^ {r}}-curva $${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}, dónde $${\ displaystyle r \ geq 1}, la función esta definida

$${\ displaystyle \ forall t \ in [a, b]: \ quad s (t) ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {t} \ left \ | \ gamma '(x) \ right \ | ~ \ mathrm {d} {x}.}

Escritura $${\ displaystyle {\ bar {\ gamma}} (s) = \ gamma (t (s))}, dónde $${\ displaystyle t (s)}es la función inversa de $${\ displaystyle s (t)}, conseguimos una re-parametrización $${\ displaystyle {\ bar {\ gamma}}} de $${\ displaystyle \ gamma}Esto se denomina parametrización natural, de longitud de arco o de velocidad unitaria. El parámetro$${\ displaystyle s (t)}Se llama el parámetro natural de$${\ displaystyle \ gamma}.

Esta parametrización es preferida porque el parámetro natural $${\ displaystyle s (t)} atraviesa la imagen de $${\ displaystyle \ gamma} a velocidad unitaria, para que

$${\ displaystyle \ forall t \ in I: \ quad \ left \ | {\ bar {\ gamma}} '(s (t)) \ right \ | = 1.}

En la práctica, a menudo es muy difícil calcular la parametrización natural de una curva paramétrica, pero es útil para los argumentos teóricos.

Para una curva paramétrica dada $${\ displaystyle \ gamma}, la parametrización natural es única hasta un cambio de parámetro.

La cantidad

$${\ displaystyle E (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | \ gamma '(t) \ right \ | ^ {2} ~ \ mathrm {d} {t}}

A veces se la denomina energía o acción de la curva; este nombre está justificado porque las ecuaciones geodésicas son las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para esta acción.

Cuadro Frenet [ editar ]

Artículo principal: Frenet – Serret formulas.

Una ilustración del cuadro de Frenet para un punto en una curva de espacio. T es la unidad tangente, P la unidad normal y B la unidad binormal.

Un cuadro Frenet es un cuadro de referencia móvil de n vectores oronormales e _i ( t ) que se utilizan para describir una curva localmente en cada punto γ ( t ) . Es la principal herramienta en el tratamiento geométrico diferencial de las curvas, ya que es mucho más fácil y más natural describir las propiedades locales (p. Ej., Curvatura, torsión) en términos de un sistema de referencia local que el uso de uno global como las coordenadas euclidianas.

Dada una curva C ^{n + 1} γ en R ⁿ que es regular de orden n, el marco de Frenet para la curva es el conjunto de vectores ortonormales

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}

llamados vectores de Frenet . Se construyen a partir de los derivados de γ ( t ) utilizando el algoritmo de ortogonalización Gram-Schmidt con

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {\ mathbf {\ gamma} '(t)} {\ | \ mathbf {\ gamma}' (t) \ |}}}

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (t)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {j}}} (t) \ |}} {\ mbox {,}} {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (t) = \ mathbf {\ gamma} ^ {(j )} (t) - \ sum _ {i = 1} ^ {j-1} \ langle \ mathbf {\ gamma} ^ {(j)} (t), \ mathbf {e} _ {i} (t) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {i} (t)}

Las funciones de valor real χ _i ( t ) se llaman curvaturas generalizadas y se definen como

$${\ displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {\ | \ mathbf {\ gamma} ^ {'} (t) \ |}}}

El marco de Frenet y las curvaturas generalizadas son invariantes bajo reparación y por lo tanto son propiedades geométricas diferenciales de la curva.

Curva Bertrand [ editar ]

Una curva de Bertrand es una curva de Frenet en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} con la propiedad adicional de que hay una segunda curva en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}de modo que los principales vectores normales de estas dos curvas son idénticos en cada punto correspondiente. En otras palabras, si$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1} (t)} y $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2} (t)} son dos curvas en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} tal que para cualquier $${\ displaystyle t}, $${\ displaystyle {\ vec {N}} _ {1} = {\ vec {N}} _ {2}}, entonces $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}} y $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}Son las curvas de Bertrand. Por esta razón, es común hablar de un par de curvas de Bertrand (como$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}} y $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}en el ejemplo anterior). Según el problema 25 en "Curvas de geometría diferencial - Superficies - Múltiples" de Kühnel, también es cierto que dos curvas de Bertrand que no se encuentran en el mismo plano bidimensional se caracterizan por la existencia de una relación lineal$${\ displaystyle a \ kappa + b \ tau = 1} dónde $${\ displaystyle a, b} son constantes reales y $${\ displaystyle a \ neq 0}. ^[1] Además, el producto de las torsiones de los pares de curvas de Bertrand es constante. ^[2]

Vectores especiales de Frenet y curvaturas generalizadas [ editar ]

Artículo principal: Frenet – Serret formulas.

Los primeros tres vectores de Frenet y las curvaturas generalizadas se pueden visualizar en el espacio tridimensional. Tienen nombres adicionales y más información semántica adjunta a ellos.

Vector tangente [ editar ]

Si una curva γ representa la trayectoria de una partícula, entonces la instantánea de velocidad de la partícula en un punto dado P se expresa por un vector , llamado el vector tangente a la curva en P . Matemáticamente, dada una curva C ¹ parametrizada γ = γ ( t ) , para cada valor t = t ₀ del parámetro, el vector

$${\ displaystyle \ gamma '(t_ {0}) = {\ frac {d} {d \, t}} \ mathbf {\ gamma} (t)} a $${\ displaystyle {t = t_ {0}}}

es el vector tangente en el punto P = γ ( t ₀ ) . En términos generales, el vector tangente puede ser cero . La magnitud del vector tangente,

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {\ gamma} '(t_ {0}) \ |,}

Es la velocidad en el momento t ₀ .

El primer vector Frenet e ₁ ( t ) es el vector tangente unitario en la misma dirección, definido en cada punto regular de γ :

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {\ mathbf {\ gamma} '(t)} {\ | \ mathbf {\ gamma}' (t) \ |}}.}

Si t = s es el parámetro natural, entonces el vector tangente tiene una unidad de longitud, de modo que la fórmula se simplifica:

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = \ mathbf {\ gamma} '(s).

El vector tangente unitario determina la orientación 'de la curva, o la dirección hacia adelante, correspondiente a los valores crecientes del parámetro. El vector tangente unitario tomado como una curva traza la imagen esféricade la curva original.

Vector normal o curvatura [ editar ]

El vector normal, a veces llamado vector de curvatura, indica que la desviación de la curva es una línea recta.

Se define como

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) = \ mathbf {\ gamma} '' (t) - \ langle \ mathbf {\ gamma} '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {1} (t).

Su forma normalizada, el vector normal de la unidad, es el segundo vector Frenet e ₂ ( t ) y se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {2}}} (t) \ |}}.}

La tangente y el vector normal en el punto t definen el plano de oscilación en el punto t .

Se puede demostrar que $${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (t) \ propto \ mathbf {e} _ {1} '(t)}, y por lo tanto $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1} '(t)} {\ | \ mathbf {e} _ {1}' (t) \ |}}}.

Curvatura [ editar ]

Artículo principal: Curvatura de las curvas espaciales.

La primera curvatura generalizada χ ₁ ( t ) se llama curvatura y mide la desviación de γ de ser una línea recta en relación con el plano de oscilación. Se define como

$${\ displaystyle \ kappa (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t ) \ rangle} {\ | \ mathbf {\ gamma} '(t) \ |}}}

y se llama la curvatura de γ en el punto t . Se puede demostrar que$${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {\ | \ mathbf {e} _ {1} '(t) \ |} {\ | \ mathbf {\ gamma}' (t) \ |}}}.

El recíproco de la curvatura.

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ kappa (t)}}}

Se llama el radio de curvatura .

Un círculo con radio r tiene una curvatura constante de

$${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {1} {r}}}

Mientras que una línea tiene una curvatura de 0.

Vector binormal [ editar ]

El vector binormal unitario es el tercer vector Frenet e ₃ ( t ) . Siempre es ortogonal a los vectores tangente y normal de la unidad en t , y se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {3}}} (t) \ |}} {\ mbox {,}} {\ overline {\ mathbf {e} _ {3}}} (t) = \ mathbf {\ gamma} '' '( t) - \ langle \ mathbf {\ gamma} '' '(t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {1} (t) - \ langle \ mathbf {\ gamma} '' '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {2} (t)}

En el espacio tridimensional la ecuación se simplifica a

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2} (t)}

o para

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t) = - \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2} (t)}

El hecho de que cualquiera de los dos signos pueda aparecer se ilustra con los ejemplos de una hélice diestra y una hélice zurda.

Torsión [ editar ]

Artículo principal: Torsión de una curva.

La segunda curvatura generalizada χ ₂ ( t ) se llama torsión y mide la desviación de γ de ser una curva plana. O, en otras palabras, si la torsión es cero, la curva se encuentra completamente en el mismo plano de oscilación (solo hay un plano de oscilación para cada punto t ). Se define como

$${\ displaystyle \ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {2} '(t), \ mathbf {e} _ {3} (t ) \ rangle} {\ | \ mathbf {\ gamma} '(t) \ |}}}

y se llama la torsión de γ en el punto t .

El teorema principal de la teoría de la curva [ editar ]

Artículo principal: Teorema fundamental de las curvas.

Dadas las funciones n - 1 :

{\ displaystyle \ chi _ {i} \ en C ^ {ni} ([a, b], \ mathbb {R} ^ {n}) {\ mbox {,}} \ chi _ {i} (t)> 0 {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1}

luego existe una curva única γ (hasta transformaciones usando el grupo euclidiano ) C ^{n + 1} que es regular de orden n y tiene las siguientes propiedades

$${\ displaystyle \ | \ gamma '(t) \ | = 1 {\ mbox {}} (t \ en [a, b])}

$${\ displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {\ | \ mathbf {\ gamma} '(t) \ |}}}

donde el set

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t)}

Es el cuadro de Frenet para la curva.

Al proporcionar adicionalmente un inicio t ₀ en I , un punto de inicio p ₀ en R ⁿ y un cuadro inicial de Frenet ortonormal positivo { e ₁ , ..., e _{n - 1} } con

$${\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} (t_ {0}) = \ mathbf {p} _ {0}}

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} (t_ {0}) = \ mathbf {e} _ {i} {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1}

Las transformaciones euclidianas se eliminan para obtener una curva única γ .

Frenet – Serret formulas [ editar ]

Artículo principal: Frenet – Serret formulas.

Las fórmulas de Frenet-Serret son un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La solución es el conjunto de vectores de Frenet que describen la curva especificada por las funciones de curvatura generalizadas χ _i .

2 dimensiones [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) \\ - \ kappa (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}

3 dimensiones [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa (t) & 0 \\ - \ kappa (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \\\ end {bmatrix}}}

n dimensiones (fórmula general) [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ { n-1} '(t) \\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end {bmatrix}} = \ left \ Vert \ gamma '\ left (t \ right) \ right \ Vert {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ cdots & 0 & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & 0 & \ cdots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n-1} (t) \\ \ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatrix}}}