GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

ELIPSE , CONTINUACIÓN

Lo normal biseca el ángulo entre las líneas y los focos [ editar ]

Elipse: la tangente corta el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas y los focos.

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse para pasar a través del otro foco.

Para una elipse la siguiente afirmación es verdadera:

• Lo normal en un punto $${\ displaystyle P} bisecta el ángulo entre las líneas $${\ displaystyle {\ overline {PF_ {1}}}, {\ overline {PF_ {2}}}}.

Prueba

Debido a que la tangente es perpendicular a la normal, la afirmación es cierta para la tangente y el ángulo suplementario del ángulo entre las líneas hacia los focos (ver diagrama).

Dejar $${\ displaystyle L} ser el punto en la linea $${\ displaystyle {\ overline {PF_ {2}}}} con la distancia $${\ displaystyle 2a} al foco $${\ displaystyle F_ {2}}, $${\ displaystyle a}Es el eje semi mayor de la elipse. Dejar línea$${\ displaystyle w} Ser la bisectriz del ángulo suplementario al ángulo entre las líneas. $${\ displaystyle {\ overline {PF_ {1}}}, {\ overline {PF_ {2}}}}. Para probar que$${\ displaystyle w} es la recta tangente en el punto $${\ displaystyle P}, uno comprueba que cualquier punto $${\ displaystyle Q} en linea $${\ displaystyle w} que es diferente de $${\ displaystyle P}no puede estar en la elipse. Por lo tanto$${\ displaystyle w} tiene un solo punto $${\ displaystyle P} en común con la elipse y es, por lo tanto, la tangente en el punto $${\ displaystyle P}. 
Del diagrama y la desigualdad del triángulo se reconoce que{\ displaystyle 2a = | LF_ {2} | <| QF_ {2} | + | QL | = | QF_ {2} | + | QF_ {1} |} sostiene, lo que significa: {\ displaystyle | QF_ {2} | + | QF_ {1} |> 2a}. Pero si$${\ displaystyle Q} es un punto de la elipse, la suma debe ser $${\ displaystyle 2a}.

Solicitud

Los rayos de un foco son reflejados por la elipse al segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad reflectiva de una parábola (vea la galería de susurros ).

Como imagen afín del círculo unitario x ² + y ² = 1 [ editar ]

Elipse como imagen afín del círculo unitario.

Otra definición de una elipse usa transformaciones afines :

• Cualquier elipse es la imagen afín del círculo unitario con la ecuación$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}.

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma $${\ displaystyle {\ vec {x}} \ a {\ vec {f}} _ {0} + A {\ vec {x}}}, dónde $${\ displaystyle A}Es una matriz regular (su determinante no es 0) y$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}Es un vector arbitrario. Si$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}Son los vectores de columna de la matriz. $${\ displaystyle A}, el circulo unitario $${\ displaystyle (\ cos (t), \ sin (t)), t \ en [0,2 \ pi),} se asigna en el elipse

• $${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t \.}

$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}} es el centro, $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, \; {\ vec {f}} _ {2}}Son las direcciones de dos diámetros conjugados de la elipse. En general los vectores.$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}No son perpendiculares. Eso significa, en general $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} \ pm {\ vec {f}} _ {1}} y $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} \ pm {\ vec {f}} _ {2}}No son los vértices de la elipse.

El vector tangente en el punto. $${\ displaystyle {\ vec {p}} (t)} es

$${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) = - {\ vec {f}} _ {1} \ sin t + {\ vec {f}} _ {2} \ cos t \.}

Debido a que en un vértice, la tangente es perpendicular al eje mayor / menor (diámetros) de la elipse, se obtiene el parámetro $${\ displaystyle t_ {0}} de un vértice de la ecuación

$${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) \ cdot ({\ vec {p}} (t) - {\ vec {f}} _ {0}) = (- {\ vec {f}} _ {1} \ sin t + {\ vec {f}} _ {2} \ cos t) \ cdot ({\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t) = 0}

y por lo tanto

• $${\ displaystyle \ cot (2t_ {0}) = {\ tfrac {{\ vec {f}} _ {1} ^ {\, 2} - {\ vec {f}} _ {2} ^ {\, 2 }} {2 {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}}}}.

(Las fórmulas $${\ displaystyle \ cos ^ {2} t- \ sin ^ {2} t = \ cos 2t, \ 2 \ sin t \ cos t = \ sin 2t} fueron usados.)

Si $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2} = 0}, entonces $${\ displaystyle t_ {0} = 0}.

Los cuatro vértices de la elipse son$${\ displaystyle {\ vec {p}} (t_ {0}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} \ pm {\ frac {\ pi} {2}}), \; {\ vec {p}} (t_ {0} + \ pi) \.}

La ventaja de esta definición es que se obtiene una representación paramétrica simple de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si los vectores $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}, {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}} Son vectores del espacio euclidiano.

Diámetros conjugados y los puntos medios de los acordes paralelos [ editar ]

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de acordes paralelos y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de acordes

Para un círculo, la propiedad (M) sostiene:

(M) Los puntos medios de los acordes paralelos se encuentran en un diámetro.

El diámetro y los acordes paralelos son ortogonales. Una transformación afín en general no conserva la ortogonalidad, pero sí preserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea. Por lo tanto: la propiedad (M) (que omite el término ortogonal ) es verdadera para cualquier elipse.

Definición

Dos diámetros $${\ displaystyle d_ {1}, \; d_ {2}} de una elipse se conjugan si los puntos medios de los acordes paralelos a $${\ displaystyle d_ {1}} mentir sobre $${\ displaystyle d_ {2} \.}

Del diagrama se encuentra:

(T) Dos diámetros$${\ displaystyle d_ {1}: {\ overline {P_ {1} Q_ {1}}} \;, \; d_ {2}: {\ overline {P_ {2} Q_ {2}}}}, de una elipse se conjugan , si las tangentes en$${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle Q_ {1}} son paralelos a $${\ displaystyle d_ {2}} y viceversa.

El término diámetros conjugados es un tipo de generalización de ortogonal .

Teniendo en cuenta la ecuación paramétrica

$${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t}

de una elipse, cualquier par $${\ displaystyle {\ vec {p}} (t), {\ vec {p}} (t + \ pi)} De los puntos pertenecen a un diámetro y la pareja. $${\ displaystyle {\ vec {p}} (t + \ pi / 2), {\ vec {p}} (t- \ pi / 2)} Pertenece a su diámetro conjugado.

Tangentes ortogonales [ editar ]

Elipse con su ortoptica

Artículo principal: Ortóptico (geometría)

Para la elipse $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}.

Este círculo se llama ortóptico de la elipse dada.

Teorema de Apollonios sobre diámetros conjugados [ editar ]

Elipse: teorema de Apollonios sobre diámetros conjugados

Para una elipse con semi-hachas. $${\ displaystyle a, \; b} lo siguiente es cierto:

• Dejar $${\ displaystyle c_ {1}} y $${\ displaystyle c_ {2}} Ser mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) luego

1. $${\ displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}},
2. el triangulo formado por$${\ displaystyle c_ {1}, \; c_ {2}} tiene el área constante $${\ displaystyle A _ {\ Delta} = {\ frac {1} {2}} ab}
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la $${\ displaystyle {\ text {Area}} _ {12} = 4ab \.}

Prueba

Deje que la elipse esté en la forma canónica con ecuación paramétrica.

$${\ displaystyle {\ vec {p}} (t) = (a \ cos t, b \ sin t) ^ {T}}.

Los dos puntos $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {1} = {\ vec {p}} (t), \ {\ vec {c}} _ {2} = {\ vec {p}} (t + \ pi / 2)}están en diámetros conjugados (ver sección anterior). De las fórmulas trigonométricas se obtiene.$${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {2} = (- a \ sin t, b \ cos t) ^ {T}} y

$${\ displaystyle | {\ vec {c}} _ {1} | ^ {2} + | {\ vec {c}} _ {2} | ^ {2} = \ cdots = a ^ {2} + b ^ {2} \.}

El área del triángulo generado por $${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {1}, {\ vec {c}} _ {2}} es

$${\ displaystyle A _ {\ Delta} = {\ tfrac {1} {2}} \ det ({\ vec {c}} _ {1}, {\ vec {c}} _ {2}) = \ cdots = {\ tfrac {1} {2}} ab}

y en el diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de $${\ displaystyle A _ {\ Delta}}. Por lo tanto

$${\ displaystyle {\ text {Area}} _ {12} = 4ab \.}

Dibujo de elipses [ editar ]

Proyección central de círculos (portón).

Las elipses aparecen en la geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existenherramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio de los elipsógrafos era conocido por los matemáticos griegos ( Arquímedes , Proklos ).

Si no hay un elipsógrafo disponible, la mejor y más rápida manera de dibujar una elipse es dibujar una aproximación mediante los cuatro círculos oscilantes en los vértices .

Para cualquier método descrito abajo

• el conocimiento de los ejes y los semiejes es necesario (o equivalente: los focos y el eje semi mayor).

Si no se cumple esta presunción, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz, se pueden recuperar los ejes y semiejes.

la construcción del punto de La Hire [ editar ]

La siguiente construcción de puntos individuales de una elipse se debe a de La Hire ^[4] . Se basa en la representación paramétrica estándar. $${\ displaystyle (a \ cos t, b \ sin t)} de una elipse:

(1) Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con radios$${\ displaystyle a, b} y los ejes de la elipse.

(2) Dibuje una línea a través del centro , que intersecta los dos círculos en el punto$${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}, respectivamente.

(3) La línea a través de$${\ displaystyle A}, que es paralela al eje menor, cumple con la recta a través de$${\ displaystyle B}, que es paralelo al eje mayor, en un punto de elipse (ver diagrama).

(4) Repita los pasos (3) y (4) con diferentes líneas a través del centro.

• 

  Método de La Hire
 
• 

  Animación del método.

Elipse: método del jardinero.

Método de alfileres y cadena [ editar ]

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos para que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método de dibujar uno utilizando dos alfileres de dibujo , una longitud de cuerda y un lápiz. En este método, los pasadores se insertan en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Una cuerda atada en cada extremo a los dos pines y la punta de un lápiz tira del lazo para formar un triángulo. La punta del lápiz luego traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Usando dos clavijas y una cuerda, los jardineros usan este procedimiento para delinear una cama de flores elíptica, por lo que se llama la elipse del jardinero .

Un método similar para dibujar elipsis confocales con una cadena cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Métodos de la tira de papel [ editar ]

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (consulte la sección representación paramétrica , arriba):

$${\ displaystyle (a \ cos t, \; b \ sin t)}

Esta representación puede ser modelada técnicamente por dos métodos simples. En ambos casos centro, los ejes y semiejes.$${\ displaystyle a, \; b} Hay que saberlo.

Método 1

El primer método comienza con

• una tira de papel de largo $${\ displaystyle a + b}.

El punto donde se encuentran los semiejes está marcado por $${\ displaystyle P}. Si la tira se desliza con ambos extremos en los ejes de la elipse deseada, entonces el punto P traza la elipse. Para la prueba uno muestra ese punto.$${\ displaystyle P} tiene la representación paramétrica $${\ displaystyle (a \ cos t, \; b \ sin t)}, donde parámetro $${\ displaystyle t} Es el ángulo de la pendiente de la tira de papel.

Una realización técnica del movimiento de la tira de papel se puede lograr mediante una pareja de Tusi (s. Animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija$${\ displaystyle a + b}, que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de tira de papel.

Una buena aplicación: si uno está en algún lugar en medio de una escalera, que se encuentra en un suelo resbaladizo y se apoya en una pared resbaladiza, la escalera se desliza hacia abajo y los pies de las personas trazan una elipse.

• 

  Elipse de construcción: método de la tira de papel 1
 
• 

  Elipses con la pareja tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.

Una variación del método de la tira de papel 1 ^[5] utiliza la observación de que el punto medio$${\ displaystyle N} De la tira de papel se mueve en el círculo con centro. $${\ displaystyle M} (de la elipse) y radio $${\ displaystyle {\ tfrac {a + b} {2}}}. Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en el punto$${\ displaystyle N} en mitades, conectadas de nuevo por una articulación en $${\ displaystyle N} y el extremo deslizante $${\ displaystyle K} fijado en el centro $${\ displaystyle M}(ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad sin cambios de la tira de papel no cambia. La ventaja de esta variación es que solo se necesita una zapatilla deslizante costosa. 
Se debe tener en cuenta que el final, que se desliza sobre el eje menor, debe cambiarse.

• 

  Variación del método de la tira de papel 1
 
• 

  Animación de la variación del método de la tira de papel. 1

Construcción de elipse: tira de papel método 2

Método 2

El segundo método comienza con

• una tira de papel de largo $${\ displaystyle a}.

Uno marca el punto, que divide la tira en dos soportes de longitud. $${\ displaystyle b}y $${\ displaystyle ab}. La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras se mueve la tira. Para la prueba, uno reconoce que el punto de rastreo se puede describir paramétricamente por$${\ displaystyle (a \ cos t, \; b \ sin t)}, donde parámetro $${\ displaystyle t} Es el ángulo de inclinación de la tira de papel.

Este método es la base de varias elipsografías (consulte la sección a continuación).

De manera similar a la variación del método de la tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de la tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

• 

  Trasmallo de Arquímedes (principio)
 
• 

  Elipsógrafo por Benjamin Bramer
• 

  Variación del método 2 de la tira de papel.