GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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Para otras aplicaciones, vea Cicloide (desambiguación) .

Un cicloide generado por un círculo rodante.

Un cicloide es la curva trazada por un punto en el borde de una rueda circular cuando la rueda rueda a lo largo de una línea recta sin deslizarse. Un cicloide es una forma específica de trocoide y es un ejemplo de una ruleta , una curva generada por una curva que gira sobre otra curva.

El cicloide, con las cúspides apuntando hacia arriba, es la curva de descenso más rápido bajo gravedad constante , y también es la forma de una curva para la cual el período de un objeto en descenso en la curva no depende de la posición inicial del objeto .

Historia [ editar ]

Fue en el bote de prueba de la mano izquierda del Pequod, con la esteatita girando diligentemente a mi alrededor, que primero me sorprendió indirectamente el hecho notable, que en la geometría todos los cuerpos deslizándose a lo largo del cicloide, mi esteatita, por ejemplo, descenderá de Cualquier punto precisamente en el mismo tiempo.

Moby Dick por Herman Melville , 1851

El cicloide ha sido llamado "La Helena de los Geómetros", ya que causó frecuentes disputas entre los matemáticos del siglo XVII. ^[1]

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos para el descubridor del cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo similar del filósofo sirio Iamblichus como evidencia de que la curva probablemente se conocía en la antigüedad. ^[2] El matemático inglés John Wallis que escribió en 1679 atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa , ^[3] pero los estudios posteriores indican que Wallis estaba equivocado o que la evidencia utilizada por Wallis ahora está perdida. ^[4] El nombre de Galileo Galilei se presentó a fines del siglo XIX ^[5] y al menos un autor informa que se otorgó crédito a Marin Mersenne .^[6] Comenzando con el trabajo deMoritz Cantor ^[7] y Siegmund Günther , ^{[8] los} académicos ahora asignan prioridad al matemático francés Charles de Bovelles ^{[9] [10] [11]} basándose en su descripción del cicloide en su Introducción en geometriam , publicado en 1503. ^[12] En este trabajo, Bovelles confunde el arco trazado por una rueda rodante como parte de un círculo más grande con un radio 120% más grande que la rueda más pequeña. ^[4]

Galileo originó el término cicloide y fue el primero en realizar un estudio serio de la curva. ^[4] De acuerdo con su estudiante Evangelista Torricelli , ^[13] en 1599, Galileo intentó la cuadratura del cicloide (determinando el área debajo del cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que involucraba trazar tanto el círculo generador como el cicloide resultante en la chapa metálica, Cortándolos y pesándolos. Descubrió que la proporción era aproximadamente de 3: 1, pero concluyó incorrectamente que la proporción era una fracción irracional, lo que habría hecho imposible la cuadratura. ^[6] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente se enteró del problema de cuadratura dePère Marin Mersenne y efectuó la cuadratura en 1634 utilizando el Teorema de Cavalieri . ^[4] Sin embargo, este trabajo no se publicó hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles ). ^[14]

La construcción de la tangente del cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat y René Descartes . Mersenne transmitió estos resultados a Galileo, quien se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviana, quienes pudieron producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644, ^[13] que es también el primer trabajo impreso en el cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, y la controversia fue interrumpida por la muerte temprana de Torricelli en 1647. ^[14]

En 1658, Blaise Pascal había abandonado las matemáticas por la teología pero, aunque sufría un dolor de muelas, comenzó a considerar varios problemas relacionados con el cicloide. Su dolor de muelas desapareció, y tomó esto como una señal celestial para continuar con su investigación. Ocho días después, había completado su ensayo y, para dar a conocer los resultados, propuso un concurso. Pascal propuso tres preguntas relacionadas con el centro de gravedad , el área y el volumen del cicloide, y el ganador o los ganadores recibirán premios de 20 y 40 doblones españoles . Pascal, Roberval y el senador Carcavy fueron los jueces, y ninguna de las dos presentaciones (de John Wallis y Antoine de Lalouvère ) se consideró adecuada. ^[15] : 198 Mientras el concurso estaba en curso, Christopher Wren envió a Pascal una propuesta para una prueba de la rectificacióndel cicloide; Roberval afirmó rápidamente que había conocido la prueba durante años. Wallis publicó la prueba de Wren (que acredita a Wren) en Tractus Duo de Wallis , dando prioridad a Wren para la primera prueba publicada. ^[14]

Quince años después, Christiaan Huygens había desplegado el péndulo cicloidal para mejorar los cronómetros y había descubierto que una partícula atravesaría un segmento de un arco cicloidal invertido en la misma cantidad de tiempo, independientemente de su punto de partida. En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la geometría analítica para describir la curva con una sola ecuación. En 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistocrona , cuya solución es un cicloide. ^[14]

Ecuaciones [ editar ]

El cicloide a través del origen, con una base horizontal dada por la línea y  = 0, esta línea también se conoce como el eje x, generado por un círculo de radio r que gira sobre el lado "positivo" de la base ( y  ≥ 0 ), consiste en los puntos ( x , y ), con

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r (t- \ sin t) \\ y & = r (1- \ cos t) \ fin {alineado}}}

donde t es un parámetro real , correspondiente al ángulo a través del cual ha girado el círculo rodante. Para tdada , el centro del círculo se encuentra en x = rt , y = r .

Resolviendo para t y reemplazando, se encuentra que la ecuación cartesiana es:

$${\ displaystyle x = r \ cos ^ {- 1} \ left (1 - {\ frac {y} {r}} \ right) - {\ sqrt {y (2r-y)}}.}

Una ecuación para el cicloide de la forma y = f ( x ) con una expresión de forma cerrada para el lado derecho no es posible. ^{[ cita requerida ]}

Cuando y se ve como una función de x , el cicloide es diferenciable en todas partes, excepto en las cúspides , donde golpea el eje x , con la derivada tendiendo hacia$${\ displaystyle \ infty} o $${\ displaystyle - \ infty}Cuando uno se acerca a una cúspide. El mapa de t a ( x ,  y ) es una curva diferenciable o curva paramétrica de la clase C ^∞ y la singularidad donde la derivada es 0 es una cúspide ordinaria.

Un segmento cicloide de una cúspide a la siguiente se llama arco del cicloide. El primer arco del cicloide consiste en puntos tales que

$${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 2 \ pi.}

El cicloide satisface la ecuación diferencial :

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2r} {y}} - 1}.

Evolutar [ editar ]

Generación de la evolución del cicloide desenvolviendo un cable tenso colocado en medio arco de cicloide (marcado en rojo)

La evolución del cicloide tiene la propiedad de ser exactamente el mismo cicloide del que se origina. De lo contrario, esto se puede ver desde la punta de un cable que se encuentra inicialmente en un medio arco de cicloide que describe un arco cicloide igual al que estaba sobre una vez desenvuelto (ver también péndulo cicloidal y longitud del arco ).

Demostración [ editar ]

Demostración de las propiedades de la evolución de un cicloide.

Hay varias manifestaciones de la afirmación. El que se presenta aquí utiliza la definición física de cicloide y la propiedad cinemática de que la velocidad instantánea de un punto es tangente a su trayectoria. Refiriéndose a la imagen adyacente,$${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}}Son dos puntos tangentes que pertenecen a dos círculos rodantes. Los dos círculos comienzan a rodar con la misma velocidad y la misma dirección sin patinar.$${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}}Empieza a dibujar dos arcos cicloides como en la imagen. Teniendo en cuenta la línea de conexión$${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle P_ {2}}en un instante arbitrario (línea roja), es posible probar que la línea está en cualquier momento tangente en$${\ displaystyle P_ {2}}al arco inferior y ortogonal a la tangente en $${\ displaystyle P_ {1}}del arco superior . Uno ve ese llamado$${\ displaystyle Q} El punto en común entre el círculo superior y el círculo inferior:

• $${\ displaystyle P_ {1}, Q, P_ {2}} están alineados porque $${\ displaystyle {\ widehat {P_ {1} O_ {1} Q}} = {\ widehat {P_ {2} O_ {2} Q}}} (igual velocidad de rodadura) y por lo tanto $${\ displaystyle {\ widehat {O_ {1} QP_ {1}}} = {\ widehat {O_ {2} QP_ {2}}}}. El punto$${\ displaystyle Q} se encuentra en la línea $${\ displaystyle O_ {1} O_ {2}} por lo tanto $${\ displaystyle {\ widehat {P_ {1} QO_ {1}}} + {\ widehat {P_ {1} QO_ {2}}} = \ pi} anuncio de manera análoga $${\ displaystyle {\ widehat {P_ {2} QO_ {2}}} + {\ widehat {P_ {2} QO_ {1}}} = \ pi}. De la igualdad de$${\ displaystyle {\ widehat {O_ {1} QP_ {1}}}} y $${\ displaystyle {\ widehat {O_ {2} QP_ {2}}}} uno tiene eso también $${\ displaystyle {\ widehat {P_ {1} QO_ {2}}} = {\ widehat {P_ {2} QO_ {1}}}}. Sigue$${\ displaystyle {\ widehat {P_ {1} QO_ {1}}} + {\ widehat {P_ {2} QO_ {1}}} = \ pi} .
• Si $${\ displaystyle A} es el punto de encuentro entre el perpendicular desde $${\ displaystyle P_ {1}} a la recta de $${\ displaystyle O_ {1} O_ {2}} y la tangente al círculo en $${\ displaystyle P2} , entonces el triangulo $${\ displaystyle P_ {1} AP_ {2}} es isósceles porque $${\ displaystyle {\ widehat {QP_ {2} A}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {P_ {2} O_ {2} Q}}} y $${\ displaystyle {\ widehat {QP_ {1} A}} = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {QO_ {1} R}} =}(Fácil de probar visto la construcción)$${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} {\ widehat {QO_ {1} P_ {1}}}}. Por la anterior igualdad señalada entre$${\ displaystyle {\ widehat {P_ {1} O_ {1} Q}}} y $${\ displaystyle {\ widehat {QO_ {2} P_ {2}}}}entonces $${\ displaystyle {\ widehat {QP_ {1} A}} = {\ widehat {QP_ {2} A}}} y $${\ displaystyle P_ {1} AP_ {2}} es isósceles.
• Conduciendo desde $${\ displaystyle P_ {2}} el ortogonal directo a $${\ displaystyle O_ {1} O_ {2}} , desde $${\ displaystyle P_ {1}} La línea recta tangente al círculo superior y llamando. $${\ displaystyle B} El punto de encuentro ahora es fácil de ver que $${\ displaystyle P_ {1} AP_ {2} B}es un rombo , utilizando los teoremas relativos a los ángulos entre líneas paralelas
• Ahora considera la velocidad $${\ displaystyle V_ {2}} de $${\ displaystyle P_ {2}}. Se puede ver como la suma de dos componentes, la velocidad de rodadura$${\ displaystyle V_ {a}} y la velocidad de deriva $${\ displaystyle V_ {d}}. Ambas velocidades son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin deslizarse.$${\ displaystyle V_ {d}} es paralelo a $${\ displaystyle P_ {1} A} y $${\ displaystyle V_ {a}} es tangente al círculo inferior en $${\ displaystyle P_ {2}} por lo tanto es paralelo a $${\ displaystyle P_ {2} A}. El rombo se constituye a partir de los componentes.$${\ displaystyle V_ {d}} y $${\ displaystyle V_ {a}} Es por lo tanto similar (los mismos ángulos) al rombo. $${\ displaystyle BP_ {1} AP_ {2}}Porque tienen lados paralelos. La velocidad total de$${\ displaystyle P_ {2}, V_ {2}} es entonces paralelo a $${\ displaystyle P_ {2} P_ {1}} Porque ambas son diagonales de dos rombos con lados paralelos y tienen en común con $${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}} el punto de contacto $${\ displaystyle P_ {2}}. De ello se deduce que el vector de velocidad$${\ displaystyle V_ {2}} se encuentra en la prolongación de $${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}. Porque$${\ displaystyle V_ {2}} Es tangente al arco de cicloides en. $${\ displaystyle P_ {2}} (propiedad de la velocidad de una trayectoria), se deduce que también $${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}} coincide con la tangente al arco cicloide inferior en $${\ displaystyle P_ {2}}.
• Análogamente, se puede demostrar fácilmente que $${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}} es ortogonal a $${\ displaystyle V_ {1}} (otra diagonal del rombo).
• La punta de un cable inextensible inicialmente se estiró en medio arco de cicloide inferior y se limitó al círculo superior en $${\ displaystyle P_ {1}}luego seguirá el punto a lo largo de su recorrido sin cambiar su longitud porque la velocidad de la punta es ortogonal a cada momento del cable (sin estiramiento ni compresión). El alambre será al mismo tiempo tangente en$${\ displaystyle P_ {2}}Al arco inferior debido a la tensión y los elementos demostrados. Si no fuera tangente, habría una discontinuidad en$${\ displaystyle P_ {2}} y en consecuencia habría fuerzas de tensión desequilibradas.

Area [ editar ]

Un arco de un cicloide generado por un círculo de radio r puede ser parametrizado por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r (t- \ sin t) \\ y & = r (1- \ cos t) \ fin {alineado}}}

con $${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r (1- \ cos t)}

$${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 2 \ pi.}

Ya que

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r (1- \ cos t)}

el área debajo del arco es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = \ int _ {x = 0} ^ {x = 2 \ pi r} y \, dx = \ int _ {t = 0} ^ {t = 2 \ pi} r ^ {2} (1- \ cos t) ^ {2} dt \\ & = \ left.r ^ {2} \ left ({\ frac {3} {2}} t-2 \ sin t + {\ frac {1} {2}} \ cos t \ sin t \ right) \ right | _ {t = 0} ^ {t = 2 \ pi} \\ & = 3 \ pi r ^ {2}. \ End {alineado }}}

Este resultado, y algunas generalizaciones, se pueden obtener sin cálculo mediante el cálculo visual de Mamikon .

Longitud del arco [ editar ]

La longitud del cicloide como consecuencia de la propiedad de su evolución.

La longitud de arco S de un arco está dada por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ operatorname {d} \! x} {\ operatorname {d} \ ! t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ operatorname {d} \! y} {\ operatorname {d} \! t}} \ right) ^ {2}}} \ operatorname {d} \! t \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r {\ sqrt {2-2 \ cos (t)}} \, \ operatorname {d} \! t \\ & = 2 \, r \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin {\ frac {t} {2}} \ \ operatorname {d} \! T \\ & = - 4 \, r \ left [ \ cos {\ frac {t} {2}} \, \ right] _ {0} ^ {2 \ pi} \\ & = 8 \, r. \ end {alineado}}}

Otra forma inmediata de calcular la longitud del cicloide dadas las propiedades de la evolución es observar que cuando un cable que describe una evolución ha sido completamente desenvuelto, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4r. Debido a que el cable no cambia la longitud durante el desenvolvimiento, se sigue que la longitud de la mitad de un arco de cicloide es 4r y un arco completo es 8r.

Péndulo cicloidal [ editar ]

Esta sección necesita expansión. Puedes ayudar añadiéndolo . (Diciembre de 2009 )

Esquema de un péndulo cicloidal.

Si un péndulo simple se suspende de la cúspide de un cicloide invertido, de manera que la "cuerda" se restringe entre los arcos adyacentes del cicloide, y la longitud L del péndulo es igual a la de la mitad de la longitud del arco del cicloide (es decir, dos veces el diámetro del círculo generador, L = 4r ), la sacudida del péndulo también traza un camino cicloide. Tal péndulo cicloidal es isócrono , independientemente de la amplitud. Al introducir un sistema de coordenadas centrado en la posición de la cúspide, la ecuación de movimiento viene dada por:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r [2 \ theta (t) + \ sin (2 \ theta (t))] \\ y & = r [-3- \ cos (2 \ theta (t)) ], \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle \ theta} es el ángulo de la parte recta de la cuerda con respecto al eje vertical, y está dado por

$${\ displaystyle \ sin \ theta (t) = A \ cos (\ omega t), \ qquad \ omega ^ {2} = {\ frac {g} {L}} = {\ frac {g} {4r}} ,}

donde A <1 i=""> es la "amplitud",$${\ displaystyle \ omega}Es la frecuencia en radios del péndulo yg la aceleración gravitacional.

Cinco péndulas cicloidales isócronas con diferentes amplitudes.

El matemático holandés del siglo XVII Christiaan Huygens descubrió y demostró estas propiedades del cicloide mientras buscaba diseños de reloj de péndulo más precisos para usar en la navegación. ^[dieciséis]

Curvas relacionadas [ editar ]

Varias curvas están relacionadas con el cicloide.

• Cicloide de Curtate : aquí el punto que traza la curva está dentro del círculo, que rueda en una línea.
• Prolate cicloide : aquí el punto que traza la curva está fuera del círculo, que rueda en una línea.
• Trocoide : se refiere a cualquiera de los cicloides, los cicloides curados y los cicloides prolatos.
• Hipocicloide : el punto está en el borde del círculo, que no gira en una línea sino en el interior de otro círculo.
• Epicicloide : el punto está en el borde del círculo, que no se desplaza en una línea sino en el exterior de otro círculo.
• Hipotrocoide : como hipocicloide, pero el punto no tiene que estar en el borde de su círculo.
• Epitrocoide : como epicicloide, pero el punto no tiene que estar en el borde de su círculo.

Todas estas curvas son ruletas con un círculo enrollado a lo largo de una curvatura uniforme . El cicloide, los epicicloides y los hipocicloides tienen la propiedad de que cada uno es similar a su evolución . Si q es el productode esa curvatura con el radio del círculo, con signo positivo para epi y negativo para hipo, entonces la curva: relación de similitud evolutiva es 1 + 2 q .

El clásico juguete Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .

Algunos medios tubos utilizados para patinar son casi cicloides

Uso en arquitectura [ editar ]

Arcos cicloidales en el Museo de Arte Kimbell

El arquitecto Louis Kahn utilizó el arco cicloidal en su diseño del Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, Texas . También se usó en el diseño del Centro Hopkins en Hanover, New Hampshire .

Uso en placa violín arqueando [ editar ]

Las primeras investigaciones indicaron que algunas curvas arqueadas transversales de las placas de los violines de la edad dorada están modeladas de cerca por curvas de cicloides de estado de estado. ^[17]Trabajos posteriores indican que los cicloides curados no sirven como modelos generales para estas curvas, ^[18] que varían considerablemente.

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La curva roja es un deltoides.

En geometría , un deltoides , también conocido como tricúsculoo curva de Steiner , es un hipocicloide de tres cúspides . En otras palabras, es la ruleta creada por un punto en la circunferencia de un círculo a medida que rueda sin deslizarse por el interior de un círculo con tres o una vez y media su radio. Lleva el nombre de la letra griega delta que se asemeja.

En términos más generales, un deltoides puede referirse a cualquier figura cerrada con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas al exterior, haciendo que los puntos interiores sean un conjunto no convexo. 

Ecuaciones [ editar ]

Un deltoides se puede representar (hasta la rotación y la traducción) mediante las siguientes ecuaciones paramétricas

$${\ displaystyle x = (ba) \ cos (t) + a \ cos \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ right) \,}

$${\ displaystyle y = (ba) \ sin (t) -a \ sin \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ right) \ ,,}

donde a es el radio del círculo rodante, b es el radio del círculo dentro del cual está rodando el círculo mencionado anteriormente. (En la ilustración de arriba b = 3a .)

En coordenadas complejas esto se convierte

$${\ displaystyle z = 2ae ^ {it} + ae ^ {- 2it}}.

La variable t puede eliminarse de estas ecuaciones para dar la ecuación cartesiana

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 18a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 27a ^ {4} = 8a (x ^ {3} -3xy ^ {2}), \,}

por lo que el deltoides es una curva algebraica plana de grado cuatro. En coordenadas polares esto se convierte en

$${\ displaystyle r ^ {4} + 18a ^ {2} r ^ {2} -27a ^ {4} = 8ar ^ {3} \ cos 3 \ theta \ ,.}

La curva tiene tres singularidades, cúspides correspondientes a $${\ displaystyle t = 0, \, \ pm {\ tfrac {2 \ pi} {3}}}. La parametrización anterior implica que la curva es racional, lo que implica que tiene el género cero.

Un segmento de línea puede deslizarse con cada extremo en el deltoides y permanecer tangente al deltoides. El punto de tangencia se desplaza alrededor del deltoides dos veces, mientras que cada extremo se desplaza alrededor de él una vez.

La curva dual del deltoides es

$${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0, \,}

que tiene un punto doble en el origen que puede hacerse visible para trazar mediante una rotación imaginaria y ↦ iy, dando la curva

$${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0 \,

Con un doble punto en el origen del plano real.

Área y perímetro [ editar ]

El área del deltoides es $${\ displaystyle 2 \ pi a ^ {2}}donde nuevamente a es el radio del círculo rodante; por lo tanto, el área del deltoides es el doble que la del círculo rodante. ^[2]

El perímetro (longitud de arco total) del deltoides es 16 a . ^[2]

Historia [ editar ]

Galileo Galilei y Marin Mersenne estudiaron los cicloides ordinarios desde 1599, pero Ole Rømer concibió las curvas cicloides por primera vez en 1674 mientras estudiaba la mejor forma de dientes de engranaje. Leonhard Euler reclama la primera consideración del deltoides real en 1745 en relación con un problema óptico.

Aplicaciones [ editar ]

Los deltoides surgen en varios campos de la matemática. Por ejemplo:

• El conjunto de valores propios complejos de matrices unistochastic de orden tres forma un deltoides.
• Una sección transversal del conjunto de matrices unistochastic de orden tres forma un deltoides.
• El conjunto de posibles trazas de matrices unitarias pertenecientes al grupo SU (3) forma un deltoides.
• La intersección de dos deltoides parametriza una familia de matrices de Hadamard complejas de orden seis.
• El conjunto de todas las líneas de Simson de un triángulo dado, forma un sobre con la forma de un deltoides. Esto se conoce como deltoides de Steiner o hipocicloides de Steiner después de que Jakob Steinerdescribiera la forma y simetría de la curva en 1856. ^[3]
• La envolvente de las bisectrices de área de un triángulo es un deltoides (en el sentido más amplio definido anteriormente) con vértices en los puntos medios de las medianas . Los lados del deltoides son arcos de hipérbolas que son asintóticas a los lados del triángulo. ^[4] [1]
• Se propuso un deltoides como solución al problema de la aguja de Kakeya .