GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

ELIPSE , CONTINUACIÓN

Aproximación por círculos osculantes [ editar ]

De la sección propiedades métricas se obtiene:

• El radio de curvatura en los vértices. $${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}} es: $${\ displaystyle {\ tfrac {b ^ {2}} {a}} \,}

El radio de curvatura en los co-vértices. $${\ displaystyle V_ {3}, V_ {4}} es: $${\ displaystyle {\ tfrac {a ^ {2}} {b}} \.}

El diagrama muestra una manera fácil de encontrar los centros. $${\ displaystyle C_ {1} = (a - {\ tfrac {b ^ {2}} {a}}, 0), \; C_ {3} = (0, b - {\ tfrac {a ^ {2} }{segundo}})} de curvatura en el vértice $${\ displaystyle V_ {1}} y co-vértice $${\ displaystyle V_ {3}}, respectivamente:

(1) marcar el punto auxiliar $${\ displaystyle H = (a, b)} y dibujar el segmento de línea $${\ displaystyle V_ {1} V_ {3} \,}

(2) trazar la línea a través $${\ displaystyle H}, que es perpendicular a la recta $${\ displaystyle V_ {1} V_ {3} \,}

(3) los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos oscilantes.

(Prueba: cálculo simple.)

Los centros para los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con la ayuda de una curva francesa, se dibuja una curva, que tiene un contacto suave con los círculos oscilantes.

Generación de Steiner [ editar ]

Elipse: generación de Steiner

Elipse: generación de Steiner

El siguiente método para construir puntos individuales de una elipse se basa en la generación de Steiner de una sección cónica no degenerada :

• Dados dos lapices $${\ displaystyle B (U), B (V)} de lineas en dos puntos $${\ displaystyle U, V}(todas las líneas que contienen $${\ displaystyle U} y $${\ displaystyle V}, respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no en perspectiva $${\ displaystyle \ pi} de $${\ displaystyle B (U)} sobre $${\ displaystyle B (V)}Luego, los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.

Para la generación de puntos de la elipse. $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} Uno usa los lápices en los vértices. $${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}. Dejar$${\ displaystyle P = (0, b)} ser un co-vértice superior de la elipse y $${\ displaystyle A = (- a, 2b), B = (a, 2b)}. $${\ displaystyle P} es el centro del rectángulo $${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}, B, A}. El lado $${\ displaystyle {\ overline {AB}}} del rectángulo se divide en n segmentos de línea espaciados iguales y esta división se proyecta paralela a la diagonal $${\ displaystyle AV_ {2}} como dirección en el segmento de línea $${\ displaystyle {\ overline {V_ {1} B}}}y asigne la división como se muestra en el diagrama. La proyección paralela junto con el reverso de la orientación es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en$${\ displaystyle V_ {1}} y $${\ displaystyle V_ {2}}necesario. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas.$${\ displaystyle V_ {1} B_ {i}} y $${\ displaystyle V_ {2} A_ {i}}Son puntos de la elipse definida de forma única. Con ayuda de los puntos.$${\ displaystyle C_ {1}, \ dotsc}Los puntos del segundo cuarto de la elipse pueden ser determinados. Análogamente, uno obtiene los puntos de la mitad inferior de la elipse.

La generación Steiner también existe para hiperbolas y parábolas. A veces se le llama método de paralelogramoporque se pueden usar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Ellipsographs [ editar ]

La mayoría de los instrumentos técnicos para dibujar puntos suspensivos se basan en el segundo método de transferencia de papel.

• Ellipsenzirkel (alemán)
• Instrumentos de dibujo

Angulos inscritos y forma de tres puntos [ editar ]

Círculos [ editar ]

Círculo: teorema del ángulo inscrito

Un circulo con ecuacion {\ displaystyle (xc) ^ {2} + (yd) ^ {2} = r ^ {2}, \ r> 0 \,} se determina únicamente por tres puntos $${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), \; (x_ {2}, y_ {2}), \; (x_ {3}, y_ {3})}no en una linea Una forma sencilla de determinar los parámetros.$${\ displaystyle c, d, r}usa el teorema de ángulo inscrito para círculos:

Por cuatro puntos $${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,4,} (ver diagrama) la siguiente afirmación es verdadera:

Los cuatro puntos están en un círculo si y solo si los ángulos en $${\ displaystyle P_ {3}} y $${\ displaystyle P_ {4}} son iguales.

Usualmente uno mide ángulos inscritos por grado o radio . Para obtener una ecuación de un círculo determinada por tres puntos, la siguiente medición es más conveniente:

• Para medir un ángulo entre dos líneas con ecuaciones. $${\ displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, \ y = m_ {2} x + d_ {2} \, m_ {1} \ neq m_ {2}} uno usa el cociente

$${\ displaystyle {\ frac {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} \.}

Esta expresión es la cotangente del ángulo entre las dos líneas .

Teorema ángulo inscrito para los círculos [ editar ]

Por cuatro puntos $${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,4,}, no hay tres de ellos en una línea (ver diagrama), la siguiente afirmación es verdadera:

Los cuatro puntos están en un círculo, si y solo si los ángulos en $${\ displaystyle P_ {3}} y $${\ displaystyle P_ {4}}son iguales. En el sentido de la medida anterior, eso significa, si

$${\ displaystyle {\ frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + (y_ {4} -y_ {1}) (y_ {4} -y_ {2 })} {(y_ {4} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) - (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})} } = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2} )} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} }

Al principio, la medida está disponible para los acordes, que no son paralelos únicamente al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier acorde.

Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para los círculos es la

Forma de tres puntos de la ecuación del círculo [ editar ]

Se obtiene la ecuación del círculo determinada por tres puntos. $${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i})} no en una línea por una conversión de la ecuación

$${\ displaystyle {\ frac {({\ color {verde} x} -x_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ {2}) + ({\ color {rojo} y} -y_ { 1}) ({\ color {rojo} y} -y_ {2})} {({\ color {rojo} y} -y_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ {2}) - ({\ color {rojo} y} -y_ {2}) ({\ color {verde} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} \.}

Usando vectores, productos de puntos y determinantes, esta fórmula se puede organizar más claramente:

$${\ displaystyle {\ frac {({\ color {red} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {1}) \ cdot ({\ color {red} {\ vec {x} }} - {\ vec {x}} _ {2})} {\ det ({\ color {red} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {1}, {\ color {red} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {2})}} = {\ frac {({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x} } _ {1}) \ cdot ({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {2})} {\ det ({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {1}, {\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {2})}} \ ;.}

Por ejemplo, para $${\ displaystyle P_ {1} = (2,0), \; P_ {2} = (0,1), \; P_ {3} = (0,0)} la forma de tres puntos es

$${\ displaystyle {\ frac {(x-2) x + y (y-1)} {yx- (y-1) (x-2)}} = 0}, que puede ser reordenado a $${\ displaystyle (x-1) ^ {2} + (y-1/2) ^ {2} = 5/4 \.}

En forma cerrada, el centro de un círculo dado tres puntos está dado por

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {y_ {1} -y_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}} \\ {\ frac {x_ {1} -x_ {3 }} {y_ {1} -y_ {3}}} & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {c} \\ y_ {c} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}} {2 (x_ {1} -x_ { 2})}} \\ {\ frac {y_ {1} ^ {2} -y_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}} {2 ( y_ {1} -y_ {3})}} \ end {bmatrix}}}

El radio es la distancia entre cualquiera de los tres puntos y el centro.

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {c}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {c}) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ { 2} -x_ {c}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {c}) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {3} -x_ {c}) ^ {2} + (y_ {3} -y_ {c}) ^ {2}}}}

Elipses [ editar ]

Esta sección considera los puntos suspensivos con una ecuación.

{\ displaystyle {\ frac {(xc) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(yd) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \ quad \ leftrightarrow \ quad (xc) ^ {2} + {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} (yd) ^ {2} = a ^ {2}, \ quad c, d, \ in \ mathbb {R}, \ a> 0 \,}

donde la proporción $${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}}}se fija . Con la abreviatura$${\ displaystyle {\ color {azul} q} = {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} \} se obtiene la forma más conveniente.

• {\ displaystyle (xc) ^ {2} + {\ color {azul} q} \; (yd) ^ {2} = a ^ {2}, \ quad c, d \ in \ mathbb {R}, \; a> 0 \;} y {\ displaystyle \; q> 0 \;} fijo .

Tales elipses tienen sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su excentricidad fija. Sus ejes principales son paralelos al eje x si{\ displaystyle q> 1}y paralela al eje y si{\ displaystyle q <1 font="">.

Teorema del ángulo inscrito para una elipse.

Como un círculo, tal elipse está determinada por tres puntos que no están en una línea.

En este caso más general, uno introduce la siguiente medida de un ángulo: ^[6] [7]

• Para medir un ángulo entre dos líneas con ecuaciones. $${\ displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, \ y = m_ {2} x + d_ {2} \, m_ {1} \ neq m_ {2}} uno usa el cociente

$${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ color {azul} q} \; m_ {1} \ cdot m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} \.}

Teorema de ángulo inscrito para elipsis [ editar ]

Por cuatro puntos $${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,4,}, no hay tres de ellos en una línea (ver diagrama), la siguiente afirmación es verdadera:

Los cuatro puntos están en una elipse con ecuación. $${\ displaystyle (xc) ^ {2} + q \; (yd) ^ {2} = a ^ {2}}, si y solo si los angulos en $${\ displaystyle P_ {3}} y $${\ displaystyle P_ {4}} son iguales en el sentido de la medida anterior, es decir, si

$${\ displaystyle {\ frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + {\ color {azul} q} \; (y_ {4} -y_ {1} ) (y_ {4} -y_ {2})} {(y_ {4} -y {1}) (x_ {4} -x_ {2}) - (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + {\ color {azul} q} \; ( y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) - (y_ {3 } -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} \.}

Al principio, la medida está disponible solo para acordes que no son paralelos al eje y. Pero la fórmula final funciona para cualquier acorde. La prueba se deduce de un cálculo sencillo. Para la dirección de la prueba, dado que los puntos están en una elipse, se puede suponer que el centro de la elipse es el origen.

Una consecuencia del teorema de ángulo inscrito para las elipses es la

Forma de tres puntos de la ecuación de la elipse [ editar ]

Se obtiene la ecuación de la elipse determinada por tres puntos. $${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i})} no en una línea por una conversión de la ecuación

$${\ displaystyle {\ frac {({\ color {verde} x} -x_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ {2}) + {\ color {azul} q} \; ({ \ color {rojo} y} -y_ {1}) ({\ color {rojo} y} -y_ {2})} {({\ color {rojo} y} -y_ {1}) ({\ color { verde} x} -x_ {2}) - ({\ color {rojo} y} -y_ {2}) ({\ color {verde} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + {\ color {azul} q} \; (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ { 2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1}) }} \.}

De manera análoga al caso del círculo, esta fórmula se puede escribir más claramente usando vectores:

$${\ displaystyle {\ frac {({\ color {red} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {1}) * ({\ color {red} {\ vec {x}} } - {\ vec {x}} _ {2})} {\ det ({\ color {red} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {1}, {\ color { rojo} {\ vec {x}}} - {\ vec {x}} _ {2})}} = {\ frac {({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {1}) * ({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {2})} {\ det ({\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {1}, {\ vec {x}} _ {3} - {\ vec {x}} _ {2})}} \ ;,}

dónde $${\ displaystyle *}es el producto de punto modificado $${\ displaystyle \; {\ vec {u}} * {\ vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + {\ color {azul} q} u_ {y} v_ {y} \ ;.}

Por ejemplo, para $${\ displaystyle P_ {1} = (2,0), \; P_ {2} = (0,1), \; P_ {3} = (0,0)} y $${\ displaystyle q = 4} uno obtiene la forma de tres puntos

$${\ displaystyle {\ frac {(x-2) x + 4y (y-1)} {yx- (y-1) (x-2)}} = 0 \} y después de la conversión $${\ displaystyle \; {\ frac {(x-1) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(y-1/2) ^ {2}} {1/2}} = 1 \; .}

Relación Pole-polar [ editar ]

Elipse: relación polo-polar.

Cualquier elipse se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}. La ecuación de la tangente en un punto.$${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})} de la elipse es $${\ displaystyle {\ tfrac {x_ {0} x} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y_ {0} y} {b ^ {2}}} = 1.} Si uno permite punto $${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})} Para ser un punto arbitrario diferente del origen, entonces

• punto $${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}) \ neq (0,0)} se asigna en la línea $${\ displaystyle {\ frac {x_ {0} x} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {0} y} {b ^ {2}}} = 1}, no a través del centro de la elipse.

Esta relación entre puntos y líneas es una bijección .

Los mapas de función inversa

• línea $${\ displaystyle y = mx + d, \ d \ neq 0} en el punto $${\ displaystyle \ left (- {\ frac {ma ^ {2}} {d}}, {\ frac {b ^ {2}} {d}} \ right)} y

línea $${\ displaystyle x = c, \ c \ neq 0} en el punto $${\ displaystyle \ left ({\ frac {a ^ {2}} {c}}, 0 \ right) \.}

Dicha relación entre los puntos y las líneas generadas por una cónica se denomina relación polar-polar o simplemente polaridad . El polo es el punto, el polar la línea. Ver polaco y polar .

Por cálculo, se pueden confirmar las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la elipse:

• Para un punto (polo) en la elipse, el polar es la tangente en este punto (vea el diagrama:$${\ displaystyle P_ {1}, \ p_ {1}}).
• Para un palo $${\ displaystyle P} fuera de la elipse, los puntos de intersección de su polar con la elipse son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan$${\ displaystyle P} (ver diagrama: $${\ displaystyle P_ {2}, \ p_ {2}}).
• Para un punto dentro de la elipse, el polar no tiene ningún punto con la elipse en común. (ver diagrama:$${\ displaystyle F_ {1}, \ l_ {1}}).

1. El punto de intersección de dos polares es el polo de la línea a través de sus polos.
2. Los focos $${\ displaystyle (c, 0),} y $${\ displaystyle (-c, 0)} respectivamente y las directrices $${\ displaystyle x = {\ tfrac {a ^ {2}} {c}}} y $${\ displaystyle x = - {\ tfrac {a ^ {2}} {c}}} Pertenecen respectivamente a pares de polos y polares.

Las relaciones polo-polares existen también para hiperbolas y parábolas.

Propiedades métricas [ editar ]

Todas las propiedades métricas dadas a continuación se refieren a una elipse con ecuación $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}.

Area [ editar ]

El area $${\ displaystyle A _ {\ text {elipse}}} Encerrado por una elipse es:

• $${\ displaystyle A _ {\ text {elipse}} = \ pi ab}

dónde $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b}son las longitudes de los ejes semi mayor y semi menor, respectivamente. La fórmula del área$${\ displaystyle \ pi ab} Es intuitivo: comienza con un círculo de radio. $${\ displaystyle b} (por lo que su área es $${\ displaystyle \ pi b ^ {2}}) y estirarlo por un factor $${\ displaystyle a / b}para hacer una elipse. Esto escala el área por el mismo factor:$${\ displaystyle \ pi b ^ {2} (a / b) = \ pi ab.} También es fácil probar rigurosamente la fórmula del área utilizando la integración de la siguiente manera. La ecuación ( 1 ) se puede reescribir como$${\ displaystyle y (x) = b {\ sqrt {1-x ^ {2} / a ^ {2}}}.} por $${\ displaystyle x \ en [-a, a],}esta curva es la mitad superior de la elipse. Así que el doble de la integral de$${\ displaystyle y (x)} durante el intervalo $${\ displaystyle [-a, a]} Será el área de la elipse:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A _ {\ text {elipse}} & = \ int _ {- a} ^ {a} 2b {\ sqrt {1-x ^ {2} / a ^ {2}}} \, dx \\ & = {\ frac {b} {a}} \ int _ {- a} ^ {a} 2 {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx. \ end {alineado}}}

La segunda integral es el área de un círculo de radio. $${\ displaystyle a,} es decir, $${\ displaystyle \ pi a ^ {2}.} Asi que

$${\ displaystyle A _ {\ text {elipse}} = {\ frac {b} {a}} \ pi a ^ {2} = \ pi ab.}

Una elipse definida implícitamente por $${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = 1} tiene area $${\ displaystyle 2 \ pi / {\ sqrt {4AC-B ^ {2}}}.}

El área también se puede expresar en términos de excentricidad y la longitud del eje semi mayor como $${\ displaystyle a ^ {2} \ pi {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} (Obtenido resolviendo para aplanar, luego calculando el eje semi menor).

Circunferencia [ editar ]

La circunferencia $${\ displaystyle C} de una elipse es:

$${\ displaystyle C = 4a \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta = 4aE (e)}

donde otra vez $${\ displaystyle a} es la longitud del eje semi-mayor, $${\ displaystyle e} es la excentricidad $${\ displaystyle {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}},} y la función $${\ displaystyle E}es la integral elíptica completa del segundo tipo ,

$${\ displaystyle E (e) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta.}

La circunferencia de la elipse se puede evaluar en términos de $${\ displaystyle E (e)}utilizando la media aritmética-geométrica de Gauss ; ^[8] este es un método iterativo de convergencia cuadrática. ^[9]

La serie infinita exacta es:

$${\ displaystyle C = 2 \ pi a \ left [{1- \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} e ^ {2} - \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {2} {\ frac {e ^ {4}} {3}} - \ left ({\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ right) ^ {2} {\ frac {e ^ {6}} {5}} - \ cdots} \ right]}

$${\ displaystyle = 2 \ pi a \ left [1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ derecha) ^ {2} {\ frac {e ^ {2n}} {2n-1}} \ derecha],

dónde $${\ displaystyle n !!}Es el doble factorial . Desafortunadamente, esta serie converge bastante lentamente; sin embargo, al expandirse en términos de$${\ displaystyle h = (ab) ^ {2} / (a ​​+ b) ^ {2},}Ivory ^[10] y Bessel ^[11] derivaron una expresión que converge mucho más rápidamente,

$${\ displaystyle C = \ pi (a + b) \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n } n!}} \ right) ^ {2} {\ frac {h ^ {n}} {(2n-1) ^ {2}}} \ right].}

$${\ displaystyle = \ pi (a + b) \ left [1 + {\ frac {h} {4}} + \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {(2n- 3) !!} {2 ^ {n} n!}} \ Right) ^ {2} h ^ {n} \ right].}

Ramanujan da dos buenas aproximaciones para la circunferencia en el § 16 de "Ecuaciones modulares y aproximaciones a$${\ displaystyle \ pi}"; ^[12] son

$${\ displaystyle C \ approx \ pi \ left [3 (a + b) - {\ sqrt {(3a + b) (a + 3b)}} \ right] = \ pi \ left [3 (a + b) - {\ sqrt {10ab + 3 (a ^ {2} + b ^ {2})}} \ right]}

y

$${\ displaystyle C \ approx \ pi \ left (a + b \ right) \ left (1 + {\ frac {3h} {10 + {\ sqrt {4-3h}}}} \ right).

Los errores en estas aproximaciones, que se obtuvieron empíricamente, son de orden. $${\ displaystyle h ^ {3}} y $${\ displaystyle h ^ {5},}respectivamente.

Más generalmente, la longitud del arco de una parte de la circunferencia, como una función del ángulo subtendido (o x -coordinadas de cualquiera de los dos puntos en la mitad superior de la elipse), está dada por una integral elíptica incompleta . La mitad superior de una elipse está parametrizada por

$${\ displaystyle y = b {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}.}

Entonces la longitud del arco $${\ displaystyle s} desde $${\ displaystyle x_ {1}} a $${\ displaystyle x_ {2}} es:

$${\ displaystyle s = -b \ int _ {\ arccos {\ frac {x_ {1}} {a}}} ^ {\ arccos {\ frac {x_ {2}} {a}}} {\ sqrt {1 - \ left (1 - {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) \ sin ^ {2} z}} \, \ mathrm {d} z.}

Esto es equivalente a

$${\ displaystyle s = -b {\ Biggr [} E \ left (z \, {\ Biggr |} \, 1 - {\ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) { \ Biggr]} _ {\ arccos {\ frac {x_ {1}} {a}}} ^ {\ arccos {\ frac {x_ {2}} {a}}}}

dónde $${\ displaystyle E (z \, | \, m)} es la integral elíptica incompleta del segundo tipo con parámetro $${\ displaystyle m = k ^ {2}.}

Ver también: arco meridiano § Distancia meridiana en el elipsoide

La función inversa , el ángulo subtendido en función de la longitud del arco, viene dado por las funciones elípticas. ^{[ cita requerida ]}

Algunos límites inferiores y superiores en la circunferencia de la elipse canónica $${\ displaystyle x ^ {2} / a ^ {2} + y ^ {2} / b ^ {2} = 1} con $${\ displaystyle a \ geq b}son ^[13]

$${\ displaystyle 2 \ pi b \ leq C \ leq 2 \ pi a,}

$${\ displaystyle \ pi (a + b) \ leq C \ leq 4 (a + b),}

$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ leq C \ leq {\ sqrt {2}} \ pi {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} }}.}

Aquí el límite superior $${\ displaystyle 2 \ pi a}es la circunferencia de un círculo concéntrico circunscrito que pasa por los puntos finales del eje mayor de la elipse y el límite inferior$${\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}es el perímetro de un rombo inscrito con vérticesen los puntos finales de los ejes mayor y menor.

Curvatura [ editar ]

La curvatura está dada por$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {a ^ {2} b ^ {2}}} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {- {\ frac {3} {2}}} \,} radio de curvatura en el punto$${\ displaystyle (x, y)}:

$${\ displaystyle \ rho = a ^ {2} b ^ {2} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {3/2} = {\ frac {1} {a ^ {4} b ^ {4}}} {\ sqrt {\ left (a ^ {4} y ^ { 2} + b ^ {4} x ^ {2} \ derecha) ^ {3}}} \.}

Radio de curvatura en los dos vértices. $${\ displaystyle (\ pm a, 0)} y los centros de curvatura:

$${\ displaystyle \ rho _ {0} = {\ frac {b ^ {2}} {a}} = p \, \ qquad \ left (\ pm {\ frac {c ^ {2}} {a}} \ , {\ bigg |} \, 0 \ right) \.}

Radio de curvatura en los dos co-vértices. $${\ displaystyle (0, \ pm b)} y los centros de curvatura:

$${\ displaystyle \ rho _ {1} = {\ frac {a ^ {2}} {b}} \, \ qquad \ left (0 \, {\ bigg |} \, \ pm {\ frac {c ^ { 2}} {b}} \ derecha) \.}

Como cuadric [ editar ]

Elipse general [ editar ]

Artículo principal: Representación matricial de secciones cónicas.

En la geometría analítica , la elipse se define como una cuadrática: el conjunto de puntos$${\ displaystyle (X, Y)}del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisface la ecuación implícita ^[14] [15]

$${\ displaystyle ~ AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}

previsto {\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0 .="" font="">

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, vamos Δ ser el factor determinante

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {vmatrix}};}

es decir,

$${\ displaystyle \ Delta = \ left (AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}} \ right) F + {\ frac {BED} {4}} - {\ frac {CD ^ {2}} {4}} - {\ frac {AE ^ {2}} {4}}.}

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y solo si C∆ <0 .="" font="" nbsp="" si="">C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[16] : p.63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de un eje semi mayor conocido $${\ displaystyle a}eje semi menor $${\ displaystyle b}centro de coordenadas $${\ displaystyle (x_ {c}, y_ {c})} y ángulo de rotación $${\ displaystyle \ Theta} utilizando las siguientes fórmulas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = a ^ {2} (\ sin \ Theta) ^ {2} + b ^ {2} (\ cos \ Theta) ^ {2} \\ B & = 2 (b ^ {2} -a ^ {2}) \ sin \ Theta \ cos \ Theta \\ C & = a ^ {2} (\ cos \ Theta) ^ {2} + b ^ {2} (\ sin \ Theta) ^ {2} \\ D & = - 2Ax_ {c} -By_ {c} \\ E & = - Bx_ {c} -2Cy_ {c} \\ F & = Ax_ {c} ^ {2} + Bx_ {c} y_ { c} + Cy_ {c} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2} \ end {alineado}}}

Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica (ver la siguiente sección) sustituyendo las coordenadas con expresiones para la rotación y la traducción del sistema de coordenadas:

$${\ displaystyle {\ frac {x_ {can} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {can} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

$${\ displaystyle x_ {can} = (x-x_ {c}) \ cos \ Theta + (y-y_ {c}) \ sin \ Theta}

$${\ displaystyle y_ {can} = - (x-x_ {c}) \ sin \ Theta + (y-y_ {c}) \ cos \ Theta}

Forma canónica [ editar ]

Dejar {\ displaystyle a> b}. Mediante el cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traducción de ejes ), la elipse general se puede describir mediante la ecuación implícita canónica

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}

aquí $${\ displaystyle (x, y)} son las coordenadas del punto en el sistema canónico, cuyo origen es el centro $${\ displaystyle (X_ {c}, Y_ {c})} de la elipse, cuya $${\ displaystyle x}-axis es el vector unitario $${\ displaystyle (X_ {a}, Y_ {a})} coincidiendo con el eje mayor, y cuyo $${\ displaystyle y}-El eje es el vector perpendicular. $${\ displaystyle (-Y_ {a}, X_ {a})}coincidiendo con el eje menor. Es decir,$${\ displaystyle x = X_ {a} (X-X_ {c}) + Y_ {a} (Y-Y_ {c})} y $${\ displaystyle y = -Y_ {a} (X-X_ {c}) + X_ {a} (Y-Y_ {c})}.

En este sistema, el centro es el origen. $${\ displaystyle (0,0)} y los focos son $${\ displaystyle (-ea, 0)} y $${\ displaystyle (+ ea, 0)}por la excentricidad e .

Cualquier elipse se puede obtener por rotación y traslación de una elipse canónica con los diámetros adecuados. La expresión de una elipse centrada en$${\ displaystyle (X_ {c}, Y_ {c})} es

$${\ displaystyle {\ frac {(x-X_ {c}) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(y-Y_ {c}) ^ {2}} {b ^ { 2}}} = 1}

Además, cualquier elipse canónica puede obtenerse escalando el círculo unitario de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}, definida por la ecuación

$${\ displaystyle X ^ {2} + Y ^ {2} = 1 \,}

por factores a y b a lo largo de los dos ejes.

Para una elipse en forma canónica, tenemos

$${\ displaystyle Y = \ pm b {\ sqrt {1- (X / a) ^ {2}}} = \ pm {\ sqrt {(a ^ {2} -X ^ {2}) (1-e ^ {2})}}}

Las distancias desde un punto. $${\ displaystyle (X, Y)} en la elipse a la izquierda y derecha los focos son $${\ displaystyle a + eX} y $${\ displaystyle a-eX}, respectivamente.

Los coeficientes de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general utilizando las siguientes ecuaciones:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a, b & = {\ frac {- {\ sqrt {2 {\ Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} -4AC) F {\ Big)} \ left (A + C \ pm {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} \ right)}}} {B ^ {2} -4AC}} \ \ X_ {c} & = {\ frac {2CD-BE} {B ^ {2} -4AC}} \\ Y_ {c} & = {\ frac {2AE-BD} {B ^ {2} -4AC} } \\\ Theta & = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for}} B = 0, A C \\\ arctan {\ frac {CA - {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {B}} & {\ text {for}} B \ neq 0 \ end { casos}} \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle \ Theta} es el ángulo desde el eje horizontal positivo al eje mayor de la elipse.

Formas polares [ editar ]

Forma polar relativa al centro [ editar ]

Coordenadas polares centradas en el centro.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular$${\ displaystyle \ theta}medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[16] : p. 75}

$${\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {ab} {\ sqrt {(b \ cos \ theta) ^ {2} + (a \ sin \ theta) ^ {2}}}} = {\ frac { b} {\ sqrt {1- (e \ cos \ theta) ^ {2}}}}}

Forma polar relativa al foco [ editar ]

Coordenadas polares centradas en el foco

Si, por el contrario, usamos coordenadas polares con el origen en un enfoque, con la coordenada angular $${\ displaystyle \ theta = 0} todavía medido desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es

$${\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1 \ pm e \ cos \ theta}}}

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia $${\ displaystyle \ theta = 0} apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro.

En el caso ligeramente más general de una elipse con un foco en el origen y el otro en la coordenada angular $${\ displaystyle \ phi}, la forma polar es

$${\ displaystyle r = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1-e \ cos (\ theta - \ phi)}}.}

El ángulo $${\ displaystyle \ theta}En estas fórmulas se llama la verdadera anomalía del punto. El numerador$${\ displaystyle a (1-e ^ {2})}de estas fórmulas es el semitransparecto de la elipse, generalmente denotado$${\ displaystyle l}. Es la distancia desde un foco de la elipse hasta la propia elipse, medida a lo largo de una línea perpendicular al eje mayor.

Como hipotrocoide [ editar ]

Una elipse (en rojo) como un caso especial de hipotrocoide con  R  = 2 r

La elipse es un caso especial del hipotrocoide cuando  R  = 2 r , como se muestra en la imagen adyacente. El caso especial de un círculo móvil con radio.$${\ displaystyle r} dentro de un circulo con radio $${\ displaystyle R = 2r}Se llama una pareja tusi .

En geometría triangular [ editar ]

Las elipses aparecen en geometría triangular como

1. Elipse de Steiner : elipse a través de los vértices del triángulo con el centro en el centroide,
2. inellipses : elipsis que tocan los lados de un triángulo. Casos especiales son el Steiner inellipse y el Mandart inellipse .

Como secciones planas de Quadrics [ editar ]

Los puntos suspensivos aparecen como secciones planas de las siguientes cuadráticas :

• Elipsoide
• Cono elíptico
• Cilindro elíptico
• Hiperboloide de una hoja
• Hiperboloide de dos hojas.

• 

  Elipsoide
 
• 

  Cono elíptico
 
• 

  Cilindro elíptico
 
• 

  Hiperboloide de una hoja
• 

  Hiperboloide de dos hojas.

Aplicaciones [ editar ]

Física [ editar ]

Reflectores elípticos y acústicos [ editar ]

Ver también: zona de Fresnel.

Si la superficie del agua se altera en un foco de un tanque de agua elíptico, las ondas circulares de esa perturbación, después de reflejarse en las paredes, convergen simultáneamente en un solo punto: el segundo foco . Esto es una consecuencia de que la longitud total del viaje es la misma a lo largo de cualquier camino de rebote de pared entre los dos focos.

De manera similar, si una fuente de luz se coloca en un foco de un espejo elíptico , todos los rayos de luz en el plano de la elipse se reflejan en el segundo foco. Como ninguna otra curva suave tiene una propiedad de este tipo, puede usarse como una definición alternativa de una elipse. (En el caso especial de un círculo con una fuente en su centro, toda la luz se reflejaría de nuevo en el centro.) Si la elipse se gira a lo largo de su eje principal para producir un espejo elipsoidal (específicamente, un esferoide prolato ), esta propiedad se cumple. Para todos los rayos salidos de la fuente. Alternativamente, se puede usar un espejo cilíndrico con sección transversal elíptica para enfocar la luz de una lámpara fluorescente lineal a lo largo de una línea del papel; tales espejos se utilizan en algunosescáneres de documentos .

Las ondas de sonido se reflejan de manera similar, por lo que en una gran sala elíptica una persona que se encuentra en un foco puede escuchar a una persona que se encuentra en el otro foco notablemente bien. El efecto es aún más evidente bajo un techo abovedado con forma de sección de un esferoide prolato. A esa habitación se le llama cámara de susurros . El mismo efecto se puede demostrar con dos reflectores en forma de los extremos de un esferoide de este tipo, colocados uno frente al otro a la distancia adecuada. Algunos ejemplos son el National Statuary Hall en el Capitolio de los Estados Unidos (donde se dice que John Quincy Adams usó esta propiedad para espiar asuntos políticos); el tabernáculo mormón en la plaza del temploen Salt Lake City , Utah ; en una exhibición sobre sonido en el Museo de Ciencia e Industria de Chicago ; frente a la Universidad de Illinois en el Auditorio Foellinger de Urbana-Champaign ; y también en una cámara lateral del palacio de Carlos V, en la Alhambra .

Orbitas planetarias [ editar ]

Artículo principal: Órbita elíptica.

En el siglo XVII, Johannes Kepler descubrió que las órbitas a lo largo de las cuales los planetas viajan alrededor del Sol son elipsis con el Sol [aproximadamente] en un foco, en su primera ley del movimiento planetario . Más tarde, Isaac Newton explicó esto como un corolario de su ley de gravitación universal .

Más generalmente, en el problema gravitacional de dos cuerpos , si los dos cuerpos están unidos entre sí (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son elipsis similares, siendo el baricentro común uno de los focos de cada elipse. El otro enfoque de cualquiera de las elipse no tiene un significado físico conocido. La órbita de cualquier cuerpo en el marco de referencia del otro es también una elipse, con el otro cuerpo en el mismo foco.

Las órbitas elípticas Keplerianas son el resultado de cualquier fuerza de atracción dirigida radialmente cuya fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Por lo tanto, en principio, el movimiento de dos partículas con carga opuesta en el espacio vacío también sería una elipse. (Sin embargo, esta conclusión ignora las pérdidas debidas a la radiación electromagnética y los efectos cuánticos , que se vuelven importantes cuando las partículas se mueven a gran velocidad).

Para las órbitas elípticas , relaciones útiles que implican la excentricidad.$${\ displaystyle e} son:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} e & = {\ frac {r_ {a} -r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}}} = {\ frac {r_ {a} -r_ {p }} {2a}} \\ r_ {a} & = (1 + e) ​​a \\ r_ {p} & = (1-e) a \ end {alineado}}}

dónde

• $${\ displaystyle r_ {a}}es el radio en apoapsis (la distancia más lejana)
• $${\ displaystyle r_ {p}}es el radio en la periapsis (la distancia más cercana)
• $${\ displaystyle a}es la longitud del eje semi-mayor

Además, en términos de $${\ displaystyle r_ {a}} y $${\ displaystyle r_ {p}}, el eje semi-mayor $${\ displaystyle a}Es su media aritmética , el eje semi-menor.$${\ displaystyle b}es su media geométrica , y el recto semi-latus $${\ displaystyle l}Es su media armónica . En otras palabras,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a & = {\ frac {r_ {a} + r_ {p}} {2}} \\ b & = {\ sqrt {r_ {a} \ cdot r_ {p}}} \ \ l & = {\ frac {2} {{\ frac {1} {r_ {a}}} + {\ frac {1} {r_ {p}}}}} = {\ frac {2r_ {a} r_ { p}} {r_ {a} + r_ {p}}} \ end {alineado}}}.

Osciladores armónicos [ editar ]

La solución general para un oscilador armónico en dos o más dimensiones también es una elipse. Tal es el caso, por ejemplo, de un péndulo largo que puede moverse libremente en dos dimensiones; de una masa unida a un punto fijo por un resorte perfectamente elástico ; o de cualquier objeto que se mueva bajo la influencia de una fuerza atractiva que sea directamente proporcional a su distancia desde un atractor fijo. Sin embargo, a diferencia de las órbitas de Kepler, estas "órbitas armónicas" tienen el centro de atracción en el centro geométrico de la elipse y tienen ecuaciones de movimiento bastante simples.

Visualización de fase [ editar ]

En electrónica , la fase relativa de dos señales sinusoidales se puede comparar alimentándolas a las entradas vertical y horizontal de un osciloscopio . Si la pantalla es una elipse, en lugar de una línea recta, las dos señales están fuera de fase.

Engranajes elípticos [ editar ]

Dos engranajes no circulares con el mismo contorno elíptico, cada uno de ellos girando alrededor de un enfoque y posicionados en el ángulo adecuado, giran suavemente mientras mantienen el contacto en todo momento. Alternativamente, se pueden conectar mediante una cadena de enlace o una correa de distribución , o en el caso de una bicicleta, el plato principal puede ser elíptico o un ovoide similar a una elipse en forma. Dichos engranajes elípticos se pueden usar en equipos mecánicos para producir una velocidad angular o un torque variable a partir de una rotación constante del eje motriz, o en el caso de una bicicleta para permitir una velocidad de rotación variable del cigüeñal con una ventaja mecánica inversamente variable .

Los engranajes elípticos de la bicicleta facilitan el deslizamiento de la cadena cuando se cambian los engranajes. ^[17]

Un ejemplo de aplicación de engranajes sería un dispositivo que enrolla hilo en una bobina cónica en una máquina de hilar . La bobina necesitaría enrollarse más rápido cuando el hilo está cerca del vértice que cuando está cerca de la base. ^[18]

Óptica [ editar ]

• En un material que es ópticamente anisotrópico ( birrefringente ), el índice de refracción depende de la dirección de la luz. La dependencia puede ser descrita por un índice elipsoide . (Si el material es ópticamente isotrópico , este elipsoide es una esfera).
• En los láseres de estado sólido bombeados por lámpara, se han usado reflectores elípticos con forma de cilindro para dirigir la luz desde la lámpara de la bomba (coaxial con un eje focal de la elipse) a la barra del medio activo (coaxial con el segundo eje focal). ^[19]
• En las fuentes de luz EUV producidas por láser y plasma utilizadas en la litografía de microchip , la luz EUV es generada por el plasma colocado en el foco primario de un espejo elipsoide y se recolecta en el foco secundario en la entrada de la máquina de litografía. ^[20]

Estadísticas y finanzas [ editar ]

En las estadísticas , un vector aleatorio bivariado ( X , Y ) se distribuye de manera elíptica conjunta si sus contornos de isodensidad (loci de valores iguales de la función de densidad) son puntos suspensivos. El concepto se extiende a un número arbitrario de elementos del vector aleatorio, en cuyo caso en general los contornos de isodensidad son elipsoides . Un caso especial es la distribución normal multivariable . Las distribuciones elípticas son importantes en las finanzas.porque si las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen de forma elíptica de manera conjunta, todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza, es decir, cualquiera de las dos carteras con media y varianza idénticas de rentabilidad de la cartera tienen distribuciones idénticas de la rentabilidad de la cartera. ^[21] [22]

Gráficos por computadora [ editar ]

Dibujar una elipse como gráfico primitivo es común en las bibliotecas de visualización estándar, como la API QuickDraw de MacIntosh y Direct2D en Windows. Jack Bresenham en IBM es el más famoso por la invención de los primitivos de dibujo 2D, incluido el dibujo de líneas y círculos, que utiliza solo operaciones de enteros rápidos, como la suma y la derivación en el bit de acarreo. MLV Pitteway extendió el algoritmo de Bresenham para líneas a cónicas en 1967. ^[23] Otra generalización eficiente para dibujar elipsis fue inventada en 1984 por Jerry Van Aken. ^[24]

En 1970, Danny Cohen presentó en la conferencia "Computer Graphics 1970" en Inglaterra un algoritmo lineal para dibujar elipses y círculos. En 1971, LB Smith publicó algoritmos similares para todas las secciones cónicas y demostró que tienen buenas propiedades. ^[25] Estos algoritmos necesitan solo unas pocas multiplicaciones y adiciones para calcular cada vector.

Es beneficioso utilizar una formulación paramétrica en gráficos de computadora porque la densidad de puntos es mayor donde hay más curvatura. Por lo tanto, el cambio en la pendiente entre cada punto sucesivo es pequeño, reduciendo la aparente "irregularidad" de la aproximación.

Dibujando con caminos Bézier.

Las curvas de Bézier compuestas también se pueden usar para dibujar una elipse con suficiente precisión, ya que cualquier elipse se puede interpretar como una transformación afín de un círculo. Los métodos de spline utilizados para dibujar un círculo se pueden usar para dibujar una elipse, ya que las curvas de Bézierconstituyentes se comportan apropiadamente bajo tales transformaciones.

Teoría de la optimización [ editar ]

A veces es útil encontrar la elipse de límite mínima en un conjunto de puntos. El método elipsoide es bastante útil para atacar este problema.