GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

crunode (arcaico) o nodo es un punto donde una curva se interseca a sí misma, de modo que ambas ramas de la curva tienen distintas líneas tangentesen el punto de intersección. Un crunodo también se conoce como un punto doble ordinario . ^[1]

Para una curva plana , definida como el lugar geométrico de los puntos f ( x , y ) = 0, donde f ( x , y ) es una función uniforme de las variables x e y que se extiende sobre los números reales, un crunodo de la curva es una singularidadde la función f , donde ambas derivadas parciales $${\ displaystyle \ partial f \ over \ partial x} y $${\ displaystyle \ partial f \ over \ partial y}desaparecer. Además, la matriz de Hessian de segundos derivados tendrá valores propios positivos y negativos .

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Un triángulo de Reuleaux es una curva de ancho constante. Los lados de la plaza son líneas de apoyo: cada una toca la curva pero no se cruza con el interior. El triángulo de Reuleaux se puede rotar mientras toca siempre cada lado del cuadrado en un solo punto; esto demuestra que su ancho (separación entre líneas de soporte paralelas) es constante en todas las direcciones.

Diagrama de construcción para generar una curva de ancho constante a partir de un triángulo. y es un factor de relleno no negativo (haga clic en el diagrama para obtener más detalles).

En geometría , una curva de ancho constante es una forma plana convexa cuyo ancho (definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas que tienen al menos un punto en común con el límite de la forma pero ninguna con el interior de la forma) es la misma independientemente de La orientación de la curva.

Más generalmente, cualquier cuerpo plano convexo compacto D tiene un par de líneas de soporte paralelas en cualquier dirección dada. Una línea de apoyo es una línea que tiene al menos un punto en común con el límite de D, pero no tiene puntos en común con el interior de D. El ancho del cuerpo se define como antes. Si el ancho de D es el mismo en todas las direcciones, se dice que el cuerpo tiene un ancho constante y su límite es una curva de ancho constante ; El propio cuerpo planar se llama orbiform .

El ancho de un círculo es constante: su diámetro. Por otro lado, el ancho de un cuadrado varía entre la longitud de un lado y el de una diagonal, en la relación$${\ displaystyle 1: {\ sqrt {2}}}. Así surge la pregunta: si el ancho de una forma dada es constante en todas las direcciones, ¿es necesariamente un círculo? La respuesta sorprendente es que hay muchas formas no circulares de ancho constante. Un ejemplo no trivial es el triángulo de Reuleaux . Para construir esto, tome un triángulo equilátero con los vértices ABC y dibuje el arco BC en el círculo centrado en A, el arco CA en el círculo centrado en B y el arco AB en el círculo centrado en C. La figura resultante es constante anchura.

El triángulo de Reuleaux carece de continuidad tangente en tres puntos, pero las curvas de ancho constante también se pueden construir sin tales discontinuidades ^[1] (como se muestra en la segunda ilustración a la derecha). Las curvas de ancho constante se pueden generar uniendo arcos circulares centrados en los vértices de un polígono convexo regular o irregular con un número impar de lados (triángulo, pentágono, heptágono, etc.).

Propiedades [ editar ]

Las curvas de ancho constante se pueden rotar entre segmentos de línea paralelos. Para ver esto, simplemente tenga en cuenta que, por definición, se pueden rotar segmentos de línea paralelos (líneas de soporte) alrededor de curvas de ancho constante. En consecuencia, una curva de ancho constante se puede girar en un cuadrado .

Un resultado básico en curvas de ancho constante es el teorema de Barbier , que afirma que el perímetro de cualquier curva de ancho constante es igual al ancho ( diámetro ) multiplicado por π. Un ejemplo simple de esto sería un círculo con ancho ( diámetro ) d que tiene un perímetro de πd.

Por la desigualdad isoperimétrica y el teorema de Barbier, el círculo tiene el área máxima de cualquier curva de ancho constante dado. El teorema de Blaschke-Lebesgue dice que el triángulo de Reuleaux tiene la menor área de cualquier curva convexa de ancho constante dado.

La relación exacta entre la longitud y el área de una curva regular suave $${\ displaystyle C} de ancho constante es el siguiente:

$${\ displaystyle L_ {C} ^ {2} = 4 \ pi A_ {C} +8 \ pi {\ big |} {\ widetilde {A}} _ {0.5} {\ big |},}

dónde $${\ displaystyle L_ {C}, A_ {C}, {\ widetilde {A}} _ {0.5}} denota la longitud de $${\ displaystyle C}, el área de la región limitada por $${\ displaystyle C}y el área orientada de la cáustica Wigner de$${\ displaystyle C}, respectivamente. ^{[3] Las} curvas de ancho constante también dan la igualdad en la desigualdad isoperimétrica mejorada .

Aplicaciones [ editar ]

Rodillos

Una rueda normal (que gira alrededor de un eje fijo ) debe ser de forma circular para permitir un movimiento suave hacia adelante (sin ningún tipo de bache vertical). Sin embargo, un "rodillo" suelto (es decir, una varilla cilíndrica o pseudo-cilíndrica) norequiere una sección transversal circular para permitir un movimiento suave hacia adelante; cualquier curva de ancho constante (como la sección transversal del rodillo) funcionará, incluidas las secciones transversales, por supuesto, pero también las secciones transversales triangulares de Reuleaux, y más Curvas de lados constantes de anchura constante. Por lo tanto, si un material de transporte plano se coloca en dos o más rodillos (con formas de sección transversal que son curvas del mismo ancho constante) que descansan sobre una superficie plana del suelo, el material de transporte permanecerá a una altura constante del superficie del suelo a medida que se empuja hacia adelante (aunque los propios rodillos parecerán "moverse de una manera curiosamente irregular" si su forma es significativamente no circular). ^[4]

Las curvas de ancho constante también son la respuesta general a un enigma : "¿Qué forma puedes hacer una tapa de pozo para que no pueda caer a través del agujero?" En la práctica, no hay ninguna razón convincente para hacer que las tapas de pozo no sean circulares. Los círculos son más fáciles de mecanizar y no necesitan girarse a una alineación particular para sellar el orificio.

Generalizaciones [ editar ]

Un triángulo en forma de lente que gira en un triángulo equilátero

Las curvas (( curvas delta ), la más simple de las cuales es el círculo , son curvas que pueden rotarse en el triángulo equilátero , ^[5] tienen muchas propiedades similares a las curvas de ancho constante. Las curvas delta de altura h comparten el mismo perímetro, 2π h / 3 . ^[5]

La generalización de la definición de cuerpos de ancho constante a cuerpos convexos en R³ y sus límites conduce al concepto de superficie de ancho constante (en el caso de un triángulo de Reuleaux, esto no conduce a un tetraedro de Reuleaux , sino a cuerpos de Meissner ) . También existe el concepto de curvas espaciales de ancho constante, cuyos anchos están definidos por planos tangentes .

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos famosos de una curva de ancho constante son las monedas británicas de 20p y 50p . Su forma heptagonal con lados curvos significa que el detector de moneda en una máquina automática de monedas siempre medirá el mismo ancho, sin importar desde qué ángulo tome su medida. Lo mismo ocurre con el loonie de 11 caras (moneda del dólar canadiense).

Existe un polinomio. $${\ displaystyle f (x, y)} de grado 8, cuya variedad (es decir, conjunto de puntos en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} para cual $${\ displaystyle f (x, y) = 0}) es una curva no circular de ancho constante. ^[6] Específicamente,

$${\ displaystyle f (x, y) = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {4} -45 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {3} -41283 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} +7950960 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 16 (x ^ {2} -3y ^ {2}) ^ {3}}

$${\ displaystyle +48 (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} -3y ^ {2}) ^ {2} + (x ^ {2} -3y ^ {2}) x [16 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -5544 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 266382] -720 ^ {3}.}