GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

acorde de un círculo es un segmento de línea recta cuyos puntos finales se encuentran en el círculo. Una línea secante , o simplemente secante , es la extensión de línea infinita de un acorde. Más generalmente, un acorde es un segmento de línea que une dos puntos en cualquier curva, por ejemplo, una elipse . Un acorde que pasa a través del punto central de un círculo es el diámetro del círculo. Cada diámetro es un acorde, pero no todo acorde es un diámetro.

La palabra acorde es del latín chorda que significa cuerda de arco .

El segmento rojo BX es un acorde
(al igual que el segmento de diámetro AB ).

En círculos [ editar ]

Artículo principal: Círculo § Acorde

Entre las propiedades de los acordes de un círculo están las siguientes:

1. Los acordes son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. Los acordes iguales están subtendidos por ángulos iguales desde el centro del círculo.
3. Un acorde que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es el acorde más largo.
4. Si las extensiones de línea (líneas secantes) de los acordes AB y CD se intersecan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP · PB = CP · PD ( potencia de un teorema de punto ).

En puntos suspensivos [ editar ]

Los puntos medios de un conjunto de acordes paralelos de una elipse son colineales . ^[1]

En trigonometría [ editar ]

Los acordes se utilizaron ampliamente en el desarrollo temprano de la trigonometría . La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hipparchus , tabuló el valor de la función de acorde por cada 7.5 grados . En el siglo II dC, Ptolomeo de Alejandría compiló una tabla de acordes más extensa en su libro de astronomía , que da el valor del acorde para ángulos que van desde 1/2 grado a 180 grados en incrementos de medio grado. El círculo tenía un diámetro de 120, y las longitudes de los acordes tienen una precisión de dos dígitos de base-60 después de la parte entera. ^[2]

La función de acorde se define geométricamente como se muestra en la imagen. El acorde de un ángulo es la longitud del acorde entre dos puntos en un círculo unitario separado por ese ángulo central. El ángulo θ se toma en el sentido positivo y debe estar en el intervalo de 0 < θ ≤ pi (radianes). La función de acorde puede relacionarse con la función sinusoidal moderna , tomando uno de los puntos para ser (1,0), y el otro punto para ser ( cos θ , sin θ ), y luego usar el teorema de Pitágoras para calcular el acorde longitud: ^[2]

$${\ displaystyle \ mathrm {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ izquierda ({\ frac {\ theta} {2}} \ derecha).}

El último paso utiliza la fórmula de medio ángulo . Así como la trigonometría moderna se basa en la función sinusoidal, la trigonometría antigua se construyó en la función de acorde. Se supone que Hipparchus escribió un trabajo de doce volúmenes sobre acordes, todos perdidos, por lo que probablemente se sabía mucho sobre ellos. La función de acorde satisface muchas identidades análogas a las modernas bien conocidas:

Nombre	Basado en el seno	Basado en el acorde
pitagórico	$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \,}	$${\ displaystyle \ mathrm {crd} ^ {2} \ theta + \ mathrm {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}
Ángulo medio	$${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}	$${\ displaystyle \ mathrm {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {2- \ mathrm {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}
Apotem ( a )	$${\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}}	$${\ displaystyle c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}
Ángulo ( θ )	$${\ displaystyle c = 2r \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}	$${\ displaystyle c = {\ frac {D} {2}} \ mathrm {crd} \ \ theta}

La función inversa también existe: ^[3]

$${\ displaystyle \ operatorname {acrd} (y) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {y} {2}} \ right).}

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Este artículo trata sobre la forma y el concepto matemático. Para otras aplicaciones, vea Círculo (desambiguación) .

"360 grados" y "360 °" redirigen aquí. Para otros usos, ver 360 grados (desambiguación) .

Circulo
Un círculo (negro), que se mide por su circunferencia ( C ), diámetro ( D ) en cian y radio ( R ) en rojo; Su centro ( O ) está en magenta.

Un círculo es una simple forma cerrada . Es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto dado, el centro ; de manera equivalente, es la curva trazada por un punto que se mueve en un plano para que su distancia desde un punto dado sea constante . La distancia entre cualquiera de los puntos y el centro se denomina radio . Este artículo trata sobre círculos en la geometría euclidiana y, en particular, el plano euclidiano, excepto donde se indique lo contrario.

Un círculo es una curva cerrada simple que divide el plano en dos regiones: un interior y un exterior. En el uso diario, el término "círculo" se puede usar indistintamente para referirse al límite de la figura o a toda la figura, incluido su interior; En el uso técnico estricto, el círculo es solo el límite y toda la figura se llama disco .

Un círculo también puede definirse como un tipo especial de elipseen el que los dos focos son coincidentes y la excentricidad es 0, o la forma bidimensional que encierra la mayor área por unidad de perímetro cuadrado, usando el cálculo de variaciones .

Definición de euclides

Un círculo es una figura plana delimitada por una línea, y de tal manera que todas las líneas rectas dibujadas desde un cierto punto dentro de la misma a la línea delimitadora, son iguales. La línea delimitadora se llama su circunferencia y el punto, su centro.

-  Euclides , Elementos , Libro I ^[1] : 4

Terminología

• Anillo : un objeto en forma de anillo, la región delimitada por dos círculos concéntricos .
• Arco : cualquier parte conectada de un círculo. Especificar dos puntos finales de un arco y un centro permite dos arcos que juntos forman un círculo completo.
• Centro : el punto equidistante de todos los puntos del círculo.
• Acorde : un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo, dividiendo así un círculo en dos sements.
• Circunferencia : la longitud de un circuito a lo largo del círculo, o la distancia alrededor del círculo.
• Diámetro : un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo y que pasa por el centro; o la longitud de dicho segmento de línea. Esta es la distancia más grande entre dos puntos del círculo. Es un caso especial de un acorde, es decir, el acorde más largo para un círculo dado, y su longitud es el doble de la longitud de un radio.
• Disco : la región del plano limitada por un círculo.
• Lente : la región común a (la intersección de) dos discos superpuestos.
• Pasante: una línea recta coplanar que no tiene ningún punto en común con el círculo.
• Radio : un segmento de línea que une el centro de un círculo con cualquier punto en el mismo círculo; o la longitud de dicho segmento, que es la mitad (la longitud de) un diámetro.
• Sector : una región delimitada por dos radios de igual longitud con un centro común y cualquiera de los dos arcos posibles, determinados por este centro y los puntos finales de los radios.
• Segmento : una región delimitada por un acorde y uno de los arcos que conectan los puntos finales del acorde. La longitud del acorde impone un límite inferior al diámetro de los posibles arcos. A veces, el término segmento se usa solo para las regiones que no contienen el centro del círculo al que pertenece su arco.
• Secante : un acorde extendido, una línea recta coplanar, intersectando un círculo en dos puntos.
• Semicírculo : uno de los dos arcos posibles determinados por los puntos finales de un diámetro, tomando su punto medio como centro. En el uso común no técnico puede significar el interior de la región bidimensional delimitada por un diámetro y uno de sus arcos, que técnicamente se denomina medio disco . Un medio disco es un caso especial de un segmento , a saber, el más grande.
• Tangente : una línea recta coplanar que tiene un único punto en común con un círculo ("toca el círculo en este punto").

Todas las regiones especificadas pueden considerarse abiertas , es decir, que no contienen sus límites, o cerradas , incluidos sus respectivos límites.

Acorde, secante, tangente, radio y diámetro

Arco, sector y segmento.

Historia

La brújula en este manuscrito del siglo 13 es un símbolo del acto de creación de Dios . Note también la forma circular del halo .

La palabra círculo deriva del griego κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ), en sí misma una metátesis del griego homérico κρίκος ( krikos ), que significa "aro" o "anillo". ^[2] Los orígenes de las palabras circo y circuito están estrechamente relacionados.

Pieza circular de seda con imágenes mongoles.

Círculos en un antiguo dibujo astronómico árabe .

El círculo ha sido conocido desde antes del comienzo de la historia registrada. Se habrían observado círculos naturales, como la Luna, el Sol y un tallo de planta corto que sopla en el viento sobre la arena, que forma una forma de círculo en la arena. El círculo es la base de la rueda , que, con invenciones relacionadas como los engranajes , hace posible gran parte de la maquinaria moderna. En matemáticas, el estudio del círculo ha ayudado a inspirar el desarrollo de la geometría, la astronomía y el cálculo.

Principios de la ciencia , especialmente la geometría y la astrología y la astronomía , se conecta a la divina para la mayoría de los eruditos medievales , y muchos creyeron que había algo intrínsecamente "divina" o "perfecta" que se podían encontrar en los círculos. ^[3] [4]

Algunos puntos destacados en la historia del círculo son:

• 1700 aC - El papiro Rhind brinda un método para encontrar el área de un campo circular. El resultado corresponde a 256/81 (3,16049 ...) como un valor aproximado de π . ^[5]

Torre Tughrul desde el interior

• 300 aC - El libro 3 de los Elementos de Euclides se ocupa de las propiedades de los círculos.
• En la séptima carta de Platón hay una definición detallada y una explicación del círculo. Platón explica el círculo perfecto y en qué se diferencia de cualquier dibujo, palabra, definición o explicación.
• 1880 dC - Lindemann prueba que π es trascendental , resolviendo efectivamente el problema de milenios de cuadrar el círculo . ^[6]

Resultados analíticos

Longitud de la circunferencia

Más información: circunferencia

La relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro es π (pi), una constante irracional aproximadamente igual a 3.141592654. Por lo tanto, la longitud de la circunferencia C se relaciona con el radio r y el diámetro d por:

$${\ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \,}

Área cerrada

Área encerrada por un círculo = π × área del cuadrado sombreado

Artículo principal: Área de un círculo.

Como lo demostró Arquímedes , en su Medida de un círculo , el área encerrada por un círculo es igual a la de un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, ^[7] que viene a π multiplicado por el radio al cuadrado:

$${\ displaystyle \ mathrm {Área} = \ pi r ^ {2}. \,}

Equivalente, denotando diámetro por d ,

$${\ displaystyle \ mathrm {Área} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \ approx 0 {.} 7854d ^ {2},}

es decir, aproximadamente el 79% del cuadrado de la circunscripción(cuyo lado es de longitud d ).

El círculo es la curva plana que encierra el área máxima para una longitud de arco dada. Esto relaciona el círculo con un problema en el cálculo de variaciones , a saber, la desigualdad isoperimétrica .

Ecuaciones

Coordenadas cartesianas

Círculo de radio r  = 1, centro ( a , b) = (1.2, −0.5)

Ecuación de un círculo
En un sistema de coordenadas cartesianas x - y , el círculo con las coordenadas del centro ( a , b ) y el radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) de manera que

$${\ displaystyle \ left (xa \ right) ^ {2} + \ left (yb \ right) ^ {2} = r ^ {2}.}

Esta ecuación , conocida como la Ecuación del Círculo, se deriva del teorema de Pitágoras aplicado a cualquier punto del círculo: como se muestra en el diagrama adyacente, el radio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos otros lados son de longitud | x - a | y | y - b |. Si el círculo está centrado en el origen (0, 0), la ecuación se simplifica a

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}. \! \}

Forma paramétrica
La ecuación se puede escribir en forma paramétrica usando las funciones trigonométricas seno y coseno como

$${\ displaystyle x = a + r \, \ cos t, \,}

$${\ displaystyle y = b + r \, \ sin t \,}

donde t es una variable paramétrica en el rango de 0 a 2 π , interpretada geométricamente como el ángulo que el rayo desde ( a ,  b ) a ( x ,  y ) forma con el eje x positivo .

Una parametrización alternativa del círculo es:

$${\ displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}. \,}

$${\ displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \,}

En esta parametrización, la relación de t a r se puede interpretar geométricamente como la proyección estereográfica de la línea que pasa a través del centro paralelo al eje x (consulte Sustitución de semiángulo tangente ). Sin embargo, esta parametrización funciona solo si t se hace para que se extienda no solo a través de todos los reales sino también a un punto en el infinito; de lo contrario, se omitiría el punto más abajo del círculo.

Forma de 3 puntos
La ecuación del círculo determinada por tres puntos.$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}no en una línea se obtiene mediante la conversión de la forma de 3 puntos de la ecuación de un círculo

$${\ displaystyle {\ frac {({\ color {verde} x} -x_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ {2}) + ({\ color {rojo} y} -y_ { 1}) ({\ color {rojo} y} -y_ {2})} {({\ color {rojo} y} -y_ {1}) ({\ color {verde} x} -x_ {2}) - ({\ color {rojo} y} -y_ {2}) ({\ color {verde} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Forma homogénea
En coordenadas homogéneas , cada sección cónica con la ecuación de un círculo tiene la forma

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0. \,}

Se puede demostrar que una sección cónica es un círculo exactamente cuando contiene (cuando se extiende al plano proyectivo complejo ) los puntos I (1: i : 0) y J (1: - i : 0). Estos puntos son llamados los puntos circulares en el infinito .

Coordenadas polares

En coordenadas polares , la ecuación de un círculo es:

$${\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2} \,}

donde a es el radio del círculo,$${\ displaystyle (r, \ theta)} es la coordenada polar de un punto genérico en el círculo, y $${\ displaystyle (r_ {0}, \ phi)}es la coordenada polar del centro del círculo (es decir, r ₀ es la distancia desde el origen hasta el centro del círculo, y φes el ángulo contrario a las agujas del reloj desde el eje x positivo a la línea que conecta el origen al centro de el círculo). Para un círculo centrado en el origen, es decir, r ₀ = 0, esto se reduce a simplemente r = a . Cuando r ₀ = a , o cuando el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte en

$${\ displaystyle r = 2a \ cos (\ theta - \ phi). \,}

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando

$${\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi )}},}

Tenga en cuenta que sin el signo ±, la ecuación en algunos casos describiría solo la mitad de un círculo.

Plano complejo

En el plano complejo , un círculo con un centro en c y un radio r tiene la ecuación:

$${\ displaystyle | zc | = r \,}.

En forma paramétrica , esto se puede escribir:

$${\ displaystyle z = re ^ {it} + c}.

La ecuación ligeramente generalizada.

$${\ displaystyle pz {\ overline {z}} + gz + {\ overline {gz}} = q}

para p real , q y complejo g a veces se llama un círculo generalizado . Esto se convierte en la ecuación anterior para un círculo con$${\ displaystyle p = 1, \ g = - {\ overline {c}}, \ q = r ^ {2} - | c | ^ {2}}, ya que $${\ displaystyle | zc | ^ {2} = z {\ overline {z}} - {\ overline {c}} zc {\ overline {z}} + c {\ overline {c}}}. No todos los círculos generalizados son en realidad círculos: un círculo generalizado es un círculo (verdadero) o una línea .

Lineas tangentes

Artículo principal: Líneas tangentes a círculos.

La línea tangente a través de un punto P en el círculo es perpendicular al diámetro que pasa por P . Si P = ( x ₁ , y ₁ ) y el círculo tiene centro ( a , b ) y radio r , entonces la línea tangente es perpendicular a la línea de ( a , b ) a ( x ₁ , y ₁ ), por lo que tiene la forma ( x ₁ - a ) x + ( y ₁ - b )y = c . Evaluando en ( x ₁ , y ₁ ) determina el valor de c y el resultado es que la ecuación de la tangente es

$${\ displaystyle (x_ {1} -a) x + (y_ {1} -b) y = (x_ {1} -a) x_ {1} + (y_ {1} -b) y_ {1} \,}

o

$${\ displaystyle (x_ {1} -a) (xa) + (y_ {1} -b) (yb) = r ^ {2}. \! \}

Si y ₁ ≠ b entonces la pendiente de esta línea es

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1} -a} {y_ {1} -b}}.

Esto también se puede encontrar utilizando la diferenciación implícita .

Cuando el centro del círculo está en el origen, la ecuación de la línea tangente se convierte en

$${\ displaystyle x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2}, \! \}

y su pendiente es

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1}} {y_ {1}}}.}

Propiedades

• El círculo es la forma con el área más grande para una longitud dada de perímetro. (Ver desigualdad isoperimétrica ).
• El círculo es una forma altamente simétrica: cada línea a través del centro forma una línea de simetría de reflexión y tiene simetría de rotación alrededor del centro para cada ángulo. Su grupo de simetría es el grupo ortogonal O (2, R ). El grupo de rotaciones por sí solo es el grupo círculo T .
• Todos los círculos son similares .
  • La circunferencia y el radio de un círculo son proporcionales .
  • El área encerrada y el cuadrado de su radio son proporcionales .
  • Las constantes de proporcionalidad son 2 π y π , respectivamente.
• El círculo que está centrado en el origen con el radio 1 se llama círculo unitario .
  • Pensado como un gran círculo de la esfera unitaria , se convierte en el círculo riemanniano .
• A través de cualquiera de los tres puntos, no todos en la misma línea, se encuentra un círculo único. En coordenadas cartesianas , es posible dar fórmulas explícitas para las coordenadas del centro del círculo y el radio en términos de las coordenadas de los tres puntos dados. Ver circuncírculo .

Acorde

• Los acordes son equidistantes del centro de un círculo si y solo si tienen la misma longitud.
• La bisectriz perpendicular de una cuerda pasa a través del centro de un círculo; Las declaraciones equivalentes derivadas de la singularidad de la bisectriz perpendicular son:
  • Una línea perpendicular desde el centro de un círculo biseca la cuerda.
  • El segmento de línea a través del centro que divide un acorde es perpendicular al acorde.
• Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo están subtendidos por el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
• Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces son iguales.
• Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en lados opuestos del acorde, entonces son suplementarios .
  • Para un cuadrilátero cíclico , el ángulo exterior es igual al ángulo opuesto interior.
• Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto (consulte el teorema de Thales ).
• El diámetro es el acorde más largo del círculo.
  • Entre todos los círculos con una cuerda AB en común, el círculo con radio mínimo es el que tiene un diámetro AB.
• Si la intersección de dos acordes divide un acorde en longitudes a y b y divide el otro cordón en longitudes c y d , entonces ab = cd .
• Si la intersección de cualquiera de los dos acordes perpendiculares divide un acorde en las longitudes a y b y divide el otro acorde en las longitudes c y d , entonces a ² + b ² + c ² + d ² es igual al cuadrado del diámetro. ^[8]
• La suma de las longitudes cuadradas de cualquiera de los dos acordes que se intersecan en ángulos rectos en un punto dado es la misma que la de los otros dos acordes perpendiculares que se intersecan en el mismo punto, y está dada por 8 r ² - 4 p ² (donde r es el radio del círculo yp es la distancia desde el punto central hasta el punto de intersección). ^[9]
• La distancia desde un punto en el círculo hasta un acorde dado por el diámetro del círculo es igual al producto de las distancias desde el punto hasta los extremos de la cuerda. ^{[10] : p.71}

Tangente

• Una línea trazada perpendicular a un radio a través del punto final del radio que se encuentra en el círculo es una tangente al círculo.
• Una línea trazada perpendicular a una tangente a través del punto de contacto con un círculo pasa a través del centro del círculo.
• Siempre se pueden dibujar dos tangentes a un círculo desde cualquier punto fuera del círculo, y estas tangentes tienen la misma longitud.
• Si una tangente en A y una tangente en B se intersecan en el punto exterior P , entonces denotando el centro como O , los ángulos BOA y ∠ BPA son suplementarios .
• Si AD es tangente al círculo en A y si AQ es una cuerda del círculo, entonces ∠ DAQ = 1/2 arco ( AQ ) .

Teoremas

Teorema secante-secante

Ver también: Potencia de un punto.

• El teorema de acordes establece que si dos acordes, CD y EB , se intersecan en A , entonces AC × AD = AB × AE .
• Si dos secantes, AE y AD , también cortan el círculo en B y Crespectivamente, entonces AC × AD = AB × AE . (Corolario del teorema del acorde.)
• Una tangente puede considerarse un caso limitante de una secante cuyos extremos son coincidentes. Si una tangente de un punto externo A se encuentra con el círculo en F y una secante del punto externo A se encuentra con el círculo en C y D respectivamente, entonces AF ² = AC × AD . (Teorema de la tangente secante).
• El ángulo entre un acorde y la tangente en uno de sus puntos finales es igual a la mitad del ángulo subtendido en el centro del círculo, en el lado opuesto del acorde (ángulo de acorde tangente).
• Si el ángulo subtendido por el acorde en el centro es de 90 grados, entonces ℓ = r √ 2 , donde ℓ es la longitud del acorde y r es el radio del círculo.
• Si se inscriben dos secantes en el círculo como se muestra a la derecha, entonces la medida del ángulo A es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos cerrados ($${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {DE}}} y $${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {BC}}}). Es decir,$${\ displaystyle 2 \ angle {CAB} = \ angle {DOE} - \ angle {BOC}}donde O es el centro del círculo. Este es el teorema secante-secante.

Angulos inscritos

Ver también: Teorema del ángulo inscrito.

Teorema de angulo inscrito

Un ángulo inscrito (los ejemplos son los ángulos azul y verde en la figura) es exactamente la mitad del ángulo central correspondiente (rojo). Por lo tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (rosa) son iguales. Los ángulos inscritos en el arco (marrón) son suplementarios. En particular, cada ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto (ya que el ángulo central es de 180 grados).

Sagitta

La sagita es el segmento vertical.

• La sagitta (también conocida como versine ) es un segmento de línea trazada perpendicular a una cuerda, entre el punto medio de esa cuerda y el arco del círculo.
• Dada la longitud y de un acorde y la longitud x de la sagita, el teorema de Pitágoras se puede usar para calcular el radio del círculo único que se ajustará alrededor de las dos líneas:

$${\ displaystyle r = {\ frac {y ^ {2}} {8x}} + {\ frac {x} {2}}.}

Otra prueba de este resultado, que se basa únicamente en las dos propiedades de acorde dadas anteriormente, es la siguiente. Dado un acorde de longitud y y con una sagitta de longitud x , ya que la sagita se interseca con el punto medio de la cuerda, sabemos que es parte de un diámetro del círculo. Como el diámetro es el doble del radio, la parte "faltante" del diámetro es ( 2 r - x ) de longitud. Usando el hecho de que una parte de un acorde multiplicado por la otra parte es igual al mismo producto tomado a lo largo de un acorde que se interseca con el primer acorde, encontramos que ( 2 r - x ) x = ( y / 2) ² . Resolviendo para r, nos encontramos con el resultado requerido.

Construcciones de compás y regla.

Hay muchas construcciones de brújula y regla que dan como resultado círculos.

Lo más simple y básico es la construcción dado el centro del círculo y un punto en el círculo. Coloque la pata fija de la brújula en el punto central, la pata móvil en la punta del círculo y gire la brújula.

Construye un círculo con un diámetro dado.

• Construye el punto medio M del diámetro.
• Construya el círculo con el centro M pasando a través de uno de los puntos finales del diámetro (también pasará a través del otro punto final).

Construya un círculo a través de los puntos A, B y C encontrando las bisectrices perpendiculares (rojas) de los lados del triángulo (azules). Solo dos de las tres bisectrices son necesarias para encontrar el centro.

Construye un círculo a través de 3 puntos no colineales.

• Nombra los puntos P , Q y R ,
• Construir la bisectriz perpendicular del segmento. PQ .
• Construir la bisectriz perpendicular del segmento. PR .
• Etiqueta el punto de intersección de estas dos bisectrices perpendiculares M . (Se reúnen porque los puntos no son colineales).
• Construya el círculo con el centro M pasando por uno de los puntos P , Q o R (también pasará a través de los otros dos puntos).

Circulo de apolonio

Ver también: Círculos de Apolonio.

Definición de Apollonius de un círculo: d ₁ / d ₂ constante

Apolonio de Perga mostró que un círculo también puede definirse como el conjunto de puntos en un plano que tiene una constante de proporción (que no sea 1) de las distancias a dos focos fijos, A y B . ^[11] [12] (El conjunto de puntos donde las distancias son iguales es la bisectriz perpendicular del segmento AB , una línea). A veces se dice que ese círculo está dibujado alrededor de dos puntos.

La prueba está en dos partes. Primero, uno debe probar que, dados los dos focos A y B y una relación de distancias, cualquier punto P que satisfaga la relación de distancias debe caer en un círculo particular. Sea C otro punto, que también satisfaga la proporción y quede sobre el segmento AB . Por el teorema de bisectriz de ángulo, el segmento de línea PC bisecará el ángulo interior APB , ya que los segmentos son similares:

$${\ displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = {\ frac {AC} {BC}}.

De manera análoga, un segmento de línea PD a través de algún punto D en AB extendido biseca el ángulo exterior BPQ correspondiente donde Q está en AP extendido. Dado que los ángulos interior y exterior suman 180 grados, el ángulo CPD es exactamente 90 grados, es decir, un ángulo recto . El conjunto de puntos P, de modo que el ángulo CPD es un ángulo recto, forma un círculo, de los cuales CD es un diámetro.

En segundo lugar, consulte ^{[13] : p.15} para ver una prueba de que cada punto en el círculo indicado satisface la proporción dada.

Relaciones cruzadas

Una propiedad de los círculos estrechamente relacionada implica la geometría de la relación cruzada de puntos en el plano complejo . Si A , B y C son como las anteriores, entonces el círculo de Apollonius para estos tres puntos es la colección de puntos P para los cuales el valor absoluto de la relación cruzada es igual a uno:

$${\ displaystyle | [A, B; C, P] | = 1. \}

Dicho de otra manera, P es un punto en el círculo de Apolonio si y solo si la relación cruzada [ A , B ; C , P ] está en el círculo unitario en el plano complejo.

Circulos generalizados

Ver también: Círculo generalizado.

Si C es el punto medio del segmento AB , entonces la colección de puntos P que cumple la condición de Apolonio

$${\ displaystyle {\ frac {| AP |} {| BP |}} = {\ frac {| AC |} {| BC |}}} 

No es un círculo, sino una línea.

Por lo tanto, si a A , B y C se les dan puntos distintos en el plano, entonces el lugar geométrico de los puntos P que satisfacen la ecuación anterior se llama un "círculo generalizado". Puede ser un círculo verdadero o una línea. En este sentido, una línea es un círculo generalizado de radio infinito.

Círculos inscritos o circunscritos sobre otras figuras.

En cada triángulo se puede inscribir un círculo único, llamado incircle , de manera que sea tangente a cada uno de los tres lados del triángulo. ^[14]

Acerca de cada triángulo, un círculo único, llamado circuncírculo , puede circunscribirse de tal manera que atraviese cada uno de los tres vértices del triángulo . ^[15]

Un polígono tangencial , como un cuadrilátero tangencial , es cualquier polígono convexo dentro del cual se puede inscribir un círculo que es tangente a cada lado del polígono. ^[16] Cada polígono regular y cada triángulo es un polígono tangencial.

Un polígono cíclico es cualquier polígono convexo sobre el cual se puede circunscribir un círculo , pasando a través de cada vértice. Un ejemplo bien estudiado es el cuadrilátero cíclico . Cada polígono regular y cada triángulo es un polígono cíclico. Un polígono que es tanto cíclico como tangencial se denomina polígono bicéntrico .

Un hipocicloide es una curva que se inscribe en un círculo dado al trazar un punto fijo en un círculo más pequeño que rueda dentro y es tangente al círculo dado.

Círculo como caso límite de otras figuras.

El círculo se puede ver como un caso límite de cada una de varias otras figuras:

• Un óvalo cartesiano es un conjunto de puntos de tal manera que una suma ponderada de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos ( focos ) es una constante. Una elipse es el caso en el que los pesos son iguales. Un círculo es una elipse con una excentricidad de cero, lo que significa que los dos focos coinciden entre sí como el centro del círculo. Un círculo es también un caso especial diferente de un óvalo cartesiano en el que uno de los pesos es cero.
• Un superelipse tiene una ecuación de la forma.$${\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | ^ {n} \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | ^ {n} \! = 1 }para positivo a , b , y n . Un supercírculo tiene b = a . Un círculo es el caso especial de un supercírculo en el que n = 2 .
• Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos tales que el producto de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una constante. Cuando los dos puntos fijos coinciden, resulta un círculo.
• Una curva de ancho constante es una figura cuyo ancho, definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas, cada una que interseca su límite en un solo punto, es la misma independientemente de la dirección de esas dos líneas paralelas. El círculo es el ejemplo más simple de este tipo de figura.

Círculos en otras p-normas

Ilustraciones de círculos unitarios(véase también superellipse ) en p -normas diferentes (cada vector desde el origen hasta el círculo unitario tiene una longitud de uno, la longitud se calcula con la fórmula de longitud de la p correspondiente ).

Al definir un círculo como el conjunto de puntos con una distancia fija desde un punto, diferentes formas pueden considerarse círculos bajo diferentes definiciones de distancia. En p-norma , la distancia está determinada por

$${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n} | ^ {p} \ derecha) ^ {1 / p}.}

En geometría euclidiana, p = 2, dando lo familiar.

$${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2} + \ dotsb + | x_ {n } | ^ {2}}}.}

En la geometría del taxi , p = 1. Los círculos del taxi son cuadrados con lados orientados en un ángulo de 45 ° con respecto a los ejes de coordenadas. Mientras que cada lado tendría longitud$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} r}utilizando una métrica euclidiana , donde r es el radio del círculo, su longitud en la geometría del taxi es 2 r . Por lo tanto, la circunferencia de un círculo es 8 r . Así, el valor de un análogo geométrico para$${\ displaystyle \ pi}Es 4 en esta geometría. La fórmula para el círculo unitario en taxicab geometry es$${\ displaystyle | x | + | y ​​| = 1}en coordenadas cartesianas y

$${\ displaystyle r = {\ frac {1} {| \ sin \ theta | + | \ cos \ theta |}}}

en coordenadas polares .

Un círculo de radio 1 (usando esta distancia) es el vecindario de von Neumann de de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( L _∞ métrica ) en un plano también es un cuadrado con una longitud de lado 2 r paralela a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia de Chebyshev planar se puede ver como equivalente por rotación y escala a la distancia de taxi planar. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones más altas.

Cuadrar el circulo

La cuadratura del círculo es el problema, propuesto por los antiguos geometristas , de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo un número finito de pasos con brújula y regla .

En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( π ) es un número trascendental , en lugar de un número irracional algebraico ; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales .