GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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"Binormal" redirige aquí. Para el significado teórico de la categoría de esta palabra, consulte el morfismo normal .

Una curva de espacio; los vectores T , N y B ; y el plano de oscilación abarcado por T y N

En geometría diferencial , las fórmulas de Frenet-Serretdescriben las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva continua y diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional ℝ ³ , o las propiedades geométricas de la curva en sí, independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen los derivados de los llamados vectores de unidades tangentes, normales y binormales en términos de cada uno. Las fórmulas llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet, en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret. en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal actualmente en uso para escribir estas fórmulas aún no estaban en uso en el momento de su descubrimiento.

Los vectores de unidades tangentes, normales y binormales, a menudo llamados T , N y B , o colectivamente el marco Frenet-Serret o el marco TNB , juntos forman una base ortonormal que abarca ℝ ³ y se definen de la siguiente manera:

• T es el vector unitario tangente a la curva, que apunta en la dirección del movimiento.
• N es el vector de unidad normal , la derivada de T con respecto al parámetro de longitud de arco de la curva, dividida por su longitud.
• B es el vector unitario binormal, el producto cruzado de T y N .

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dfrac {d \ mathbf {T}} {ds}} & = & \ kappa & \ mathbf {N}, \\ {\ dfrac {d \ mathbf {N}} { ds}} & = - \ kappa \ mathbf {T} &&& + \ tau & \ mathbf {B}, \\ {\ dfrac {d \ mathbf {B}} {ds}} & = & - \ tau & \ mathbf {N}, \ end {alineado}}}

donde d / ds es la derivada con respecto a la longitud del arco, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva. Los dos escalares κ y τ definen efectivamente la curvatura y torsión de una curva espacial. La colección asociada, T , N , B , κ y τ , se denomina aparato de Frenet-Serret . Intuitivamente, la curvatura mide la falla de una curva para ser una línea recta, mientras que la torsión mide la falla de una curva para ser plana.

Definiciones [ editar ]

Los vectores T y N en dos puntos de una curva plana, una versión traducida del segundo cuadro (con puntos) y el cambio en T : δ T ' . δs es la distancia entre los puntos. En el limite$${\ displaystyle {\ tfrac {d \ mathbf {T}} {ds}}}estará en la dirección N y la curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

Sea r ( t ) una curva en el espacio euclidiano , que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a las curvas que no son degeneradas , lo que significa aproximadamente que tienen una curvatura distinta de cero . Más formalmente, en esta situación, el vector de velocidad r ′ ( t ) y el vector de aceleración r ′ ′ ( t ) no deben ser proporcionales.

Sea s ( t ) la longitud del arco que la partícula ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t . La cantidad s se utiliza para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por la longitud del arco, ya que muchas trayectorias de partículas diferentes pueden trazar la misma curva geométrica atravesándola a diferentes velocidades. En detalle, s está dada por

$${\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ | \ mathbf {r} '(\ sigma) \ | d \ sigma.}

Además, dado que hemos asumido que r ′ ≠ 0, se deduce que s ( t ) es una función estrictamente monotónica. Por lo tanto, es posible resolver para t como una función de s , y así escribir r ( s ) = r ( t ( s )). La curva es así parametrizada de una manera preferida por su longitud de arco.

Con una curva no degenerada r ( s ), parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el cuadro Frenet-Serret (o cuadro TNB ):

• El vector T de la tangente se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {T} = {{\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} \ over \ left \ | {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} \ right \ | }. \ qquad \ qquad (1)}

• El vector unitario normal N se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {N} = {{\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ over \ left \ | {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} \ right \ | }. \ qquad \ qquad (2)}

• El vector de unidad binormal B se define como el producto cruzado de T y N :

$${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N}. \ qquad \ qquad (3)}

El marco de Frenet-Serret se mueve a lo largo de una hélice . La T está representada por la flecha azul, N está representada por el vector rojo mientras que B está representada por el vector negro.

De la ecuación (2) que sigue, ya que T siempre tiene unidad de magnitud , que N (el cambio de T ) es siempre perpendicular a T , ya que no hay cambio en la longitud de T . De la ecuación (3) se deduce que B es siempre perpendicular tanto T y N . Por lo tanto, los tres vectores unitarios T , N y Bson todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {d \ mathbf {T}} {ds}} & = && \ kappa \ mathbf {N} & \\ &&&& \\ {\ frac {d \ mathbf {N} } {ds}} & = & - \ kappa \ mathbf {T} && + \, \ tau \ mathbf {B} \\ &&&&&& \\ {\ frac {d \ mathbf {B}} {ds}} & = && - \ tau \ mathbf {N} & \ end {matrix}}}

dónde $${\ displaystyle \ kappa}es la curvatura y$${\ displaystyle \ tau}Es la torsión .

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como teorema de Frenet-Serret , y se pueden expresar de manera más concisa usando la notación matricial: ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T '} \\\ mathbf {N'} \\\ mathbf {B '} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}} .}

Esta matriz es sesgada-simétrica .

Fórmulas en n dimensiones [ editar ]

Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizadas a espacios euclidianos de dimensiones superiores por Camille Jordan en 1874.

Supongamos que r ( s ) es una curva suave en R ⁿ , y que las primeras n derivadas de r son linealmente independientes. ^[2] Los vectores en el marco de Frenet-Serret son una base ortonormal construida mediante la aplicación del proceso Gram-Schmidt a los vectores ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ^( n ) ( s )).

En detalle, el vector tangente unitario es el primer vector Frenet e ₁ ( s ) y se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {1}}} (s) \ |}}}

dónde

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {1}}} (s) = \ mathbf {r} '(s)}

El vector normal , a veces llamado vector de curvatura , indica que la desviación de la curva es una línea recta. Se define como

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (s) = \ mathbf {r} '' (s) - \ langle \ mathbf {r} '' (s), \ mathbf {e } _ {1} (s) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {1} (s)}

Su forma normalizada, el vector normal de la unidad , es el segundo vector Frenet e ₂ ( s ) y se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {2}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e } _ {2}}} (s) \ |}}}

La tangente y el vector normal en el punto s definen el plano de oscilación en el punto r ( s ).

Los vectores restantes en el marco (binormal, trinormal, etc.) se definen de manera similar por

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {e} _ {j} (s) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s)} {\ | {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s) \ |}} {\ mbox {,}} \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ overline {\ mathbf {e} _ {j}}} (s) = \ mathbf {r} ^ {(j)} (s) - \ sum _ {i = 1 } ^ {j-1} \ langle \ mathbf {r} ^ {(j)} (s), \ mathbf {e} _ {i} (s) \ rangle \, \ mathbf {e} _ {i} ( s). \ end {alineado}}}

Las funciones de valor real utilizadas a continuación χ _i ( s ) se denominan curvatura generalizada y se definen como

$${\ displaystyle \ chi _ {i} (s) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(s), \ mathbf {e} _ {i + 1} (s) \ rangle} {\ | \ mathbf {r} '(s) \ |}}}

Las fórmulas de Frenet-Serret , expresadas en lenguaje matricial, son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(s) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n}' (s) \\\ end {bmatrix}} = \\\ end {alineado}} \ | \ mathbf {r} '(s) \ | \ cdot {\ begin {alineado} {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (s ) && 0 \\ - \ chi _ {1} (s) & \ ddots & \ ddots & \\ & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (s) \\ 0 && - \ chi _ {n-1} (s) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (s) \\\ vdots \\\ mathbf {e} _ {n} (s) \\ \ end {bmatrix}} \ end {alineado}}}

Observe que, como se define aquí, las curvaturas generalizadas y el marco pueden diferir ligeramente de la convención que se encuentra en otras fuentes. La curvatura superior$${\ displaystyle \ chi _ {n-1}} (también llamado torsión, en este contexto) y el último vector en el marco $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}diferir por una señal

$${\ displaystyle \ operatorname {or} (\ mathbf {r} ^ {(1)}, \ dots, \ mathbf {r} ^ {(n)})}

(La orientación de la base) a partir de la torsión habitual. Las fórmulas de Frenet-Serret son invariantes al voltear el signo de ambos$${\ displaystyle \ chi _ {n-1}} y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}, y este cambio de signo hace que el marco esté orientado positivamente. Como se definió anteriormente, el marco hereda su orientación del chorro de$${\ displaystyle \ mathbf {r}}.

Prueba [ editar ]

Considera la matriz

$${\ displaystyle Q = \ left [{\ begin {matrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {matrix}} \ right]}

Las filas de esta matriz son vectores unitarios perpendiculares entre sí: una base ortonormal de ℝ ³ . Como resultado, la transposición de Q es igual a la inversa de Q : Q es una matriz ortogonal . Basta con demostrar que

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q ^ {T} = \ left [{\ begin {matrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {matrix}} \ right]}

Tenga en cuenta que la primera fila de esta ecuación ya es válida, por definición de N normal y curvatura κ. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que (d Q / d s ) Q ^T es una matriz asimétrica simétrica . Desde I = QQ ^T , tomar un derivado y aplicar los rendimientos de la regla del producto

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 = {\ frac {dI} {ds}} = \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q ^ {T} + Q \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) ^ {T} \ implica \\\ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q ^ {T} = - \ left (\ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q ^ {T} \ right) ^ {T} \\\ end {alineado}}}

que establece la simetría de sesgo requerida. ^[3]

Aplicaciones e interpretación [ editar ]

Cinemática del encuadre [ editar ]

El marco de Frenet-Serret se mueve a lo largo de una hélice en el espacio

El marco de Frenet-Serret que consiste en la tangente T , N normal y binormal Bforma colectivamente una base ortonormal de 3 espacios. En cada punto de la curva, esto adjunta un marco de referencia o un sistema de coordenadas rectilíneas (ver imagen).

Las fórmulas de Frenet-Serret admiten una interpretación cinemática . Imagine que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, utilizando el cuadro adjunto en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas Frenet-Serret significan que este sistema de coordenadas está girando constantemente a medida que un observador se mueve a lo largo de la curva. Por lo tanto, este sistema de coordenadas es siempre no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector Darboux del marco.

Una parte superior cuyo eje está situado a lo largo de lo binormal se observa que gira con velocidad angular κ. Si el eje está a lo largo de la tangente, se observa que gira con velocidad angular τ.

Concretamente, suponga que el observador lleva una parte superior ( inercial) (o giroscopio ) con él a lo largo de la curva. Si el eje de la parte superior apunta a lo largo de la tangente a la curva, entonces se observará que gira alrededor de su eje con velocidad angular -τ relativa al sistema de coordenadas no inercial del observador. Si, por otro lado, el eje de los puntos superiores en la dirección binormal, entonces se observa que gira con velocidad angular -κ. Esto se visualiza fácilmente en el caso cuando la curvatura es una constante positiva y la torsión se desvanece. El observador está entonces en movimiento circular uniforme . Si la parte superior apunta en la dirección de lo binormal, entonces, por conservación del momento angular , debe girar en sentido opuesto.Dirección del movimiento circular. En el caso límite cuando la curvatura se anula, normal del observador movimiento de precesiónsobre el vector tangente, y de manera similar la parte superior girarán en la dirección opuesta de esta precesión.

El caso general se ilustra a continuación . Hay más ilustraciones en Wikimedia.

Aplicaciones La cinemática del cuadro tiene muchas aplicaciones en las ciencias.

• En las ciencias de la vida , particularmente en modelos de movimiento microbiano, las consideraciones del marco de Frenet-Serret se han utilizado para explicar el mecanismo por el cual un organismo en movimiento en un medio viscoso cambia su dirección. ^[4]
• En física, el cuadro Frenet-Serret es útil cuando es imposible o inconveniente asignar un sistema de coordenadas natural para una trayectoria. Tal es a menudo el caso, por ejemplo, en la teoría de la relatividad . En este contexto, los marcos de Frenet-Serret se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitacional. ^[5]

Ilustraciones gráficas [ editar ]

1. Ejemplo de una base de Frenet en movimiento ( T en azul, N en verde, B en púrpura) a lo largo de la curva de Viviani .

2. En el ejemplo de un nudo de toro , se muestran el vector tangente T , el vector normal N y el vector binormal B , junto con la curvatura κ (s) y la torsión τ (s). 
   En los picos de la función de torsión, la rotación del marco Frenet-Serret ( T , N , B ) alrededor del vector tangente es claramente visible.

3. La importancia cinemática de la curvatura se ilustra mejor con curvas planas (con torsión constante igual a cero). Ver la página sobre curvatura de curvas planas .

Frenet – Serret fórmulas en cálculo [ editar ]

Las fórmulas de Frenet-Serret se introducen con frecuencia en cursos de cálculo multivariable como complemento del estudio de las curvas espaciales, como la hélice . Una hélice puede caracterizarse por la altura 2π hy el radio r de una sola vuelta. La curvatura y la torsión de una hélice (con radio constante) vienen dadas por las fórmulas

$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {r} {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

$${\ displaystyle \ tau = \ pm {\ frac {h} {r ^ {2} + h ^ {2}}}.}

Dos hélices (slinkies) en el espacio. (a) Una hélice más compacta con mayor curvatura y menor torsión. (b) Una hélice estirada con torsión ligeramente más alta pero menor curvatura.

El signo de la torsión se determina por el diestro o zurdo sentido en el que los giros de hélice alrededor de su eje central. Explícitamente, la parametrización de una sola vuelta de una hélice diestro con altura 2π hyradio r es

x = r cos t

y = r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π)

y, para una hélice zurda,

x = r cos t

y = - r sin t

z = h t

(0 ≤ t ≤ 2 π).

Tenga en cuenta que estas no son las parametrizaciones de longitud de arco (en cuyo caso, cada una de x , y , yz tendrían que dividirse por$${\ displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + r ^ {2}}}}.)

En sus escritos expositivos sobre la geometría de las curvas, Rudy Rucker ^[6] emplea el modelo de un slinky para explicar el significado de la torsión y la curvatura. El slinky, dice, se caracteriza por la propiedad que la cantidad

$${\ displaystyle A ^ {2} = h ^ {2} + r ^ {2}}

permanece constante si el slinky se extiende verticalmente a lo largo de su eje central. (Aquí, 2π h es la altura de un solo giro del slinky, y r el radio). En particular, la curvatura y la torsión son complementarias en el sentido de que la torsión se puede aumentar a expensas de la curvatura al extender el slinky.

Expansión de Taylor [ editar ]

La diferenciación repetida de la curva y la aplicación de las fórmulas Frenet-Serret dan la siguiente aproximación de Taylor a la curva cerca de s  = 0: ^[7]

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = \ mathbf {r} (0) + \ left (s - {\ frac {s ^ {3} \ kappa ^ {2} (0)} {6}} \ derecha) \ mathbf {T} (0) + \ left ({\ frac {s ^ {2} \ kappa (0)} {2}} + {\ frac {s ^ {3} \ kappa '(0)} {6}} \ derecha) \ mathbf {N} (0) + \ izquierda ({\ frac {s ^ {3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ derecha) \ mathbf {B } (0) + o (s ^ {3}).}

Para una curva genérica con torsión no desaparecida, la proyección de la curva en varios planos de coordenadas en el sistema de coordenadas T , N , B en s = 0 tiene las siguientes interpretaciones:

• El plano osculador es el plano que contiene T y N . La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma:
    $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0) + s \ mathbf {T} (0) + {\ frac {s ^ {2} \ kappa (0)} {2}} \ mathbf {N} (0) + o (s ^ {2}).}
  Esta es una parábola hasta los términos de orden o ( s ² ), cuya curvatura en 0 es igual a κ (0).
• El plano normal es el plano que contiene N y B . La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma:
    $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0) + \ left ({\ frac {s ^ {2} \ kappa (0)} {2}} + {\ frac {s ^ {3} \ kappa '(0) } {6}} \ right) \ mathbf {N} (0) + \ left ({\ frac {s ^ {3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ right) \ mathbf { B} (0) + o (s ^ {3})}
  que es un cúbico cuspidal para ordenar o ( s ³ ).
• El plano de rectificación es el plano que contiene T y B . La proyección de la curva sobre este plano es:
    $${\ displaystyle \ mathbf {r} (0) + \ left (s - {\ frac {s ^ {3} \ kappa ^ {2} (0)} {6}} \ right) \ mathbf {T} (0 ) + \ left ({\ frac {s ^ {3} \ kappa (0) \ tau (0)} {6}} \ right) \ mathbf {B} (0) + o (s ^ {3})}
  que traza la gráfica de un polinomio cúbico para ordenar o ( s ³ ).

Cintas y tubos [ editar ]

Una cinta definida por una curva de torsión constante y una curvatura altamente oscilante. La parametrización de la longitud del arco de la curva se definió mediante la integración de las ecuaciones de Frenet-Serret.

El aparato Frenet-Serret permite definir ciertas cintas y tubos óptimos centrados alrededor de una curva. Estos tienen diversas aplicaciones en la ciencia de los materiales y la teoría de la elasticidad, ^[8] , así como a la gráfica por computadora . ^[9]

Una cinta de Frenet ^{[10] a lo} largo de una curva C es la superficie trazada al barrer el segmento de línea [- N , N ] generado por la unidad normal a lo largo de la curva. Geométricamente, una cinta es una parte de la envoltura de los planos oscilantes de la curva. Simbólicamente, la cinta R tiene la siguiente parametrización:

$${\ displaystyle R (s, t) = C (s) + t \ mathbf {N}, \ quad -1 \ leq t \ leq 1.}

En particular, el binormal B es un vector unitario normal a la cinta. Además, la cinta es una superficie reglada cuyas Reguli son los segmentos de línea atravesado por N . Por lo tanto, cada uno de los vectores de marco T , N y B se puede visualizar completamente en términos de la cinta de Frenet. ^[11]

La curvatura de Gauss de una cinta de Frenet se desvanece, por lo que es una superficie desarrollable . Geométricamente, es posible "hacer rodar" un plano a lo largo de la cinta sin deslizarse ni torcerse de manera que el régulo permanezca siempre dentro del plano. ^[12] La cinta luego traza una cinta en el plano (posiblemente con varias hojas). La curva C también traza una curva C _P en el plano, cuya curvatura se da en términos de la curvatura y torsión de C por

$${\ displaystyle \ kappa _ {P} (s) = \ pm {\ sqrt {\ kappa (s) ^ {2} + \ tau (s) ^ {2}}}.}

Este hecho proporciona un procedimiento general para construir cualquier cinta Frenet. ^[13] Intuitivamente, uno puede cortar una cinta curva de una hoja plana de papel. Luego, al doblar la cinta hacia el espacio sin rasgarla, se produce una cinta Frenet. ^[14] En el caso simple del slinky, la cinta es varias vueltas de un anillo en el plano, y doblarla hacia el espacio corresponde a estirar el slinky.

Congruencia de curvas [ editar ]

En la geometría euclidiana clásica , a uno le interesa estudiar las propiedades de las figuras en el plano que son invariantes en congruencia, de modo que si dos figuras son congruentes, entonces deben tener las mismas propiedades. El aparato de Frenet-Serret presenta la curvatura y la torsión como invariantes numéricos de una curva espacial.

En términos generales, dos curvas C y C ′ en el espacio son congruentes si una puede moverse rígidamente a la otra. Un movimiento rígido consiste en una combinación de una traslación y una rotación. Una traducción mueve un punto de C a un punto de C ′. La rotación ajusta la orientación de la curva C para alinearse con la de C ′. Tal combinación de traslación y rotación se denomina movimiento euclidiano . En términos de la parametrización r (t) que define la primera curva C , un movimiento euclidiano general de C es un compuesto de las siguientes operaciones:

• ( Traducción .) R (t) → r (t) + v , donde v es un vector constante.
• ( Rotación ). R (t) + v → M ( r (t) + v ), donde M es la matriz de una rotación.

El marco Frenet-Serret es particularmente bueno con respecto a los movimientos euclidianos. Primero, dado que T , N y B pueden darse como derivados sucesivos de la parametrización de la curva, cada uno de ellos es insensible a la adición de un vector constante a r (t). Intuitivamente, el cuadro TNB unido a r (t) es el mismo que el cuadro TNB unido a la nueva curva r (t) + v .

Esto deja solo las rotaciones a considerar. Intuitivamente, si aplicamos una rotación M a la curva, el marco TNBtambién gira. Más precisamente, la matriz Q cuyas filas son los vectores TNB del cuadro Frenet-Serret cambia por la matriz de una rotación

$${\ displaystyle Q \ rightarrow QM.}

A fortiori , la matriz (d Q / d s ) Q ^T no se ve afectada por una rotación:

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {d (QM)} {ds}} \ right) (QM) ^ {T} = \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) MM ^ {T } Q ^ {T} = \ left ({\ frac {dQ} {ds}} \ right) Q ^ {T}

desde MM ^T = I para la matriz de una rotación.

Por lo tanto, las entradas κ y τ de (d Q / d s ) Q ^T son invariantes de la curva bajo movimientos euclidianos: si se aplica un movimiento euclidiano a una curva, entonces la curva resultante tiene la misma curvatura y torsión.

Además, al usar el cuadro Frenet-Serret, también se puede demostrar lo contrario: cualquiera de las dos curvas que tengan las mismas funciones de curvatura y torsión deben ser congruentes mediante un movimiento euclidiano. En términos generales, las fórmulas de Frenet-Serret expresan el derivado de Darboux de la trama TNB . Si las derivadas de Darboux de dos marcos son iguales, entonces una versión del teorema fundamental del cálculo afirma que las curvas son congruentes. En particular, la curvatura y la torsión son un conjunto completo de invariantes para una curva en tres dimensiones.

Otras expresiones del marco [ editar ]

Las fórmulas dadas anteriormente para T , N y B dependen de la curva dada en términos del parámetro de longitud del arco. Este es un supuesto natural en la geometría euclidiana, porque la longitud del arco es un invariante euclidiano de la curva. En la terminología de la física, la parametrización de la longitud del arco es una elección natural del indicador . Sin embargo, puede ser incómodo trabajar en la práctica. Una serie de otras expresiones equivalentes están disponibles.

Supongamos que la curva está dada por r ( t ), donde el parámetro t ya no necesita ser una longitud de arco. Entonces el vector tangente T de la unidad se puede escribir como

$${\ displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} '(t)} {\ | \ mathbf {r}' (t) \ |}}.}

El vector normal N toma la forma.

$${\ displaystyle \ mathbf {N} (t) = {\ frac {\ mathbf {T} '(t)} {\ | \ mathbf {T}' (t) \ |}} = {\ frac {\ mathbf { r} '(t) \ times \ left (\ mathbf {r}' '(t) \ times \ mathbf {r}' (t) \ right)} {\ left \ | \ mathbf {r} '(t) \ right \ | \, \ left \ | \ mathbf {r} '' (t) \ times \ mathbf {r} '(t) \ right \ |}}.}

El binormal B es entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {B} (t) = \ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {N} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r } '' (t)} {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ |}}.}

Una forma alternativa de llegar a las mismas expresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ), y aplicar el proceso Gram-Schmidt . La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco TNB . Este procedimiento también se generaliza para producir cuadros Frenet en dimensiones más altas.

En términos del parámetro t , las fórmulas de Frenet-Serret recogen un factor adicional de || r ′ ( t ) || debido a la regla de la cadena :

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = \ | \ mathbf { r} '(t) \ | {\ begin {bmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {{bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {N} \\\ mathbf {B} \ end {bmatrix}}.

Se pueden calcular expresiones explícitas para la curvatura y torsión. Por ejemplo,

$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ |} {\ | \ mathbf {r}' (t) \ | ^ {3}}}.}

La torsión se puede expresar utilizando un producto triple escalar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {[\ mathbf {r} '(t), \ mathbf {r}' '(t), \ mathbf {r}' '' (t)]} {\ | \ mathbf {r} '(t) \ times \ mathbf {r}' '(t) \ | ^ {2}}}.}

Casos especiales [ editar ]

Si la curvatura es siempre cero, entonces la curva será una línea recta. Aquí los vectores N , B y la torsión no están bien definidos.

Si la torsión es siempre cero, la curva estará en un plano.

Una curva puede tener una curvatura distinta de cero y una torsión cero. Por ejemplo, el círculo de radio R dado por r ( t ) = ( R cos t , R pecado t , 0) en la z = 0 avión tiene cero torsión y la curvatura igual a 1 / R . Lo contrario, sin embargo, es falso. Es decir, una curva regular con torsión distinta de cero debe tener una curvatura distinta de cero. (Esto es solo lo contrario del hecho de que la curvatura cero implica una torsión cero).

Una hélice tiene una curvatura constante y una torsión constante.

Curvas planas [ editar ]

Dada una curva contenida en el plano x - y , su vector tangente T también está contenido en ese plano. Su vector binormal B puede postularse naturalmente para coincidir con lo normal al plano (a lo largo del eje z ). Por último, la curva normal se puede encontrar completar el sistema diestro, N = B × T . ^[15] Esta forma está bien definida incluso cuando la curvatura es cero; por ejemplo, lo normal a una línea recta en un plano será perpendicular a la tangente, todo co-plano.