El teorema clásico de cuatro vértices establece que la función de curvatura de una curva plana simple, cerrada y lisa tiene al menos cuatro extremos locales (específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema deriva de la convención de llamar a un punto extremo de la función de curvatura un vértice . Este teorema tiene muchas generalizaciones, incluida una versión para curvas de espacio donde un vértice se define como un punto de torsión que desaparece .
Ejemplos [ editar ]
Una elipse tiene exactamente cuatro vértices: dos máximos locales de curvatura donde es atravesada por el eje mayor de la elipse, y dos mínimos locales de curvatura donde es atravesada por el eje menor. En un círculo , cada punto es tanto un máximo local como un mínimo de curvatura local, por lo que hay infinitos vértices.
Historia [ editar ]
El teorema de cuatro vértices se probó por primera vez para curvas convexas (es decir, curvas con una curvatura estrictamente positiva) en 1909 por Syamadas Mukhopadhyaya . [1] Su prueba utiliza el hecho de que un punto en la curva es un extremo de la función de curvatura si y solo si el círculo oscilante en ese punto tiene un contacto de cuarto orden con la curva (en general, el círculo que oscila tiene solo un tercer orden contacto con la curva). El teorema de los cuatro vértices fue probado en general por Adolf Kneser en 1912 usando un argumento proyectivo. [2]
Prueba [ editar ]
Durante muchos años, la prueba del teorema de los cuatro vértices siguió siendo difícil, pero Osserman (1985)proporcionó una prueba simple y conceptual , basada en la idea del círculo circundante mínimo . [3] Este es un círculo que contiene la curva dada y tiene el radio más pequeño posible. Si la curva incluye un arco del círculo, tiene infinitos vértices. De lo contrario, la curva y el círculo deben ser tangentes.por lo menos en dos puntos. En cada tangencia, la curvatura de la curva es mayor que la del círculo (de lo contrario, la curva continuaría desde la tangencia fuera del círculo en lugar de hacia el interior). Sin embargo, entre cada par de tangencias, la curvatura debe disminuir a menos que la del círculo, por ejemplo, en un punto obtenido al traducir el círculo hasta que ya no contenga ninguna parte de la curva entre los dos puntos de tangencia y considerando el último Punto de contacto entre el círculo traducido y la curva. Por lo tanto, hay un mínimo de curvatura local entre cada par de tangencias, dando dos de los cuatro vértices. Debe haber un máximo de curvatura local entre cada par de mínimos locales, dando los otros dos vértices. [3] [4]
Converse [ editar ]
Lo contrario al teorema de los cuatro vértices establece que cualquier función continua de valores reales del círculo que tiene al menos dos máximos locales y dos mínimos locales es la función de curvatura de una curva plana simple y cerrada. El inverso fue probado para funciones estrictamente positivas en 1971 por Herman Gluckcomo un caso especial de un teorema general sobre la asignación previa de la curvatura de las n-esferas . [5]Björn Dahlberg, poco antes de su muerte en enero de 1998, comprobó el verso completo del teorema de los cuatro vértices , y lo publicó póstumamente. [6] La prueba de Dahlberg utiliza un argumento de número sinuosoque de alguna manera recuerda al estándarPrueba topológica del teorema fundamental del álgebra . [7]
Aplicación a la mecánica [ editar ]
Un corolario del teorema es que un disco homogéneo y plano que rueda sobre una superficie horizontal bajo gravedad tiene al menos 4 puntos de equilibrio. Una versión discreta de esto es que no puede haber un polígono monoestático . Sin embargo, en tres dimensiones existen poliedros monostáticos, y también existe un objeto convexo y homogéneo con exactamente 2 puntos de equilibrio (uno estable y otro inestable), el Gömböc .
Variaciones discretas [ editar ]
Hay varias versiones discretas del teorema de cuatro vértices, tanto para polígonos convexos como no convexos. [8] Éstos son algunos de ellos:
- (Bilinski) La secuencia de ángulos de un polígono equilátero convexo con al menos cuatro vértices tiene al menos cuatro extremos .
- La secuencia de longitudes de lado de un polígono equiangular convexo con al menos cuatro lados tiene al menos cuatro extremos .
- (Musin) Un círculo circunscrito alrededor de tres vértices consecutivos de un polígono con al menos cuatro vértices se llama extremal si contiene todos los vértices restantes del polígono, o si no tiene ninguno en su interior. Dicho polígono convexo es genérico si no tiene cuatro vértices en el mismo círculo. Luego, cada polígono convexo genérico con al menos cuatro vértices tiene al menos cuatro círculos extremos.
- ( Legendre - Cauchy ) Dos n -gons convexos con la misma longitud del lado correspondiente tienen cero o al menos 4 cambios de signo en la secuencia cíclica de las diferencias de ángulo correspondientes.
- ( AD Alexandrov ) Dos n -gons convexos con lados correspondientes paralelos y área igual tienen cero o al menos 4 cambios de signo en la secuencia cíclica de las diferencias de longitudes de los lados correspondientes.
Algunas de estas variaciones son más fuertes que las otras, y todas ellas implican el teorema de cuatro vértices (usual) por un argumento límite.
Generalizaciones a la curva de espacio [ editar ]
La proyección estereográfica desde la esfera al plano conserva puntos críticos de curvatura geodésica . Así, las curvas esféricas cerradas simples tienen cuatro vértices. Además, en los vértices de esfera de una curva corresponden a puntos donde su torsión se desvanece. Por lo tanto, para las curvas espaciales, un vértice se define como un punto de torsión que desaparece. En 1994, VD Sedykh [9] mostró que cada curva simple de espacio cerrado que se encuentra en el límite de un cuerpo convexo tiene cuatro vértices. En 2015, Mohammad Ghomi [10] generalizó el teorema de Sedykh a todas las curvas que se unían a un disco localmente convexo.
la deformación de forma libre (FFD) es una técnica geométrica utilizada para modelar deformaciones simples de objetos rígidos. Se basa en la idea de encerrar un objeto dentro de un cubo u otro objeto del casco, y transformar el objeto dentro del casco cuando el casco se deforma. La deformación del casco se basa en el concepto de los llamados hipercerchados , que son análogos tridimensionales de curvas paramétricas como las curvas de Bézier , B-splines o NURB . La técnica fue descrita por primera vez por Thomas W. Sederberg y Scott R. Parry en 1986, [1]y se basa en una técnica anterior de Alan Barr. [2] Coquillart lo extendió a una técnica descrita como deformación de forma libre extendida , que refina el objeto del casco al introducir geometría adicional o al usar diferentes objetos del casco, como cilindros y prismas. [3]
Aplicaciones [ editar ]
- La deformación de forma libre se utiliza en gráficos de computadora para modelos geométricos sólidos. Por ejemplo, el modificador de celosía en Blender (software) .
- Se utiliza en el registro de imágenes tanto en transformación rígida como no rígida .
Una curva francesa es una plantilla hecha generalmente de metal , madera o plástico compuesta de muchas curvas diferentes . Se utiliza en el dibujo manual y en el diseño de moda para dibujar curvas suaves de radios variables. Las formas son segmentos de la curva de Euler en espiral o clotoide. La curva se coloca sobre el material de dibujo, y se traza un lápiz , un cuchillo u otro implemento alrededor de sus curvas para producir el resultado deseado.
Diseño de ropa [ editar ]
Las plantillas físicas de la curva francesa se utilizan regularmente para el diseño original de alta costura y por los sewists domésticos (junto con otros tipos de artesanos ) más útiles en escotes, manga, busto y variaciones de cintura. Los radios de curva variada permiten ajustes personalizados suaves y elegantes de los patrones de ropa comprados estándar para un ajuste excelente y personalizado. Los diseñadores de moda y los sewists pueden usar una selección de curvas francesas, curvas de cadera , bordes rectos y reglas de ángulo recto en forma de L. Pueden ser de metal o plástico transparente, con medidas marcadas en métricas o imperiales.
Sucesores digitales [ editar ]
A medida que los sistemas modernos de diseño asistido por computadora ( CAD ) usan gráficos basados en vectores para lograr un radio preciso , las plantillas mecánicas (y la mayoría de las técnicas de dibujo mecánico ) se han vuelto obsoletas fuera de los ajustes de patrones y diseños de moda de los costureros . Las computadoras digitales también se pueden usar para generar un conjunto de coordenadas que describan con precisión una curva arbitraria, y los puntos se pueden conectar con segmentos de línea para aproximar la curva con un alto grado de precisión. Algunos sistemas de gráficos por computadora utilizan curvas de Bézier , que permiten que una curva se doble en tiempo real en una pantalla de visualización para seguir un conjunto de coordenadas, de manera muy similar a como se ubicaría una curva francesa en un conjunto de tres o cuatro puntos en papel.
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