GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

Este artículo es sobre la curva matemática. Para otras aplicaciones, vea Catenaria (desambiguación) .

"Chainette" redirige aquí. Para la uva de vino también conocida como Chainette, ver Cinsaut .

Una cadena que cuelga de los puntos forma una catenaria.

Los cables de energíaeléctrica que cuelgan libremente (por ejemplo, los que se usan en ferrocarriles electrificados) también pueden formar una catenaria.

La seda en una tela de araña formando múltiples catenarias elásticas .

En la física y la geometría , una catenaria ( Estados Unidos : / k æ t ən ɛr i / , UK : / k ə t i n ər i / ) es la curva que un colgante idealizada cadena o cableasume bajo su propio peso cuando está apoyado Sólo en sus extremos.

La curva catenaria tiene una forma de U, superficialmente similar en apariencia a un arco parabólico , pero no es una parábola .

La curva aparece en el diseño de ciertos tipos de arcos y como una sección transversal de la catenoide , la forma asumida por una película de jabón limitada por dos anillos circulares paralelos.

La catenaria también se llama alysoid , chainette , ^[1] o, particularmente en las ciencias de los materiales, funicular . ^[2]

Matemáticamente, la curva catenaria es la gráfica de la función coseno hiperbólica . La superficie de revolución de la curva catenaria, la catenoide , es una superficie mínima , específicamente una superficie de revolución mínima . Las propiedades matemáticas de la curva catenaria fueron estudiadas por primera vez por Robert Hooke en la década de 1670, y su ecuación fue derivada por Leibniz , Huygens y Johann Bernoulli en 1691.

Las catenarias y las curvas relacionadas se utilizan en arquitectura e ingeniería, en el diseño de puentes y arcos , de modo que las fuerzas no den lugar a momentos de flexión. En la industria de petróleo y gas en alta mar, "catenaria" se refiere a un elevador de catenaria de acero , un oleoducto suspendido entre una plataforma de producción y el lecho marino que adopta una forma de catenaria aproximada.

En óptica y electromagnética, las funciones hiperbólicas de coseno y seno son soluciones básicas para las ecuaciones de Maxwell. ^[3] Los modos simétricos que consisten en dos ondas evanescentes formarían una forma catenaria. ^{[4] [5] [6]}

Historia [ editar ]

La catenaria de Antoni Gaudí en Casa Milà.

La palabra "catenaria" se deriva de la palabra latina catēna , que significa " cadena ". La palabra inglesa "catenaria" se suele atribuir a Thomas Jefferson , ^[7] [8] que escribió en una carta a Thomas Painesobre la construcción de un arco para un puente:

Últimamente he recibido de Italia un tratado sobre el equilibrio de los arcos, del Abbé Mascheroni. Parece ser una obra muy científica. Todavía no he tenido tiempo de dedicarme a ello; pero encuentro que las conclusiones de sus demostraciones son que cada parte de la catenaria está en perfecto equilibrio. ^[9]

A menudo se dice ^[10] que Galileo pensó que la curva de una cadena colgante era parabólica. En sus Dos nuevas ciencias (1638), Galileo dice que una cuerda colgante es una parábola aproximada, y observa correctamente que esta aproximación mejora a medida que la curvatura se vuelve más pequeña y es casi exacta cuando la elevación es menor a 45 °. ^[11] Que la curva seguida de una cadena no es una parábola fue comprobada por Joachim Jungius (1587-1657); este resultado se publicó póstumamente en 1669. ^[10]

La aplicación de la catenaria a la construcción de arcos se atribuye a Robert Hooke , cuya "verdadera forma matemática y mecánica" en el contexto de la reconstrucción de la catedral de San Pablo aludía a una catenaria. ^[12] Algunos arcos mucho más antiguos se aproximan a las catenarias, un ejemplo de los cuales es el Arco de Taq-i Kisra en Ctesiphon . ^[13]

En 1671, Hooke anunció a la Royal Society que había resuelto el problema de la forma óptima de un arco, y en 1675 publicó una solución encriptada como un anagrama latino ^[14] en un apéndice a su Descripción de helioscopios, ^[15] donde escribió que había encontrado "una verdadera forma matemática y mecánica de todo tipo de Arcos para la Construcción". No publicó la solución para este anagrama ^[16] en su vida, pero en 1705 su ejecutor lo proporcionó como un péndulo continuo flexible, sic stabit contiguum rigidum inversum , que significa "Como cuelga un cable flexible, por lo tanto, invertido, destacan las piezas en contacto. de un arco ".

En 1691, Gottfried Leibniz , Christiaan Huygens y Johann Bernoulli derivaron la ecuación en respuesta a un desafío de Jakob Bernoulli ; ^[10] sus soluciones se publicaron en Acta Eruditorum para junio de 1691. ^[17] [18]David Gregory escribió un tratado sobre la catenaria en 1697 ^[10] [19] en el que proporcionó una derivación incorrecta de la ecuación diferencial correcta. ^[18]

Euler probó en 1744 que la catenaria es la curva que, cuando se gira alrededor del eje x , da la superficie del área de superficie mínima (la catenoide ) para los círculos de delimitación dados. ^[1] Nicolas Fuss dio ecuaciones que describen el equilibrio de una cadena bajo cualquier fuerza en 1796. ^[20]

Arco de catenaria invertida [ editar ]

Arcos catenarios se utilizan a menudo en la construcción de hornos . Para crear la curva deseada, la forma de una cadena colgante de las dimensiones deseadas se transfiere a una forma que luego se utiliza como guía para la colocación de ladrillos u otro material de construcción. ^[21] [22]

El Arco Gateway en St. Louis, Missouri , Estados Unidos a veces se dice que es una catenaria (invertida), pero esto es incorrecto. ^[23] Está cerca de una curva más general llamada catenaria aplanada, con la ecuación y = A  cosh ( Bx ) , que es una catenaria si AB = 1 . Mientras que una catenaria es la forma ideal para un arco independiente de espesor constante, el arco de la puerta de enlace es más estrecho cerca de la parte superior. De acuerdo con la nominación del Monumento Histórico Nacional de los Estados Unidos para el arco, se trata de una " catenaria ponderada"en cambio. Su forma corresponde a la forma que formaría una cadena ponderada, con enlaces más claros en el medio. ^[24] [25]

• 

  Catenaria ^[26] arcos bajo el techo de la Casa Milà de Gaudí , Barcelona , España.
 
• 

  El Sheffield Winter Garden está rodeado por una serie de arcos catenarios . ^[27]
 
• 

  El Gateway Arch (mirando hacia el este) es una catenaria aplanada.
• 

  Horno de arco catenario en construcción sobre forma temporal.
 
• 

  Sección transversal del techo de la estación ferroviaria Keleti(Budapest, Hungría)
• 

  La sección transversal del techo de la estación de tren de Keleti forma una catenaria.

Puentes de catenaria [ editar ]

Los puentes colgantes simples son esencialmente cables engrosados, y siguen una curva catenaria.

Los puentes de listones estresados , como este en Maldonado, Uruguay , también siguen una curva catenaria, con cables incrustados en una plataforma rígida.

En las cadenas libres, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la longitud de la cadena, por lo que la cadena sigue la curva de la catenaria. ^[28] Lo mismo se aplica a un simple puente colgante o "puente catenario", donde la carretera sigue el cable. ^[29] [30]

Un puente de cinta estresada es una estructura más sofisticada con la misma forma de catenaria. ^[31] [32]

Sin embargo, en un puente colgante con una calzada suspendida, las cadenas o los cables soportan el peso del puente y, por lo tanto, no cuelgan libremente. En la mayoría de los casos, la carretera es plana, por lo que cuando el peso del cable es insignificante en comparación con el peso que se soporta, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la distancia horizontal, y el resultado es una parábola , como se explica a continuación (aunque el término " catenaria "se usa a menudo, en un sentido informal). Si el cable es pesado, la curva resultante es entre una catenaria y una parábola. ^[33] [34]

Comparación de un arco catenario (curva punteada negra) y un arco parabólico (curva sólida roja) con el mismo tramo y hundimiento. La catenaria representa el perfil de un puente colgante simple, o el cable de un puente colgante de plataforma suspendida en el que su plataforma y sus perchas tienen una masa insignificante en comparación con su cable. La parábola representa el perfil del cable de un puente colgante de plataforma suspendida en el que su cable y sus perchas tienen una masa insignificante en comparación con su plataforma. El perfil del cable de un puente colgante real con el mismo tramo y doblez se encuentra entre las dos curvas. Las ecuaciones de catenaria y parábola son respectivamente, y = cosh ( x ) y y = x ²

Anclaje de objetos marinos [ editar ]

Una cadena de ancla pesada forma una catenaria, con un ángulo de tracción bajo en el ancla.

La catenaria producida por la gravedad proporciona una ventaja a las barras de anclaje pesadas . Un recorrido de anclaje (o línea de anclaje) generalmente consiste en cadena o cable o ambos. Las barras de anclaje son utilizadas por barcos, plataformas petrolíferas, muelles, aerogeneradores flotantes y otros equipos marinos que deben estar anclados al fondo marino.

Cuando el recorrido está flojo, la curva de la catenaria presenta un ángulo de tracción más bajo en el anclaje o dispositivo de amarre que en el caso de que fuera casi recto. Esto mejora el rendimiento del anclaje y aumenta el nivel de fuerza que resistirá antes de arrastrar. Para mantener la forma de la catenaria en presencia del viento, se necesita una cadena pesada, de modo que solo los barcos más grandes en aguas más profundas puedan confiar en este efecto. Los botes más pequeños también confían en la catenaria para mantener el máximo poder de retención. ^[35]

Descripción matemática [ editar ]

Ecuación [ editar ]

Catenarias para diferentes valores de una

Tres catenarias a través de los mismos dos puntos, dependiendo de la fuerza horizontal T _H , siendo a = T _H/λH y λmasa por unidad de longitud.

La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas tiene la forma ^[33]

$${\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = {\ frac {a} {2}} \ left (e ^ {\ frac {x} {a}} + e ^ {- {\ frac {x} {a}}} \ right)}

donde cosh es la función coseno hiperbólica . Todas las curvas catenarias son similares entre sí; cambiar el parámetro a es equivalente a una escala uniforme de la curva. ^[36]

La ecuación de Whewell para la catenaria es ^[33]

$${\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {s} {a}} \ ,.}

Diferenciación da

$${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {ds}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ varphi} {a}}}

y eliminando φ da la ecuación de Cesàro ^[37]

$${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}} \ ,.

El radio de curvatura es entonces.

$${\ displaystyle \ rho = a \ sec ^ {2} \ varphi}

que es la longitud de la línea normal a la curva entre ella y el eje x . ^[38]

Relación con otras curvas [ editar ]

Cuando una parábola se desplaza a lo largo de una línea recta, la curva de la ruleta trazada por su enfoque es una catenaria. ^[39] La envolvente de la directriz de la parábola también es una catenaria. ^[40] La involuta del vértice, es decir, la ruleta formada por un punto que comienza en el vértice cuando se enrolla una línea en una catenaria, es la tractrix . ^[39]

Otra ruleta, formada al rodar una línea en una catenaria, es otra línea. Esto implica que las ruedas cuadradaspueden rodar perfectamente en una carretera hecha de una serie de baches en forma de curva de catenaria invertida. Las ruedas pueden ser de cualquier polígono regular, excepto un triángulo, pero la catenaria debe tener parámetros correspondientes a la forma y las dimensiones de las ruedas. ^[41]

Propiedades geométricas [ editar ]

En cualquier intervalo horizontal, la relación del área debajo de la catenaria a su longitud es igual a , independientemente del intervalo seleccionado. La catenaria es la única curva plana que no sea una línea horizontal con esta propiedad. Además, el centroide geométrico del área bajo un tramo de catenaria es el punto medio del segmento perpendicular que conecta el centroide de la curva en sí y el eje x . ^[42]

Ciencia [ editar ]

Una carga en movimiento en un campo eléctrico uniforme viaja a lo largo de una catenaria (que tiende a una parábola si la velocidad de carga es mucho menor que la velocidad de la luz c ). ^[43]

La superficie de revolución con radios fijos en cada extremo que tiene un área de superficie mínima es una catenaria que gira alrededor del eje x . ^[39]

Análisis [ editar ]

Modelo de cadenas y arcos [ editar ]

En el modelo matemático, la cadena (o cuerda, cable, cuerda, cuerda, etc.) se idealiza asumiendo que es tan delgada que se puede considerar como una curva y que es tan flexible cualquier fuerza de tensión ejercida por la cadena. Es paralelo a la cadena. ^[44] El análisis de la curva para un arco óptimo es similar, excepto que las fuerzas de tensión se convierten en fuerzas de compresión y todo se invierte. ^[45] Un principio subyacente es que la cadena puede considerarse un cuerpo rígido una vez que ha alcanzado el equilibrio. ^[46]Las ecuaciones que definen la forma de la curva y la tensión de la cadena en cada punto pueden derivarse de una inspección cuidadosa de las diversas fuerzas que actúan en un segmento, utilizando el hecho de que estas fuerzas deben estar en equilibrio si la cadena está en equilibrio estático .

Deje que el camino seguido por la cadena se dé de forma paramétrica por r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) donde srepresenta la longitud del arco y r es el vector de posición . Esta es la parametrización natural y tiene la propiedad que

$${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {u}}

donde u es un vector tangente unidad .

Diagrama de fuerzas que actúan sobre un segmento de una catenaria de c a r . Las fuerzas son la tensión T ₀ en c , la tensión. T en r y el peso de la cadena (0, - λgs ) . Como la cadena está en reposo, la suma de estas fuerzas debe ser cero.

Una ecuación diferencial para la curva se puede derivar de la siguiente manera. ^[47] Sea c el punto más bajo de la cadena, llamado vértice de la catenaria. ^[48] La pendiente dy / dx de la curva es cero en C, ya que es un punto mínimo. Suponga que r está a la derecha de c ya que el otro caso está implícito por simetría. Las fuerzas que actúan en la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c , la tensión de la cadena en r y el peso de la cadena. La tensión en c es tangente a la curva en c por lo tanto, son horizontales sin ningún componente vertical y tiran de la sección hacia la izquierda para que pueda escribirse (- T ₀ , 0)donde T ₀ es la magnitud de la fuerza. La tensión en r es paralela a la curva en r y tira de la sección hacia la derecha. La tensión en r puede dividirse en dos componentes, por lo que puede escribirse T u = ( T cos φ , T sin φ ) , donde T es la magnitud de la fuerza y φ es el ángulo entre la curva en ry el eje x (ver ángulo tangencial ). Por último, el peso de la cadena está representado por (0, - λgs ) donde λ es la masa por unidad de longitud, g es la aceleración de la gravedad y s es la longitud del segmento de cadena entre c y r .

La cadena está en equilibrio por lo que la suma de tres fuerzas es 0 , por lo tanto

$${\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0}}

y

$${\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda gs \ ,,}

y dividiendo estos da

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda gs} {T_ {0}}} \ ,.}

Es conveniente escribir

$${\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda g}}}

que es la longitud de la cadena cuyo peso en la Tierra es igual en magnitud a la tensión en c . ^[49] Entonces

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}}}

Es una ecuación que define la curva.

La componente horizontal de la tensión, T cos φ = T ₀ es constante y la componente vertical de la tensión, T sin φ = λgs es proporcional a la longitud de la cadena entre la r y el vértice. ^[50]

Derivación de ecuaciones para la curva. [ editar ]

La ecuación diferencial dada anteriormente se puede resolver para producir ecuaciones para la curva. ^[51]

Desde

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}} \ ,,}

la fórmula para la longitud del arco da

$${\ displaystyle {\ frac {ds} {dx}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ dfrac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt { a ^ {2} + s ^ {2}}} {a}} \ ,.}

Entonces

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = {\ frac {1} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {ds}} = {\ frac {\ frac {dy} {dx}} {\ frac {ds} {dx}}} = {\ frac {s} {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}}} \ ,.}

La segunda de estas ecuaciones se puede integrar para dar

$${\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} + \ beta}

y al cambiar la posición del eje x , β puede tomarse como 0. Entonces

$${\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + s ^ {2}}} \ ,, \ quad y ^ {2} = a ^ {2} + s ^ {2} \ ,.}

El eje x elegido de este modo se denomina directriz de la catenaria.

De ello se deduce que la magnitud de la tensión en un punto ( x , y ) es T = λgy , que es proporcional a la distancia entre el punto y la directriz. ^[50]

La integral de la expresión para dx/ds se puede encontrar usando técnicas estándar , dando ^[52]

$${\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) + \ alpha \ ,.}

y, de nuevo, al cambiar la posición del eje y , α puede tomarse como 0. Entonces

$${\ displaystyle x = a \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {s} {a}} \ right) \ ,, \ quad s = a \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \Correcto)\,.}

El eje- y así elegido pasa a través del vértice y se llama el eje de la catenaria.

Estos resultados pueden ser utilizados para eliminar s dando

$${\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ ,.}

Derivación Alternativa [ editar ]

La ecuación diferencial se puede resolver utilizando un enfoque diferente. ^[53] De

$${\ displaystyle s = a \ tan \ varphi}

resulta que

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {d \ varphi}} = {\ frac {dx} {ds}} {\ frac {ds} {d \ varphi}} = \ cos \ varphi \ cdot a \ sec ^ { 2} \ varphi = a \ sec \ varphi}

y

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {d \ varphi}} = {\ frac {dy} {ds}} {\ frac {ds} {d \ varphi}} = \ sin \ varphi \ cdot a \ sec ^ { 2} \ varphi = a \ tan \ varphi \ sec \ varphi \ ,.}

Integrando da,

$${\ displaystyle x = a \ ln (\ sec \ varphi + \ tan \ varphi) + \ alpha}

y

$${\ displaystyle y = a \ sec \ varphi + \ beta \ ,.}

Como antes, los ejes x e y se pueden desplazar para que α y β puedan tomarse como 0. Entonces

$${\ displaystyle \ sec \ varphi + \ tan \ varphi = e ^ {\ frac {x} {a}} \ ,,}

y tomando el recíproco de ambos lados.

$${\ displaystyle \ sec \ varphi - \ tan \ varphi = e ^ {- {\ frac {x} {a}}} \ ,.}

Sumar y restar las dos últimas ecuaciones luego da la solución

$${\ displaystyle y = a \ sec \ varphi = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ ,,}

y

$${\ displaystyle s = a \ tan \ varphi = a \ sinh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ ,.}

Determinación de parámetros [ editar ]

En general el parámetro a es la posición del eje. La ecuación se puede determinar en este caso de la siguiente manera: ^[54] Si es necesario, vuelva a etiquetar para que P ₁ esté a la izquierda de P ₂ y sea h la horizontal yvsea ​​la distancia vertical de P ₁ a P ₂ . Traducir los ejes de modo que el vértice de la catenaria se encuentra en la y eje x y su altura una se ajusta de modo que la catenaria satisface la ecuación estándar de la curva de

$${\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right)}

y que las coordenadas de P ₁ y P ₂ sean ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) respectivamente. La curva pasa por estos puntos, por lo que la diferencia de altura es

$${\ displaystyle v = a \ cosh \ left ({\ frac {x_ {2}} {a}} \ right) -a \ cosh \ left ({\ frac {x_ {1}} {a}} \ right) \ ,.}

y la longitud de la curva de P ₁ a P ₂ es

$${\ displaystyle s = a \ sinh \ left ({\ frac {x_ {2}} {a}} \ right) -a \ sinh \ left ({\ frac {x_ {1}} {a}} \ right) \ ,.}

Cuando s ² - v ² se expande usando estas expresiones, el resultado es

$${\ displaystyle s ^ {2} -v ^ {2} = 2a ^ {2} \ left (\ cosh \ left ({\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {a}} \ right) - 1 \ right) = 4a ^ {2} \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {h} {2a}} \ right) \ ,,}

asi que

$${\ displaystyle {\ sqrt {s ^ {2} -v ^ {2}}} = 2a \ sinh \ left ({\ frac {h} {2a}} \ right) \ ,.}

Esta es una ecuación trascendental en a y debe resolverse numéricamente . Se puede demostrar con los métodos de cálculo ^[55] que hay a lo sumo una solución con una > 0 y, por lo tanto, hay como máximo una posición de equilibrio.

Generalizaciones con fuerza vertical [ editar ]

Cadenas no uniformes [ editar ]

Si la densidad de la cadena es variable, el análisis anterior se puede adaptar para producir ecuaciones para la curva dada la densidad, o la curva para encontrar la densidad.^[56]

Sea w el peso por unidad de longitud de la cadena, entonces el peso de la cadena tiene magnitud

$${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \ ,,}

Donde los límites de integración son c y r . Fuerzas equilibradoras como en la cadena uniforme produce.

$${\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0}}

y

$${\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ int _ {\ mathbf {c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \ ,,}

y por lo tanto

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {\ mathbf {c}} ^ {\ mathbf {r}} w \, ds \ ,.}

Entonces la diferenciación da

$${\ displaystyle w = T_ {0} {\ frac {d} {ds}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {T_ {0} {\ dfrac {d ^ {2} y} { dx ^ {2}}}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ dfrac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}}} \ ,.}

En términos de φ y el radio de curvatura ρ esto se convierte

$${\ displaystyle w = {\ frac {T_ {0}} {\ rho \ cos ^ {2} \ varphi}} \ ,.}

Curva puente colgante [ editar ]

Puente Golden Gate . Más cables de puente colgante siguen una curva parabólica, no catenaria, debido a que el peso de la calzada es mucho mayor que el del cable.

Se puede hacer un análisis similar para encontrar la curva seguida por el cable que soporta un puente colgante con una calzada horizontal. ^[57] Si el peso de la calzada por unidad de longitud es w y el peso del cable y el cable que soporta el puente es insignificante en comparación, entonces el peso en el cable de c a r es wx, donde x es la distancia horizontal entre c y r . Procediendo como antes da la ecuación diferencial.

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {w} {T_ {0}}} x \ ,.}

Esto se resuelve mediante una simple integración para obtener

$${\ displaystyle y = {\ frac {w} {2T_ {0}}} x ^ {2} + \ beta}

Y así el cable sigue una parábola. Si el peso del cable y los cables de soporte no es despreciable, entonces el análisis es más complejo.^[58]

Catenaria de igual fuerza [ editar ]

En una catenaria de igual resistencia, el cable se fortalece de acuerdo con la magnitud de la tensión en cada punto, por lo que su resistencia a la rotura es constante a lo largo de su longitud. Suponiendo que la resistencia del cable es proporcional a su densidad por unidad de longitud, el peso, w , por unidad de longitud de la cadena se puede escribir T/c , donde c es constante, y se puede aplicar el análisis para cadenas no uniformes.^[59]

En este caso las ecuaciones para la tensión son:

$${\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0} \ ,,}

$${\ displaystyle T \ sin \ varphi = {\ frac {1} {c}} \ int T \, ds \ ,.}

Combinando da

$${\ displaystyle c \ tan \ varphi = \ int \ sec \ varphi \, ds}

y por diferenciación

$${\ displaystyle c = \ rho \ cos \ varphi}

donde ρ es el radio de curvatura.

La solución a esto es

$${\ displaystyle y = c \ ln \ left (\ sec \ left ({\ frac {x} {c}} \ right) \ right) \ ,.}

En este caso, la curva tiene asíntotas verticales y esto limita el intervalo a π c . Otras relaciones son

$${\ displaystyle x = c \ varphi \ ,, \ quad s = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi +2 \ varphi} {4}} \ right) \ right) \ ,.}

La curva fue estudiada en 1826 por Davies Gilbert y, aparentemente de manera independiente, por Gaspard-Gustave Coriolis en 1836.

Recientemente, se demostró que este tipo de catenaria podría actuar como un bloque de construcción de la metástasis electromagnética y se conoció como "catenaria de igual gradiente de fase".^[60]

Catenaria elástico [ editar ]

En una catenaria elástica , la cadena se reemplaza por un resorte que puede estirarse en respuesta a la tensión. Se supone que la primavera se estira de acuerdo con la Ley de Hooke . Específicamente, si p es la longitud natural de una sección del resorte, entonces la longitud del resorte con la tensión T aplicada tiene la longitud

$${\ displaystyle s = \ left (1 + {\ frac {T} {E}} \ right) p \ ,,}

donde E es una constante igual a kp , donde k es la rigidez del resorte. ^[61] En la catenaria, el valor de T es variable, pero la proporción sigue siendo válida a nivel local, por lo que ^[62]

$${\ displaystyle {\ frac {ds} {dp}} = 1 + {\ frac {T} {E}} \ ,.

La curva seguida por un resorte elástico ahora se puede derivar siguiendo un método similar al del resorte inelástico. ^[63]

Las ecuaciones para la tensión del resorte son:

$${\ displaystyle T \ cos \ varphi = T_ {0} \ ,,}

y

$${\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda _ {0} gp \ ,,}

a partir del cual

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T_ {0}}} \ ,, \ quad T = {\ sqrt {T_ {0} ^ {2} + \ lambda _ {0} ^ {2} g ^ {2} p ^ {2}}} \ ,,}

donde p es la longitud natural del segmento de c a r y λ ₀ es la masa por unidad de longitud del resorte sin tensión yg es la aceleración de la gravedad. Escribir

$${\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda _ {0} g}}}

asi que

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {p} {a}} \ ,, \ quad T = {\ frac {T_ {0}} {a}} { \ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} \ ,.}

Entonces

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = \ cos \ varphi = {\ frac {T_ {0}} {T}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {ds}} = \ sin \ varphi = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T}} \ ,,}

a partir del cual

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {dp}} = {\ frac {T_ {0}} {T}} {\ frac {ds} {dp}} = T_ {0} \ left ({\ frac {1 } {T}} + {\ frac {1} {E}} \ right) = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}}} + {\ frac {T_ {0}} {E}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dp}} = {\ frac {\ lambda _ {0} gp} {T}} {\ frac {ds} {dp}} = {\ frac {T_ {0} p } {a}} \ left ({\ frac {1} {T}} + {\ frac {1} {E}} \ right) = {\ frac {p} {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}}} + {\ frac {T_ {0} p} {Ea}} \ ,.}

La integración da las ecuaciones paramétricas.

$${\ displaystyle x = a \ operatorname {arcsinh} \ left ({\ frac {p} {a}} \ right) + {\ frac {T_ {0}} {E}} p + \ alpha \ ,,}

$${\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {\ frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2} + \ beta \ ,.}

Nuevamente, los ejes x e y pueden cambiarse, de modo que α y β pueden tomarse como 0. Entonces

$${\ displaystyle x = a \ operatorname {arcsinh} \ left ({\ frac {p} {a}} \ right) + {\ frac {T_ {0}} {E}} p \ ,,}

$${\ displaystyle y = {\ sqrt {a ^ {2} + p ^ {2}}} + {\ frac {T_ {0}} {2Ea}} p ^ {2}}

Son ecuaciones paramétricas para la curva. En el límite rígido donde E es grande, la forma de la curva se reduce a la de una cadena no elástica.