GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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En geometría , un cissoid es una curva generada a partir de dos curvas dadas C ₁ , C ₂ y un punto O (el polo ). Sea L una línea variable que pasa por O e intersecta C ₁ en P ₁ y C ₂ en P ₂ . Sea P el punto en L de modo que OP = P ₁ P ₂ . (En realidad, hay dos puntos de este tipo, pero P se elige de modo que P se encuentre en la misma dirección que Ocomo P ₂ es de P ₁ ). A continuación, el locus de tales puntos P se define para ser la cisoide de las curvas C ₁ , C ₂ en relación con O .

Las definiciones ligeramente diferentes pero esencialmente equivalentes son utilizadas por diferentes autores. Por ejemplo, P puede definirse como el punto para que OP = OP ₁ + OP ₂ . Esto es equivalente a la otra definición si C ₁ se sustituye por su reflexión a través de O . O P puede definirse como el punto medio de P ₁ y P ₂ ; esto produce la curva generada por la curva anterior escalada por un factor de 1/2.

La palabra "cissoid" viene del griego : κισσοειδής , lit.  'hiedra en forma' de κισσός , 'hiedra', y -οειδής , 'teniendo la semejanza de'.

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Construcción de cissoides de diocles.

Animación visualizando el cissoide de diocles.

En geometría , el cissoide de Diocles es una curva de plano cúbico notable por la propiedad de que se puede utilizar para construir dos proporcionales medios para una relación dada . En particular, se puede utilizar para duplicar un cubo . Puede definirse como el cissoide de un círculo y una línea tangente a ella con respecto al punto en el círculo opuesto al punto de tangencia. De hecho, la familia de cissoids se nombra para este ejemplo y algunos autores se refieren a ella simplemente como el cissoid. Tiene una sola cúspide en el polo, y es simétrica respecto al diámetro del círculo, que es la línea de tangencia de la cúspide. La línea es una asíntota.. Es un miembro de la familia de curvas de de Sluze y en su forma se asemeja a una tractrix .

La palabra "cissoid" viene del griego κισσοειδής kissoeidēs " hiedra enforma" de κισσός kissos "ivy" y -οειδής - oeidēs "tiene la imagen de". La curva lleva el nombre de Diocles, que la estudió en el siglo II a. C.

Construcción y ecuaciones [ editar ]

Que el radio de C sea a . Por traslación y rotación, podemos tomar que O es el origen y que el centro del círculo es ( a , 0), por lo que A es (2 a , 0). Entonces las ecuaciones polares de L y C son:

$${\ displaystyle r = 2a \ sec \ theta}

$${\ displaystyle r = 2a \ cos \ theta}.

Por construcción, la distancia desde el origen a un punto de la cisoide es igual a la diferencia entre las distancias entre el origen y los puntos correspondientes en L y C . En otras palabras, la ecuación polar del cissoide es

$${\ displaystyle r = 2a \ sec \ theta -2a \ cos \ theta = 2a (\ sec \ theta - \ cos \ theta)}.

Aplicando algunas identidades trigonométricas, esto es equivalente a

$${\ displaystyle r = 2a \ sin ^ {2} \ theta / \ cos \ theta = 2a \ sin \ theta \ tan \ theta}.

Dejar $${\ displaystyle t = \ tan \ theta}en la ecuación anterior. Entonces

$${\ displaystyle x = r \ cos \ theta = 2a \ sin ^ {2} \ theta = {\ frac {2a \ tan ^ {2} \ theta} {\ sec ^ {2} \ theta}} = {\ frac {2at ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}

$${\ displaystyle y = tx = {\ frac {2at ^ {3}} {1 + t ^ {2}}}}

Son ecuaciones paramétricas para el cissoide.

La conversión de la forma polar a coordenadas cartesianas produce

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) x = 2ay ^ {2}}

Construcción por doble proyección [ editar ]

Mecanismo para generar el cissoide.

Otro avanza la construcción como sigue: Sea una línea L y un punto Ono en L se dará, y dejar que K sea la línea a través de O en paralelo a L . Deje que P sea un punto variable sobre L . Deje que Q sea la proyección de P sobre K , en otras palabras Q es la intersección de K con la línea a través de P perpendicular a K . De manera similar, sea R la proyección de Q sobre OP . Entonces el cissoide es el lugar de los puntos.R .

Para ver esto, sea O el origen y L la línea x = 2a como se indica arriba. Sea P el punto (2 a , 2 en ), entonces Q es (0, 2 en ) y la ecuación de la línea OP es y = tx . La recta a través de Q perpendicular a OP es

$${\ displaystyle t (y-2at) + x = 0}.

Para encontrar el punto de la intersección R , establezca y = tx en esta ecuación para obtener

$${\ displaystyle t (tx-2at) + x = 0, \ x (t ^ {2} +1) = 2at ^ {2}, \ x = {\ frac {2at ^ {2}} {t ^ {2 } +1}}}

$${\ displaystyle y = tx = {\ frac {2at ^ {3}} {t ^ {2} +1}}}

cuales son las ecuaciones paramétricas dadas anteriormente.

Esta construcción sugiere el mecanismo mostrado a la derecha como una forma de generar la curva.

La construcción de Newton [ editar ]

La construcción de newton

La siguiente construcción fue dada por Isaac Newton . Deje que J sea una línea y Bun punto exterior a J . Deje BST sea un ángulo recto que se mueve de manera que ST es igual a la distancia de B a J y T permanece en J , mientras que la otra pierna BS desliza a lo largo B . Entonces el punto medio P de ST describe la curva.

Para ver esto, ^[1] deja que la distancia entre B y J sea ​​2 a . Por traslación y rotación, tome B = (−a, 0) y J la línea x = a . Sea P = ( x ,  y ) y sea angle el ángulo entre SB y el eje x ; esto es igual al ángulo entre ST y J . Por construcción, PT  =  a , por lo que la distancia de P a J es un  pecado. En otras palabras un- x  =  un  pecado. Además, SP  =  a es la coordenada y de ( x ,  y ) si se gira con el ángulo ψ, por lo que a  = ( x+ a ) sin +  y  cos ψ. Después de la simplificación, esto produce ecuaciones paramétricas.

$${\ displaystyle x = a (1- \ sin \ psi), \, y = a {\ frac {(1- \ sin \ psi) ^ {2}} {\ cos \ psi}}.}

Cambia los parámetros reemplazando ψ con su complemento para obtener

$${\ displaystyle x = a (1- \ cos \ psi), \, y = a {\ frac {(1- \ cos \ psi) ^ {2}} {\ sin \ psi}}}

o, aplicando fórmulas de doble ángulo,

$${\ displaystyle x = 2a \ sin ^ {2} {\ psi \ sobre 2}, \, y = a {\ frac {4 \ sin ^ {4} {\ psi \ sobre 2}} {2 \ sin {\ psi \ over 2} \ cos {\ psi \ over 2}}} = 2a {\ frac {\ sin ^ {3} {\ psi \ over 2}} {\ cos {\ psi \ over 2}}}.}

Pero esta es la ecuación polar.

$${\ displaystyle r = 2a \ sin ^ {2} \ theta / \ cos \ theta}

dado anteriormente con θ = Ψ / 2.

Tenga en cuenta que, al igual que con la construcción de doble proyección, esto puede adaptarse para producir un dispositivo mecánico que genere la curva.

Problema Deliano [ editar ]

El geómetro griego Diocles usó el cissoide para obtener dos proporciones medias a una proporción dada . Esto significa que dadas las longitudes a y b , la curva se puede usar para encontrar u y v, de modo que a es para ucomo u para v como v es para b, es decir a / u = u / v = v / b , como se descubrió Por Hipócrates de Quíos . Como caso especial, esto puede usarse para resolver el problema de Delian: cuánto debe la longitud de un¿ Se incrementa el cubo para duplicar su volumen ? Específicamente, si a es el lado de un cubo, y b = 2 a , entonces el volumen de un cubo del lado u es

$${\ displaystyle u ^ {3} = a ^ {3} ({\ tfrac {u} {a}}) ^ {3} = a ^ {3} ({\ tfrac {u} {a}}) ({ \ tfrac {v} {u}}) ({\ tfrac {b} {v}}) = a ^ {3} ({\ tfrac {b} {a}}) = 2a ^ {3}}

así que u es el lado de un cubo con el doble del volumen del cubo original. Sin embargo, tenga en cuenta que esta solución no está dentro de las reglas de construcción de compás y regla, ya que se basa en la existencia del cissoid.

Sean a y b dados. Es necesario encontrar u de modo que u ³ = a ² b , dando u y v = u ² / a como la media proporcional. Deja que el cissoid

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) x = 2ay ^ {2}}

se construirá como antes, con O el origen, A el punto (2 a , 0) y J la línea x = a , también como se indicó anteriormente. Sea C el punto de intersección de J con OA . A partir de la longitud dada b , marque B en J para que CB = b . Dibuje BA y sea P = ( x ,  y ) el punto donde interseca el cissoide. Dibuja OP y deja que intersecte Jen U. Entonces u = CU es la longitud requerida.

Para ver esto, ^[2] reescribe la ecuación de la curva como

$${\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {x ^ {3}} {2a-x}}}

y dejar que N = ( x , 0), de modo PN es la perpendicular a OA a través de P . De la ecuación de la curva,

$${\ displaystyle PN ^ {2} = {\ frac {ON ^ {3}} {NA}}.}

De esto,

$${\ displaystyle {\ frac {PN ^ {3}} {ON ^ {3}}} = {\ frac {PN} {NA}}.

Por triángulos semejantes PN / EN = UC / OC y PN / NA = AC / CA . Entonces la ecuación se convierte en

$${\ displaystyle {\ frac {UC ^ {3}} {OC ^ {3}}} = {\ frac {BC} {CA}},}

asi que

$${\ displaystyle {\ frac {u ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {b} {a}}, \, u ^ {3} = a ^ {2} b}

según sea necesario.

Diocles realmente no resolvió el problema de Delian. La razón es que el cissoide de Diocles no se puede construir perfectamente, al menos no con brújula y regla. Para construir el cissoide de Diocles, uno construiría un número finito de sus puntos individuales, y luego conectaría todos estos puntos para formar una curva. El problema es que no hay una forma bien definida de conectar los puntos. Si están conectados por segmentos de línea, entonces la construcción estará bien definida, pero no será un cissoide exacto de Diocles, sino solo una aproximación. Del mismo modo, si los puntos están conectados con arcos circulares, la construcción estará bien definida, pero será incorrecta. O simplemente se podría dibujar una curva directamente, tratando de observar la forma de la curva, pero el resultado solo sería una suposición imprecisa.

Una vez que se haya dibujado el conjunto finito de puntos en el cissoid, entonces la línea PC probablemente no intersectará uno de estos puntos exactamente, sino que pasará entre ellos, intersectando el cissoid de Diocles en algún punto cuya ubicación exacta no se haya construido, pero sí Solo se ha aproximado. Una alternativa es seguir agregando puntos construidos al cissoide que se acercan más y más a la intersección con la línea PC , pero el número de pasos puede ser infinito, y los griegos no reconocieron las aproximaciones como límites de pasos infinitos (por lo que fueron Muy desconcertado por las paradojas de Zenón .

También se podría construir un cissoide de Diocles por medio de una herramienta mecánica especialmente diseñada para ese propósito, pero esto viola la regla de solo usar brújula y regla. Esta regla fue establecida por razones de coherencia lógica - axiomática. Permitir la construcción con nuevas herramientas sería como agregar nuevos axiomas , pero se supone que los axiomas son simples y evidentes, pero tales herramientas no lo son. Por lo tanto, según las reglas de la geometría clásica y sintética , Diocles no resolvió el problema de Delian, que en realidad no puede resolverse por tales medios.

Por otro lado, si uno acepta que los cissoides de Diocles existen , entonces debe existir al menos un ejemplo de tal cissoide. Este cissoide se puede traducir, rotar y expandir o contraer en tamaño (sin cambiar su forma proporcional ) a voluntad para que se ajuste a cualquier posición. Entonces, uno admitiría fácilmente que tal cissoide puede usarse para resolver correctamente el problema de Delian.

Como una curva de pedal [ editar ]

La curva del pedal de una parábola con respecto a su vértice es un cissoide de Diocles. ^[3] Las propiedades geométricas de las curvas de pedales en general producen varios métodos alternativos para construir el cissoide. Son las envolturas de círculos cuyos centros se encuentran en una parábola y que pasan a través del vértice de la parábola. Además, si dos parábolas congruentes se establecen vértice a vértice y una se enrolla a lo largo de la otra; El vértice de la parábola rodante trazará el cissoide.

Un par de parábolas se enfrentan simétricamente: una arriba y otra abajo. Luego, la parábola superior se enrolla sin deslizarse a lo largo de la inferior, y sus posiciones sucesivas se muestran en la animación. Luego, el camino trazado por el vértice de la parábola superior a medida que rueda es una ruleta que se muestra en rojo, que es cissoide de Diocles.

Inversión [ editar ]

El cissoide de Diocles también se puede definir como la curva inversa de una parábola con el centro de inversión en el vértice. Para ver esto, toma la parábola como x = y ² . En coordenadas polares esto se convierte en

$${\ displaystyle r = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}}},

y la curva inversa tiene ecuación

$${\ displaystyle r = {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sin \ theta \ tan \ theta}

que es un caso especial de la ecuación que define el cissoide de Diocles en coordenadas polares.

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Algunos ejemplos de la curva.

En matemáticas , la curva de Clelia o Clelia es una curva parametrizada por ^[1]

$${\ displaystyle x = a \ sin (m \ theta) \ cos (\ theta)}

$${\ displaystyle y = a \ sin (m \ theta) \ sin (\ theta)}

$${\ displaystyle z = a \ cos (m \ theta)}

Donde θ es la longitud y mθ es el colatitud .

Una curva de este tipo se limita a la superficie de una esfera de radio$${\ displaystyle a}, ^[2] como es obvio a partir de las ecuaciones paramétricas para la superficie de una esfera. cuando$${\ displaystyle m = 1}, Esta es la curva de Viviani .

La curva fue nombrada por Luigi Guido Grandi ^[3] después de Clelia Borromeo .