MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

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Para otras aplicaciones, vea Ecuación (desambiguación) .

El primer uso de un signo igual, equivalente a 14 x + 15 = 71 en notación moderna. De la piedra de afilar de Witte por Robert Recorde de Gales (1557).

En matemáticas , una ecuación es una declaración que afirma la igualdad de dos expresiones. La palabra ecuación y sus cognados en otros idiomas pueden tener significados sutilmente diferentes; por ejemplo, en francés una ecuación se define como que contiene una o más variables , mientras que en inglés cualquier igualdad es una ecuación. ^[1]

Resolver una ecuación que contiene variables consiste en determinar qué valores de las variables hacen que la igualdad sea verdadera. Las variables también se llaman incógnitas y los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad se denominan soluciones de la ecuación. Hay dos tipos de ecuaciones: identidades y ecuaciones condicionales. Una identidad es verdadera para todos los valores de la variable. Una ecuación condicional solo es cierta para valores particulares de las variables. ^[2] [3]

Una ecuación se escribe como dos expresiones , conectadas por un signo igual ("="). Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación.

El tipo más común de ecuación es una ecuación algebraica , en la que los dos lados son expresiones algebraicas. Cada lado de una ecuación algebraica contendrá uno o más términos . Por ejemplo, la ecuación.

$${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bx + C = y}

tiene lado izquierdo $${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bx + C}, que tiene tres términos, y lado derecho $${\ displaystyle y}, que consiste en un solo término. Las incógnitas son x y y y los parámetros son A , B , y C .

Una ecuación es análoga a una escala en la que se colocan los pesos. Cuando los pesos iguales de algo (grano, por ejemplo) se colocan en las dos bandejas, los dos pesos hacen que la escala esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se extrae una cantidad de grano de una bandeja del balance, se debe eliminar una cantidad igual de grano de la otra bandeja para mantener la balanza en equilibrio. Del mismo modo, para mantener una ecuación en equilibrio, las mismas operaciones de suma, resta, multiplicación y división se deben realizar en ambos lados de una ecuación para que permanezca verdadera.

En geometría , las ecuaciones se utilizan para describir figuras geométricas . Como las ecuaciones que se consideran, como las ecuaciones implícitas o las paramétricas , tienen infinitas soluciones, el objetivo ahora es diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo que es imposible, se usan ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea inicial de la geometría algebraica , un área importante de las matemáticas.

El álgebra estudia dos familias principales de ecuaciones: las ecuaciones polinomiales y, entre ellas, el caso especial de ecuaciones lineales . Cuando solo hay una variable, las ecuaciones polinomiales tienen la forma P ( x) = 0, donde P es un polinomio y las ecuaciones lineales tienen la forma ax  +  b  = 0, donde a y b son parámetros. Para resolver ecuaciones de cualquiera de las familias, se usan técnicas algorítmicas o geométricas que se originan a partir de álgebra lineal o análisis matemático . El algebra tambien estudiaEcuaciones diofantinasdonde los coeficientes y soluciones son enteros . Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de la teoría de los números . Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca solo para encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existe, para contar el número de soluciones.

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una o más funciones y sus derivadas. Se resuelvenencontrando una expresión para la función que no involucra derivados. Las ecuaciones diferenciales se usan para modelar procesos que involucran las tasas de cambio de la variable, y se usan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.

El símbolo " = ", que aparece en cada ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde , quien consideraba que nada podía ser más igual que las líneas rectas paralelas con la misma longitud.

Introducción [ editar ]

Representación análoga [ editar ]

Ilustración de una ecuación simple; x , y , z son números reales, análogos a los pesos.

Una ecuación es análoga a una balanza , balanza o balancín .

Cada lado de la ecuación corresponde a un lado del balance. Se pueden colocar diferentes cantidades en cada lado: si los pesos en los dos lados son iguales, la escala se equilibra y, en analogía, la igualdad que representa el equilibrio también está equilibrada (si no, la falta de equilibrio corresponde a una desigualdad representada por una iniquacion ).

En la ilustración, x , y y z son todas cantidades diferentes (en este caso, números reales ) representados como pesos circulares, y cada uno de x , y y z tiene un peso diferente. La suma corresponde a la adición de peso, mientras que la resta corresponde a la eliminación de peso de lo que ya existe. Cuando la igualdad se mantiene, el peso total en cada lado es el mismo.

Parámetros y incógnitas [ editar ]

Ver también: Expresión (Matemáticas).

Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos a los desconocidos. Estos otros términos, que se supone que se conocen , generalmente se llaman constantes , coeficientes o parámetros .

Un ejemplo de una ecuación que x y y como incógnitas y el parámetro R es

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}.}

Cuando se elige R para que tenga el valor de 2 ( R = 2), esta ecuación se reconocería, cuando se dibuje en coordenadas cartesianas , como la ecuación para un círculo particular con un radio de 2. Por lo tanto, la ecuación con R no especificada es la Ecuación general para el círculo.

Por lo general, las incógnitas se indican con letras al final del alfabeto, x , y , z , w , ..., mientras que los coeficientes (parámetros) se indican con letras al principio, a , b , c , d , ... Por ejemplo, la ecuación cuadráticageneral generalmente se escribe ax ²  +  bx  +  c  = 0. El proceso de encontrar las soluciones, o, en el caso de los parámetros, expresar las incógnitas en términos de los parámetros se llama resolver la ecuación . Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se llamansoluciones .

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas , generalmente en varias incógnitas, para las cuales se buscan soluciones comunes. Por lo tanto, una solución para el sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas, que juntas forman una solución para cada ecuación en el sistema. Por ejemplo, el sistema.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 3x + 5y & = 2 \\ 5x + 8y & = 3 \ end {alineado}}}

tiene la única solución x  = −1, y  = 1.

Identidades [ editar ]

Artículos principales: Identidad (matemáticas) y Lista de identidades trigonométricas.

Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la (s) variable (s) que contiene. Muchas identidades son conocidas en álgebra y cálculo. En el proceso de resolver una ecuación, una identidad se usa a menudo para simplificar una ecuación y hacerla más fácil de resolver.

En álgebra, un ejemplo de una identidad es la diferencia de dos cuadrados :

$${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = (x + y) (xy)}

lo que es cierto para todos los x y y .

La trigonometría es un área donde existen muchas identidades; Estos son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas . Dos de los muchos que involucran las funciones seno y coseno son:

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ theta) + \ cos ^ {2} (\ theta) = 1}

y

$${\ displaystyle \ sin (2 \ theta) = 2 \ sin (\ theta) \ cos (\ theta)}

que son ambos verdaderos para todos los valores de θ .

Por ejemplo, para resolver el valor de θ que satisface la ecuación:

$${\ displaystyle 3 \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) = 1 \ ,,}

donde se sabe que θ está limitado a entre 0 y 45 grados, podemos usar la identidad anterior para que el producto brinde:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} \ sin (2 \ theta) = 1 \ ,,}

dando la solución para θ

$${\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ arcsin \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) \ approx 20.9 ^ {\ circ}.}

Dado que la función seno es una función periódica , hay un número infinito de soluciones si no hay restricciones en θ . En este ejemplo, la restricción de que theta estar entre 0 y 45 grados implica que sólo hay una solución.

Propiedades [ editar ]

Dos ecuaciones o dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en una equivalente, siempre que las operaciones sean significativas para las expresiones a las que se aplican:

• Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación. Esto muestra que cada ecuación es equivalente a una ecuación en la que el lado derecho es cero.
• Multiplicando o dividiendo ambos lados de una ecuación por una cantidad que no sea cero.
• Aplicando una identidad para transformar un lado de la ecuación. Por ejemplo, expandiendo un producto o factorizando una suma.
• Para un sistema: sumando a ambos lados de una ecuación el lado correspondiente de otra ecuación, multiplicado por la misma cantidad.

Si alguna función se aplica a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las soluciones de la ecuación inicial entre sus soluciones, pero puede tener otras soluciones denominadas soluciones extrañas . Por ejemplo, la ecuación.$${\ displaystyle x = 1} tiene la solución $${\ displaystyle x = 1.} Elevar ambos lados al exponente de 2 (lo que significa aplicar la función $${\ displaystyle f (s) = s ^ {2}} a ambos lados de la ecuación) cambia la ecuación a $${\ displaystyle x ^ {2} = 1}, que no solo tiene la solución anterior sino que también introduce la solución extraña, $${\ displaystyle x = -1.}Además, si la función no está definida en algunos valores (como 1 / x , que no está definido para x = 0), las soluciones existentes en esos valores pueden perderse. Por lo tanto, se debe tener precaución al aplicar tal transformación a una ecuación.

Las transformaciones anteriores son la base de la mayoría de los métodos elementales para la resolución de ecuaciones, así como algunos menos elementales, como la eliminación gaussiana .

Más información: Resolución de ecuaciones.

Álgebra [ editar ]

Ecuaciones polinomiales [ editar ]

Artículo principal: Ecuación polinomial.

Las soluciones –1 y 2 de la ecuación polinomial x ² - x + 2 = 0 son los puntos donde la gráfica de la función cuadrática y = x ² - x + 2 corta el eje x .

En general, una ecuación algebraica o una ecuación polinomial es una ecuación de la forma

$${\ displaystyle P = 0}o

$${\ displaystyle P = Q}

donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (números reales, números complejos, etc.), que a menudo es el campo de los números racionales . Una ecuación algebraica es univariada si involucra solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinomial puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llama multivariable (variables múltiples, x, y, z, etc.). El término ecuación polinomial se suele preferir a la ecuación algebraica .

Por ejemplo,

$${\ displaystyle x ^ {5} -3x + 1 = 0}

es una ecuación algebraica (polinomial) univariada con coeficientes enteros y

$${\ displaystyle y ^ {4} + {\ frac {xy} {2}} = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + y ^ {2} - {\ frac {1} {7}}}

Es una ecuación polinomial multivariable sobre los números racionales.

Algunas, pero no todas, las ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica con un número finito de operaciones que involucran solo esos coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más se puede resolver con algunas ecuaciones pero, como demuestra el teorema de Abel-Ruffini , no para todos. Se ha dedicado una gran cantidad de investigación para calcular de manera eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (ver algoritmo de búsqueda de raíces).) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinomiales multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinomiales ).

Sistemas de ecuaciones lineales [ editar ]

Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático es un libro chino anónimo que propone un método de resolución para ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal ) es una colección de ecuaciones lineales que involucran el mismo conjunto de variables . ^[5] Por ejemplo,

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {7} 3x && \; + \; && 2y && \; - \; && z && \; = \; && 1 & \\ 2x && \; - \; && 2y && \; + \; && 4; && \; = \ ; && - 2 & \\ - x && \; + \; && {\ tfrac {1} {2}} y && \; - \; && z && \; = \; && 0 & \ end {alignat}}}

Es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x , y , z . Una solución para un sistema lineal es una asignación de números a las variables de manera que todas las ecuaciones se cumplan simultáneamente. Una solución al sistema anterior está dada por

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} x & \, = \, & 1 \\ y & \, = \, & - 2 \\ z & \, = \, & - 2 \ end {alignat}}}

ya que hace que las tres ecuaciones sean válidas. La palabra " sistema " indica que las ecuaciones deben considerarse colectivamente, en lugar de individualmente.

En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal , un tema que se utiliza en la mayoría de las partes de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica , y desempeñan un papel prominente en física , ingeniería , química , ciencias de la computación y economía . Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo se puede aproximar mediante un sistema lineal (ver linealización ), una técnica útil al hacer un modelo matemático oSimulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.

Geometría [ editar ]

Geometría analítica [ editar ]

Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono de revolución.

En la geometría euclidiana , es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto en el espacio, por ejemplo, mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas por ecuaciones. Un plano en el espacio tridimensional se puede expresar como el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}, dónde $${\ displaystyle a, b, c} y $${\ displaystyle d} son numeros reales y $${\ displaystyle x, y, z}son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto en el sistema dadas por la cuadrícula ortogonal. Los valores$${\ displaystyle a, b, c}son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una línea se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto de soluciones de una sola ecuación lineal con valores en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} o como el conjunto de soluciones de dos ecuaciones lineales con valores en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}.}

Una sección cónica es la intersección de un cono con la ecuación.$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2}}y un avion En otras palabras, en el espacio, todas las cónicas se definen como el conjunto de soluciones de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono que se acaba de dar. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los enfoques de una cónica.

El uso de ecuaciones permite recurrir a una gran área de matemáticas para resolver preguntas geométricas. El sistema de coordenadas cartesiano transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se transforman en ecuaciones; De ahí el nombre de geometría analítica . Este punto de vista, descrito por Descartes , enriquece y modifica el tipo de geometría concebida por los matemáticos griegos antiguos.

Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque todavía usa ecuaciones para caracterizar figuras, también usa otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal .

Ecuaciones cartesianas [ editar ]

Un sistema de coordenadas cartesiano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de manera única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas , que son las distancias con signo desde el punto hasta dos líneas dirigidas perpendiculares fijas , que se marcan con la misma unidad de longitud .

Se puede usar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensionalmediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares (o, de manera equivalente, por su proyección perpendicular en tres líneas mutuamente perpendiculares ).

Sistema de coordenadas cartesiano con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es ( x - a ) ² + ( y - b ) ² = r ² donde a y b son las coordenadas del centro ( a , b ) y r es el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes ( nombre latinizado : Cartesius ) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra . Usando el sistema de coordenadas cartesiano, las formas geométricas (como las curvas ) se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas : ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado origen, se puede describir como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x² + y ² = 4 .

Ecuaciones paramétricas [ editar ]

Artículo principal: Ecuación paramétrica.

Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadasde los puntos de la curva como funciones de una variable , llamada parámetro . ^[6] [7] Por ejemplo,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ cos t \\ y & = \ sin t \ end {alineado}}}

Son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario , donde t es el parámetro. Juntas, estas ecuaciones se denominan representación paramétrica de la curva.

La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies , variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para las curvas, la dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Teoría de números [ editar ]

Ecuaciones diofánticas [ editar ]

Artículo principal: Ecuación diofántica.

Una ecuación Diophantine es una ecuación polinómica en dos o más incógnitas para el que sólo los enteros soluciones se buscan (una solución entera es una solución de tal manera que todas las incógnitas toman valores enteros). Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado cero o uno. Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es ax + by = c donde a , b , yc son constantes. Una ecuación diofántica exponencial. es uno para el cual los exponentes de los términos de la ecuación pueden ser desconocidos.

Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que las variables desconocidas e implican encontrar números enteros que funcionen correctamente para todas las ecuaciones. En un lenguaje más técnico, definen una curva algebraica , una superficie algebraica o un objeto más general, y preguntan sobre los puntos de la red .

La palabra Diofantina se refiere al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , que hizo un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto ahora se llama análisis diofántico .

Números algebraicos y trascendentales [ editar ]

Artículos principales: Número algebraico y Número trascendental.

Un número algebraico es un número que es una solución de una ecuación polinomial distinta de cero en una variable con coeficientes racionales (o equivalentemente, al eliminar denominadores , con coeficientes enteros ). Números como π que no son algebraicos se dice que son trascendentales . Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.

Algebraic geometría [ editar ]

Artículo principal: Geometría algebraica.

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas , que estudia clásicamente soluciones de ecuaciones polinómicas . La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas de álgebra abstracta , especialmente álgebra conmutativa , con el lenguaje y los problemas de geometría .

Los objetos fundamentales de estudio en la geometría algebraica son las variedades algebraicas , que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son: curvas algebraicas planas , que incluyen líneas , círculos , parábolas , elipses , hiperbolas , curvas cúbicas como curvas elípticas y curvas quárticas como lemniscates y óvalos de Cassini. Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las preguntas básicas involucran el estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares , los puntos de inflexión y los puntos en el infinito . Las preguntas más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales [ editar ]

Artículo principal: Ecuación diferencial.

Un atractor extraño , que surge al resolver una determinada ecuación diferencial .

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas . En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, los derivados representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre las dos. Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel prominente en muchas disciplinas, incluyendo física , ingeniería , economía y biología .

En matemáticas puras , las ecuaciones diferenciales se estudian desde varias perspectivas diferentes, principalmente relacionadas con sus soluciones, el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación. Sólo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta.

Si no está disponible una fórmula autocontenida para la solución, la solución puede aproximarse numéricamente usando computadoras. La teoría de los sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos se han desarrollado para determinar soluciones con un grado de precisión dado.

Ecuaciones diferenciales ordinarias [ editar ]

Artículo principal: Ecuación diferencial ordinaria.

Una ecuación diferencial ordinaria o EDO es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término " ordinario " se usa en contraste con el término ecuación diferencial parcial , que puede ser con respecto a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que pueden sumarse y multiplicarse por coeficientes, están bien definidas y se entienden, y se obtienen soluciones exactas de forma cerrada. Por el contrario, las EDO que carecen de soluciones aditivas no son lineales, y su solución es mucho más compleja, ya que rara vez se pueden representar mediante funciones elementales en forma cerrada: en cambio, las soluciones analíticas y exactas de EDO están en forma de serie o integral. Los métodos gráficos y numéricos , aplicados a mano o por computadora, pueden aproximarse a las soluciones de EDO y quizás proporcionar información útil, que a menudo es suficiente en ausencia de soluciones analíticas exactas.

Ecuaciones diferenciales parciales [ editar ]

Artículo principal: Ecuación diferencial parcial.

Una ecuación diferencial parcial ( PDE ) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariablesdesconocidas y sus derivadas parciales . (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias , que se ocupan de las funciones de una sola variable y sus derivadas). Las PDE se usan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven a mano o se usan para crear un modelo informáticorelevante .

Las PDE se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos como el sonido , el calor , la electrostática , la electrodinámica , el flujo de fluidos , la elasticidad o la mecánica cuántica . Estos fenómenos físicos aparentemente distintos pueden formalizarse de manera similar en términos de PDE. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales , las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales . Las PDEs encuentran su generalización en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

Tipos de ecuaciones [ editar ]

Las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo con los tipos de operaciones y cantidades involucradas. Los tipos importantes incluyen:

• Una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación en la que ambos lados son polinomios (ver también sistema de ecuaciones polinomiales ). Estos son además clasificados por grado :
  • ecuación lineal para grado uno
  • ecuación cuadrática para grado dos
  • ecuación cúbica para grado tres
  • ecuación quártica para grado cuatro
  • ecuación quintica para grado cinco
  • ecuacion sextica para grado seis
  • ecuación séptica para grado siete
  • ecuación octica para grado ocho
• Una ecuación diofántica es una ecuación donde se requiere que las incógnitas sean enteros.
• Una ecuación trascendental es una ecuación que implica una función trascendental de sus incógnitas.
• Una ecuación paramétrica es una ecuación en la que las soluciones para las variables se expresan como funciones de algunas otras variables, llamadas parámetros que aparecen en las ecuaciones.
• Una ecuación funcional es una ecuación en la que las incógnitas son funciones en lugar de simples cantidades.
• Una ecuación diferencial es una ecuación funcional que involucra derivadas de las funciones desconocidas
• Una ecuación integral es una ecuación funcional que incluye las antiderivadas de las funciones desconocidas.
• Una ecuación integro-diferencial es una ecuación funcional que involucra tanto las derivadas como las antiderivadas de las funciones desconocidas.
• Una ecuación de diferencia es una ecuación donde la incógnita es una función f que se produce en la ecuación a través de f ( x ), f ( x −1),…, f ( x - k ), para un entero entero k llamado el orden de ecuación. Si xestá restringido para ser un número entero, una ecuación en diferencias es lo mismo que una relación de recurrencia