MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

término constante es un término en una expresión algebraica que tiene un valor que es constante o no puede cambiar, porque no contiene ninguna variable modificable . Por ejemplo, en el polinomio cuadrático.

$${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 3, \}

El 3 es un término constante.

Después de que se combinen los términos semejantes , una expresión algebraica tendrá como máximo un término constante. Así, es común hablar del polinomio cuadrático.

$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c, \}

donde x es la variable, y tiene un término constante de c . Si c  = 0, entonces el término constante no aparecerá realmente cuando se escriba la cuadrática.

Es notable que un término que es constante, con una constante como un coeficiente multiplicativo agregado (aunque esta expresión podría escribirse más simplemente como su producto), todavía constituya un término constante como una variable que todavía no está presente en el nuevo término . Aunque la expresión se modifica, el término (y el coeficiente) se clasifican como constantes. Sin embargo, si este coeficiente introducido contiene una variable, mientras que el número original tiene un significado constante, esto no influye si el nuevo término permanece constante, ya que el coeficiente introducido siempre anulará la expresión constante, por ejemplo, en$${\ displaystyle (x + 1) (x-2)}cuando x se multiplica por 2, el resultado, 2x, no es constante; mientras que 1 * -2 es -2 y sigue siendo una constante.

Cualquier polinomio escrito en forma estándar tiene un término constante único, que puede considerarse un coeficiente de x ⁰ . En particular, el término constante siempre será el término de grado más bajo del polinomio. Esto también se aplica a polinomios multivariados. Por ejemplo, el polinomio.

$${\ displaystyle x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} -2x + 2y-4 \}

tiene un término constante de −4, que se puede considerar como el coeficiente de x ⁰ y ⁰ , donde las variables se eliminan al exponerse a 0 (cualquier número exponencial a 0 se convierte en 1). Para cualquier polinomio, el término constante se puede obtener sustituyendo en 0 en lugar de cada variable; De esta forma, se elimina cada variable. El concepto de exponenciación a 0 puede extenderse a series de potencias y otros tipos de series, por ejemplo en esta serie de potencias:

$${\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots,}

a ₀ es el término constante. En general, un término constante es aquel que no implica ninguna variable. Sin embargo, en expresiones que involucran términos con otros tipos de factores que constantes y potencias de variables, la noción de término constante no se puede usar en este sentido, ya que eso llevaría a llamar "4" el término constante de$${\ displaystyle (x-3) ^ {2} +4}, mientras que sustituir 0 por x en este polinomio hace que se evalúe a 13.

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

Parcela de y = 3 √ x . La trama es simétrica con respecto al origen, ya que es una función impar . En x = 0 esta gráfica tiene una tangente vertical .

Una unidad de cubo (lado = 1) y un cubo con el doble de volumen (lado = 3 √ 2 = 1.2599 ... OEIS :  A002580 ).

En matemáticas , una raíz cúbica de un número x es un número y tal que y ³  =  x . Todos los números reales (excepto cero) tienen exactamente una raíz cúbica real y un par de raíces cúbicas conjugadas complejas , y todos los números complejos no nulos tienen tres raíces cúbicas complejas distintas. Por ejemplo, la raíz cúbica real de 8, denotada como 3 √ 8 , es 2, porque 2 ³  = 8, mientras que las otras raíces cúbicas de 8 son −1 +  √ 3 i y −1 -  √ 3 i . Las tres raíces cúbicas de −27.yo soy

$${\ displaystyle 3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} - {\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {y}} \ quad - { \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} - {\ frac {3} {2}} i.}

La operación de la raíz cúbica no es distributiva con suma o resta .

En algunos contextos, particularmente cuando el número cuya raíz cúbica se va a tomar es un número real, una de las raíces cúbicas (en este caso particular la real) se conoce como la raíz cúbica principal , denotada con el signo radical 3 √. La operación de la raíz cúbica es asociativa con exponenciación y distributiva con la multiplicación y la división si se consideran solo números reales, pero no siempre si se consideran números complejos: por ejemplo, el cubo de cualquier raíz cúbica de 8 es 8, pero las tres raíces cúbicas de 8 ³ son 8, −4 + ​​4 i √ 3 , y −4 - 4 i √ 3 .

Definición formal [ editar ]

Las raíces cúbicas de un número x son los números y que satisfacen la ecuación

$${\ displaystyle y ^ {3} = x. \}

Propiedades [ editar ]

Números reales [ editar ]

Para cualquier número real x , hay un número real y tal que y ³  =  x . La función de cubo está aumentando, por lo que no da el mismo resultado para dos entradas diferentes, además de que cubre todos los números reales. En otras palabras, es una bijección, o uno a uno. Entonces podemos definir una función inversa que también es uno a uno. Para los números reales, podemos definir una raíz cúbica única de todos los números reales. Si se usa esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.

Las tres raíces cúbicas de 1.

Si se permite que x e y sean complejos , entonces hay tres soluciones (si x no es cero) y entonces x tiene tres raíces cúbicas. Un número real tiene una raíz cúbica real y dos raíces cúbicas adicionales que forman un par complejo conjugado . Por ejemplo, las raíces cúbicas de 1 son:

$${\ displaystyle 1, \ quad - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad - {\ frac {1} {2}} - { \ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}

Las dos últimas de estas raíces conducen a una relación entre todas las raíces de cualquier número real o complejo. Si un número es una raíz cúbica de un número real o complejo en particular, las otras dos raíces cúbicas se pueden encontrar al multiplicar esa raíz cúbica por una u otra de las dos raíces cúbicas complejas de 1.

Números complejos [ editar ]

Diagrama de la compleja raíz cúbica junto con sus dos hojas adicionales. La primera imagen muestra la rama principal, que se describe en el texto.

Superficie de Riemann de la raíz cúbica. Uno puede ver cómo las tres hojas encajan.

Para los números complejos, la raíz cúbica principal generalmente se define como la raíz cúbica que tiene la mayor parte real o, de manera equivalente, la raíz cúbica cuyo argumento tiene el menor valor absoluto . Se relaciona con el valor principal del logaritmo natural por la fórmula

$${\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {3}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {3}} \ ln {x} \ right).}

Si escribimos x como

$${\ displaystyle x = r \ exp (i \ theta) \,}

donde r es un número real no negativo y θ se encuentra en el rango

{\ displaystyle - \ pi <\ theta \ leq \ pi},

entonces la principal raíz cúbica compleja es

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right).}

Esto significa que en coordenadas polares , estamos tomando la raíz cúbica del radio y dividiendo el ángulo polar por tres para definir una raíz cúbica. Con esta definición, la raíz cúbica principal de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo 3 √ −8 no será −2, sino 1 + i √ 3 .

Esta dificultad también puede resolverse considerando la raíz cúbica como una función multivalor : si escribimos el número complejo original x en tres formas equivalentes, a saber:

$${\ displaystyle x = {\ begin {cases} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta + 2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {cases}}}

Visualización de la raíz cuadrada a sexta de un número complejo z , en forma polar re ^iφ donde φ = arg z y r = | z  |  - si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales están en negro.

Las principales raíces cúbicas complejas de estas tres formas son, respectivamente,

$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {cases} {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3} } \ right {}}, \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} + {\ frac {2i \ pi} {3}} \ derecha), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} - {\ frac {2i \ pi} {3}} \ right) . \ end {cases}}}

A menos que x = 0 , estos tres números complejos son distintos, aun cuando las tres representaciones de x fueran equivalentes. Por ejemplo, 3 √ −8 puede calcularse entonces para ser −2, 1 + i √ 3 , o 1 - i √ 3 .

Esto está relacionado con el concepto de monodromía : si uno sigue por continuidad la función de la raíz cúbica a lo largo de una ruta cerrada alrededor de cero, después de un giro, el valor de la raíz cúbica se multiplica (o se divide) por$${\ displaystyle e ^ {2i \ pi / 3}.}

Imposibilidad de regla y compás [ editar ]

Las raíces cúbicas surgen en el problema de encontrar un ángulo cuya medida es un tercio de un ángulo dado ( trisección de ángulo ) y en el problema de encontrar el borde de un cubo cuyo volumen es el doble que el de un cubo con un borde dado ( duplicar el cubo ). En 1837, Pierre Wantzel demostró que ninguno de estos se puede hacer con una construcción de compás y regla .

Métodos numéricos [ editar ]

El método de Newton es un método iterativo que se puede usar para calcular la raíz cúbica. Para números de punto flotante reales , este método se reduce al siguiente algoritmo iterativo para producir aproximaciones cada vez mejores de la raíz cúbica de a :

$${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} + 2x_ {n} \ right).}

El método es simplemente promediando tres factores elegidos de tal manera que

$${\ displaystyle x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} = a}

en cada iteración

El método de Halley mejora esto con un algoritmo que converge más rápidamente con cada paso, aunque consume más operaciones de multiplicación:

$${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} \ left ({\ frac {x_ {n} ^ {3} + 2a} {2x_ {n} ^ {3} + a}} \ right).

Con cualquiera de los dos métodos, una aproximación inicial deficiente de x ₀ puede dar un rendimiento de algoritmo muy deficiente, y crear una buena aproximación inicial es una especie de arte negro. Algunas implementaciones manipulan los bits de exponente del número de punto flotante; es decir, llegan a una aproximación inicial al dividir el exponente por 3.

Apariencia en soluciones de ecuaciones de tercer y cuarto grado [ editar ]

Las ecuaciones cúbicas , que son ecuaciones polinomiales de tercer grado (es decir, la potencia más alta de lo desconocido es 3) siempre pueden resolverse para sus tres soluciones en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas (aunque existen expresiones más simples solo en términos de raíces cuadradas para las tres soluciones, si al menos una de ellas es un número racional ). Si dos de las soluciones son números complejos, entonces las tres expresiones de solución involucran la raíz cúbica real de un número real, mientras que si las tres soluciones son números reales, entonces pueden expresarse en términos de la raíz cúbica compleja de un número complejo .

Las ecuaciones de cuarzo también se pueden resolver en términos de raíces cúbicas y cuadradas.

Historia [ editar ]

El cálculo de las raíces cúbicas se puede remontar a matemáticos babilónicos desde 1800 AC. ^[1] En el siglo IV a. C., Platón planteó el problema de duplicar el cubo , que requería una construcción de compás y regla del borde de un cubo con el doble del volumen de un cubo dado; esto requería la construcción, ahora conocida como imposible, de la longitud 3 √ 2 .

Un método para extraer raíces cúbicas aparece en Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III EC. ^[2] El matemático griego Héroe de Alejandría ideó un método para calcular las raíces cúbicas en el siglo I d. Su fórmula es mencionada nuevamente por Eutokios en un comentario sobre Arquímedes . ^[3] En 499 dC , Aryabhata , un matemático , astrónomo de la era clásica de las matemáticas indias y la astronomía india., dio un método para encontrar la raíz cúbica de números que tienen muchos dígitos en el Aryabhatiya (sección 2.5).

diferencia de dos cuadrados es un número al cuadrado (multiplicado por sí mismo) restado de otro número al cuadrado. Cada diferencia de cuadrados puede ser factorizada de acuerdo a la identidad.

$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}

en álgebra elemental .

Prueba [ editar ]

La prueba de la identidad de factorización es directa. A partir del lado izquierdo , aplique la ley distributiva para obtener

$${\ displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}

Por la ley conmutativa , los dos términos del medio se cancelan:

$${\ displaystyle ba-ab = 0}

dejando

$${\ displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}}

La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre muchos usos, ofrece una prueba simple de la desigualdad AM-GM en dos variables.

La prueba se acaba de dar indica el alcance de la identidad en álgebra abstracta : se llevará a cabo en cualquier anillo conmutativo R .

A la inversa, si esta identidad se mantiene en un anillo R para todos los pares de elementos a y b del anillo, entonces R es conmutativo. Para ver esto, aplique la ley distributiva al lado derecho de la ecuación original y obtenga

$${\ displaystyle a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}

y para que esto sea igual a $${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}, Debemos tener

$${\ displaystyle ba-ab = 0}

para todos los pares a , b de elementos de R , entonces el anillo R es conmutativo.

Demostraciones geométricas [ editar ]

La diferencia de dos cuadrados también se puede ilustrar geométricamente como la diferencia de dos áreas cuadradas en un plano . En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir,$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}. El área de la parte sombreada se puede encontrar agregando las áreas de los dos rectángulos;$${\ displaystyle a (ab) + b (ab)}, que puede ser factorizado para $${\ displaystyle (a + b) (ab)}. Por lo tanto$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}

Otra prueba geométrica procede de la siguiente manera: Comenzamos con la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un cuadrado grande con un cuadrado más pequeño eliminado de él. El lado de todo el cuadrado es a, y el lado del pequeño cuadrado eliminado es b. El área de la región sombreada es$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}. Se realiza un corte, dividiendo la región en dos piezas rectangulares, como se muestra en el segundo diagrama. La pieza más grande, en la parte superior, tiene una anchura y una altura ab. La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene una anchura ab y una altura b. Ahora la pieza más pequeña se puede separar, rotar y colocar a la derecha de la pieza más grande. En esta nueva disposición, que se muestra en el último diagrama a continuación, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es$${\ displaystyle a + b} y cuya altura es $${\ displaystyle ab}. El área de este rectángulo es$${\ displaystyle (a + b) (ab)}. Dado que este rectángulo proviene de la reorganización de la figura original, debe tener la misma área que la figura original. Por lo tanto,$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}. 

Usos [ editar ]

Factorización de polinomios y simplificación de expresiones [ editar ]

La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede usar para factorizar polinomios que contienen el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio.$${\ displaystyle x ^ {4} -1} puede ser factorizado de la siguiente manera:

$${\ displaystyle x ^ {4} -1 = (x ^ {2} +1) (x ^ {2} -1) = (x ^ {2} +1) (x + 1) (x-1)}

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos de $${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + xy} puede ser factorizado como $${\ displaystyle (x + y) (xy)}, entonces tenemos:

$${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + xy = (x + y) (xy) + xy = (xy) (x + y + 1)}

Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones:

$${\ displaystyle (a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2} = (a + b + ab) (a + b-a + b) = (2a) (2b) = 4ab}

Caso de número complejo: suma de dos cuadrados [ editar ]

La diferencia de dos cuadrados se usa para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, utilizando coeficientes numéricos complejos .

Por ejemplo, las raíces complejas de $${\ displaystyle z ^ {2} +4} Se puede encontrar usando la diferencia de dos cuadrados:

$${\ displaystyle z ^ {2} +4}

$${\ displaystyle = z ^ {2} -i ^ {2} \ cdot 4} (ya que $${\ displaystyle i ^ {2} = - 1})

$${\ displaystyle = z ^ {2} - (2i) ^ {2}}

$${\ displaystyle = (z + 2i) (z-2i)}

Por lo tanto los factores lineales son $${\ displaystyle (z + 2i)} y $${\ displaystyle (z-2i)}.

Como los dos factores encontrados por este método son conjugados complejos , podemos usar esto a la inversa como un método para multiplicar un número complejo para obtener un número real. Esto se usa para obtener denominadores reales en fracciones complejas. ^[1]

Denominadores racionalización [ editar ]

La diferencia de dos cuadrados también puede usarse en la racionalización de denominadores irracionales . ^[2]Este es un método para eliminar surds de expresiones (o al menos moverlas ), aplicando a la división algunas combinaciones que involucran raíces cuadradas .

Por ejemplo: el denominador de $${\ displaystyle {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}}} Se puede racionalizar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}}}

$${\ displaystyle = {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}} \ times {\ dfrac {{\ sqrt {3}} - 4} {{\ sqrt {3}} - 4}} }

$${\ displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {({\ sqrt {3}} + 4) ({\ sqrt {3}} - 4)}}}

$${\ displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {{\ sqrt {3}} ^ {2} -4 ^ {2}}}}

$${\ displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {3-16}}}

$${\ displaystyle = - {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {13}}.}

Aquí, el denominador irracional. $${\ displaystyle {\ sqrt {3}} + 4} ha sido racionalizado para $${\ displaystyle 13}.

Aritmética mental [ editar ]

Artículo principal: Algoritmo de multiplicación § Multiplicación cuadrada cuadrada

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como un atajo aritmético. Si está multiplicando dos números cuyo promedio es un número que se puede cuadrar fácilmente, la diferencia de dos cuadrados se puede usar para darle el producto de los dos números originales.

Por ejemplo:

$${\ displaystyle 27 \ times 33 = (30-3) (30 + 3)}

Lo que significa usar la diferencia de dos cuadrados. $${\ displaystyle 27 \ times 33} puede ser reexpresado como

$${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}} cual es $${\ displaystyle 30 ^ {2} -3 ^ {2} = 891}.

Diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos [ editar ]

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de las dos bases n y n +1. Esto puede verse como sigue:

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} (n + 1) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + 1) + n) ((n + 1) -n) \\ & = & 2n + 1 \ end {array}}}

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. Del mismo modo, la diferencia de dos cuadrados perfectos arbitrarios se calcula de la siguiente manera:

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} (n + k) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + k) + n) ((n + k) -n) \\ & = & k (2n + k) \ end {array}}}

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados incluso perfectos es un múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es un múltiplo de 8.

Factorización de enteros [ editar ]

Varios algoritmos en la teoría de números y la criptografía utilizan diferencias de cuadrados para encontrar factores de enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo simple es el método de factorización Fermat , que considera la secuencia de números.$${\ displaystyle x_ {i}: = a_ {i} ^ {2} -N}, para $${\ displaystyle a_ {i}: = \ left \ lceil {\ sqrt {N}} \ right \ rceil + i}. Si uno de los$${\ displaystyle x_ {i}} es igual a un cuadrado perfecto $${\ displaystyle b ^ {2}}, entonces $${\ displaystyle N = a_ {i} ^ {2} -b ^ {2} = (a_ {i} + b) (a_ {i} -b)} es una factorización (potencialmente no trivial) de $${\ displaystyle N}.

Este truco se puede generalizar de la siguiente manera. Si$${\ displaystyle a ^ {2} \ equiv b ^ {2}} mod $${\ displaystyle N} y $${\ displaystyle a \ not \ equiv \ pm b} mod $${\ displaystyle N}, entonces $${\ displaystyle N} Es compuesto con factores no triviales. $${\ displaystyle \ gcd (ab, N)} y $${\ displaystyle \ gcd (a + b, N)}. Esto forma la base de varios algoritmos de factorización (como el tamiz cuadrático ) y se puede combinar con la prueba de primalidad Fermat para dar la prueba de primalidad de Miller-Rabin más fuerte .

Generalizaciones [ editar ]

Los vectores a  (púrpura), b  (cian) y a + b  (azul) se muestran con flechas

La identidad también lleva a cabo en espacios de producto interior sobre el campo de los números reales , tales como por producto escalar de vectores euclidianas :

$${\ displaystyle {\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {a}} - {\ mathbf {b}} \ cdot {\ mathbf {b}} = ({\ mathbf {a}} + {\ mathbf { b}}) \ cdot ({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {b}})}

La prueba es idéntica. Por cierto, suponiendo que a y b tienen normasiguales (lo que significa que sus cuadrados de puntos son iguales), demuestra analíticamente el hecho de que dos diagonales de un romboson perpendiculares .

Diferencia de dos nth potencias [ editar ]

Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo R , entonces$${\ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = \ left (ab \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k} \ derecha)}. Tenga en cuenta que los coeficientes binomiales no aparecen en el segundo factor, y la suma se detiene en n -1, no n .