MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

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Animación que representa el proceso de completar el cuadrado. ( Detalles , versión animada GIF )

En álgebra elemental , completar el cuadrado es una técnica para convertir un polinomio cuadrático de la forma

$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

a la forma

$${\ displaystyle a (xh) ^ {2} + k}

para algunos valores de h y k .

Completar el cuadrado se usa en

• resolviendo ecuaciones cuadráticas ,
• Graficando funciones cuadráticas ,
• evaluar las integrales en el cálculo, como las integrales de Gauss con un término lineal en el exponente,
• encontrando transformadas de laplace .

En matemáticas, completar el cuadrado a menudo se aplica en cualquier cálculo que involucre polinomios cuadráticos. Completar el cuadrado también se usa para derivar la fórmula cuadrática .

Descripción general [ editar ]

Fondo [ editar ]

La fórmula en álgebra elemental para calcular el cuadrado de un binomio es:

$${\ displaystyle (x + p) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 2px + p ^ {2}.}

Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} (x + 3) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} + 6x + 9 && (p = 3) \\ [3pt] (x-5 ) ^ {2} \, & = \, x ^ {2} -10x + 25 \ qquad && (p = -5). \ End {alignat}}}

En cualquier cuadrado perfecto, el coeficiente de x es el doble del número p , y el término constante es igual a p ².

Ejemplo básico [ editar ]

Considera el siguiente polinomio cuadrático :

$${\ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28.}

Esta cuadrática no es un cuadrado perfecto, ya que 28 no es el cuadrado de 5:

$${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + 10x + 25.}

Sin embargo, es posible escribir el cuadrático original como la suma de este cuadrado y una constante:

$${\ displaystyle x ^ {2} + 10x + 28 \, = \, (x + 5) ^ {2} +3.}

Esto se llama completar la plaza .

Descripción general [ editar ]

Dado cualquier monic cuadrático.

$${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c,}

es posible formar un cuadrado que tenga los mismos dos primeros términos:

$${\ displaystyle \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} b \ right) ^ {2} \, = \, x ^ {2} + bx + {\ tfrac {1} {4}} b ^ { 2}.}

Este cuadrado se diferencia del cuadrático original solo en el valor del término constante. Por lo tanto, podemos escribir

$${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c \, = \, \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} b \ right) ^ {2} + k,}

dónde $${\ displaystyle k \, = \, c - {\ frac {b ^ {2}} {4}}}. Esta operación se conoce como completar el cuadrado . Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {1} x ^ {2} + 6x + 11 \, & = \, (x + 3) ^ {2} +2 \\ [3pt] x ^ {2} + 14x +30 \, & = \, (x + 7) ^ {2} -19 \\ [3pt] x ^ {2} -2x + 7 \, & = \, (x-1) ^ {2} +6 . \ end {alignat}}}

Caso no monico [ editar ]

Dado un polinomio cuadrático de la forma.

$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

es posible factorizar el coeficiente a , y luego completar el cuadrado para el polinomio monico resultante .

Ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 3x ^ {2} + 12x + 27 & = 3 (x ^ {2} + 4x + 9) \\ & {} = 3 \ left ((x + 2) ^ {2} +5 \ right) \\ & {} = 3 (x + 2) ^ {2} +15 \ end {alineado}}}

Esto nos permite escribir cualquier polinomio cuadrático en la forma

$${\ displaystyle a (xh) ^ {2} + k.}

Fórmula [ editar ]

Caso escalar [ editar ]

El resultado de completar el cuadrado se puede escribir como una fórmula. Para el caso general: ^[1]

$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \; = \; a (xh) ^ {2} + k, \ quad {\ text {where}} \ quad h = - {\ frac {b} {2a }} \ quad {\ text {y}} \ quad k = c-ah ^ {2} = c - {\ frac {b ^ {2}} {4a}}.}

Específicamente, cuando a  = 1:

$${\ displaystyle x ^ {2} + bx + c \; = \; (xh) ^ {2} + k, \ quad {\ text {where}} \ quad h = - {\ frac {b} {2} } \ quad {\ text {y}} \ quad k = c - {\ frac {b ^ {2}} {4}}.}

Caso de matriz [ editar ]

El caso de la matriz se ve muy similar:

$${\ displaystyle x ^ {\ mathrm {T}} Ax + x ^ {\ mathrm {T}} b + c = (xh) ^ {\ mathrm {T}} A (xh) + k \ quad {\ text { donde}} \ quad h = - {\ frac {1} {2}} A ^ {- 1} b \ quad {\ text {y}} \ quad k = c - {\ frac {1} {4}} b ^ {\ mathrm {T}} A ^ {- 1} b}

dónde $${\ displaystyle A} Tiene que ser simétrico.

Si $${\ displaystyle A} No es simétrica las fórmulas para $${\ displaystyle h} y $${\ displaystyle k} Hay que generalizar a:

$${\ displaystyle h = - (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} b \ quad {\ text {y}} \ quad k = ch ^ {\ mathrm {T}} Ah = cb ^ {\ mathrm {T}} (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} A (A + A ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} b}.

Relación con la gráfica [ editar ]

Gráficos de funciones cuadráticas desplazadas a la derecha por h = 0, 5, 10 y 15.

Gráficos de funciones cuadráticas desplazadas hacia arriba por k = 0, 5, 10 y 15.

Gráficos de funciones cuadráticas desplazadas hacia arriba y hacia la derecha en 0, 5, 10 y 15.

En geometría analítica , la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola en el plano xy . Dado un polinomio cuadrático de la forma.

$${\ displaystyle (xh) ^ {2} + k \ quad {\ text {o}} \ quad a (xh) ^ {2} + k}

los números h y k pueden interpretarse como las coordenadas cartesianasdel vértice (o punto estacionario ) de la parábola. Es decir, h es la coordenada x del eje de simetría (es decir, el eje de simetría tiene la ecuación x = h ), y k es el valor mínimo (o valor máximo, si a  <0 cuadr="" de="" font="" funci="" la="" n="" tica.="">

Una forma de ver esto es observar que la gráfica de la función ƒ ( x ) =  x ²es una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0). Por lo tanto, la gráfica de la función ƒ ( x  -  h ) = ( x  -  h ) ² es una parábola desplazada hacia la derecha por h cuyo vértice está en ( h , 0), como se muestra en la figura superior. En contraste, la gráfica de la función ƒ ( x ) +  k =  x ²  +  k es una parábola desplazada hacia arriba por kcuyo vértice está en (0,  k ), como se muestra en la figura central. Combinando los desplazamientos tanto horizontales como verticales, ƒ ( x  -  h ) +  k = ( x  -  h ) ²  +  k es una parábola desplazada a la derecha por hy hacia arriba por k cuyo vértice está en ( h ,  k ), como se muestra en la figura de abajo.

Resolviendo ecuaciones cuadráticas [ editar ]

Se puede completar el cuadrado para resolver cualquier ecuación cuadrática . Por ejemplo:

$${\ displaystyle x ^ {2} + 6x + 5 = 0,}

El primer paso es completar el cuadrado:

$${\ displaystyle (x + 3) ^ {2} -4 = 0.}

A continuación resolvemos para el término cuadrado:

$${\ displaystyle (x + 3) ^ {2} = 4.}

Entonces tambien

$${\ displaystyle x + 3 = -2 \ quad {\ text {o}} \ quad x + 3 = 2,}

y por lo tanto

$${\ displaystyle x = -5 \ quad {\ text {o}} \ quad x = -1.}

Esto se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Cuando el x ² tiene un coeficiente distinto de 1, el primer paso es dividir la ecuación por este coeficiente: para un ejemplo ver el caso no mónico a continuación.

Raíces irracionales y complejas [ editar ]

A diferencia de los métodos que involucran factorizar la ecuación, que es confiable solo si las raíces son racionales , completar el cuadrado encontrará las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, considere la ecuación

$${\ displaystyle x ^ {2} -10x + 18 = 0.}

Completando la plaza da.

$${\ displaystyle (x-5) ^ {2} -7 = 0,}

asi que

$${\ displaystyle (x-5) ^ {2} = 7.}

Entonces tambien

$${\ displaystyle x-5 = - {\ sqrt {7}} \ quad {\ text {o}} \ quad x-5 = {\ sqrt {7}},}

En lenguaje terser:

$${\ displaystyle x-5 = \ pm {\ sqrt {7}}.}

asi que

$${\ displaystyle x = 5 \ pm {\ sqrt {7}}.}

Las ecuaciones con raíces complejas se pueden manejar de la misma manera. Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ begin {array} {c} x ^ {2} + 4x + 5 \, = \, 0 \\ [6pt] (x + 2) ^ {2} +1 \, = \, 0 \ \ [6pt] (x + 2) ^ {2} \, = \, - 1 \\ [6pt] x + 2 \, = \, \ pm i \\ [6pt] x \, = \, - 2 \ pm i. \ end {array}}}

Caso no monico [ editar ]

Para una ecuación que involucre una cuadrática no monica, el primer paso para resolverlos es dividir por el coeficiente de x ² . Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ begin {array} {c} 2x ^ {2} + 7x + 6 \, = \, 0 \\ [6pt] x ^ {2} + {\ tfrac {7} {2}} x + 3 \, = \, 0 \\ [6pt] \ left (x + {\ tfrac {7} {4}} \ right) ^ {2} - {\ tfrac {1} {16}} \, = \, 0 \\ [6pt] \ left (x + {\ tfrac {7} {4}} \ right) ^ {2} \, = \, {\ tfrac {1} {16}} \\ [6pt] x + {\ tfrac {7} {4}} = {\ tfrac {1} {4}} \ quad {\ text {o}} \ quad x + {\ tfrac {7} {4}} = - {\ tfrac {1} {4 }} \\ [6pt] x = - {\ tfrac {3} {2}} \ quad {\ text {o}} \ quad x = -2. \ End {array}}}

La aplicación de este procedimiento a la forma general de una ecuación cuadrática conduce a la fórmula cuadrática .

Otras aplicaciones [ editar ]

Integración [ editar ]

Se puede completar el cuadrado para evaluar cualquier integral de la forma.

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {ax ^ {2} + bx + c}}}

usando las integrales básicas

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}} = {\ frac {1} {2a}} \ ln \ left | {\ frac {xa} {x + a}} \ right | + C \ quad {\ text {and}} \ quad \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} + a ^ {2}}} = {\ frac {1} {a }} \ arctan \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) + C.}

Por ejemplo, considere la integral

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} + 6x + 13}}.

Completar el cuadrado en el denominador da:

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} \, = \, \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +2 ^ {2}}}.}

Esto ahora se puede evaluar utilizando la sustitución u  =  x  + 3, que produce

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(x + 3) ^ {2} +4}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {x +3} {2}} \ derecha) + C.}

Números complejos [ editar ]

Considera la expresión

$${\ displaystyle | z | ^ {2} -b ^ {*} z-bz ^ {*} + c,}

donde z y b son números complejos , z ^* y b ^* son los conjugados complejos de z y b , respectivamente, y c es un número real . Usando la identidad | u | ² = uu ^* podemos reescribir esto como

$${\ displaystyle | zb | ^ {2} - | b | ^ {2} + c,}

que es claramente una cantidad real. Esto es porque

{\ displaystyle {\ begin {alineado} | zb | ^ {2} & {} = (zb) (zb) ^ {*} \\ & {} = (zb) (z ^ {*} - b ^ {* }) \\ & {} = zz ^ {*} - zb ^ {*} - bz ^ {*} + bb ^ {*} \\ & {} = | z | ^ {2} -zb ^ {*} -bz ^ {*} + | b | ^ {2}. \ end {alineado}}}

Como otro ejemplo, la expresión

$${\ displaystyle ax ^ {2} + por ^ {2} + c,}

donde una , b , c , x , y y son números reales, con una  > 0 y b  > 0, puede ser expresada en términos de la plaza del valor absoluto de un número complejo. Definir

$${\ displaystyle z = {\ sqrt {a}} \, x + i {\ sqrt {b}} \, y.}

Entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} | z | ^ {2} & {} = zz ^ {*} \\ & {} = ({\ sqrt {a}} \, x + i {\ sqrt {b} } \, y) ({\ sqrt {a}} \, xi {\ sqrt {b}} \, y) \\ & {} = ax ^ {2} -i {\ sqrt {ab}} \, xy + i {\ sqrt {ba}} \, yx-i ^ {2} por ^ {2} \\ & {} = ax ^ {2} + por ^ {2}, \ end {alineado}}}

asi que

$${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + c = | z | ^ {2} + c.}

Matriz idempotente [ editar ]

Una matriz M es idempotente cuando M  ² = M . Las matrices idempotentes generalizan las propiedades idempotentes de 0 y 1. La finalización del método cuadrado para abordar la ecuación

$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}

muestra que algunas matrices idempotentes 2 × 2 están parametrizadas por un círculo en el plano ( a, b ):

La matriz {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & 1-a \ end {pmatrix}}} será idempotente proporcionado $${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,} que, al completar la plaza, se convierte en

$${\ displaystyle (a - {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} + b ^ {2} = {\ tfrac {1} {4}}.}

En el plano ( a, b ), esta es la ecuación de un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2.

Perspectiva geométrica [ editar ]

Considera completar el cuadrado para la ecuación.

$${\ displaystyle x ^ {2} + bx = a.}

Como x ² representa el área de un cuadrado con el lado de la longitud x, y bx representa el área de un rectángulo con los lados b y x , el proceso de completar el cuadrado se puede ver como la manipulación visual de los rectángulos.

Intentos simples de combinar los rectángulos x ² y bx en un resultado cuadrado más grande en una esquina que falta. El término ( b / 2) ²agregado a cada lado de la ecuación anterior es precisamente el área de la esquina que falta, de donde se deriva la terminología "completando el cuadrado".

Una variación de la técnica [ editar ]

Como se enseña convencionalmente, completar el cuadrado consiste en agregar el tercer término, v  ² a

$${\ displaystyle u ^ {2} + 2uv}

para obtener una plaza. También hay casos en los que se puede agregar el término medio, 2 uv o −2 uv , a

$${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2}}

para obtener una plaza.

Ejemplo: la suma de un número positivo y su recíproco [ editar ]

Por escrito

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x + {1 \ sobre x} & {} = \ left (x-2 + {1 \ over x} \ right) +2 \\ & {} = \ left ({\ sqrt {x}} - {1 \ sobre {\ sqrt {x}}} \ right) ^ {2} +2 \ end {alineado}}}

mostramos que la suma de un número positivo x y su recíproco siempre es mayor o igual que 2. El cuadrado de una expresión real es siempre mayor o igual a cero, lo que da el límite establecido; y aquí obtenemos 2 justo cuando x es 1, haciendo que el cuadrado desaparezca.

Ejemplo: factorización de un polinomio quártico simple [ editar ]

Consideremos el problema de factorizar el polinomio.

$${\ displaystyle x ^ {4} +324.}

Esto es

$${\ displaystyle (x ^ {2}) ^ {2} + (18) ^ {2},}

entonces el término medio es 2 ( x ² ) (18) = 36 x ² . Así obtenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x ^ {4} +324 & {} = (x ^ {4} + 36x ^ {2} +324) -36x ^ {2} \\ & {} = (x ^ { 2} +18) ^ {2} - (6x) ^ {2} = {\ text {una diferencia de dos cuadrados}} \\ & {} = (x ^ {2} + 18 + 6x) (x ^ { 2} + 18-6x) \\ & {} = (x ^ {2} + 6x + 18) (x ^ {2} -6x + 18) \ end {alineado}}}

(la última línea se agrega simplemente para seguir la convención de grados decrecientes de términos).