ÓPTICA

La mezcla de cuatro ondas (FWM) es un fenómeno de intermodulación en ópticas no lineales , por lo que las interacciones entre dos o tres longitudes de onda producen dos o una nuevas longitudes de onda. Es similar al punto de intercepción de tercer orden en sistemas eléctricos. La mezcla de cuatro ondas se puede comparar con la distorsión de intermodulación en sistemas eléctricos estándar. Es un proceso no lineal paramétrica, en el que la energía de los fotones entrantes se conserva . FWM es un proceso sensible a la fase, ya que la eficiencia del proceso se ve fuertemente afectada por las condiciones de coincidencia de fase .

Mecanismo [ editar ]

Diagrama de nivel de energía para un proceso de mezcla de cuatro ondas no degeneradas. El nivel de energía superior podría ser un nivel atómico o molecular real (mezcla resonante de cuatro ondas) o un nivel virtual, sin resonancia. Este diagrama describe la interacción de mezcla de cuatro ondas entre las frecuencias f ₁ , f ₂ , f ₃ y f ₄ .

Cuando tres frecuencias (f ₁ , f ₂ y f ₃ ) interactúan en un medio no lineal, dan lugar a una cuarta longitud de onda (f ₄ ) que se forma por la dispersión de los fotones incidentes, produciendo el cuarto fotón.

Entradas dadas f ₁ , f ₂ , y f ₃ , el sistema no lineal producirá

$${\ displaystyle \ pm f_ {1} \ pm f_ {2} \ pm f_ {3}}

De los cálculos con las tres señales de entrada, se encuentra que se producen 12 frecuencias de interferencia, tres de las cuales se encuentran en una de las frecuencias entrantes originales. Tenga en cuenta que estas tres frecuencias que se encuentran en las frecuencias entrantes originales se atribuyen normalmente a la modulación de autofase y a la modulación de fase cruzada , y, naturalmente, se combinan en fase a diferencia de FWM.

Suma y Diferencia de frecuencia de generación [ editar ]

Dos formas comunes de mezcla de cuatro ondas se denominan generación de frecuencia de suma y generación de frecuencia de diferencia. En suma, la generación de frecuencia incluye tres campos y la salida es un nuevo campo de alta frecuencia en la suma de las tres frecuencias de entrada. En diferencia de generación de frecuencia, la salida típica es la suma de dos menos la tercera.

Una condición para la generación eficiente de FWM es la coincidencia de fase: los k-vectores asociados de los cuatro componentes deben sumarse a cero cuando son ondas planas. Esto se vuelve significativo ya que la generación de frecuencias de suma y diferencia a menudo se mejora cuando se explota la resonancia en los medios de mezcla. En muchas configuraciones, la suma de los dos primeros fotones se sintonizará cerca de un estado resonante. ^[1] Sin embargo, cerca de las resonancias, el índice de refracción cambia rápidamente y hace que la adición de cuatro vectores k colineales no se agregue exactamente a cero, por lo que las longitudes de las rutas de mezcla largas no siempre son posibles, ya que los cuatro componentes pierden el bloqueo de fase. En consecuencia, las vigas a menudo se enfocan tanto en intensidad como también para acortar la zona de mezcla.

En los medios gaseosos, una complicación que a menudo se pasa por alto es que los haces de luz rara vez son ondas planas, pero a menudo se enfocan para obtener una intensidad adicional, esto puede agregar un desplazamiento adicional de fase pi a cada vector k en la condición de coincidencia de fase. A menudo es muy difícil satisfacer esto en la configuración de frecuencia de suma, pero se satisface más fácilmente en la configuración de frecuencia de diferencia (donde se cancelan los cambios de fase pi). ^[1] Como resultado, la frecuencia de diferencia suele ser más ampliable y más fácil de configurar que la generación de frecuencia de suma, por lo que es preferible como fuente de luz aunque es menos eficiente cuánticamente que la generación de frecuencia de suma.

Mezcla degenerada de cuatro ondas ^[2] [ editar ]

La mezcla de cuatro ondas también está presente si solo dos componentes interactúan. En este caso el término.

$${\ displaystyle f_ {0} = f_ {1} + f_ {1} -f_ {2}}

une tres componentes, generando así la llamada mezcla degenerada de cuatro ondas , mostrando propiedades idénticas como en el caso de tres ondas que interactúan.

Efectos deletéreos de FWM en comunicaciones de fibra óptica [ editar ]

FWM es una característica de fibra óptica que afecta a los sistemas de multiplexación por división de longitud de onda (WDM, por sus siglas en inglés), donde varias longitudes de onda ópticas están espaciadas a intervalos iguales o espaciados entre canales. Los efectos de FWM se manifiestan con una menor separación de canales en las longitudes de onda (como en sistemas de WDM densos) y en niveles de potencia de señal altos. La alta dispersión cromática disminuye los efectos de FWM, ya que las señales pierden coherencia , o en otras palabras, la falta de coincidencia de fase entre las señales aumenta. La interferencia FWM causada en los sistemas WDM se conoce como interferencia de canales.. La FWM se puede mitigar mediante el uso de un espacio de canal desigual o fibra que aumenta la dispersión. Para el caso especial donde las tres frecuencias están cerca de degenerar, entonces la separación óptica de la diferencia de frecuencia puede ser técnicamente desafiante.

$${\ displaystyle f_ {ijk} = f_ {i} + f_ {j} -f_ {k}, \ mathrm {donde} \, i, j \ neq k}

Aplicaciones de FWM [ editar ]

FWM encuentra aplicaciones en la conjugación de fase óptica , la amplificación paramétrica , la generación de supercontinuo , la generación de luz ultravioleta de vacío y la generación de peines de frecuencia basada en microresonadores . Los amplificadores y osciladores paramétricos basados ​​en la mezcla de cuatro ondas utilizan la no linealidad de tercer orden, a diferencia de la mayoría de los osciladores paramétricos típicos que utilizan la no linealidad de segundo orden. Además de estas aplicaciones clásicas, la mezcla de cuatro ondas se ha mostrado prometedora en el régimen óptico cuántico para generar fotones individuales , ^[3] pares de fotones correlacionados, ^[4] [5] luz exprimida ^[6][7] y fotones enredados . 

La óptica de Fourier es el estudio de la óptica clásica que utiliza transformadas de Fourier (FT), en la que la forma de onda que se considera se considera que está formada por una combinación, o superposición , de ondas planas. Tiene algunos paralelismos con el principio de Huygens-Fresnel , en el que se considera que el frente de onda está formado por una combinación de frentes de onda esféricos cuya suma es el frente de onda que se está estudiando. Una diferencia clave es que la óptica de Fourier considera que las ondas planas son modos naturales del medio de propagación, a diferencia de Huygens-Fresnel, donde las ondas esféricas se originan en el medio físico.

Un frente de fase curvo se puede sintetizar a partir de un número infinito de estos "modos naturales", es decir, de frentes de fase de onda plana orientados en diferentes direcciones en el espacio. Lejos de sus fuentes, una onda esférica en expansión es localmente tangente a un frente de fase planar (una onda plana única que sale del espectro infinito), que es transversal a la dirección radial de propagación. En este caso, se crea un patrón de difracción Fraunhofer , que emana de un solo centro de fase de onda esférica. En el campo cercano, no existe un solo centro de fase de onda esférica bien definido, por lo que el frente de onda no es localmente tangente a una bola esférica. En este caso, se crearía un patrón de difracción de Fresnel , que emana de un extensoFuente, que consiste en una distribución de fuentes de ondas esféricas (físicamente identificables) en el espacio. En el campo cercano, se necesita un espectro completo de ondas planas para representar la onda de campo cercano de Fresnel, incluso localmente . Una ola "ancha" que se mueve hacia adelante (como una ola oceánica en expansión que viene hacia la costa) puede considerarse como un número infinito de " modos de onda plana ", todos los cuales podrían (cuando chocan con algo en el camino) dispersarse independientemente de uno. otro. Estas simplificaciones y cálculos matemáticos son el ámbito del análisis y la síntesis de Fourier . Juntos, pueden describir lo que sucede cuando la luz pasa a través de varias rendijas, lentes o espejos curvados de una u otra forma, o se refleja total o parcialmente.

La óptica de Fourier forma gran parte de la teoría detrás de las técnicas de procesamiento de imágenes , así como la búsqueda de aplicaciones en las que se necesita extraer información de fuentes ópticas, como la óptica cuántica . Para ponerlo de una manera un poco más compleja, similar al concepto de frecuencia y tiempoutilizado en la teoría tradicional de la transformada de Fourier , la óptica de Fourier utiliza el dominio de la frecuencia espacial ( k _x , k _y ) como el conjugado de lo espacial ( x , y ) de dominio. Términos y conceptos tales como teoría de la transformación, espectro, ancho de banda, funciones de ventana y muestreo desde una dimensión.el procesamiento de señales se utilizan comúnmente.

Propagación de la luz en medios homogéneos, sin fuente [ editar ]

La luz se puede describir como una forma de onda que se propaga a través del espacio libre (vacío) o un medio material (como aire o vidrio). Matemáticamente, la amplitud (valor real) de un componente de onda se representa mediante una función de onda escalar u que depende tanto del espacio como del tiempo:

$${\ displaystyle u = u (\ mathbf {r}, t)}

dónde

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}

representa la posición en el espacio tridimensional, y t representa el tiempo.

La ecuación de onda [ editar ]

La óptica de Fourier comienza con la ecuación de onda escalar homogénea (válida en regiones sin fuente):

$${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial {t} ^ {2}}} \ right) u (\ mathbf {r}, t) = 0.}

donde u ( r , t ) es un componente cartesiano de valor real de una onda electromagnética que se propaga a través del espacio libre.

Estado estacionario sinusoidal [ editar ]

Si se asume una luz de una frecuencia fija / longitud de onda / color (como la de un láser), la forma armónica enel tiempo del campo óptico se da como:

$${\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = \ mathrm {Re} \ left \ {\ psi (\ mathbf {r}) e ^ {j \ omega t} \ right \}}.

dónde $${\ displaystyle j}es la unidad imaginaria ,

$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}

es la frecuencia angular (en radianes por unidad de tiempo) de las ondas de luz, y

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = a (\ mathbf {r}) e ^ {j \ phi (\ mathbf {r})}}

Es, en general, una cantidad compleja , con amplitud separada.$${\ displaystyle a} y fase $${\ displaystyle \ phi}.

La ecuación de Helmholtz [ editar ]

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de onda se obtiene la forma independiente de la ecuación de onda, también conocida como la ecuación de Helmholtz :

$${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = 0}

dónde

$${\ displaystyle k = {\ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}}

es el número de onda, ψ ( r ) es el componente de la onda de propagación , independiente del tiempo y de valor complejo . Tenga en cuenta que la constante de propagación, k, y la frecuencia,$${\ displaystyle \ omega}, están relacionados linealmente entre sí, una característica típica de las ondas electromagnéticas transversales (TEM) en medios homogéneos.

Resolviendo la ecuación de Helmholtz [ editar ]

Las soluciones a la ecuación de Helmholtz se pueden encontrar fácilmente en coordenadas rectangulares através del principio de separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales . Este principio dice que en coordenadas ortogonales separables , una solución de producto elemental para esta ecuación de onda se puede construir de la siguiente forma:

$${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = f_ {x} (x) \ veces f_ {y} (y) \ veces f_ {z} (z)}

es decir, como el producto de una función de x , multiplicado por una función de y , multiplicado por una función de z . Si esta solución de producto elemental se sustituye en la ecuación de onda (2.0), use el Laplaciano escalaren coordenadas rectangulares:

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} { \ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial z ^ {2}}}}

entonces se obtiene la siguiente ecuación para las 3 funciones individuales

$${\ displaystyle f '' _ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z} (z) + f_ {x} (x) f '' _ {y} (y) f_ {z} ( z) + f_ {x} (x) f_ {y} (y) f '' _ {z} (z) + k ^ {2} f_ {x} (x) f_ {y} (y) f_ {z } (z) = 0 \,}

que se reordenó en forma:

${\displaystyle {\frac {f''_{x}(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f''_{y}(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f''_{z}(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$

Ahora se puede argumentar que cada uno de los cocientes en la ecuación anterior debe, por necesidad, ser constante. Para, digamos que el primer cociente no es constante, y es una función de x . Ninguno de los otros términos en la ecuación tiene ninguna dependencia de la variable x. Por lo tanto, el primer término tampoco puede tener ninguna x- dependencia; debe ser constante La constante se denota como - k _x ². Al razonar de manera similar para los cocientes y y z , se obtienen tres ecuaciones diferenciales ordinarias para f _x , f _y y f _z , junto con una condición de separación :

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ {x} (x) + k_ {x} ^ {2} f_ {x} (x) = 0}

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} f_ {y} (y) + k_ {y} ^ {2} f_ {y} (y) = 0}

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} f_ {z} (z) + k_ {z} ^ {2} f_ {z} (z) = 0}

$${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}

Cada una de estas 3 ecuaciones diferenciales tiene la misma solución: senos, cosenos o exponenciales complejos. Iremos con el exponencial complejo para la simplicidad de la notación, la compatibilidad con la notación FT habitual y el hecho de que una integral de dos exponenciales de exponenciales complejos recoja las contribuciones de seno y coseno. Como resultado, la solución de producto elemental para E _u es:

$${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y + k_ {z} z)}}

$${\ displaystyle = e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {jk_ {z} z}}

$${\ displaystyle = e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {\ pm jz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y } ^ {2}}}}}

que representa una solución de onda plana uniforme en propagación o en descomposición exponencial a la ecuación de onda homogénea. El signo - se usa para una onda que se propaga / decae en la dirección + z y el signo + se usa para una onda que se propaga / decae en la dirección -z (esto sigue la convención de tiempo de ingeniería, que asume una dependencia de tiempo e ^jωt ). Este campo representa una onda plana de propagación cuando la cantidad debajo del radical es positiva, y una onda en descomposición exponencial cuando es negativa (en medios pasivos, la raíz con una parte imaginaria no positiva siempre debe ser elegida, para representar una propagación uniforme o decaimiento , pero no amplificacion).

Las soluciones de productos a la ecuación de Helmholtz también se obtienen fácilmente en coordenadas cilíndricas y esféricas , produciendo armónicos cilíndricos y esféricos (con el uso de los sistemas de coordenadas separables restantes con mucha menos frecuencia).

La solución completa: la superposición integral [ editar ]

Una solución general a la ecuación de onda electromagnética homogénea en coordenadas rectangulares puede formarse como una superposición ponderada de todas las posibles soluciones de onda de plano elemental como:

$${\ displaystyle \ psi (x, y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} (k_ { x}, k_ {y}) ~ e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ e ^ {\ pm jz {\ sqrt {k ^ {2} -k_ {x} ^ { 2} -k_ {y} ^ {2}}}} ~ dk_ {x} dk_ {y} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2.1)}

A continuación, vamos

$${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ psi (x, y, z) | _ {z = 0}}.

Entonces:

$${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ Psi _ {0} ( k_ {x}, k_ {y}) ~ e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}

Esta representación de espectro de onda plana del campo electromagnético es la base básica de la óptica de Fourier (este punto no se puede enfatizar lo suficiente), porque cuando z = 0, la ecuación anterior simplemente se convierte en una relación de transformación de Fourier (FT) entre el campo y su plano. contenido de onda (de ahí el nombre, "óptica de Fourier").

Así:

$${\ displaystyle \ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = {\ mathcal {F}} \ {\ psi _ {0} (x, y) \}}

y

$${\ displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {\ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) \}}

Toda la dependencia espacial de las componentes de la onda plana individual se describe explícitamente a través de las funciones exponenciales. Los coeficientes de las exponenciales son solo funciones del número de onda espacial k _x , k _y , al igual que en el análisis de Fourier ordinario y las transformadas de Fourier .

El límite de difracción [ editar ]

Cuando

{\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}> k ^ {2}}

las ondas planas son evanescentes (decadentes), por lo que cualquier contenido de frecuencia espacial en una transparencia de plano de objeto que sea más fina que una longitud de onda no se transferirá al plano de la imagen, simplemente porque las ondas de plano correspondientes a ese contenido no pueden propagarse. En relación con la litografía de componentes electrónicos, este fenómeno se conoce como el límite de difracción y es la razón por la cual se requiere luz de una frecuencia cada vez más alta (menor longitud de onda, por lo tanto mayor k ) para grabar progresivamente características más finas en circuitos integrados.

La aproximación paraxial [ editar ]

Ondas planas paraxiales (el eje óptico se supone z-dirigido) [ editar ]

Como se muestra arriba, una solución de producto elemental a la ecuación de Helmholtz toma la forma:

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = A (\ mathbf {r}) e ^ {- j \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}}

dónde

$${\ displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} = k_ {x} \ mathbf {x} + k_ {y} \ mathbf {y} + k_ {z} \ mathbf {z}}

es el vector de onda , y

$${\ displaystyle k = \ | \ mathbf {k} \ | = {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}}} = {\ omega \ sobre c}}

es el numero de onda. A continuación, utilizando la aproximación paraxial , se supone que

$${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ ll k_ {z} ^ {2}}

o equivalente,

$${\ displaystyle \ sin \ theta \ approx \ theta}

donde θ es el ángulo entre el vector de onda k y el eje z.

Como resultado,

$${\ displaystyle k_ {z} = k \ cos \ theta \ approx k (1- \ theta ^ {2} / 2)}

y

$${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ approx A (\ mathbf {r}) e ^ {- j (k_ {x} x + k_ {y} y)} e ^ {jkz \ theta ^ {2 } / 2} e ^ {- jkz}}

La ecuación de onda paraxial [ editar ]

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Helmholtz, se deriva la ecuación de onda paraxial:

$${\ displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} A-2jk {\ partial A \ over \ partial z} = 0}

dónde

$${\ displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ parcial ^ {2} \ sobre \ parcial z ^ {2}} = {\ parcial ^ {2} \ sobre \ parcial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} \ sobre \ parcial y ^ {2}}}

es el operador de Laplace transversal , que se muestra aquí en coordenadas cartesianas.

La aproximación de campo lejano [ editar ]

Artículo principal: Difracción de Fraunhofer.

La ecuación anterior se puede evaluar asintóticamente en el campo lejano (utilizando el método de la fase estacionaria ) para mostrar que el campo en el punto distante ( x , y , z ) se debe únicamente a la componente de onda plana ( k _x , k _y , k _z ) que se propaga en paralelo al vector ( x , y , z ), y cuyo plano es tangente al frente de fase en ( x , y , z). Los detalles matemáticos de este proceso se pueden encontrar en Scott [1998] o Scott [1990]. El resultado de realizar una integración de fase estacionaria en la expresión anterior es la siguiente expresión,

$${\ displaystyle E_ {u} (r, \ theta, \ phi) ~ = ~ 2 \ pi j ~ (k ~ \ cos \ theta) ~ {\ frac {e ^ {- jkr}} {r}} ~ E_ {u} (k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi) ~~~~~~~~~~~~ (2.2)}

lo que indica claramente que el campo en (x, y, z) es directamente proporcional a la componente espectral en la dirección de (x, y, z), donde

$${\ displaystyle x = r ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}

$${\ displaystyle y = r ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}

$${\ displaystyle z = r ~ \ cos \ theta ~}

y

$${\ displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}

$${\ displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}

$${\ displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}

Dicho de otra manera, el patrón de radiación de cualquier distribución de campo planar es el FT de esa distribución de fuente (consulte el principio de Huygens-Fresnel , en el que se desarrolla la misma ecuación utilizando un enfoque de función de Green ). Tenga en cuenta que esto NO es una onda plana. los$${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- jkr}} {r}}}La dependencia radial es una onda esférica, tanto en magnitud como en fase, cuya amplitud local es el FT de la distribución del plano fuente en ese ángulo de campo lejano. El espectro de ondas planas no tiene nada que ver con decir que el campo se comporta algo como una onda plana para distancias lejanas.

Espaciales en comparación con el ancho de banda angular [ editar ]

La ecuación (2.2) anterior es crítica para establecer la conexión entre el ancho de banda espacial (por un lado) y el ancho de banda angular (por el otro), en el campo lejano. Tenga en cuenta que el término "campo lejano" generalmente significa que estamos hablando de una onda esférica convergente o divergente con un centro de fase bastante bien definido. La conexión entre el ancho de banda espacial y angular en el campo lejano es esencial para comprender la propiedad de filtrado de paso bajo de las lentes delgadas. Consulte la sección 5.1.3 para la condición que define la región del campo lejano.

Una vez que se comprende el concepto de ancho de banda angular, el científico óptico puede "saltar de un lado a otro" entre los dominios espacial y espectral para obtener rápidamente información que, por lo general, no estaría tan fácilmente disponible solo a través del dominio espacial o de la óptica de rayos. Por ejemplo, cualquier ancho de banda fuente que se encuentre más allá del ángulo del borde de la primera lente (este ángulo del borde establece el ancho de banda del sistema óptico) no será capturado por el sistema para ser procesado.

Como nota al margen, los científicos del electromagnetismo han ideado un medio alternativo para calcular el campo eléctrico de la zona lejana que no implica la integración de la fase estacionaria. Han ideado un concepto conocido como "corrientes magnéticas ficticias" generalmente denotadas por M , y definidas como

$${\ displaystyle ~~ \ mathbf {M} ~ = ~ 2 \ mathbf {E} ^ {aper} ~ \ times ~ \ mathbf {\ hat {z}}}.

En esta ecuación, se supone que el vector unitario en la dirección z apunta al medio espacio donde se realizarán los cálculos del campo lejano. Estas corrientes magnéticas equivalentes se obtienen utilizando principios de equivalencia que, en el caso de una interfaz plana infinita, permiten que cualquier corriente eléctrica, J , se "capture" mientras que las corrientes magnéticas ficticias se obtienen del doble del campo eléctrico de apertura (ver Scott [1998 ]). Luego, el campo eléctrico irradiado se calcula a partir de las corrientes magnéticas utilizando una ecuación similar a la ecuación del campo magnético irradiado por una corriente eléctrica. De esta manera, se obtiene una ecuación vectorial para el campo eléctrico irradiado en términos del campo eléctrico de apertura y la derivación no requiere el uso de ideas de fase estacionaria.

El espectro de ondas planas: la base de la óptica de Fourier [ editar ]

La óptica de Fourier es algo diferente de la óptica de rayos ordinaria que se usa típicamente en el análisis y diseño de sistemas de imágenes enfocados, como cámaras, telescopios y microscopios. La óptica de rayos es el primer tipo de óptica que la mayoría de nosotros encontramos en nuestras vidas; es fácil de conceptualizar y entender, y funciona muy bien para obtener una comprensión básica de los dispositivos ópticos comunes. Desafortunadamente, la óptica de rayos no explica el funcionamiento de los sistemas ópticos de Fourier, que en general no son sistemas enfocados. La óptica de rayos es un subconjunto de la óptica de onda (en la jerga, es el "límite asintótico de longitud de onda cero" de la óptica de onda) y, por lo tanto, tiene una aplicabilidad limitada. Tenemos que saber cuándo es válido y cuándo no lo es, y este es uno de esos momentos en que no lo es. Para nuestra tarea actual, debemos ampliar nuestra comprensión de los fenómenos ópticos para abarcar la óptica de onda, en la que el campo óptico se ve como una solución a las ecuaciones de Maxwell. Esta mas generalLa óptica de onda explica con precisión el funcionamiento de los dispositivos de óptica de Fourier.

En esta sección, no regresaremos a las ecuaciones de Maxwell, sino que comenzaremos con la ecuación de Helmholtz homogénea (válida en medios sin fuente), que es un nivel de refinamiento a partir de las ecuaciones de Maxwell (Scott [1998] ). A partir de esta ecuación, mostraremos cómo las ondas planas uniformes infinitas comprenden una solución de campo (de muchas posibles) en el espacio libre. Estas ondas planas uniformes forman la base para comprender la óptica de Fourier.

El concepto de espectro de onda plana es la base básica de la óptica de Fourier. El espectro de onda plana es un espectro continuo de ondas planas uniformes , y hay un componente de onda plana en el espectro para cada punto tangente en el frente de fase de campo lejano. La amplitud de esa componente de onda plana sería la amplitud del campo óptico en ese punto tangente. Nuevamente, esto es cierto solo en el campo lejano, definido como: Rango = 2 D ²/ λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). El espectro de onda plana se considera a menudo como discreto para ciertos tipos de redes periódicas, aunque en realidad, los espectros de las redes también son continuos, ya que ningún dispositivo físico puede tener la extensión infinita necesaria para producir un espectro de línea real.

Como en el caso de las señales eléctricas, el ancho de banda es una medida de cuán finamente detallada es una imagen; Cuanto más fino sea el detalle, mayor será el ancho de banda requerido para representarlo. Una señal eléctrica de corriente continua es constante y no tiene oscilaciones; Una onda plana que se propaga paralelamente a la óptica ($${\ displaystyle z}) el eje tiene un valor constante en cualquier plano x - y , y por lo tanto es análogo al componente DC (constante) de una señal eléctrica. El ancho de banda en señales eléctricas se relaciona con la diferencia entre las frecuencias más altas y más bajas presentes en el espectro de la señal. Para ópticaEn sistemas, el ancho de banda también se relaciona con el contenido de frecuencia espacial (ancho de banda espacial), pero también tiene un significado secundario. También mide a qué distancia del eje óptico se inclinan las ondas planas correspondientes, por lo que este tipo de ancho de banda también se conoce como ancho de banda angular. Se necesita más ancho de banda de frecuencia para producir un pulso corto en un circuito eléctrico, y más ancho de banda angular (o, frecuencia espacial) para producir un punto afilado en un sistema óptico (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de punto ).

El espectro de ondas planas surge naturalmente como una solución propia o de "modo natural" a la ecuación de onda electromagnética homogénea en coordenadas rectangulares (véase también la radiación electromagnética , que deriva la ecuación de onda de las ecuaciones de Maxwell en medios sin fuente, o Scott [1998]) . En el dominio de la frecuencia , con una convención de tiempo (ingeniería) asumida de$${\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}, la ecuación de onda electromagnética homogénea se conoce como la ecuación de Helmholtz y toma la forma:

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0 ~~~~~~~~~~~~~~ (2.0)}

donde u = x , y , z y k = 2π / λ es el número de onda del medio.