ÓPTICA

LA ÓPTICA DE FOURIER , CONTINUACIÓN

Soluciones de función propia (modo natural): fondo y descripción general [ editar ]

En el caso de las ecuaciones diferenciales, como en el caso de las ecuaciones matriciales, cuando el lado derecho de una ecuación es cero (es decir, la función de forzamiento / vector de forzado es cero), la ecuación aún puede admitir una solución no trivial. conocido en matemáticas aplicadas como una solución de función propia , en física como una solución de "modo natural" y en la teoría de circuitos eléctricos como la "respuesta de entrada cero". Este es un concepto que abarca una amplia gama de disciplinas físicas. Los ejemplos físicos comunes de los modos naturales resonantes incluirían los modos vibratorios resonantes de los instrumentos de cuerda (1D), los instrumentos de percusión (2D) o el antiguo Puente de Estrecho de Tacoma (3D). Ejemplos de modos naturales de propagación incluyen la guía de ondas.Modos, modos de fibra óptica , solitones y ondas de Bloch . Los medios homogéneos infinitos admiten las soluciones armónicas rectangulares, circulares y esféricas de la ecuación de Helmholtz, según el sistema de coordenadas que se esté considerando. Las ondas planas de propagación que estudiaremos en este artículo son quizás el tipo más simple de ondas de propagación encontradas en cualquier tipo de medio.

Hay una sorprendente similitud entre la ecuación de Helmholtz (2.0) anterior, que se puede escribir

$${\ displaystyle (\ nabla ^ {2} + k ^ {2}) ~ f = 0,}

y la ecuación usual para los valores propios / vectores propios de una matriz cuadrada, A ,

$${\ displaystyle (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I}) ~ \ mathbf {x} = 0} ,

En particular, ya que tanto el Laplaciano escalar, $${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}y la matriz, A son operadores lineales en sus respectivos espacios de función / vector (el signo menos en la segunda ecuación es, para todos los efectos, inmaterial; el signo más en la primera ecuación, sin embargo, es significativo). Tal vez valga la pena observar que tanto la solución de función propia como la solución de vector propio de estas dos ecuaciones respectivamente, a menudo producen un conjunto ortogonal de funciones / vectores que abarcan (es decir, forman una base establecida para) los espacios de función / vector que se consideran. El lector interesado puede investigar otros operadores lineales funcionales que dan lugar a diferentes tipos de funciones propias ortogonales, como los polinomios de Legendre , los polinomios de Chebyshev y los polinomios de Hermite .

En el caso de la matriz, valores propios. $${\ displaystyle \ lambda}se puede encontrar al establecer el determinante de la matriz en cero, es decir, encontrar dónde la matriz no tiene inversa. Las matrices finitas tienen solo un número finito de valores propios / vectores propios, mientras que los operadores lineales pueden tener un número infinito de valores propios / funciones propias (en regiones confinadas) o un espectro infinito (continuo) de soluciones, como en regiones no acotadas.

En ciertas aplicaciones físicas, como en el cálculo de bandas en un volumen periódico.Es frecuente que los elementos de una matriz sean funciones muy complicadas de frecuencia y número de onda, y que la matriz no sea singular para la mayoría de las combinaciones de frecuencia y número de onda, pero también será singular para ciertas combinaciones específicas. Al encontrar qué combinaciones de frecuencia y número de onda llevan el determinante de la matriz a cero, se pueden determinar las características de propagación del medio. Las relaciones de este tipo, entre frecuencia y número de onda, se conocen como relaciones de dispersión y algunos sistemas físicos pueden admitir muchos tipos diferentes de relaciones de dispersión. Un ejemplo de electromagnetismo es la guía de onda ordinaria, que puede admitir numerosas relaciones de dispersión, cada una asociada con un modo único de la guía de onda. Cada modo de propagación de la guía de ondas se conoce como una función propiaSolución (o solución de modo propio) a las ecuaciones de Maxwell en la guía de onda. El espacio libre también admite soluciones en modo propio (modo natural) (conocidas más comúnmente como ondas planas), pero con la distinción de que para cualquier frecuencia dada, el espacio libre admite un espectro modal continuo, mientras que las guías de onda tienen un espectro de modo discreto. En este caso, la relación de dispersión es lineal, como en la sección 1.2.

K-espacio [ editar ]

La condición de separación,

$${\ displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}

que es idéntica a la ecuación de la métrica euclidiana en el espacio de configuración tridimensional, sugiere la noción de un vector k en el "espacio k" tridimensional, definida (para propagar ondas planas) en coordenadas rectangulares como:

$${\ displaystyle \ mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} \ mathbf {\ hat {x}} + k_ {y} \ mathbf {\ hat {y}} + k_ {z} \ mathbf {\ hat {z }}}

y en el sistema de coordenadas esféricas como

$${\ displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}

$${\ displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}

$${\ displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ theta ~}

Se hará uso de estas relaciones del sistema de coordenadas esféricas en la siguiente sección.

La noción de espacio k es fundamental para muchas disciplinas en ingeniería y física, especialmente en el estudio de volúmenes periódicos, como la cristalografía y la teoría de bandas de materiales semiconductores.

La transformada de Fourier bidimensional [ editar ]

Ecuación de análisis (calculando el espectro de la función):

$${\ displaystyle U (k_ {x}, k_ {y}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (x, y) e ^ {-j (k_ {x} x + k_ {y} y)} dxdy}

Ecuación de síntesis (reconstruyendo la función a partir de su espectro):

$${\ displaystyle u (x, y) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} U (k_ {x}, k_ {y}) e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} dk_ {x} dk_ {y}}

Nota : el factor de normalización de:$${\ displaystyle {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}}} está presente siempre que se usa la frecuencia angular (radianes), pero no cuando se usa la frecuencia ordinaria (ciclos).

Sistemas ópticos: descripción general y analogía con los sistemas de procesamiento de señales eléctricas [ editar ]

Un sistema óptico consta de un plano de entrada y un plano de salida, y un conjunto de componentes que transforma la imagen f formada en la entrada en una imagen diferente g formada en la salida. La imagen de salida está relacionada con la imagen de entrada al convertir la imagen de entrada con la respuesta de impulso óptico, h (conocida como la función de dispersión de puntos , para sistemas ópticos enfocados). La respuesta de impulso define de forma única el comportamiento de entrada-salida del sistema óptico. Por convención, el eje óptico del sistema se toma como el eje z . Como resultado, las dos imágenes y la respuesta al impulso son todas funciones de las coordenadas transversales, x e y .

$${\ displaystyle g (x, y) = h (x, y) * f (x, y)}

La respuesta de impulso de un sistema de imagen óptica es el campo del plano de salida que se produce cuando una fuente de luz de punto matemática ideal se coloca en el plano de entrada (generalmente en el eje). En la práctica, no es necesario tener una fuente puntual ideal para determinar una respuesta de impulso exacta. Esto se debe a que cualquier ancho de banda de origen que se encuentre fuera del ancho de banda del sistema no importará de todos modos (ya que el sistema óptico ni siquiera puede capturarlo), por lo tanto, no es necesario para determinar la respuesta al impulso. La fuente solo necesita tener al menos tanto ancho de banda (angular) como el sistema óptico.

Los sistemas ópticos típicamente caen en una de dos categorías diferentes. El primero es el sistema de imagen óptico enfocado ordinario, en el que el plano de entrada se denomina plano de objeto y el plano de salida se denomina plano de imagen. El campo en el plano de la imagen se desea que sea una reproducción de alta calidad del campo en el plano del objeto. En este caso, se desea que la respuesta al impulso del sistema óptico se aproxime a una función delta 2D, en la misma ubicación (o una ubicación escalada linealmente) en el plano de salida correspondiente a la ubicación del impulso en el plano de entrada. La respuesta de impulso realtípicamente se asemeja a una función de Airy , cuyo radio está en el orden de la longitud de onda de la luz utilizada. En este caso, la respuesta al impulso se suele denominarFunción de dispersión de puntos , ya que el punto de luz matemático en el plano del objeto se ha extendido en una función de Airy en el plano de la imagen.

El segundo tipo es el sistema de procesamiento óptico de imágenes, en el cual se debe ubicar y aislar una característica importante en el campo del plano de entrada. En este caso, se desea que la respuesta al impulso del sistema sea una réplica cercana (imagen) de esa característica que se está buscando en el campo del plano de entrada, de modo que una convolución de la respuesta al impulso (una imagen de la característica deseada) en el campo del plano de entrada se producirá un punto brillante en la ubicación de la entidad en el plano de salida. Este último tipo de sistema de procesamiento óptico de imágenes es el tema de esta sección. La Sección 5.2 presenta una implementación de hardware de las operaciones de procesamiento óptico de imágenes descritas en esta sección.

Plano de entrada [ editar ]

El plano de entrada se define como el lugar de todos los puntos, de manera que z = 0. La imagen de entrada f es, por lo tanto,

$${\ displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = 0}}

Plano de salida [ editar ]

El plano de salida se define como el lugar geométrico de todos los puntos, de forma que z = d . La imagen de salida g es por lo tanto

$${\ displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) {\ big |} _ {z = d}

La convolución 2D de la función de entrada contra la función de respuesta al impulso [ editar ]

$${\ displaystyle g (x, y) ~ = ~ h (x, y) * f (x, y)}

es decir,

$${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (x-x ', y-y') ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.1) ~}

El lector de alerta notará que la integral anterior supone tácitamente que la respuesta al impulso NO es una función de la posición (x ', y') del impulso de luz en el plano de entrada (si este no fuera el caso, este tipo de convolución no sería posible). Esta propiedad se conoce como invarianza de turno (Scott [1998]). Ningún sistema óptico es perfectamente invariable a los cambios: a medida que el punto de luz matemático ideal se escanea lejos del eje óptico, las aberraciones eventualmente degradarán la respuesta al impulso (conocida como comaen sistemas de imágenes enfocadas). Sin embargo, los sistemas ópticos de alta calidad a menudo son "lo suficientemente invariables a los cambios" en ciertas regiones del plano de entrada, por lo que podemos considerar la respuesta al impulso como una función de solo la diferencia entre las coordenadas del plano de entrada y de salida, y por lo tanto usar la ecuación anterior con impunidad. .

Además, esta ecuación supone un aumento de la unidad. Si hay aumento, entonces eqn. (4.1) se convierte en

$${\ displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h_ {M} (x-Mx ', y-My' ) ~ f (x ', y') ~ dx'dy '~~~~~~ (4.2) ~}

que básicamente traduce la función de respuesta al impulso, h _M (), de x 'a x = Mx'. En (4.2), h _M () será una versión ampliada de la función de respuesta al impulso h () de un sistema similar, no magnificado, de modo que h _M (x, y) = h (x / M, y / M).

Derivación de la ecuación de convolución [ editar ]

La extensión a dos dimensiones es trivial, excepto por la diferencia de que la causalidad existe en el dominio del tiempo, pero no en el dominio espacial. La causalidad significa que la respuesta al impulso h ( t - t ') de un sistema eléctrico, debido a un impulso aplicado en el tiempo t', debe ser necesariamente cero para todos los tiempos t, de modo que t - t '<0 .="" font="">

Obtener la representación de convolución de la respuesta del sistema requiere representar la señal de entrada como una superposición ponderada sobre un tren de funciones de impulso mediante el uso de la propiedad shifting de las funciones delta de Dirac .

$${\ displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-t ') f (t') dt '}

Se supone entonces que el sistema en cuestión es lineal , es decir, que la salida del sistema debido a dos entradas diferentes (posiblemente en dos momentos diferentes) es la suma de las salidas individuales del sistema a las dos entradas, cuando introducido individualmente Por lo tanto, el sistema óptico no puede contener materiales no lineales ni dispositivos activos (excepto posiblemente, dispositivos activos extremadamente lineales). La salida del sistema, para una entrada de función delta única, se define como la respuesta de impulsodel sistema, h (t - t '). Y, por nuestro supuesto de linealidad (es decir, que la salida del sistema a una entrada de tren de pulsos es la suma de las salidas debidas a cada pulso individual), ahora podemos decir que la función de entrada general f ( t) produce la salida:

$${\ displaystyle g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t-t ') f (t') dt '}

donde h (t - t ') es la respuesta (impulso) del sistema lineal a la entrada de función delta δ (t - t'), aplicada en el momento t '. Aquí es de donde viene la ecuación de convolución anterior. La ecuación de convolución es útil porque a menudo es mucho más fácil encontrar la respuesta de un sistema a una entrada de función delta, y luego realizar la convolución anterior para encontrar la respuesta a una entrada arbitraria, que intentar encontrar la respuesta a la entrada Entrada arbitraria directamente. Además, la respuesta al impulso (en los dominios de tiempo o de frecuencia) generalmente proporciona una visión de las cifras relevantes de mérito del sistema. En el caso de la mayoría de las lentes, la función de dispersión de puntos (PSF) es una figura de mérito bastante común para fines de evaluación.

La misma lógica se usa en relación con el principio de Huygens-Fresnel , o la formulación de Stratton-Chu, en la que la "respuesta de impulso" se conoce como la función del sistema de Green . Por lo tanto, la operación de dominio espacial de un sistema óptico lineal es análoga de esta manera al principio de Huygens-Fresnel.

Función de transferencia del sistema [ editar ]

Si la última ecuación anterior es transformada por Fourier, se convierte en:

$${\ displaystyle G (\ omega) ~ = ~ H (\ omega) \ cdot F (\ omega)}

dónde

$${\ displaystyle G (\ omega) ~} Es el espectro de la señal de salida.

$${\ displaystyle H (\ omega) ~} es la función de transferencia del sistema

$${\ displaystyle F (\ omega) ~} Es el espectro de la señal de entrada.

De manera similar, (4.1) puede ser transformado por Fourier para producir:

$${\ displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x}, k_ {y}) \ cdot F (k_ {x}, k_ {y})}

La función de transferencia del sistema, $${\ displaystyle H (\ omega)}. En la imagen óptica, esta función es mejor conocida como la función de transferencia óptica (Goodman) .

Una vez más, se puede observar en la discusión sobre la condición sinusoidal de Abbe , que esta ecuación supone un aumento de la unidad.

Esta ecuación adquiere su significado real cuando la transformada de Fourier, $${\ displaystyle ~ G (k_ {x}, k_ {y})} se asocia con el coeficiente de la onda plana cuyos números de onda transversales son $${\ displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}. Por lo tanto, el espectro de onda del plano de entrada se transforma en el espectro de onda del plano de salida a través de la acción multiplicativa de la función de transferencia del sistema. Es en esta etapa de comprensión que los antecedentes previos en el espectro de ondas planas se vuelven invaluables para la conceptualización de los sistemas ópticos de Fourier.

Aplicaciones de los principios de la óptica de Fourier [ editar ]

La óptica de Fourier se utiliza en el campo del procesamiento óptico de información, cuyo elemento básico es el procesador 4F clásico.

Las propiedades de la transformada de Fourier de una lente proporcionan numerosas aplicaciones en el procesamiento de señales ópticas , como el filtrado espacial , la correlación óptica y los hologramas generados por computadora .

La teoría óptica de Fourier se utiliza en interferometría , pinzas ópticas , trampas de átomos y computación cuántica . Los conceptos de la óptica de Fourier se utilizan para reconstruir la fase de intensidad de la luz en el plano de frecuencia espacial (ver algoritmo adaptativo-aditivo ).

Fourier propiedad transformadora de lentes [ editar ]

Si se coloca un objeto transmisivo a una distancia focal delante de una lente , entonces su transformada de Fourier se formará una distancia focal detrás de la lente. Considere la figura a la derecha (haga clic para agrandar)

Sobre la propiedad transformadora de Fourier de las lentes.

En esta figura, se asume una incidencia de onda plana desde la izquierda. La función de transmitancia en el plano focal frontal (es decir, el plano 1) modula espacialmente la onda del plano incidente en magnitud y fase, como en el lado izquierdo de eqn. (2.1)(especificado para z = 0), y al hacerlo, produce un espectro de ondas planas que corresponden al FT de la función de transmisión, como en el lado derecho de eqn. (2.1) (para z> 0). Las diversas componentes de la onda plana se propagan en diferentes ángulos de inclinación con respecto al eje óptico de la lente (es decir, el eje horizontal). Cuanto más finas sean las características de la transparencia, más ancho será el ancho de banda angular del espectro de onda plana. Consideraremos uno de estos componentes de onda plana, que se propagan en un ángulo con respecto al eje óptico. Se supone que θ es pequeño ( aproximación paraxial ), por lo que

$${\ displaystyle {\ frac {k_ {x}} {k}} = \ sin \ theta \ simeq \ theta}

y

$${\ displaystyle {\ frac {k_ {z}} {k}} = \ cos \ theta \ simeq 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ simeq {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}} \ simeq 1 + {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}

En la figura, la fase de la onda plana , que se mueve horizontalmente desde el plano focal frontal al plano de la lente, es

$${\ displaystyle e ^ {jkf \ cos \ theta} \,}

y la fase de onda esférica desde la lente hasta el punto en el plano focal posterior es:

$${\ displaystyle e ^ {jkf / \ cos \ theta} \,}

y la suma de las dos longitudes de trayecto es f (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 f es decir, es un valor constante, independiente del ángulo de inclinación, θ, para ondas planas paraxiales. Cada componente de la onda del plano paraxial del campo en el plano focal frontal aparece como un punto de función de dispersión del punto en el plano focal posterior, con una intensidad y una fase iguales a la intensidad y la fase de la componente de la onda del plano original en el plano focal frontal. En otras palabras, el campo en el plano focal posterior es la transformada de Fourier del campo en el plano focal frontal.

Todos los componentes FT se calculan simultáneamente, en paralelo, a la velocidad de la luz. Como ejemplo, la luz viaja a una velocidad de aproximadamente 1 pie (0,30 m). / ns, entonces si una lente tiene un pie (0.30 m). distancia focal, se puede calcular un FT 2D completo en aproximadamente 2 ns (2 x 10 ⁻⁹ segundos). Si la longitud focal es de 1 pulg., Entonces el tiempo es inferior a 200 ps. Ninguna computadora electrónica puede competir con este tipo de números o tal vez alguna vez lo desee, aunque las supercomputadorasEn realidad, puede ser más rápido que la óptica, por improbable que pueda parecer. Sin embargo, su velocidad se obtiene mediante la combinación de numerosas computadoras que, individualmente, son aún más lentas que las ópticas. La desventaja de la FT óptica es que, como la derivación muestra, la relación FT sólo se mantiene para ondas planas paraxiales, por lo que este "ordenador" FT está limitada en banda inherentemente. Por otro lado, dado que la longitud de onda de la luz visible es tan pequeña en relación con incluso las dimensiones de las características visibles más pequeñas en la imagen, es decir,

$${\ displaystyle k ^ {2} \ gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}

(para todas k _x , k _y dentro del ancho de banda espacial de la imagen, de modo que k _z es casi igual a k ), la aproximación paraxial no es terriblemente limitante en la práctica. Y, por supuesto, esta es una computadora analógica, no digital, por lo que la precisión es limitada. Además, la fase puede ser difícil de extraer; A menudo se infiere interferométricamente.

El procesamiento óptico es especialmente útil en aplicaciones en tiempo real donde se requiere un procesamiento rápido de cantidades masivas de datos 2D, particularmente en relación con el reconocimiento de patrones.

Truncamiento de objetos y fenómeno de Gibbs [ editar ]

El campo eléctrico espacialmente modulado, que se muestra en el lado izquierdo de eqn. (2.1), normalmente solo ocupa una abertura finita (generalmente rectangular) en el plano x, y. La función de apertura rectangular actúa como un filtro superior cuadrado 2D, donde se supone que el campo es cero fuera de este rectángulo 2D. Las integrales de dominio espacial para calcular los coeficientes FT en el lado derecho de eqn. (2.1) están truncados en el límite de esta abertura. Este truncamiento por pasos puede introducir inexactitudes en los cálculos teóricos y en los valores medidos de los coeficientes de onda plana en la RHS de eqn. (2.1).

Cuando una función se trunca de forma discontinua en un dominio FT, la ampliación y la ondulación se introducen en el otro dominio FT. Un ejemplo perfecto de la óptica está en relación con la función de dispersión de puntos, que para la iluminación de onda plana en el eje de una lente cuadrática (con apertura circular), es una función Airy, J ₁ ( x ) / x . Literalmente, la fuente puntual se ha "extendido" (con ondulaciones agregadas), para formar la función de propagación del punto Airy (como resultado del truncamiento del espectro de onda plana por la apertura finita de la lente). Esta fuente de error se conoce como fenómeno de Gibbs y se puede mitigar simplemente asegurando que todo el contenido importante se encuentre cerca del centro de la transparencia, o mediante el uso deFunciones de ventana que reducen suavemente el campo a cero en los límites del marco. Por el teorema de convolución, el FT de una función de transparencia arbitraria, multiplicada (o truncada) por una función de apertura, es igual al FT de la función de transparencia no truncada convuelta contra el FT de la función de apertura, que en este caso se convierte en una tipo de "función de los Verdes" o "función de respuesta al impulso" en el dominio espectral. Por lo tanto, la imagen de una lente circular es igual a la función del plano del objeto convolucionada contra la función Airy (el FT de una función de apertura circular es J ₁ ( x ) / x y el FT de una función de apertura rectangular es un producto de las funciones sinc , pecado x / x ).

Análisis de Fourier y la descomposición funcional [ editar ]

A pesar de que la transparencia de entrada solo ocupa una parte finita del plano x - y (Plano 1), las ondas del plano uniforme que comprenden el espectro de la onda plana ocupan todo el plano x - y , por lo que (para este fin) solo el plano longitudinal Se debe considerar la fase de onda (en la dirección z , desde el plano 1 al plano 2), y no la fase transversal a la dirección z . Por supuesto, es muy tentador pensar que si una onda plana que emana de la apertura finita de la transparencia se inclina demasiado lejos de la horizontal, de alguna manera "perderá" la lente por completo, pero nuevamente, ya que la onda plana uniforme se extiende infinitamente lejos todas las direcciones en la transversal ( x- y ) plano, los componentes de onda plana no pueden faltar en la lente.

Este problema plantea quizás la dificultad predominante con el análisis de Fourier, a saber, que la función del plano de entrada, definida sobre un soporte finito (es decir, sobre su propia apertura finita), se está aproximando a otras funciones (sinusiods) que tienen soporte infinito ( i . e ., se definen sobre toda la infinita x - y avión). Esto es increíblemente ineficiente computacionalmente, y es la razón principal por la que las waveletsfueron concebidos, es decir, que representan una función (definida en un intervalo o área finita) en términos de funciones oscilatorias que también se definen en intervalos o áreas finitas. Por lo tanto, en lugar de obtener el contenido de frecuencia de toda la imagen a la vez (junto con el contenido de frecuencia del resto del plano x - y , sobre el que la imagen tiene valor cero), el resultado es el contenido de frecuencia de diferentes Partes de la imagen, que suele ser mucho más simple. Desafortunadamente, las wavelets en el plano x - y no se corresponden con ningún tipo conocido de función de onda de propagación, de la misma manera que las sinusoides de Fourier (en la x - yplano) corresponden a funciones de onda plana en tres dimensiones. Sin embargo, los FT de la mayoría de las wavelets son bien conocidos y podrían mostrarse como equivalentes a algún tipo útil de campo de propagación.

Por otro lado, las funciones Sinc y Airy , que no son solo las funciones de dispersión puntual de las aberturas rectangulares y circulares, respectivamente, sino que también son funciones cardinales utilizadas comúnmente para la descomposición funcional en la teoría de interpolación / muestreo [Scott 1990], hacencorresponden a ondas esféricas convergentes o divergentes y, por lo tanto, podrían implementarse como una nueva descomposición funcional de la función del plano del objeto, lo que lleva a otro punto de vista similar en naturaleza a la óptica de Fourier. Básicamente, esto sería lo mismo que la óptica de rayos convencional, pero con los efectos de difracción incluidos. En este caso, cada función de dispersión de puntos sería un tipo de "píxel suave", de la misma manera que un solitón en una fibra es un "pulso suave".

Quizás un punto de vista de la figura de mérito de la lente en este punto de vista de la "función de dispersión de puntos" sería preguntar qué tan bien una lente transforma una función Airy en el plano del objeto en una función Airy en el plano de la imagen, como una función de la distancia radial desde la óptica. Eje, o como una función del tamaño de la función Airy del plano del objeto. Esto es algo así como la función de dispersión de puntos, excepto que ahora lo estamos viendo como un tipo de función de transferencia de plano de entrada a salida (como MTF), y no tanto en términos absolutos, en relación con un punto perfecto. De manera similar, las ondas de Gauss, que corresponderían a la cintura de un haz de Gauss de propagación, también podrían usarse potencialmente en otra descomposición funcional del campo del plano del objeto.

Rango de campo lejano y el criterio 2D ² / λ [ editar ]

En la figura anterior, que ilustra la propiedad de transformación de Fourier de las lentes, la lente está en el campo cercano de la transparencia del plano del objeto, por lo tanto, el campo del plano del objeto en la lente puede considerarse como una superposición de ondas planas, cada una de las cuales se propaga a Algún ángulo con respecto al eje z. A este respecto, el criterio de campo lejano se define de manera general como: Rango = 2 D ² / λ donde D es la extensión lineal máxima de las fuentes ópticas y λ es la longitud de onda (Scott [1998]). La D de la transparencia es del orden de cm (10 ⁻² m) y la longitud de onda de la luz es del orden de 10 ⁻⁶ m, por lo tanto, D / λ para toda la transparencia es del orden de 10⁴ . Este tiempo D es del orden de 10 ² m, o cientos de metros. Por otro lado, la distancia de campo lejano desde un punto de PSF es del orden de λ. Esto se debe a que D para el punto está en el orden de λ, por lo que D / λ está en el orden de la unidad; este tiempo D (es decir, λ) es del orden de λ (10 ⁻⁶ m).

Dado que la lente se encuentra en el campo lejano de cualquier punto de PSF, el campo que incide en la lente desde el punto puede considerarse como una onda esférica, como en la ecuación. (2.2), no como un espectro de onda plana, como en eqn. (2.1). Por otro lado, la lente está en el campo cercano de toda la transparencia del plano de entrada, por lo tanto eqn. (2.1) - el espectro de onda de plano completo - representa con precisión el campo incidente en la lente desde esa fuente más grande y extendida.

La lente como un filtro de paso bajo [ editar ]

Una lente es básicamente un filtro de onda plana de paso bajo (ver filtro de paso bajo). Considere una fuente de luz "pequeña" ubicada en el eje en el plano del objeto de la lente. Se supone que la fuente es lo suficientemente pequeña como para que, según el criterio del campo lejano, la lente esté en el campo lejano de la fuente "pequeña". Entonces, el campo irradiado por la fuente pequeña es una onda esférica que es modulada por el FT de la distribución de la fuente, como en eqn. (2.2), Luego, la lente pasa, desde el plano del objeto sobre el plano de la imagen, solo la porción de la onda esférica radiada que se encuentra dentro del ángulo del borde de la lente. En este caso de campo lejano, el truncamiento de la onda esférica radiada es equivalente al truncamiento del espectro de onda plana de la fuente pequeña. Por lo tanto, las componentes de onda plana en esta onda esférica de campo lejano, que se encuentran más allá del ángulo del borde de la lente, no son capturados por la lente y no son transferidos al plano de la imagen. Nota: esta lógica es válida solo para fuentes pequeñas, de modo que la lente se encuentra en la región de campo lejano de la fuente, de acuerdo con los 2D ² / λ criterio mencionado anteriormente. Si la transparencia de un plano de objeto se imagina como una suma sobre fuentes pequeñas (como en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , Scott [1990]), cada una de las cuales tiene su espectro truncado de esta manera, entonces cada punto de la transparencia del plano del objeto completo sufre Los mismos efectos de este filtrado de paso bajo.

La pérdida del contenido de alta frecuencia (espacial) causa desenfoque y pérdida de nitidez (consulte la discusión relacionada con la función de dispersión de puntos ). El truncamiento del ancho de banda hace que una fuente puntual (ficticia, matemática, ideal) en el plano del objeto se difumine (o se extienda) en el plano de la imagen, dando lugar al término "función de dispersión del punto". Siempre que el ancho de banda se expande o contrae, el tamaño de la imagen suele contraerse o contraerse, de manera tal que el producto de ancho de banda espacial permanece constante, según el principio de Heisenberg (Scott [1998] y la condición de seno de Abbe ).

La coherencia y la transformación de Fourier [ editar ]

Mientras se trabaja en el dominio de la frecuencia, con una supuesta e ^jωt (ingeniería) dependencia del tiempo, luz coherente (láser) se asume implícitamente, que tiene una dependencia de la función delta en el dominio de la frecuencia. La luz en diferentes frecuencias (función delta) "rociará" el espectro de la onda plana en diferentes ángulos, y como resultado, estas componentes de la onda plana se enfocarán en diferentes lugares en el plano de salida. La propiedad transformadora de Fourier de las lentes funciona mejor con luz coherente, a menos que haya alguna razón especial para combinar la luz de diferentes frecuencias, para lograr algún propósito especial.