ÓPTICA

difracción de Fraunhofer se usa para modelar la difracción de ondas cuando el patrón de difracción se ve a una gran distancia del objeto de difracción, y también cuando se ve en el plano focalde una lente de imagen . ^[1] [2] En contraste, el patrón de difracción creado cerca del objeto, en la región del campo cercano , viene dado por la ecuación de difracción de Fresnel .

La ecuación se nombró en honor de Joseph von Fraunhofer, aunque no estuvo realmente involucrado en el desarrollo de la teoría. ^[3]

Este artículo explica dónde se puede aplicar la ecuación de Fraunhofer y muestra la forma del patrón de difracción de Fraunhofer para varias aperturas. En la ecuación de difracción de Fraunhofer se proporciona un tratamiento matemático detallado de la difracción de Fraunhofer .

Ecuación [ editar ]

Artículo principal: Ecuación de difracción de Fraunhofer.

Cuando un rayo de luz está parcialmente bloqueado por un obstáculo, parte de la luz se dispersa alrededor del objeto, y las bandas claras y oscuras se ven a menudo en el borde de la sombra, este efecto se conoce como difracción. ^[4] Estos efectos se pueden modelar usando el principio de Huygens-Fresnel . Huygens postuló que cada punto en un frente de onda primario actúa como fuente de wavelets secundarias esféricas y la suma de estas wavelets secundarias determina la forma de la ola en cualquier momento posterior. Fresnel desarrolló una ecuación utilizando las ondas de Huygens junto con el principio de superposición de ondas, que modela estos efectos de difracción bastante bien.

No es una cuestión directa calcular el desplazamiento dado por la suma de las wavelets secundarias, cada una de las cuales tiene su propia amplitud y fase, ya que esto implica la adición de muchas ondas de fase y amplitud variables. Cuando se suman dos ondas, el desplazamiento total depende tanto de la amplitud como de la fase de las ondas individuales: dos ondas de igual amplitud que están en fase dan un desplazamiento cuya amplitud es el doble de las amplitudes de onda individuales, mientras que dos ondas que están en Las fases opuestas dan un desplazamiento cero. En general, se debe resolver una integral bidimensional sobre variables complejas y, en muchos casos, no está disponible una solución analítica. ^[5]

La ecuación de difracción de Fraunhofer es una versión simplificada de la fórmula de difracción de Kirchhoff y se puede usar para modelar la luz difractada cuando una fuente de luz y un plano de visión (el plano de observación) están efectivamente en el infinito con respecto a una abertura de difracción. ^[6] Con la fuente de luz lo suficientemente distante de la apertura, la luz incidente a la apertura es una onda plana, de modo que la fase de la luz en cada punto de la apertura es la misma. La fase de las contribuciones de las wavelets individuales en la apertura varía linealmente con la posición en la apertura, haciendo que el cálculo de la suma de las contribuciones sea relativamente sencillo en muchos casos.

Con una fuente de luz distante de la abertura, la aproximación de Fraunhofer se puede usar para modelar el patrón difractado en un plano distante de observación desde la abertura ( campo lejano ). Prácticamente se puede aplicar al plano focal de una lente positiva.

Campo lejano [ editar ]

La difracción de Fraunhofer ocurre cuando: $${\ displaystyle {\ frac {W ^ {2}} {L \ lambda}} \ ll 1}

$${\ displaystyle W} - Tamaño de abertura o hendidura, $${\ displaystyle \ lambda} - longitud de onda, $${\ displaystyle L} - Distancia desde la abertura.

Cuando la distancia entre la abertura y el plano de observación (en el que se observa el patrón difractado) es lo suficientemente grande como para que la longitud del camino óptico desde los bordes de la abertura hasta un punto de observación difiera mucho menos que la longitud de onda de la luz, entonces Los trayectos de propagación para wavelets individuales desde cada punto en la abertura hasta el punto de observación se pueden tratar como paralelos. Esto a menudo se conoce como el campo lejano y se define como ubicado a una distancia que es significativamente mayor que W ² / λ , donde λ es la longitud de onda y W es la dimensión más grande en la apertura. La ecuación de Fraunhofer se puede utilizar para modelar la difracción en este caso. ^[7]

Por ejemplo, si un orificio circular de 0,5 mm de diámetro está iluminado por un láser con una longitud de onda de 0,6 μm, se puede emplear la ecuación de difracción de Fraunhofer si la distancia de visualización es superior a 1000 mm.

Plano focal de una lente positiva [ editar ]

Onda plana enfocada por una lente.

En el campo lejano, las trayectorias de propagación para wavelets individuales desde cada punto en la apertura hasta el punto de observación pueden tratarse como paralelas, y la lente positiva (lente de enfoque) enfoca todos los rayos paralelos hacia la lente hasta un punto en el plano focal ( la posición del punto de enfoque depende del ángulo de los rayos paralelos con respecto al eje óptico). Por lo tanto, si la distancia focal de la lente es lo suficientemente grande como para que las diferencias entre las orientaciones del campo eléctrico para las ondas se puedan ignorar en el enfoque, entonces la lente prácticamente hace el patrón de difracción Fraunhofer en su plano focal. ^[8]Se puede considerar que la luz difractiva está formada por un conjunto de ondas planas de orientación variable. Cuando una lente se encuentra frente a la abertura de difracción, cada onda plana se enfoca en un punto diferente en el plano focal, siendo el punto de enfoque proporcional a los cosenos de las direcciones x e y, de modo que la variación en La intensidad como función de la dirección se mapea en una variación posicional de intensidad.

Ejemplos de difracción de Fraunhofer [ editar ]

En cada uno de estos ejemplos, la abertura está iluminada por una onda plana monocromática en incidencia normal.

Difracción por una rendija de profundidad infinita [ editar ]

Gráfica e imagen de difracción de una sola rendija.

La anchura de la ranura es W . El patrón de difracción de Fraunhofer se muestra en la imagen junto con un gráfico de la intensidad en función del ángulo θ . ^[9] El patrón tiene una intensidad máxima en θ = 0 , y una serie de picos de intensidad decreciente. La mayor parte de la luz difractada cae entre los primeros mínimos. El ángulo, α , subtendido por estos dos mínimos está dado por: ^[10]

$${\ displaystyle \ alpha \ approx {\ frac {2 \ lambda} {W}}}

Por lo tanto, cuanto menor sea la apertura, mayor será el ángulo α subtendido por las bandas de difracción. El tamaño de la banda central a una distancia z viene dada por

$${\ displaystyle d_ {f} = {\ frac {2 \ lambda z} {W}}}

Por ejemplo, cuando una rendija de 0,5 mm de ancho se ilumina con una luz de longitud de onda de 0,6 µm y se ve a una distancia de 1000 mm, el ancho de la banda central en el patrón de difracción es de 2,4 mm.

Las franjas se extienden hasta el infinito en la dirección y, ya que la rendija y la iluminación también se extienden hasta el infinito.

Si W <λ , la intensidad de la luz difractada no cae a cero, y si D << λ , la onda difractada es cilíndrica.

Análisis semicuantitativo de la difracción de una rendija única [ editar ]

Geometría de difracción de una sola rendija.

Podemos encontrar el ángulo en el cual se obtiene un primer mínimo en la luz difractada por el siguiente razonamiento. Considere la luz difractada en un ángulo θ donde la distancia CDes igual a la longitud de onda de la luz de iluminación. El componente de la wavelet emitido desde el punto A que está viajando en el θ dirección está en anti-fase con la onda desde el punto B en la parte media de la ranura, de modo que la contribución neta en el ángulo θ de estas dos ondas es cero . Lo mismo se aplica a los puntos justo debajo de A y B , y así sucesivamente. Por lo tanto, la amplitud de la onda total que viaja en la dirección θ es cero. Tenemos:

$${\ displaystyle \ theta _ {\ text {min}} \ approx {\ frac {CD} {AC}} = {\ frac {\ lambda} {W}}.

El ángulo subtendido por los primeros mínimos a cada lado del centro es, como se indica arriba:

$${\ displaystyle \ alpha = 2 \ theta _ {\ text {min}} = {\ frac {2 \ lambda} {W}}.}

No existe un argumento tan simple que nos permita encontrar los máximos del patrón de difracción.

Difracción de un solo corte del campo eléctrico utilizando el principio de Huygen [ editar ]

Amplia gama continua de fuentes puntuales de longitud a .

Podemos desarrollar una expresión para el campo lejano de una matriz continua de fuentes puntuales de amplitud uniforme y de la misma fase. Deje que la matriz de longitud un ser paralelo al eje y con su centro en el origen como se indica en la figura a la derecha. Entonces el campodiferencial es: ^[11]

$${\ displaystyle dE = {\ frac {A} {r_ {1}}} e ^ {j \ omega [t- (r_ {1} / c)]} dy = {\ frac {A} {r_ {1} }} e ^ {j (\ omega t- \ beta r_ {1})} dy}

dónde $${\ displaystyle \ beta = \ omega / c = 2 \ pi / \ lambda}. sin embargo$${\ displaystyle r_ {1} = ry \ sin \ theta}e integrando desde $${\ displaystyle -a / 2}a $${\ displaystyle a / 2},

$${\ displaystyle E = A ^ {'} \ int \ limits _ {- a / 2} ^ {a / 2} e ^ {j \ beta y \ sin \ theta}}

dónde $${\ displaystyle A ^ {'} = {\ frac {Ae ^ {j (\ omega t- \ beta r)}} {r_ {1}}}}.

Integrándonos entonces obtenemos

$${\ displaystyle E = {\ frac {2A ^ {'} {\ beta \ sin \ theta}} \ sin ({\ frac {\ beta a} {2}} \ sin \ theta)}

Dejando $${\ displaystyle \ psi ^ {'} = \ beta a \ sin \ theta = \ alpha _ {r} \ sin \ theta}donde la longitud de la matriz en rad$${\ displaystyle a_ {r} = \ beta a = 2 \ pi a / \ lambda}, entonces,

$${\ displaystyle E = {\ frac {\ sin (\ psi ^ {'} / 2)} {\ psi ^ {'} / 2}}}^[11]

Difracción por una abertura rectangular [ editar ]

Simulación por ordenador de difracción de Fraunhofer mediante una abertura rectangular.

La forma del patrón de difracción dada por una abertura rectangular se muestra en la figura de la derecha (o arriba, en formato de tableta). ^[12] Hay un pico central semi-rectangular, con una serie de franjas horizontales y verticales. Las dimensiones de la banda central están relacionadas con las dimensiones de la rendija por la misma relación que para una única rendija, de modo que la dimensión más grande en la imagen difractada corresponde a la dimensión más pequeña en la rendija. El espaciado de las franjas también es inversamente proporcional a la dimensión de la hendidura.

Si el haz de iluminación no ilumina toda la longitud de la ranura, el espaciado de las franjas verticales está determinado por las dimensiones del haz de iluminación. Un examen detallado del siguiente patrón de difracción de doble rendija muestra que hay franjas de difracción horizontal muy finas por encima y por debajo del punto principal, así como las franjas horizontales más evidentes.

Difracción por una abertura circular [ editar ]

Simulación por ordenador del patrón de difracción de Airy.

El patrón de difracción dado por una abertura circular se muestra en la figura de la derecha. ^[13] Esto se conoce como el patrón de difracción de Airy . Se puede ver que la mayor parte de la luz está en el disco central. El ángulo subtendido por este disco, conocido como el disco Airy, es

$${\ displaystyle \ alpha \ approx {\ frac {1.22 \ lambda} {W}}}

donde W es el diámetro de la abertura.

El disco Airy puede ser un parámetro importante para limitar la capacidad de un sistema de imágenes para resolver objetos cercanos.

También se le llama fraunhofer single slit ecperiment.

Difracción por una abertura con un perfil gaussiano [ editar ]

Intensidad de una onda plana difractada a través de una abertura con un perfil gaussiano

El patrón de difracción obtenido por una apertura con un perfil gaussiano , por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisividad tiene una variación gaussiana también es una función gaussiana. La forma de la función se representa a la derecha (arriba, para una tableta), y se puede ver que, a diferencia de los patrones de difracción producidos por las aberturas rectangulares o circulares, no tiene anillos secundarios. ^[14] Esta técnica se puede utilizar en un proceso llamado apodización: la abertura está cubierta por un filtro gaussiano, que proporciona un patrón de difracción sin anillos secundarios.

El perfil de salida de un rayo láser de modo único puede tener un perfil de intensidad gaussiana y la ecuación de difracción se puede usar para mostrar que mantiene ese perfil por muy lejos que se propague desde la fuente. ^[15]

Difracción por una doble rendija [ editar ]

Flecos de doble rendija con iluminación de luz de sodio.

En el experimento de doble rendija , las dos rendijas están iluminadas por un solo haz de luz. Si el ancho de las rendijas es lo suficientemente pequeño (menor que la longitud de onda de la luz), las rendijas difractan la luz en ondas cilíndricas. Estos dos frentes de onda cilíndricos están superpuestos, y la amplitud, y por lo tanto la intensidad, en cualquier punto de los frentes de onda combinados depende tanto de la magnitud como de la fase de los dos frentes de onda. ^[16] Estas franjas son a menudo conocidas como franjas de Young .

El espaciado angular de las franjas está dado por

$${\ displaystyle \ theta _ {\ text {f}} = \ lambda / d.}

El espaciado de las franjas a una distancia z de las ranuras viene dado por ^[17]

$${\ displaystyle w _ {\ text {f}} = z \ theta _ {f} = z \ lambda / d,}

donde d es la separación de las rendijas.

Las franjas en la imagen se obtuvieron utilizando la luz amarilla de una luz de sodio (longitud de onda = 589 nm), con rendijas separadas por 0.25 mm, y se proyectaron directamente sobre el plano de imagen de una cámara digital.

Las franjas de interferencia de doble rendija pueden observarse cortando dos rendijas en un pedazo de tarjeta, iluminándolas con un puntero láser y observando la luz difractada a una distancia de 1 m. Si la separación de la hendidura es de 0,5 mm y la longitud de onda del láser es de 600 nm, entonces la separación de las franjas vistas a una distancia de 1 m sería de 1,2 mm.

Explicación semicuantitativa de flecos de doble rendija [ editar ]

Geometría para flecos de campo lejano.

La diferencia en la fase entre las dos ondas está determinada por la diferencia en la distancia recorrida por las dos ondas.

Si la distancia de visualización es grande en comparación con la separación de las rendijas (el campo lejano ), la diferencia de fase se puede encontrar utilizando la geometría que se muestra en la figura. La diferencia de trayectoria entre dos ondas que viajan en un ángulo θ viene dada por

$${\ displaystyle d \ sin \ theta \ approx d \ theta.}

Cuando las dos ondas están en fase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a un número integral de longitudes de onda, la amplitud sumada y, por lo tanto, la intensidad sumada es máxima, y ​​cuando están en antifase, es decir, la diferencia de trayectoria es igual a la mitad una longitud de onda, una y media longitudes de onda, etc., luego las dos ondas se cancelan, y la intensidad sumada es cero. Este efecto se conoce como interferencia .

Los máximos de franja de interferencia ocurren en ángulos

$${\ displaystyle d \ theta _ {n} = n \ lambda, \ quad n = 0,1,2, \ ldots,}

donde λ es la longitud de onda de la luz. El espaciado angular de las franjas está dado por

$${\ displaystyle \ theta _ {\ text {f}} \ approx \ lambda / d.}

Cuando la distancia entre las rendijas y el plano de visión es z , el espaciado de las franjas es igual a z θ y es el mismo que el de arriba:

$${\ displaystyle w = z \ lambda / d.}

Difracción por una rejilla [ editar ]

Difracción de un rayo láser por una rejilla.

Una rejilla se define en Born y Wolf como "cualquier arreglo que impone en una onda incidente una variación periódica de amplitud o fase, o ambas".

Una rejilla cuyos elementos están separados por S difracta un normalmente rayo de luz incidente en un conjunto de vigas, en ángulos θ _n dada por: ^[18]

$${\ displaystyle ~ \ sin \ theta _ {n} = n \ lambda / S, n = 0, \ pm 1, \ pm 2 ......}

Esto se conoce como la ecuación de la rejilla . Cuanto más fino sea el espaciado de la rejilla, mayor será la separación angular de los haces difractados.

Si la luz es incidente en un ángulo θ ₀ , la ecuación de la red es:

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {n} = {\ frac {n \ lambda} {S}} + \ sin \ theta _ {0}, n = 0, \ pm 1, \ pm 2 ....}

La estructura detallada del patrón de repetición determina la forma de los haces difractados individuales, así como su intensidad relativa, mientras que el espaciado de la rejilla siempre determina los ángulos de los haces difractados.

La imagen de la derecha muestra un rayo láser difractado por una rejilla en n = 0, y ± 1 haces. Los ángulos de los haces de primer orden son aproximadamente 20 °; Si asumimos que la longitud de onda del rayo láser es de 600 nm, podemos inferir que el espaciado de la rejilla es de aproximadamente 1.8 μm.

Explicación semi-cuantitativa [ editar ]

Una rejilla simple consiste en una serie de rendijas en una pantalla. Si la luz que se desplaza en un ángulo θ desde cada rendija tiene una diferencia de trayectoria de una longitud de onda con respecto a la rendija adyacente, todas estas ondas se sumarán, de modo que se obtenga la intensidad máxima de la luz difractada cuando:

$${\ displaystyle W \ sin \ theta = n \ lambda, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, .....}

Esta es la misma relación que se da arriba.