PROYECCIONES DE MAPAS

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Proyección sinusoidal del mundo.

La proyección sinusoidal con la indicatriz de deformación de Tissot.

Jean Cossin, Carte cosmographique ou Universelle description du monde, Dieppe, 1570

La proyección sinusoidal es una proyección pseudocilíndrica de mapa de áreas iguales , a veces llamada la proyección de áreas iguales de Sanson-Flamsteed o Mercator . Jean Cossin de Dieppe fue uno de los primeros cartógrafos en utilizar el sinusoidal, apareciendo en un mapa mundial de 1570. ^[1] La proyección se define por:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) \ cos \ varphi \\ y & = \ varphi \, \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle \ varphi}es la latitud, λ es la longitud y λ ₀ es el meridiano central. ^[2]

La escala es constante a lo largo del meridiano central y la escala de este a oeste es constante en todo el mapa. Por lo tanto, la longitud de cada paralelo en el mapa es proporcional al coseno de la latitud, como lo es en el globo. Esto convierte los meridianos delimitadores de la izquierda y la derecha del mapa en la mitad de una onda sinusoidal, cada uno reflejando el otro. Cada meridiano es la mitad de una onda sinusoidal con solo la amplitud diferente, dando a la proyección su nombre. Cada uno se muestra en el mapa como más largo que el meridiano central, mientras que en el mundo todos tienen la misma longitud.

La distancia real entre dos puntos en un meridiano se puede medir en el mapa como la distancia vertical entre los paralelos que intersecan el meridiano en esos puntos. Sin distorsión a lo largo del meridiano central y el ecuador , las distancias a lo largo de esas líneas son correctas, al igual que los ángulos de intersección de otras líneas con esas dos líneas. La distorsión es más baja en toda la región del mapa cerca de esas líneas.

Una proyección sinusoidal muestra los tamaños relativos con precisión, pero distorsiona las formas y direcciones. La distorsión se puede reducir "interrumpiendo" el mapa.

Proyecciones similares que envuelven las partes este y oeste de la proyección sinusoidal alrededor del polo norte son las proyecciones de Werner y la intermedia de Bonne y Bottomley .

La rejilla sinusoidal integerizada MODLAND, basada en la proyección sinusoidal, es una rejilla geodésicadesarrollada por el equipo científico del espectrorradiómetro de imágenes de resolución moderada ( MODIS ) de la NASA .

La proyección Mercator del espacio oblicuo es una proyección cartográfica .

Proyección de Mercator espacio-oblicua.

Historia [ editar ]

La proyección Mercator del espacio oblicuo (SOM) fue desarrollada por John P. Snyder , Alden Partridge Colvocoresses y John L. Junkins en 1976. Snyder tenía interés en los mapas, desde su infancia y asistía regularmente a conferencias de cartografía durante las vacaciones. Cuando el Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS) necesitó desarrollar un sistema para reducir la distorsión causada cuando las imágenes satelitales de la máquina elipsoidalLa Tierra se imprimió en una página plana, pidieron ayuda en una de esas conferencias. Snyder trabajó en el problema armado con su calculadora de bolsillo recién comprada y diseñó las fórmulas matemáticas necesarias para resolver el problema. Los envió al USGS sin cargo, comenzando una nueva carrera en el USGS. Sus fórmulas se utilizaron para producir mapas a partir de imágenes Landsat 4lanzadas en el verano de 1978.

Descripción de la proyección [ editar ]

La proyección Mercator del espacio oblicuo proporciona un mapeo conformal continuo de la franja detectada por un satélite. La escala es verdadera a lo largo de la trayectoria terrestre , variando 0.01 por ciento dentro del rango de detección normal del satélite. La conformidad es correcta dentro de unas pocas partes por millón para el rango de detección. La distorsión es esencialmente constante a lo largo de líneas de distancia constante paralela a la pista de tierra. SOM es la única proyección presentada que tiene en cuenta la rotación de la Tierra.

Ecuaciones [ editar ]

Las ecuaciones de avance para la proyección de Mercator del espacio oblicuo para la esfera son las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{R}}&=\int _{0}^{\lambda '}{\frac {H-S^{2}}{\sqrt {1+S^{2}}}}d\lambda '-{\frac {S}{\sqrt {1+S^{2}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi '}{2}}\right)\\{\frac {y}{R}}&=\left(H+1\right)\int _{0}^{\lambda '}{\frac {S}{\sqrt {1+S^{2}}}}d\lambda '+{\frac {1}{\sqrt {1+S^{2}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi '}{2}}\right)\\S&={\tfrac {P_{2}}{P_{1}}}\sin i\cos \lambda '\\H&=1-{\tfrac {P_{2}}{P_{1}}}\cos i\\\tan \lambda '&=\cos i\tan \lambda _{t}+{\frac {\sin i\tan \varphi }{\cos \lambda _{t}}}\\\sin \varphi '&=\cos i\sin \varphi -\sin i\cos \varphi \sin \lambda _{t}\\\lambda _{t}&=\lambda +{\tfrac {P_{2}}{P_{1}}}\lambda '.\\\varphi &={\text{geodetic (or geographic) latitude.}}\\\lambda &={\text{geodetic (or geographic) longitude.}}\\P_{2}&={\text{time required for revolution of satellite.}}\\P_{1}&={\text{length of Earth rotation.}}\\i&={\text{angle of inclination.}}\\R&={\text{radius of Earth.}}\\x,y&={\text{rectangular map coordinates.}}\end{aligned}}}$

Proyección estereográfica

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Ilustración 3D de una proyección estereográfica desde el polo norte hacia un plano debajo de la esfera

Parte de una serie en
Proyección grafica
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En geometría , la proyección estereográfica es un mapeo particular ( función ) que proyecta una esfera en un plano . La proyección se define en toda la esfera, excepto en un punto: el punto de proyección. Donde se define, el mapeo es suave y biyectivo . Es conforme , lo que significa que conserva los ángulos a los que se unen las curvas. No es ni isométrico ni conserva áreas: es decir, no conserva las distancias ni las áreas de las figuras.

Intuitivamente, entonces, la proyección estereográfica es una forma de visualizar la esfera como el plano, con algunos compromisos inevitables. Debido a que la esfera y el plano aparecen en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, también lo hace la proyección estereográfica; encuentra uso en diversos campos que incluyen análisis complejos , cartografía , geología y fotografía . En la práctica, la proyección se lleva a cabo por computadora o a mano utilizando un tipo especial de papel gráfico llamado red estereográfica , reducido a stereonet o red Wulff .

Historia [ editar ]

Ilustración de Rubens para "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", de François d'Aguilon . Demuestra el principio de una proyección de perspectiva general, de la cual la proyección estereográfica es un caso especial.

La proyección estereográfica era conocida por Hiparco , Ptolomeo y probablemente antes por los egipcios . Originalmente fue conocido como la proyección planisferio. ^[1] Planisphaerium by Ptolemy es el documento más antiguo que lo describe. Uno de sus usos más importantes fue la representación de las cartas celestes . ^[1] El término planisferio todavía se usa para referirse a dichos gráficos.

En los siglos XVI y XVII, el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica se utilizó comúnmente para los mapas de los hemisferios oriental y occidental . Se cree que el mapa creado en 1507 por Gualterius Lud ^[2] estaba en proyección estereográfica, como lo fueron más adelante los mapas de Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595) y muchos otros. ^[3] En las cartas estelares, incluso este aspecto ecuatorial ya había sido utilizado por los antiguos astrónomos como Ptolomeo . ^[4]

François d'Aguilon le dio a la proyección estereográfica su nombre actual en su obra de 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Seis libros de óptica, útil para filósofos y matemáticos por igual). ^[5]

En 1695, Edmond Halley , motivado por su interés en las cartas estelares , publicó la primera prueba matemática de que este mapa es conforme . ^[6] Usó las herramientas de cálculo recientemente establecidas , inventadas por su amigo Isaac Newton .

Definición [ editar ]

Primera formulación [ editar ]

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte al plano z = 0 , que se muestra aquí en sección transversal

La esfera unitaria en el espacio tridimensional R ³ es el conjunto de puntos ( x , y , z ) de manera que x ² + y ² + z ² = 1 . Sea N = (0, 0, 1)el "polo norte", y sea M el resto de la esfera. El plano z = 0 pasa por el centro de la esfera; el "ecuador" es la intersección de la esfera con este plano.

Para cualquier punto P en M , hay una línea única a través de N y P , y esta línea cruza el plano z = 0 en exactamente un punto P ′ . Defina que la proyección estereográfica de P sea ​​este punto P ′ en el plano.

En las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) en la esfera y ( X , Y ) en el plano, la proyección y su inverso están dados por las fórmulas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (X, Y) & = \ left ({\ frac {x} {1-z}}, {\ frac {y} {1-z}} \ right), \\ (x, y, z) & = \ left ({\ frac {2X} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {2Y} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}}, {\ frac {-1 + X ^ {2} + Y ^ {2}} {1 + X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ derecha). \ End { alineado}}}

En coordenadas esféricas ( φ , θ ) de la esfera (con φ el ángulo cenital , 0 ≤ φ ≤ pi , y θ el acimut , 0 ≤ theta ≤ 2π ) y polares coordenadas ( R , Θ ) en el avión, la proyección y su inverso son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (R, \ Theta) & = \ left ({\ frac {\ sin \ varphi} {1- \ cos \ varphi}}, \ theta \ right) = \ left (\ cot {\ frac {\ varphi} {2}}, \ theta \ right), \\ (\ varphi, \ theta) & = \ left (2 \ arctan {\ frac {1} {R}}, \ Theta \ right ). \ end {alineado}}}

Aquí, se entiende que φ tiene un valor π cuando R = 0. Además, hay muchas maneras de volver a escribir estas fórmulas utilizando identidades trigonométricas . En coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) sobre la esfera y polares coordenadas ( R , Θ ) en el avión, la proyección y su inversa son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (R, \ Theta) & = \ left ({\ frac {r} {1-z}}, \ theta \ right), \\ (r, \ theta, z) & = \ left ({\ frac {2R} {1 + R ^ {2}}}, \ Theta, {\ frac {R ^ {2} -1} {R ^ {2} +1}} \ right). \ end {alineado}}}

Otras convenciones [ editar ]

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte al plano z = −1 , que se muestra aquí en la sección transversal

Algunos autores ^[7] definen la proyección estereográfica desde el polo norte (0, 0, 1) al plano z = −1 , que es tangente a la esfera unitaria en el polo sur (0, 0, −1). Los valores X e Y producidos por esta proyección son exactamente el doble de los producidos por la proyección ecuatorial descrita en la sección anterior. Por ejemplo, esta proyección envía el ecuador al círculo de radio 2 centrado en el origen. Si bien la proyección ecuatorial no produce una distorsión del área infinitesimal a lo largo del ecuador, esta proyección tangente polar no produce una distorsión del área infinitesimal en el polo sur.

Otros autores ^[8] utilizan una esfera de radio 1/2 y el plano z = - 1/2 . En este caso las fórmulas se convierten

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (x, y, z) \ rightarrow (\ xi, \ eta) & = \ left ({\ frac {x} {{\ frac {1} {2}} - z} }, {\ frac {y} {{\ frac {1} {2}} - z}} \ right), \\ (\ xi, \ eta) \ rightarrow (x, y, z) & = \ left ( {\ frac {\ xi} {1+ \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2}}}, {\ frac {\ eta} {1+ \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2}} }, {\ frac {-1+ \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2}} {2 + 2 \ xi ^ {2} +2 \ eta ^ {2}}} \ right). \ end { alineado}}}

Proyección estereográfica de una esfera desde un punto Q sobre el plano E , que se muestra aquí en sección transversal

En general, se puede definir una proyección estereográfica desde cualquier punto Q en la esfera sobre cualquier plano E de tal manera que

• E es perpendicular al diámetro a través de Q , y
• E no contiene Q .

Mientras E cumple estas condiciones, entonces para cualquier punto Pdistinto de Q de la línea a través de P y Q se reúne E en exactamente un punto P ' , que se define como la proyección estereográfica de P en E. ^[9]

Generalizaciones [ editar ]

Más generalmente, la proyección estereográfica se puede aplicar a la n-esfera S ⁿ en el espacio euclidiano  tridimensional ( n + 1) E ^n +1 . Si Qes un punto de S ⁿ y E un hiperplano en E ^n 1 , a continuación, la proyección estereográfica de un punto P ∈ S ⁿ - { Q } es el punto P ' de intersección de la línea QP con E . En coordenadas cartesianas ( x _i , i de 0 an ) en la esfera y ( X _i , i de 1 a n ) en el plano, la proyección de Q = (1, 0, 0, ..., 0) viene dada por

$${\ displaystyle X_ {i} = {\ frac {x_ {i}} {1-x_ {0}}} \ quad (i {\ mbox {from}} 1 {\ mbox {to}} n)}

Definiendo

$${\ displaystyle S ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {2}}

lo inverso viene dado por

$${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {S ^ {2} -1} {S ^ {2} +1}} \ quad {\ mbox {y}} \ quad x_ {i} = {\ frac { 2X_ {i}} {S ^ {2} +1}} \ quad (i {\ mbox {from}} 1 {\ mbox {to}} n)}

Aún más generalmente, supongamos que S es una hipersuperficie cuadrática (no singular) en el espacio proyectivo P ^n +1 . En otras palabras, S es el lugar de los ceros de una forma cuadrática no singular f ( x ₀ , ..., x _n +1 ) en las coordenadas homogéneas x _i . Fijar cualquier punto Q en S y un hiperplano E en P ^n 1no contiene Q . Luego la proyección estereográfica de un punto Pen S - { Q } es el único punto de intersección de QP con E . Como antes, la proyección estereográfica es conforme e invertible fuera de un conjunto "pequeño". La proyección estereográfica presenta la hipersuperficie cuadrática como una hipersuperficie racional. ^[10] Esta construcción juega un papel en la geometría algebraica y la geometría conformal .

Comparación de la proyección estereográfica y algunas proyecciones azimutales centradas en 90 ° N en la misma escala, ordenadas por la altitud de proyección en los radios terrestres. (haga clic para más detalles)

Propiedades [ editar ]

La primera proyección estereográfica definida en la sección anterior envía el "polo sur" (0, 0, −1) de la esfera unitaria a (0, 0), el ecuador al círculo unitario , el hemisferio sur a la región dentro del círculo , y el hemisferio norte a la región fuera del círculo.

La proyección no está definida en el punto de proyección N = (0, 0, 1). Los barrios pequeños de este punto se envían a subconjuntos del avión lejos de (0, 0). Cuanto más cerca está P de (0, 0, 1), más distante está su imagen de (0, 0) en el plano. Por esta razón, es común hablar de (0, 0, 1) como mapeo a "infinito" en el plano, y de la esfera como completar el plano agregando un punto en el infinito . Esta noción encuentra utilidad en la geometría proyectiva y el análisis complejo. En un nivel meramente topológico , ilustra cómo la esfera es homeomórfica a la compactificación de un punto del plano.

En las coordenadas cartesianas, un punto P ( x , y , z ) en la esfera y su imagen P ′ ( X , Y ) en el plano, ambos son puntos racionales o ninguno de ellos:

$${\ displaystyle P \ en {\ mathbb {Q}} ^ {3} \ iff P '\ en {\ mathbb {Q}} ^ {2}}

Una cuadrícula cartesiana en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las líneas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los cuadrados de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

Una cuadrícula polar en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las curvas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los sectores de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

La proyección estereográfica es conforme, lo que significa que conserva los ángulos en los que las curvas se cruzan entre sí (ver figuras). Por otro lado, la proyección estereográfica no conserva área; en general, el área de una región de la esfera no es igual al área de su proyección sobre el plano. El elemento de área se da en ( X , Y ) coordenadas por

$${\ displaystyle dA = {\ frac {4} {(1 + X ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {2}}} \; dX \; dY.}

A lo largo del círculo unitario, donde X ² + Y ² = 1 , no hay inflación de área en el límite, lo que da un factor de escala de 1. Las áreas cercanas (0, 0) están infladas por un factor de 4 y las áreas cercanas al infinito Están inflados por factores arbitrariamente pequeños.

La métrica se da en ( X , Y ) coordenadas por

$${\ displaystyle {\ frac {4} {(1 + X ^ {2} + Y ^ {2}) ^ {2}}} \; (dX ^ {2} + dY ^ {2}),}

y es la fórmula único encontrado en Bernhard Riemann 's Habilitationsschrift sobre los fundamentos de la geometría, entregados en Göttingen en 1854, y titulada Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen .

Ningún mapa de la esfera al plano puede ser tanto conformal como de preservación de área. Si lo fuera, entonces sería una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana . La esfera y el plano tienen diferentes curvaturas gaussianas, por lo que esto es imposible.

Los círculos en la esfera que no pasan a través del punto de proyección se proyectan a círculos en el plano. Círculos en la esfera que no pase a través del punto de proyección se proyecta que líneas rectas en el plano. Estas líneas a veces se consideran círculos a través del punto en el infinito, o círculos de radio infinito.

Todas las líneas en el plano, cuando se transforman en círculos en la esfera por la inversa de la proyección estereográfica, se encuentran en el punto de proyección. Las líneas paralelas, que no se intersecan en el plano, se transforman en círculos tangentes en el punto de proyección. Las líneas de intersección se transforman en círculos que se intersectan transversalmente en dos puntos de la esfera, uno de los cuales es el punto de proyección. (Se mantienen comentarios similares sobre el plano proyectivo real , pero las relaciones de intersección son diferentes allí).

La esfera, con varios loxodromes mostrados en distintos colores.

Los loxódromos de la esfera se corresponden con curvas en el plano de la forma

$${\ displaystyle R = e ^ {\ frac {\ Theta} {a}}, \,}

donde el parámetro a mide la "estanqueidad" del loxódromo. Así, los loxodromes corresponden a espirales logarítmicas . Estas espirales intersectan líneas radiales en el plano en ángulos iguales, al igual que los loxódromos intersecan los meridianos en la esfera en ángulos iguales.

La proyección estereográfica se relaciona con la inversión plana de una manera simple. Sean P y Q dos puntos en la esfera con proyecciones P ′ y Q ′ en el plano. Entonces P ′ y Q ′ son imágenes inversas entre sí en la imagen del círculo ecuatorial si y solo si P y Q son reflejos entre sí en el plano ecuatorial.

En otras palabras, si:

• P es un punto en la esfera, pero no es un 'polo norte' N y no suantípoda , el 'polo sur' S ,
• P ′ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección N y
• P ″ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección S ,

entonces P ′ y P ″ son imágenes inversas entre sí en el círculo unitario.

$${\ displaystyle \ triangle NOP ^ {\ prime} \ sim \ triangle P ^ {\ prime \ prime} OS \ implica OP ^ {\ prime}: ON = OS: OP ^ {\ prime \ prime} \ implica OP ^ { \ prime} \ cdot OP ^ {\ prime \ prime} = r ^ {2}}

Red Wulff [ editar ]

Wulff net o stereonet, utilizado para hacer diagramas de la proyección estereográfica a mano

La generación de una red Wulff (red circular dentro del círculo rojo) mediante una proyección estereográfica con centro C y plano de proyección.$${\ displaystyle \ pi}

Las gráficas de proyección estereográfica pueden ser realizadas por una computadora usando las fórmulas explícitas dadas anteriormente. Sin embargo, para graficar a mano estas fórmulas son difíciles de manejar. En su lugar, es común usar papel cuadriculado diseñado específicamente para la tarea. Este papel gráfico especial se llama stereoneto red Wulff , después del mineralogista ruso George (Yuri Viktorovich) Wulff . ^[11]

La red de Wulff que se muestra aquí es la proyección estereográfica de la cuadrícula de paralelos y meridianos de un hemisferio centrado en un punto en el ecuador (como el hemisferio oriental o occidental de un planeta).

En la figura, la propiedad de distorsión de área de la proyección estereográfica se puede ver comparando un sector de cuadrícula cerca del centro de la red con uno en el extremo derecho o izquierdo. Los dos sectores tienen áreas iguales en la esfera. En el disco, el último tiene casi cuatro veces el área del anterior. Si la cuadrícula se hace más fina, esta relación se acerca exactamente a 4.

En la red Wulff, las imágenes de los paralelos y meridianos se intersecan en ángulos rectos. Esta propiedad de ortogonalidad es una consecuencia de la propiedad de conservación del ángulo de la proyección estereoscópica. (Sin embargo, la propiedad de preservar el ángulo es más fuerte que esta propiedad. No todas las proyecciones que preservan la ortogonalidad de los paralelos y meridianos conservan el ángulo).

Ilustración de los pasos 1 a 4 para trazar un punto en una red Wulff

Para ver un ejemplo del uso de la red Wulff, imagine dos copias de la misma en un papel delgado, una encima de la otra, alineadas y pegadas en su centro mutuo. Sea P el punto en el hemisferio inferior de la unidad cuyas coordenadas esféricas son (140 °, 60 °) y cuyas coordenadas cartesianas son (0.321, 0.557, −0.766). Este punto se encuentra en una línea orientada 60 ° en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x positivo (o 30 ° en el sentido de las agujas del reloj desde el eje ypositivo ) y 50 ° por debajo del plano horizontal z = 0 . Una vez que se conocen estos ángulos, hay cuatro pasos para trazar P :

1. Utilizando las líneas de la cuadrícula, que están separadas 10 ° en las figuras aquí, marque el punto en el borde de la red que está 60 ° en sentido contrario a las agujas del reloj desde el punto (1, 0) (o 30 ° en el sentido de las agujas del reloj desde el punto (0, 1 )).
2. Gire la red superior hasta que este punto esté alineado con (1, 0) en la red inferior.
3. Usando las líneas de la cuadrícula en la red inferior, marque el punto que está 50 ° hacia el centro desde ese punto.
4. Gire la red superior en sentido opuesto a la orientación anterior, para alinearla con la red inferior. El punto marcado en el paso 3 es la proyección que queríamos.

Para trazar otros puntos, cuyos ángulos no son números redondos como 60 ° y 50 °, uno debe interpolar visualmente entre las líneas de la cuadrícula más cercanas. Es útil tener una red con un espaciado más fino que 10 °. Las separaciones de 2 ° son comunes.

Para encontrar el ángulo central entre dos puntos en la esfera en función de su gráfico estereográfico, superponga el gráfico en una red Wulff y gire el gráfico alrededor del centro hasta que los dos puntos se encuentren en o cerca de un meridiano. Luego mida el ángulo entre ellos contando las líneas de la cuadrícula a lo largo de ese meridiano.

• 

  Dos puntos P ₁ y P ₂ se dibujan en una hoja transparente clavada en el origen de una red Wulff.
 
• 

  La hoja transparente se gira y el ángulo central se lee a lo largo del meridiano común en los puntos P ₁ y P ₂ .

Aplicaciones dentro de las matemáticas [ editar ]

Análisis complejo [ editar ]

El plano complejo y la esfera de Riemann sobre él.

Aunque cualquier proyección estereográfica pierde un punto en la esfera (el punto de proyección), la esfera completa se puede mapear utilizando dos proyecciones desde distintos puntos de proyección. En otras palabras, la esfera puede cubrirse con dos parametrizaciones estereográficas (las inversas de las proyecciones) desde el plano. Las parametrizaciones se pueden elegir para inducir la misma orientación en la esfera. Juntos, describen la esfera como una superficie orientada (o una variedad bidimensional ).

Esta construcción tiene especial importancia en el análisis complejo. El punto ( X , Y ) en el plano real puede ser identificado con el número complejo ζ = X + i Y . La proyección estereográfica desde el polo norte hacia el plano ecuatorial es entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ zeta & = {\ frac {x + iy} {1-z}}, \\ (x, y, z) & = \ left ({\ frac {2 \ operatorname { Re} \ zeta} {1 + {\ bar {\ zeta}} \ zeta}}, {\ frac {2 \ operatorname {Im} \ zeta} {1 + {\ bar {\ zeta}} \ zeta}}, {\ frac {-1 + {\ bar {\ zeta}} \ zeta} {1 + {\ bar {\ zeta}} \ zeta}} \ right). \ end {alineado}}}

De manera similar, dejando que ξ = X - i Y sea ​​otra coordenada compleja, las funciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right).\end{aligned}}}$

Definir una proyección estereográfica desde el polo sur hacia el plano ecuatorial. Los mapas de transición entre las coordenadas ζ y ξ son entonces ζ = 1/ξ y ξ = 1/ζ , con ζ acercándose a 0 cuando ξ va al infinito, y viceversa . Esto facilita una elegante y útil noción de infinito para los números complejos y, de hecho, toda una teoría de funciones meromorfas que se correlacionan con la esfera de Riemann . La métrica estándar en la esfera de la unidad concuerda con la métrica de estudio de Fubini en la esfera de riemann.

Visualización de líneas y planos [ editar ]

Animación de las líneas Kikuchi de cuatro de las ocho <111> zonas en un cristal fcc. Los planos de borde (líneas con bandas) se intersecan en ángulos fijos.

El conjunto de todas las líneas a través del origen en el espacio tridimensional forma un espacio llamado plano proyectivo real . Este espacio es difícil de visualizar, porque no se puede incrustar en el espacio tridimensional.

Sin embargo, uno puede "casi" visualizarlo como un disco, de la siguiente manera. Cualquier línea a través del origen intersecta el hemisferio sur z  ≤ 0 en un punto, que luego puede proyectarse estereográficamente a un punto en un disco. Las líneas horizontales intersectan el hemisferio sur en dos puntos antípodas a lo largo del ecuador, cualquiera de los cuales puede proyectarse en el disco; se entiende que los puntos antípodas en el límite del disco representan una sola línea. (Consulte la topología del cociente ). Por lo tanto, cualquier conjunto de líneas a través del origen se puede representar, casi perfectamente, como un conjunto de puntos en un disco.

Además, cada plano que atraviesa el origen intersecta la esfera unitaria en un gran círculo, llamado rastro del plano. Este círculo se asigna a un círculo bajo proyección estereográfica. Así que la proyección nos permite visualizar los planos como arcos circulares en el disco. Antes de la disponibilidad de computadoras, las proyecciones estereográficas con grandes círculos a menudo implicaban dibujar arcos de gran radio que requerían el uso de una brújula de haz . Las computadoras ahora hacen esta tarea mucho más fácil.

Más asociada con cada plano hay una línea única, llamada polo del plano , que pasa a través del origen y es perpendicular al plano. Esta línea se puede trazar como un punto en el disco al igual que cualquier línea a través del origen. Así que la proyección estereográfica también nos permite visualizar los planos como puntos en el disco. Para parcelas que involucran muchos planos, trazar sus polos produce una imagen menos desordenada que trazar sus trazas.

Esta construcción se utiliza para visualizar datos direccionales en cristalografía y geología, como se describe a continuación.