La proyección Miller cilíndrica es una modificado proyección de Mercator , propuesto por Osborn Maitland Miller en 1942. La latitud es escalado por un factor de 4 / 5 , proyectada según Mercator, y luego el resultado se multiplica por 5 / 4 para retener escala a lo largo del ecuador. [1] Por lo tanto:
![{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ lambda \\ y & = {\ frac {5} {4}} \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + { \ frac {2 \ varphi} {5}} \ right) \ right] = {\ frac {5} {4}} \ sinh ^ {- 1} \ left (\ tan {\ frac {4 \ varphi} {5 }} \ derecha) \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448dd8b80e38c444b174e3399065fc9f9d7ebe3e)
o inversamente,
donde λ es la longitud del meridiano central de la proyección, y φ es la latitud. [2] Los meridianos son, por lo tanto, aproximadamente 0.733 de la longitud del ecuador.
La proyección compacta de Miller es similar a la de Miller, pero el espacio entre los paralelos deja de crecer después de 55 grados.
La proyección de Mollweide es un área igual , pseudocilíndrica proyección cartográfica utilizada generalmente para mapas globales del mundo cielo o de la noche. También se conoce como proyección de Babinet , proyección homalográfica , proyección homolográfica y proyección elíptica . La proyección cambia la precisión del ángulo y la forma para la precisión de las proporciones en el área, y como tal se usa donde se necesita esa propiedad, como los mapas que representan distribuciones globales.
La proyección fue publicada por primera vez por el matemático y astrónomo Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774–1825) de Leipzigen 1805. Fue reinventado y popularizado en 1857 por Jacques Babinet , quien le dio el nombre de proyección homalográfica . La variación homolográfica surgió del uso frecuente del siglo XIX en atlas estelares.
Propiedades [ editar ]
El Mollweide es una proyección pseudocilíndrica en la que el ecuador se representa como una línea recta horizontal perpendicular a un meridianocentral de la mitad de su longitud. Los otros paralelos se comprimen cerca de los polos, mientras que los otros meridianos están igualmente espaciados en el ecuador. Los meridianos a 90 grados este y oeste forman un círculo perfecto, y toda la tierra se representa en una elipse proporcional 2: 1. La proporción del área de la elipse entre cualquier paralelo dado y el ecuador es la misma que la proporción del área en el globo terráqueo entre ese paralelo y el ecuador, pero a expensas de la distorsión de la forma, que es significativa en el perímetro del elipse, aunque no tan severa como en laProyección sinusoidal .
La distorsión de la forma se puede disminuir usando una versión interrumpida . Una proyección de Mollweide sinusoidal interrumpidadescarta el meridiano central en favor de la mitad de los meridianos alternos que terminan en ángulos rectos con el ecuador. Esto tiene el efecto de dividir el globo en lóbulos. En contraste, una proyección paralela de Mollweide interrumpida utiliza múltiples meridianos centrales disjuntos, lo que da el efecto de múltiples elipses unidas en el ecuador. Más raramente, la proyección se puede dibujar de forma oblicua para desplazar las áreas de distorsión a los océanos, permitiendo que los continentes se mantengan más formados.
El Mollweide, o sus propiedades, ha inspirado la creación de varias otras proyecciones, entre ellas el homolosine de Goode , van der Grinten y el eumorphic de Boggs . [4]
Formulación matemática [ editar ]
La proyección se transforma de latitud y longitud a las coordenadas del mapa x e y mediante las siguientes ecuaciones: [5]
![{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = R {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) \ cos \ theta, \\ [5px] y & = R {\ sqrt {2}} \ sin \ theta, \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d102dfe56f0528f69f7465783a19bd26243213)
donde θ es un ángulo auxiliar definido por
y λ es la longitud, λ 0 es el meridiano central, φ es la latitud y R es el radio del globo a proyectar. El mapa tiene un área 4 π R 2 , conforme al área de superficie del globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], y la coordenada y tiene un rango de [- R √ 2 , R √ 2 ].
La ecuación (1) se puede resolver con una rápida convergencia (pero lenta cerca de los polos) usando la iteración de Newton-Raphson : [5]
Si φ = ± π2 , entonces también θ = ± π2 . En ese caso, la iteración debe ser anulada; de lo contrario, puede resultar una división por cero .
![{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ varphi & = \ arcsin {\ frac {2 \ theta + \ sin 2 \ theta} {\ pi}}, \\ [5px] \ lambda & = \ lambda _ {0} + {\ frac {\ pi x} {2R {\ sqrt {2}} \ cos \ theta}}, \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486692ca2140e06ab80675638f1aeee7482b4078)
donde θ se puede encontrar por la relación
Las transformaciones inversas permiten encontrar la latitud y longitud correspondientes a las coordenadas del mapa x e y .
La proyección natural de la Tierra es una proyección de mapa pseudocilíndricadiseñada por Tom Patterson e introducida en 2012. No es ni conformal ni de igual área.
Definición [ editar ]
La tierra natural se define por las siguientes fórmulas:
- ,
dónde
- x , y son las coordenadas cartesianas;
- λ es la longitud del meridiano central;
- φ es la latitud;
- l ( φ ) es la longitud del paralelo en la latitud φ ;
- d ( φ ) es la distancia de la paralela desde el ecuador en la latitud φ .
l ( φ ) yd ( φ ) se dan como polinomios, inicialmente a partir de la interpolación de los siguientes valores en el Proyector Flex [1] :
| φ (grados) | l ( φ ) | d ( φ ) |
|---|---|---|
| 0 | 1.0000 | 0.0000 |
| 5 | 0.9988 | 0.0620 |
| 10 | 0.9953 | 0.1240 |
| 15 | 0.9894 | 0.1860 |
| 20 | 0.9811 | 0.2480 |
| 25 | 0.9703 | 0.3100 |
| 30 | 0.9570 | 0.3720 |
| 35 | 0.9409 | 0.4340 |
| 40 | 0.9222 | 0.4958 |
| 45 | 0.9006 | 0.5571 |
| 50 | 0.8763 | 0.6176 |
| 55 | 0.8492 | 0.6769 |
| 60 | 0.8196 | 0.7346 |
| sesenta y cinco | 0.7874 | 0.7903 |
| 70 | 0.7525 | 0.8435 |
| 75 | 0.7160 | 0.8936 |
| 80 | 0.6754 | 0.9394 |
| 85 | 0.6270 | 0.9761 |
| 90 | 0.5630 | 1.0000 |
Los valores para el hemisferio sur se calculan cambiando el signo de los valores correspondientes para el hemisferio norte.
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