PROYECCIONES DE MAPAS

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Proyección de Collignon del mundo.

La proyección de Collignon es una proyección de mapa pseudocilíndrico de área equitativa que se publicó por primera vez por Édouard Collignon en 1865 y luego fue citada por A. Tissot en 1881.

Para las elecciones más pequeñas de los parámetros elegidos para esta proyección, la esfera puede asignarse a un solo diamante, un par de cuadrados o un triángulo. La proyección se usa en las áreas polares como parte de la proyección esférica HEALPix , que se usa ampliamente en cosmología física para hacer mapas del fondo cósmico de microondas , en particular por las misiones espaciales WMAP y Planck .

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Para otras aplicaciones, vea Conformal (desambiguación) .

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen bajo un mapa conforme $${\ displaystyle f}(fondo). Se ve que$${\ displaystyle f} asigna pares de líneas que se intersecan a 90 ° a pares de curvas que aún se intersecan a 90 °.

En matemáticas , un mapa conforme es una función que preserva la orientación y los ángulos localmente. En el caso más común, la función tiene un dominio y una imagen en el plano complejo .

Más formalmente, vamos $${\ displaystyle U} y $${\ displaystyle V} ser subconjuntos abiertos de $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}. Una función$${\ displaystyle f: U \ to V}se llama conformal (o ángulo de conservación ) en un punto$${\ displaystyle u_ {0} \ en U}Si conserva los ángulos entre las curvas dirigidas a través.$${\ displaystyle u_ {0}}, así como preservar la orientación (es decir, mapear una base tangente a una base de la misma orientación). Los mapas conformes conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .

La propiedad conforme se puede describir en términos de la matriz derivativa jacobiana de una transformación de coordenadas . Si la matriz jacobiana de la transformación es en todas partes un escalar multiplicado por una matriz de rotación que preserva la orientación , entonces la transformación es conforme.

La noción de conformidad generaliza de manera natural los mapas entre variedades riemannianas o semi-riemannianas .

Análisis complejo [ editar ]

Una familia importante de ejemplos de mapas conformes proviene de un análisis complejo . Si$${\ displaystyle U}Es un subconjunto abierto del plano complejo.$${\ displaystyle \ mathbb {C}}, entonces una función $${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}es conforme si y solo si es holomórfico y su derivado es en todas partes distinto de cero en$${\ displaystyle U}. Si$${\ displaystyle f}Es antiholomórfico (es decir, el conjugadocon una función holomórfica), aún conserva los ángulos, pero invierte su orientación.

En la literatura, hay otra definición de mapas conformes; un mapa$${\ displaystyle f}definido en un conjunto abierto se dice que es conforme si es uno-a-uno y holomórfico. Dado que un mapa uno a uno definido en un conjunto abierto no vacío no puede ser constante, el teorema de mapeo abierto fuerza la función inversa (definida en la imagen de$${\ displaystyle f}) ser holomorfo. Por lo tanto, según esta definición, un mapa es conforme si y solo si es biholomórfico. Las dos definiciones para mapas conformes no son equivalentes. Ser uno-a-uno y holomórfico implica tener un derivado distinto de cero. Sin embargo, la función exponencial es una función holomórfica con una derivada distinta de cero, pero no es una a una, ya que es periódica. ^[1]

El teorema de mapeo de Riemann , uno de los profundos resultados del análisis complejo, establece que cualquier apertura no vacía simplemente conectó el subconjunto apropiado de$${\ displaystyle \ mathbb {C}}Admite un mapa conforme biyectivo al disco de unidad abierta en$${\ displaystyle \ mathbb {C}}.

Un mapa del plano complejo extendido (que es conformemente equivalente a una esfera) sobre sí mismo es conforme si y solo si es una transformación de Möbius . De nuevo, para el conjugado , los ángulos se conservan, pero la orientación se invierte.

Un ejemplo de esto último es tomar el recíproco del conjugado, que corresponde a la inversión del círculo con respecto al círculo unitario. Esto también se puede expresar tomando el recíproco de la coordenada radial en coordenadas circulares , manteniendo el ángulo igual. Ver también geometría inversa .

La geometría de Riemann [ editar ]

Ver también: geometría conformal.

En la geometría riemanniana , dos métricas riemannianas. $${\ displaystyle g} y $${\ displaystyle h} en un colector liso $${\ displaystyle M}se llaman conformalmente equivalentes si$${\ displaystyle g = uh} para alguna función positiva $${\ displaystyle u} en $${\ displaystyle M}. La función$${\ displaystyle u}Se llama el factor conformal .

Un difeomorfismo entre dos variedades riemannianas se denomina mapa conforme si la métrica retirada es equivalente equivalente a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera sobre el planoaumentado con un punto en el infinito es un mapa conforme.

También se puede definir una estructura conforme en una variedad uniforme, como una clase de métricas Riemannian conformemente equivalentes .

Espacio euclidiano de dimensión superior [ editar ]

Un teorema clásico de Joseph Liouville llamado teorema de Liouville muestra que las dimensiones más altas tienen mapas conformes menos variados:

Cualquier mapa conforme en una porción del espacio euclidiano de dimensión mayor que 2 puede estar compuesto por tres tipos de transformación: una transformación homotética , una isometría y una transformación conformal especial. (Una transformación conformal especial es la composición de una reflexión y una inversión en una esfera ). Por lo tanto, el conjunto de transformaciones conformes en espacios de dimensión mayor que 2 es mucho más restringido que en el caso plano, donde el teorema de mapeo de Riemann proporciona una Gran conjunto de transformaciones conformales.

Usos [ editar ]

En cartografía , varias proyecciones de mapas con nombre , incluyendo la proyección de Mercator y la proyección estereográfica son conformes. Estos disfrutan de la propiedad de que la distorsión de las formas se puede hacer tan pequeña como se desee haciendo que el diámetro de la región mapeada sea lo suficientemente pequeño. Ver proyección de mapas conformes .

Los mapeos conformes son invaluables para resolver problemas en ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero que presentan geometrías inconvenientes. Al elegir un mapeo apropiado, el analista puede transformar la geometría inconveniente en una mucho más conveniente. Por ejemplo, uno puede desear calcular el campo eléctrico,$${\ displaystyle E (z)}, derivado de una carga puntual ubicada cerca de la esquina de dos planos conductores separados por un cierto ángulo (donde $${\ displaystyle z}es la coordenada compleja de un punto en 2 espacios). Este problema en sí es bastante torpe de resolver en forma cerrada. Sin embargo, al emplear un mapeo conforme muy simple, el ángulo inconveniente se mapea a uno de los radianes pi exactamente, lo que significa que la esquina de dos planos se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico impresionado por una carga puntual ubicada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio,$${\ displaystyle E (w)}, y luego se mapea de nuevo al dominio original al notar que $${\ displaystyle w}se obtuvo como una función ( es decir , la composición de$${\ displaystyle E} y $${\ displaystyle w}) de $${\ displaystyle z}de donde $${\ displaystyle E (w)} se puede ver como $${\ displaystyle E (w (z))}, que es una función de $${\ displaystyle z}, la base de coordenadas original. Tenga en cuenta que esta aplicación no contradice el hecho de que las asignaciones conformes conservan los ángulos, solo lo hacen para los puntos en el interior de su dominio, y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de una técnica de mapeo conforme para resolver el problema del valor límite del derrame de líquidos en tanques. ^[2]

Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace) $${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}) sobre un dominio plano (que es bidimensional), y se transforma a través de un mapa conforme a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función que esté definida por un potencial puede ser transformada por un mapa conforme y seguir gobernada por un potencial. Los ejemplos en la física de las ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético , el campo gravitatorio y, en dinámica de fluidos , el flujo potencial , que es una aproximación al flujo del fluido asumiendo densidad constante , viscosidad cero y flujo irrotacional. Un ejemplo de una aplicación dinámica fluida de un mapa conforme es la transformada de Joukowsky .

Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910) identificaron un gran grupo de mapas conformes para relacionar soluciones de las ecuaciones de Maxwell (ver Transformación de ondas esféricas ). Su entrenamiento en la Universidad de Cambridge les había dado facilidad con el método de carga de imagen y los métodos asociados de imagen para esferas e inversión. Según lo relatado por Andrew Warwick (2003) Masters of Theory :^[3]

Cada solución de cuatro dimensiones podría invertirse en una hiper-esfera de cuatro dimensiones de pseudo-radio $${\ displaystyle K} con el fin de producir una nueva solución.

Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y se basa en ejercicios que utilizan el método de inversión, como el que se encuentra en el libro de texto de James Hopwood Jeans Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo .

En la relatividad general , los mapas conformales son el tipo más simple y, por lo tanto, el más común de transformaciones causales. Físicamente, estos describen diferentes universos en los que todos los mismos eventos e interacciones son todavía posibles (causalmente), pero se necesita una nueva fuerza adicional para realizar esto (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque la métrica tensor es diferente). A menudo se usa para tratar de hacer modelos susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura , por ejemplo, para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang .

Geometría pseudo-riemanniana [ editar ]

En la geometría diferencial, un mapeo es conforme cuando se conservan los ángulos . Cuando el ángulo está relacionado con la métrica, es suficiente para que la asignación resulte en una métrica que sea proporcional a la original, como se expresó anteriormente para la geometría de Riemann o en el caso de una variedad conformalcon el tipo de tensor métrico utilizado en general la relatividad . Una consideración elemental del mapeo de superficies y el álgebra lineal revela potencialmente tres tipos de ángulos: ángulo circular , ángulo hiperbólico y pendiente :

Suponer $${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {C}} Es un mapeo de superficies parametrizado por. $${\ displaystyle (x, y)} y $${\ displaystyle (u, v)}. La matriz jacobiana de$${\ displaystyle f}Está formado por las cuatro derivadas parciales de$${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} con respecto a $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}.

Si el jacobiano $${\ displaystyle g}tiene un determinante distinto de cero , entonces$${\ displaystyle f}es conforme con respecto a uno de los tres tipos de ángulos , dependiendo de la matriz real expresada por el jacobiano$${\ displaystyle g}.

De hecho, cualquier tal $${\ displaystyle g}se encuentra en un subring conmutativo planar particular , y$${\ displaystyle g}Tiene una descomposición polar determinada por parámetros de carácter radial y angular. El parámetro radial corresponde a un mapeo de similitud y puede tomarse como 1 para propósitos de examen conforme. El parámetro angular de$${\ displaystyle g} Es uno de los tres tipos, pendiente, hiperbólica o circular:

• Cuando el subring es isomorfo al plano numérico dual , entonces$${\ displaystyle g}Actúa como un mapeo de corte y preserva el ángulo dual.
• Cuando el subring es isomorfo al plano numérico de complejo dividido , entonces$${\ displaystyle g}Actúa como un mapeo de compresión y preserva el ángulo hiperbólico.
• Cuando el subring es isomorfo al plano de número complejo ordinario , entonces$${\ displaystyle g}Actúa como una rotación y conserva el ángulo circular.

Al describir las funciones analíticas de una variable bireal , U. Bencivenga y G. Fox han escrito sobre mapas conformes que conservan el ángulo hiperbólico. En general, una transformación fraccional lineal en cualquiera de los tipos de planos complejos enumerados proporciona un mapa conforme.

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Proyección retroazimutal de Craig centrada en la meca.

La proyección del mapa retroazimutal de Craig fue creada por James Ireland Craig en 1909. Es una proyección cilíndrica modificada . Como una proyección retroazimutal , conserva las direcciones desde todas partes a un lugar de interés que se configura durante la construcción de la proyección. La proyección a veces se conoce como la proyección de La Meca porque Craig, quien había trabajado en Egipto como cartógrafo , la creó para ayudar a los musulmanes a encontrar su qibla . En tales mapas, La Meca es la ubicación configurable de interés. ^[1]

Dada la latitud φ para trazar, la latitud φ ₀ de la ubicación fija de interés, la longitud λ para trazar y la longitud λ ₀ de la ubicación fija de interés, la proyección se define por:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ lambda - \ lambda _ {0} \\ y & = {\ frac {\ lambda - \ lambda _ {0}} {\ sin \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ derecha)}} {\ Big (} \ sin \ varphi \ cos \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) - \ tan \ varphi _ {0} \ cos \ varphi {\ Big )} \ end {alineado}}}

Pero cuando λ  -  λ ₀ = 0, y arriba no está definido, así que en lugar de eso, utiliza la relación continua : ^[2]

$${\ displaystyle y = \ sin \ varphi \ cos \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) - \ tan \ varphi _ {0} \ cos \ varphi = \ sin \ varphi - \ tan \ varphi _ {0} \ cos \ varphi}