PROYECCIONES DE MAPAS

Proyección de Mercator transversal se restringe a las características generales de la proyección. Este artículo describe en detalle una de las (dos) implementaciones desarrolladas por Louis Krüger en 1912; ^[1] que se expresa como una serie de potencias en la diferencia de longitud desde el meridiano central. Estas series fueron recalculadas por Lee en 1946, ^[2] por Redfearn en 1948, ^[3] y por Thomas en 1952. ^[4] [5] A menudo se las conoce como la serie Redfearn, o la serie Thomas. Esta implementación es de gran importancia ya que se usa ampliamente en el Sistema de Coordenadas Planas del Estado de EE. UU., ^[5] en nacional (Gran Bretaña, ^[6]Irlanda ^[7] y muchos otros) y también sistemas de mapeo internacionales ^[8] , incluido el sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator (UTM). ^[9] [10] También se incorporan al convertidor de coordenadas de Geotrans, disponible por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los Estados Unidos. ^[11] Cuando se combina con un dato geodésico adecuado , la serie ofrece una alta precisión en zonas de menos de unos pocos grados en la extensión este-oeste.

Preliminares I: parámetros de referencia y elipsoide [ editar ]

La serie debe usarse con un dato geodésico que especifica la posición, la orientación y la forma de un elipsoide de referencia . Aunque las fórmulas de proyección dependen solo de los parámetros de forma del elipsoide de referencia, el conjunto completo de parámetros de referencia es necesario para vincular las coordenadas de proyección con las posiciones reales en el espacio tridimensional. Los datos y elipsoides de referencia asociados con implementaciones particulares de las fórmulas de Redfearn se enumeran a continuación . En el artículo sobre la figura de la Tierra se ofrece una lista completa de los elipsoides importantes .

     Al especificar elipsoides es normal dar el eje semi-mayor (eje ecuatorial),$${\ displaystyle a}, junto con el aplanamiento inverso ,$${\ displaystyle 1 / f}, o el eje semi-menor (eje polar),$${\ displaystyle b}, oa veces ambas cosas. Las series que se presentan a continuación utilizan la excentricidad,$${\ displaystyle e}, en preferencia al aplanamiento, $${\ displaystyle f}. Además utilizan los parámetros.$${\ displaystyle n}, llamado el tercer aplanamiento , y$${\ displaystyle e '}, la segunda excentricidad . Solo hay dos parámetros de forma independientes y hay muchas relaciones entre ellos: en particular

{\ displaystyle {\ begin {alineado} f & = {\ frac {ab} {a}}, \ qquad e ^ {2} = 2f-f ^ {2}, \ qquad e '^ {2} = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} \\ b & = a (1-f) = a (1-e ^ {2}) ^ {1/2}, \ qquad n = { \ frac {ab} {a + b}}. \ end {alineado}}}

Las fórmulas de proyección también implican $${\ displaystyle \ rho (\ phi)}, el radio de curvatura del meridiano (en latitud $${\ displaystyle \ phi}), y $${\ displaystyle \ nu (\ phi)}, el radio de curvatura en la vertical principal . (La vertical principal es el plano vertical ortogonal al plano meridiano en un punto del elipsoide). Los radios de curvatura se definen de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ nu (\ phi) = {\ frac {a} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi}}}, \ qquad \ rho (\ phi) = {\ frac {\ nu ^ {3} (1-e ^ {2})} {a ^ {2}}}.}

Además las funciones. $${\ displaystyle \ beta (\ phi)} y $${\ displaystyle \ eta (\ phi)} se definen como:

$${\ displaystyle \ beta (\ phi) = {\ frac {\ nu (\ phi)} {\ rho (\ phi)}}, \ qquad \ eta ^ {2} = \ beta -1 = {e '^ { 2} \ cos ^ {2} \! \ Phi}.}

Para la compacidad es normal introducir las siguientes abreviaturas:

$${\ displaystyle s = \ sin \ phi, \ qquad c = \ cos \ phi, \ qquad t = \ tan \ phi.}

Preliminares II: distancia meridiana [ editar ]

Distancia meridiana [ editar ]

El artículo sobre el arco de Meridian describe varios métodos de computación.$${\ displaystyle m (\ phi)}, la distancia del meridiano desde el ecuador hasta un punto en la latitud $${\ displaystyle \ phi} : las expresiones que se dan a continuación son las que se usan en la implementación real de la proyección Transverse Mercator de la OSGB. ^[6] El error de truncamiento es inferior a 0,1 mm, por lo que la serie es ciertamente precisa dentro de 1 mm, la tolerancia de diseño de la implementación OSGB.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} m (\ phi) & = B_ {0} \ phi + B_ {2} \ sin 2 \ phi + B_ {4} \ sin 4 \ phi + B_ {6} \ sin 6 \ phi + \ cdots, \ end {alineado}}}

donde se dan los coeficientes a pedido $${\ displaystyle n ^ {3}} (orden $${\ displaystyle e ^ {6}}) por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} B_ {0} & = b {\ bigg (} 1 + n + {\ frac {5} {4}} n ^ {2} + {\ frac {5} {4}} n ^ {3} {\ bigg)}, \ qquad B_ {4} = b {\ bigg (} {\ frac {15} {16}} n ^ {2} + {\ frac {15} {16}} n ^ {3} {\ bigg)}, \\ B_ {2} & = - b {\ bigg (} {\ frac {3} {2}} n + {\ frac {3} {2}} n ^ { 2} + {\ frac {21} {16}} n ^ {3} {\ bigg)}, \ qquad B_ {6} = - b {\ bigg (} {\ frac {35} {48}} n ^ {3} {\ bigg)}. \ End {alineado}}}

La distancia del meridiano desde el ecuador al polo es

$${\ displaystyle m_ {p} = m (\ pi / 2) = \ pi B_ {0} / 2 \ ,.}

La forma de la serie especificada para UTM es una variante de las anteriores que muestran términos de orden superior con un error de truncamiento de 0.03 mm.

Distancia meridiana inversa [ editar ]

Ni las implementaciones OSGB ni UTM definen una serie inversa para la distancia del meridiano; en su lugar, utilizan un esquema iterativo. Para una distancia meridiana dada$${\ displaystyle M} primer set $${\ displaystyle \ phi _ {0} = M / B_ {0}} y luego iterar usando

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ phi _ {n} = \ phi _ {n-1} + {\ frac {Mm (\ phi _ {n-1})} {B_ {0}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots \ end {alineado}}}

hasta {\ displaystyle | Mm (\ phi _ {n-1}) | <0 .01="" font="">mm.

     La inversión puede efectuarse mediante una serie, que se presenta aquí para una referencia posterior. Para una distancia meridiana dada,$${\ displaystyle M}, define la latitud rectificadora por

$${\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ pi M} {2m_ {p}}}.

La latitud geodésica correspondiente a $${\ displaystyle M}es (Snyder ^[5] página 17):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ phi & = \ mu + D_ {2} \ sin 2 \ mu + D_ {4} \ sin 4 \ mu + D_ {6} \ sin 6 \ mu + D_ {8} \ sin 8 \ mu + \ cdots, \\ end {alineado}}}

a donde $${\ displaystyle O (n ^ {4})},

{\ displaystyle {\ begin {alineado} D_ {2} & = {\ frac {3} {2}} n - {\ frac {27} {32}} n ^ {3}, & D_ {4} & = { \ frac {21} {16}} n ^ {2} - {\ frac {55} {32}} n ^ {4}, \\ [8pt] D_ {6} & = {\ frac {151} {96 }} n ^ {3}, & D_ {8} & = {\ frac {1097} {512}} n ^ {4}. \ end {alineado}}}

Un esquema del método [ editar ]

El aspecto normal de la proyección de Mercator de una esfera de radio. $${\ displaystyle R} es descrito por las ecuaciones

$${\ displaystyle x = R \ lambda, \ qquad \ qquad y = R \ psi,}

dónde $${\ displaystyle \ psi}, la latitud isométrica , está dada por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ psi & = \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ phi} {2}} \ right) \ derecha]. \ end {alineado}}}

En el elipsoide la latitud isométrica se convierte en

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ psi & = \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ phi} {2}} \ right) \ derecha] - {\ frac {e} {2}} \ ln \ izquierda [{\ frac {1 + e \ sin \ phi} {1-e \ sin \ phi}} \ derecha]. \ end {alineado}} }

Por construcción, la proyección desde las coordenadas geodésicas ($${\ displaystyle \ phi},$${\ displaystyle \ lambda}) a las coordenadas ($${\ displaystyle \ psi},$${\ displaystyle \ lambda}) es conforme. Si las coordenadas ($${\ displaystyle \ psi},$${\ displaystyle \ lambda}) se utilizan para definir un punto $${\ displaystyle \ zeta = \ psi + i \ lambda} En el plano complejo, entonces cualquier función analítica. $${\ displaystyle f (\ zeta)}Definirá otra proyección conforme. El método de Kruger consiste en buscar lo específico.$${\ displaystyle f (\ zeta)} que genera una escala uniforme a lo largo del meridiano central, $${\ displaystyle \ lambda = 0}. Logró esto al investigar una aproximación de la serie de Taylor con las coordenadas de proyección dadas por:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} y + ix & = f (\ zeta) = f (\ psi + i \ lambda) \\ & = f (\ psi + i.0) + A_ {1} \ lambda + A_ {2} \ lambda ^ {2} + A_ {3} \ lambda ^ {3} + \ ldots, \ end {alineado}}}

donde la parte real de $${\ displaystyle f (\ psi + i.0)} debe ser proporcional a la función de distancia meridiana $${\ displaystyle m (\ phi)}. Los coeficientes (complejos)$${\ displaystyle A_ {n}} depender de derivados de $${\ displaystyle f (\ zeta)} que puede reducirse a derivados de $${\ displaystyle m (\ phi)} con respecto a $${\ displaystyle \ psi}, (no $${\ displaystyle \ phi}). Los derivados son sencillos de evaluar en principio, pero las expresiones se vuelven muy complicadas en órdenes altas debido a la complicada relación entre$${\ displaystyle \ psi} y $${\ displaystyle \ phi}. La separación de partes reales e imaginarias da la serie para$${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} y otras derivadas dan los factores de escala y convergencia.

La serie en detalle [ editar ]

Esta sección presenta la octava serie de orden publicada por Redfearn ^[3] (pero con$${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} intercambiado y la diferencia de longitud desde el meridiano central denotado por $${\ displaystyle \ lambda} en lugar de $${\ displaystyle \ omega}). Las series equivalentes de octavo orden, con diferentes notaciones, se pueden encontrar en Snyder ^[5] (páginas 60–64) y en muchos sitios web como el de la Encuesta de Artillería de Gran Bretaña. ^[6]

     Las series directas se desarrollan en términos de la diferencia de longitud del meridiano central, expresadas en radianes: las series inversas se desarrollan en términos de la relación $${\ displaystyle x / a}. Normalmente, la proyección está restringida a zonas estrechas (en longitud), de modo que los dos parámetros de expansión suelen ser inferiores a aproximadamente 0,1, lo que garantiza una rápida convergencia . Por ejemplo, en cada zona UTM , estos parámetros de expansión son menores que 0.053 y para la red nacional británica ( NGGB ) son menores que 0.09. Todas las series directas dando.$${\ displaystyle x}, $${\ displaystyle y}escala $${\ displaystyle k}convergencia $${\ displaystyle \ gamma} son funciones de latitud y longitud y los parámetros del elipsoide: todas las series inversas dan $${\ displaystyle \ phi}, $${\ displaystyle \ lambda}, $${\ displaystyle k}, $${\ displaystyle \ gamma} son funciones de ambos $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y} y los parámetros del elipsoide.

Series directas [ editar ]

En las siguientes series $${\ displaystyle \ lambda}es la diferencia de la longitud de un punto arbitrario y la longitud del meridiano central elegido:$${\ displaystyle \ lambda}Está en radianes y es positivo al este del meridiano central. Los coeficientes de W son funciones de$${\ displaystyle \ phi}enumerados a continuación . La serie para$${\ displaystyle y} reduce a la distancia meridiana escalada cuando $${\ displaystyle \ lambda = 0}.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x (\ lambda, \ phi) & = k_ {0} \ nu \ left [\ lambda c + {\ frac {\ lambda ^ {3} c ^ {3} W_ {3} } {3!}} + {\ Frac {\ lambda ^ {5} c ^ {5} W_ {5}} {5!}} + {\ Frac {\ lambda ^ {7} c ^ {7} W_ { 7}} {7!}} \ Derecha], \\ [1ex] y (\ lambda, \ phi) & = k_ {0} \ left [m (\ phi) + {\ frac {\ lambda ^ {2} \ nu c ^ {2} t} {2}} + {\ frac {\ lambda ^ {4} \ nu c ^ {4} tW_ {4}} {4!}} + {\ frac {\ lambda ^ { 6} \ nu c ^ {6} tW_ {6}} {6!}} + {\ Frac {\ lambda ^ {8} \ nu c ^ {8} tW_ {8}} {8!}} \ Right] , \ end {alineado}}}

Series inversas [ editar ]

Las series inversas implican una construcción adicional: la latitud del punto de pie . Dado un punto$${\ displaystyle (x, y)}en la proyección, el punto de pie se define como el punto en el meridiano central con coordenadas$${\ displaystyle (0, y)}. Dado que la escala en el meridiano central es$${\ displaystyle k_ {0}} la distancia del meridiano desde el ecuador hasta el punto de pie es igual a $${\ displaystyle m = y / k_ {0}}. La latitud del punto de pie correspondiente,$${\ displaystyle \ phi _ {1}}, se calcula por iteración o la serie de distancias de meridianos inversos como se describe anteriormente.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mu & = {\ frac {\ pi y} {2m_ {p} k_ {0}}}, \\ phi _ {1} & = \ mu + D_ {2} \ sin 2 \ mu + D_ {4} \ sin 4 \ mu + D_ {6} \ sin 6 \ mu + D_ {8} \ sin 8 \ mu + \ cdots, \\ end {alineado}}}

Denotando funciones evaluadas en $${\ displaystyle \ phi _ {1}} por un subíndice '1', las series inversas son:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ lambda (x, y) & = {\ frac {x} {c_ {1} (k_ {0} \ nu _ {1})}} - {\ frac {x ^ {3} V_ {3}} {3! C_ {1} (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {3}}} - {\ frac {x ^ {5} V_ {5}} {5 ! c_ {1} (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {5}}} - {\ frac {x ^ {7} V_ {7}} {7! c_ {1} (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {7}}}, \\ phi (x, y) & = \ phi _ {1} - {\ frac {x ^ {2} \ beta _ {1} t_ {1 }} {2 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {4} \ beta _ {1} t_ {1} U_ {4}} {4! (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {4}}} - {\ frac {x ^ {6} \ beta _ {1} t_ {1} U_ {6}} {6! (k_ {0 } \ nu _ {1}) ^ {6}}} - {\ frac {x ^ {8} \ beta _ {1} t_ {1} U_ {8}} {8! (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {8}}}. \ End {alineado}}}

Escala de puntos y convergencia [ editar ]

La escala de puntos $${\ displaystyle k}Es independiente de la dirección para una transformación conforme. Puede ser calculado en términos de coordenadas geográficas o de proyección. Tenga en cuenta que la serie para$${\ displaystyle k} reducido a $${\ displaystyle k_ {0}}cuando cualquiera $${\ displaystyle \ lambda = 0} o $${\ displaystyle x = 0}. La convergencia$${\ displaystyle \ gamma} También se puede calcular (en radianes) en términos de coordenadas geográficas o de proyección:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} k (\ lambda, \ phi) & = k_ {0} \ left [1 + {\ frac {\ lambda ^ {2} c ^ {2} H_ {2}} {2 }} + {\ frac {\ lambda ^ {4} c ^ {4} H_ {4}} {24}} + {\ frac {\ lambda ^ {6} c ^ {6} H_ {6}} {720 }} \ right], \\ gamma (\ lambda, \ phi) & = \ lambda s + {\ frac {\ lambda ^ {3} c ^ {3} tH_ {3}} {3}} + {\ frac {\ lambda ^ {5} c ^ {5} tH_ {5}} {15}} + {\ frac {\ lambda ^ {7} c ^ {7} tH_ {7}} {315}}, \\ k (x, y) & = k_ {0} \ left [1 + {\ frac {x ^ {2} K_ {2}} {2 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {4} K_ {4}} {24 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {4}}} + {\ frac {x ^ {6} K_ {6}} {720 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {6}}} \ right] \\\ gamma (x, y) & = {\ frac {xt_ {1}} {k_ {0} \ nu _ {1}}} + {\ frac {x ^ {3} t_ {1} K_ {3}} {3 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {3}}} + {\ frac { x ^ {5} t_ {1} K_ {5}} {15 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {5}}} + {\ frac {x ^ {7} t_ {1} K_ { 7}} {315 (k_ {0} \ nu _ {1}) ^ {7}}}. \ End {alineado}}}

Los coeficientes para todas las series [ editar ]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{3}&=\beta -t^{2}\\W_{5}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+8t^{2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{7}&=61-479t^{2}+179t^{4}-t^{6}+O(e^{2})\\W_{4}&=4\beta ^{2}+\beta -t^{2}\\W_{6}&=8\beta ^{4}(11{-}24t^{2})-28\beta ^{3}(1{-}6t^{2})+\beta ^{2}(1{-}32t^{2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{8}&=1385-3111t^{2}+543t^{4}-t^{6}+O(e^{2})\\V_{3}&=\beta _{1}+2t_{1}^{2}\\V_{5}&=4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-\beta _{1}^{2}(9-68t_{1}^{2})-72\beta _{1}t_{1}^{2}-24t_{1}^{4}\\V_{7}&=61+662t_{1}^{2}+1320t_{1}^{4}+720t_{1}^{6}\\U_{4}&=4\beta _{1}^{2}-9\beta _{1}(1-t_{1}^{2})-12t_{1}^{2}\\U_{6}&=8\beta _{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-12\beta _{1}^{3}(21-71t_{1}^{2})+15\beta _{1}^{2}(15-98t_{1}^{2}+15t_{1}^{4})\\&\qquad \qquad +180\beta _{1}(5t_{1}^{2}-3t_{1}^{4})+360t_{1}^{4}\\U_{8}&=-1385-3633t_{1}^{2}-4095t_{1}^{4}-1575t_{1}^{6}\\H_{2}&=\beta \\H_{4}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+24t^{2})-4\beta t^{2}\\H_{6}&=61-148t^{2}+16t^{4}\\H_{3}&=2\beta ^{2}-\beta \\H_{5}&=\beta ^{4}(11-24t^{2})-\beta ^{3}(11-36t^{2})+\beta ^{2}(2-14t^{2})+\beta t^{2}\\H_{7}&=17-26t^{2}+2t^{4}\\K_{2}&=\beta _{1}\\K_{4}&=4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{2}(1-16t_{1}^{2})-24\beta _{1}t_{1}^{2}\\K_{6}&=1\\K_{3}&=2\beta _{1}^{2}-3\beta _{1}-t_{1}^{2}\\K_{5}&=\beta _{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{3}(8-23t_{1}^{2})+5\beta _{1}^{2}(3-14t_{1}^{2})+30\beta _{1}t_{1}^{2}+3t_{1}^{4}\\K_{7}&=-17-77t_{1}^{2}-105t_{1}^{4}-45t_{1}^{6}\end{aligned}}}$

Exactitud de la serie [ editar ]

La solución exacta de Lee-Thompson, ^[12] implementada por Karney (2011), ^[13] es de gran valor para evaluar la precisión de la serie Redfearn truncada. Confirma que el error de truncamiento de la serie de Redfearn (octavo orden) es inferior a 1 mm a una diferencia de longitud de 3 grados, que corresponde a una distancia de 334 km desde el meridiano central en el ecuador, hasta 35 km en el norte. Límite de una zona UTM.

     Las series de Redfearn empeoran a medida que la zona se ensancha. Karney habla de Groenlandia como un ejemplo instructivo. La masa terrestre delgada y larga se centra en 42W y, en su punto más ancho, no está a más de 750 km de ese meridiano, mientras que el tramo en longitud alcanza casi 50 grados. La serie Redfearn alcanza un error máximo de 1  kilómetro .

Implementaciones [ editar ]

Las implementaciones que se dan a continuación son ejemplos del uso de la serie Redfearn. Los documentos que definen en varios países difieren ligeramente en notación y, lo que es más importante, en el abandono de algunos de los términos pequeños. El análisis de términos pequeños depende de los rangos de latitud y longitud en las diferentes cuadrículas. También hay pequeñas diferencias en las fórmulas utilizadas para la distancia meridiana: a veces se agrega un término adicional a la fórmula especificada anteriormente, pero dicho término es inferior a 0.1 mm.

OSGB [ editar ]

La implementación de la proyección transversal de Mercator en Gran Bretaña se describe detalladamente en el documento OSGB Guía para coordinar sistemas en Gran Bretaña , Apéndices A.1, A.2 y C. ^[6]

dato: OSGB36

Elipsoide: Airy 1830

eje mayor: 6 377 563.396

eje menor: 6 356 256.909

longitud meridiana central: 2 ° W

Factor de escala del meridiano central: 0.9996012717

Origen de la proyección: 2 ° W y 0 ° N.

verdadero origen de la rejilla: 2 ° W y 49 ° N

Este falso del verdadero origen de la red, E0 (metros): 400,000

Norte falso del verdadero origen de la cuadrícula, N0 (metros): -100,000

E = E0 + x = 400000 + x

N = N0 + y -k0 * m (49 °) = y - 5527063

La extensión de la cuadrícula es de 300 km al este y 400 km al oeste del meridiano central y 1300 km al norte del origen falso , (OSGB ^[6] Sección 7.1), pero con la exclusión de partes de Irlanda del Norte, Eire y Francia. Una referencia de cuadrícula se denota por el par (E, N) donde E varía de un poco más de cero a 800000m y N varía de cero a 1300000m. Para reducir el número de figuras necesarias para dar una referencia de cuadrícula, la cuadrícula se divide en cuadrados de 100 km, cada uno con un código de dos letras. Las posiciones de la Cuadrícula Nacional se pueden dar con este código seguido de un este y un norte, tanto en el rango 0 como en 99999m.

     Las fórmulas de proyección difieren ligeramente de las fórmulas de Redfearn presentadas aquí. Se han simplificado por negligencia de la mayoría de los términos de séptimo y octavo orden en$${\ displaystyle \ lambda} o $${\ displaystyle x / a}: la única excepción es el término de séptimo orden en la serie para $${\ displaystyle \ lambda} en términos de $${\ displaystyle x / a}. Esta simplificación se basa en el examen de los términos de Redfearn sobre la extensión real de la cuadrícula. Las únicas otras diferencias son (a) la absorción del factor de escala central en los radios de curvatura y la distancia del meridiano , (b) la sustitución del parámetro$${\ displaystyle \ beta} por el parametro $${\ displaystyle \ eta}(definido anteriormente ).

El manual OSGB ^[6] incluye una discusión de las transformaciones de Helmert que se requieren para vincular coordenadas geodésicas en el elipsoide Airy 1830 y en WGS84.

UTM [ editar ]

El artículo sobre la proyección Universal Transverse Mercator ofrece un estudio general, pero la especificación completa se define en los manuales técnicos TM8358.1 ^[9] y TM8358.2 de la Agencia de mapas de defensa de EE. UU. ^[10] Esta sección proporciona detalles para la zona 30 como otro ejemplo de las fórmulas de Redfearn (generalmente denominadas fórmulas de Thomas en los Estados Unidos).

elipsoide: Internacional de 1924 (también conocido como Hayford 1909)

Eje mayor: 6 378 388.000.

eje menor: 6 356 911.946

longitud meridiana central: 3 ° W

Origen de la proyección: 3 ° W y 0 ° N.

Factor de escala del meridiano central: 0.9996

verdadero origen de la cuadrícula: 3 ° W y 0 ° N

Este falso de verdadero origen de la red, E0: 500,000

E = E0 + x = 500000 + x

Norte falso del hemisferio norte del origen de la cuadrícula verdadera N0: 0

hemisferio norte: N = N0 + y = y

Norte falso del hemisferio sur del origen de la cuadrícula verdadera N0: 10,000,000

hemisferio sur: N = N0 + y = 10,000,000 + y

La serie adoptada para la distancia meridiana incorpora términos de quinto orden en $${\ displaystyle n}pero el manual indica que estos son menos de 0.03 mm (TM8358.2 ^[10] Capítulo 2). Las fórmulas de proyección utilizan,$${\ displaystyle e '}, la segunda excentricidad (definida arriba ) en lugar de$${\ displaystyle n}. Los esquemas de referencia de la cuadrícula se definen en el artículo Sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator . La precisión reclamada para las proyecciones UTM es de 10 cm en coordenadas de cuadrícula y 0,001 segundos de arco para coordenadas geodésicas.

Irlanda [ editar ]

La proyección transversal de Mercator en Eire e Irlanda del Norte (una implementación internacional que abarca un país y parte de otro) se implementa actualmente de dos maneras:

Sistema de referencia de la red irlandesa

dato: Irlanda 1965

Elipsoide: Airy 1830 modificado.

Eje mayor: 6 377 340.189.

Eje menor: 6 356 034.447.

Factor de escala del meridiano central: 1.000035

verdadero origen: 8 ° W y 53.5 ° N

Este falso del verdadero origen de la red, E0: 200,000

Norte falso de origen de cuadrícula verdadero, N0: 250,000

La cuadrícula irlandesa utiliza las fórmulas de proyección OSGB.

Mercator Transversal Irlandés

dato: Irlanda 1965

elipsoide: GRS80

eje mayor: 6 378 137

eje menor: 6 356 752.314140

factor de escala del meridiano central: 0.999820

verdadero origen: 8 ° W y 53.5 ° N

Este falso de verdadero origen de la red, E0: 600,000

Norte falso de origen de cuadrícula verdadera, N0: 750,000

Este es un ejemplo interesante de la transición entre el uso de un elipsoide tradicional y un elipsoide global moderno. La adopción de falsos orígenes radicalmente diferentes ayuda a prevenir la confusión entre los dos sistemas.