TEORIA DE LA GRAVITACIÓN

La Teoría de la gravedad de los calibres ( GTG ) es una teoría de gravitación en el lenguaje matemático del álgebra geométrica . Para aquellos familiarizados con la relatividad general , es altamente reminiscente del formalismo de la tétrada aunque existen diferencias conceptuales significativas. En particular, el fondo en GTG es plano, Minkowski spacetime . El principio de equivalencia no se asume, sino que se deriva del hecho de que la derivada covariante de calibre está acoplada mínimamente . Como en la relatividad general, las ecuaciones estructuralmente idénticas a las ecuaciones de campo de Einstein pueden derivarse de unaprincipio variacional . Un tensor de espín también se puede soportar de una manera similar a la teoría de Einstein – Cartan – Sciama – Kibble . GTL fue propuesto por primera vez por Lasenby, Doran y Gull en 1998 ^[1] como cumplimiento de los resultados parciales presentados en 1993. ^[2] La teoría no ha sido adoptada ampliamente por el resto de la comunidad física, quienes en su mayoría han optado por el diferencial la geometría se acerca al igual que la de la relacionada con la teoría de la gravitación de calibre .

Fundamentos matemáticos [ editar ]

La fundación de GTG proviene de dos principios. En primer lugar, la invariabilidad de los indicadores de posiciónexige que los desplazamientos locales arbitrarios de campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. En segundo lugar, la invariancia de calibre de rotación exige que las rotaciones locales arbitrarias de los campos no afecten el contenido físico de las ecuaciones de campo. Estos principios llevan a la introducción de un nuevo par de funciones lineales, el campo del indicador de posición y el campo del indicador de rotación. Un desplazamiento por alguna función arbitraria f.

$${\ displaystyle x \ mapsto x '= f (x)}

da lugar al campo indicador de posición definido por la asignación en su adjunto,

$${\ displaystyle {\ bar {\ mathsf {h}}} (a, x) \ mapsto {\ bar {\ mathsf {h}}} '(a, x) = {\ bar {\ mathsf {h}}} (f ^ {- 1} (a), f (x)),}

que es lineal en su primer argumento y a es un vector constante. De manera similar, una rotación por algún rotor arbitrario R da lugar al campo de calibre de rotación

$${\ displaystyle {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} (a, x) \ mapsto {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} '(a, x) = R {\ bar {\ mathsf {\ Omega}}} (a, x) R ^ {\ dagger} -2a \ cdot \ nabla RR ^ {\ dagger}.}

Podemos definir dos derivadas direccionales covariantes diferentes.

$${\ displaystyle a \ cdot D = a \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} (\ nabla) + {\ frac {1} {2}} {\ mathsf {\ Omega}} ({\ mathsf { decir ah))}

$${\ displaystyle a \ cdot {\ mathcal {D}} = a \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} (\ nabla) + {\ mathsf {\ Omega}} ({\ mathsf {h}} ( una))}

o con la especificación de un sistema de coordenadas

$${\ displaystyle D _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} + {\ frac {1} {2}} \ Omega _ {\ mu}}

$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} + \ Omega _ {\ mu} \ times,}

donde x denota el producto conmutador.

El primero de estos derivados es más adecuado para tratar directamente con los espinores, mientras que el segundo es más adecuado para los observables . El análogo GTG del tensor de Riemann se construye a partir de las reglas de conmutación de estos derivados.

$${\ displaystyle [D _ {\ mu}, D _ {\ nu}] \ psi = {\ frac {1} {2}} {\ mathsf {R}} _ {\ mu \ nu} \ psi}

$${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (a \ wedge b) = {\ mathsf {R}} ({\ mathsf {h}} (a \ wedge b))}

Ecuaciones de campo [ editar ]

Las ecuaciones de campo se derivan al postular que la acción de Einstein-Hilbert gobierna la evolución de los campos de medición, es decir,

$${\ displaystyle S = \ int \ left [{1 \ over 2 \ kappa} \ left ({\ mathcal {R}} - 2 \ Lambda \ right) + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {M} } \ right] (\ det {\ mathsf {h}}) ^ {- 1} \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}

Minimizar la variación de la acción con respecto a los dos campos de calibre en las ecuaciones de campo

$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (a) - \ Lambda a = \ kappa {\ mathcal {T}} (a)}

$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ wedge {\ bar {\ mathsf {h}}} (a) = \ kappa {\ mathcal {S}} \ cdot {\ bar {\ mathsf {h}}} ( una),}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}es la energía covariante -tensor de momento y$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}Es el tensor de espín covariante . Es importante destacar que estas ecuaciones no dan una curvatura evolutiva del espacio-tiempo, sino que simplemente dan la evolución de los campos de medición dentro del espaciotiempo plano.

Relación con la relatividad general [ editar ]

Para aquellos que están más familiarizados con la relatividad general, es posible definir un tensor métrico desde el campo del indicador de posición de una manera similar a las tétradas. En el formalismo de la tétrada, un conjunto de cuatro vectores.$${\ displaystyle \ {{e _ {(a)}} ^ {\ mu} \}}son introducidos. El índice griega μ se sube o se baja multiplicando y contratación con tensor métrico del espacio-tiempo. El índice latino entre paréntesis (a) es una etiqueta para cada una de las cuatro tétradas, que se eleva y baja como si se multiplicara y se contrajera con un tensor métrico de Minkowski separado. GTG, aproximadamente, invierte los roles de estos índices. Se supone implícitamente que la métrica es Minkowski en la selección del álgebra del espacio-tiempo . La información contenida en el otro conjunto de índices se subsume por el comportamiento de los campos de medición.

Podemos hacer las asociaciones.

$${\ displaystyle g _ {\ mu} = {\ mathsf {h}} ^ {- 1} (e _ {\ mu})}

$${\ displaystyle g ^ {\ mu} = {\ bar {\ mathsf {h}}} (e ^ {\ mu})}

para un vector covariante y un vector contravariante en un espacio-tiempo curvo, donde ahora los vectores unitarios$${\ displaystyle \ {e _ {\ mu} \}}Son la base coordinada elegida. Estos pueden definir la métrica usando la regla.

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ mu} \ cdot g _ {\ nu}.}

Siguiendo este procedimiento, es posible demostrar que, en su mayor parte, las predicciones observables de GTG concuerdan con la teoría de Einstein – Cartan – Sciama – Kibble para el giro no desaparecido y se reducen a la relatividad general para el giro desaparecido. Sin embargo, GTG hace diferentes predicciones sobre soluciones globales. Por ejemplo, en el estudio de una masa puntual, la elección de un "calibre newtoniano" produce una solución similar a la métrica de Schwarzschild en las coordenadas Gullstrand-Painlevé . La relatividad general permite una extensión conocida como las coordenadas de Kruskal-Szekeres . GTG, por otro lado, prohíbe cualquier extensión de este tipo. 

Gauge vector-tensor gravedad ^[1] ( GVT ) es una generalización relativista de Mordehai Milgrom 's dinámica newtoniana modificada (MOND) paradigma ^[2] donde los campos de calibre causan el comportamiento MOND. Las anteriores realizaciones covariantes de MOND, como la gravedad tensorial-vector-escalar de Bekenestein y la gravedad MONDian del atributo escalar-tensor-vector de Moffat, atribuyen a algunos campos escalares. GVT es el primer ejemplo en el que el comportamiento de MONDian se asigna a los campos vectoriales de medición. Las principales características de GVT se pueden resumir de la siguiente manera:

• Como se deriva del principio de acción , GVT respeta las leyes de conservación ;
• En la aproximación de campo débil de la solución estática, simétrica esféricamente, GVT reproduce la fórmula de aceleración MOND;
• Puede acomodar lentes gravitacionales .
• Está en total acuerdo con la acción de Einstein-Hilbert en la gravedad fuerte y newtoniana.

Sus grados dinámicos de libertad son:

• Dos campos de calibre : $${\ displaystyle B _ {\ mu}, {\ widetilde {B}} _ {\ mu}};
• Una métrica, $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}.

Detalles [ editar ]

La geometría física, como se ve por las partículas, representa la geometría de Finsler –tipo de Randers:

$${\ displaystyle ds = {\ sqrt {-g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}} + \ left (B _ {\ mu} + {\ widetilde {B}} _ { \ mu} \ right) dx ^ {\ mu}}

Esto implica que la órbita de una partícula con masa. $${\ displaystyle m} Se puede derivar de la siguiente acción efectiva:

$${\ displaystyle S = m \ int d \ tau \ left ({\ frac {1} {2}} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} g_ { \ mu \ nu} + \ left (B _ {\ mu} + {\ widetilde {B}} _ {\ mu} \ right) {\ dot {x}} ^ {\ mu} \ right).}

Las cantidades geométricas son riemannianas. GVT, por lo tanto, es una gravedad bi-geométrica.

Acción [ editar ]

La acción de la métrica coincide con la de la gravedad de Einstein-Hilbert:

$${\ displaystyle S _ {\ text {Grav}} = {\ frac {1} {16 \ pi G}} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} R}

dónde $${\ displaystyle R}Es el escalar de Ricci construido a partir de la métrica. La acción de los campos de medición sigue:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S_ {B} & = - {\ frac {1} {16 \ pi G \ kappa \ ell ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- g}} \, L \ left ({\ frac {\ ell ^ {2}} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} \ right) \\ S _ {\ widetilde {B }} & = - {\ frac {1} {16 \ pi G {\ widetilde {\ kappa}} {\ widetilde {\ ell}} ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt { -g}} \, L \ left ({\ frac {{\ widetilde {\ ell}} ^ {2}} {4}} {\ widetilde {B}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {B }} ^ {\ mu \ nu} \ right) \ end {alineado}}}

donde L tiene los siguientes comportamientos asintóticos de MOND

{\ displaystyle L (x) = {\ begin {cases} x & x \ gg 1 \\ {\ frac {2} {3}} | x | ^ {\ frac {3} {2}} & x \ leqslant 1 \ end {casos}}}

y $${\ displaystyle \ kappa, {\ widetilde {\ kappa}}} representan las constantes de acoplamiento de la teoría mientras $${\ displaystyle \ ell, {\ widetilde {\ ell}}} Son los parámetros de la teoría y {\ displaystyle \ ell <{\ widetilde {\ ell}}.}

Acoplamiento a la materia [ editar ]

Parejas métricas al tensor de energía-momento. La materia actual es el campo de origen de ambos campos de medida. El asunto actual es

$${\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ rho u ^ {\ mu}}

dónde $${\ displaystyle \ rho} es la densidad y $${\ displaystyle u ^ {\ mu}} representa las cuatro velocidades.

Regímenes de la teoría GVT [ editar ]

GVT acomoda el régimen de gravedad newtoniano y MOND; Pero admite el régimen post-mondiano.

Regímenes fuertes y newtoniana [ editar ]

El régimen fuerte y newtoniano de la teoría se define para ser donde se mantiene:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} L \ left ({\ frac {\ ell ^ {2}} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} \ right) & = {\ frac {\ ell ^ {2}} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} \\ L \ left ({\ frac {{\ widetilde {\ ell}} ^ {2} } {4}} {\ widetilde {B}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {B}} ^ {\ mu \ nu} \ right) & = {\ frac {{\ widetilde {\ ell}} ^ {2}} {4}} {\ widetilde {B}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {B}} ^ {\ mu \ nu} \ end {alineado}}}

La consistencia entre la aproximación del gravitoelectromagnetismo a la teoría de GVT y la predicha y medida por la gravedad de Einstein-Hilbert exige que

$${\ displaystyle \ kappa + {\ widetilde {\ kappa}} = 0}

lo que resulta en

$${\ displaystyle B _ {\ mu} + {\ widetilde {B}} _ {\ mu} = 0.}

Así que la teoría coincide con la gravedad de Einstein-Hilbert en sus regímenes newtonianos y fuertes.

Régimen MOND [ editar ]

El régimen de la teoría MOND se define como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} L \ left ({\ frac {\ ell ^ {2}} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} \ right) & = \ left | {\ frac {\ ell ^ {2}} {4}} B _ {\ mu \ nu} B ^ {\ mu \ nu} \ right | ^ {\ frac {3} {2}} \\ L \ left ({\ frac {{\ widetilde {\ ell}} ^ {2}} {4}} {\ widetilde {B}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {B}} ^ {\ mu \ nu} \ right) & = {\ frac {{\ widetilde {\ ell}} ^ {2}} {4}} {\ widetilde {B}} _ {\ mu \ nu} {\ widetilde {B}} ^ {\ mu \ nu} \ end {alineado}}}

Así que la acción por la $${\ displaystyle B _ {\ mu}}El campo se vuelve acuático. Para la distribución de masa estática, la teoría luego se convierte al modelo de gravedad AQUAL ^[3] con la aceleración crítica de

$${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}} \ kappa c ^ {2}} {\ ell}}}

Así que la teoría de GVT es capaz de reproducir las curvas de velocidad de rotación planas de las galaxias. Las observaciones actuales no solucionan.$${\ displaystyle \ kappa} que supuestamente es de orden uno.

Régimen post-Mondian [ editar ]

El régimen post-MONDiano de la teoría se define cuando ambas acciones de la $${\ displaystyle B _ {\ mu}, {\ widetilde {B}} _ {\ mu}}son acadia El comportamiento de tipo MOND se suprime en este régimen debido a la contribución del segundo campo de medición.