TEORIA DE LA GRAVITACIÓN

gravedad de Gauss-Bonnet , también denominada gravedad de Einstein-Gauss-Bonnet , ^[1] es una modificación de la acción de Einstein-Hilbert para incluir el término de Gauss-Bonnet(nombrado así por Carl Friedrich Gauss y Pierre Ossian Bonnet )$${\ displaystyle G = R ^ {2} -4R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} + R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} }

$${\ displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, G}

Este término es solo no trivial en 4 + 1D o mayor, y como tal, solo se aplica a modelos de dimensiones adicionales. En 3 + 1D y más bajo, se reduce a un término de superficie topológica . Esto se deduce del teorema de Gauss-Bonnet generalizado en una variedad 4D

$${\ displaystyle {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \, G = \ chi (M)}.

A pesar de ser cuadrático en el tensor de Riemann (y tensor de Ricci ), los términos que contienen más de 2 derivadas parciales de la métrica se cancelan, lo que hace que las ecuaciones de Euler-Lagrange sean ecuatoriales diferenciales parciales de segundo orden en la métrica. En consecuencia, no hay grados de libertad dinámicos adicionales, como en el caso de la gravedad f (R) .

Más en general, podemos considerar

$${\ displaystyle \ int d ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, f \ left (G \ derecha)}

término para alguna función f . Las no linealidades en f hacen que este acoplamiento sea no trivial incluso en 3 + 1D. Por lo tanto, los términos de cuarto orden reaparecen con las no linealidades.

la ley de Gauss para la gravedad , también conocida como el teorema del flujo de Gauss para la gravedad , es una ley de la física que es esencialmente equivalente a la ley de gravitación universal de Newton . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . Aunque la ley de gravedad de Gauss es equivalente a la ley de Newton, hay muchas situaciones en las que la ley de gravedad de Gauss ofrece una manera más conveniente y sencilla de hacer un cálculo que la ley de Newton.

La forma de la ley de Gauss para la gravedad es matemáticamente similar a la ley de Gauss para la electrostática , una de las ecuaciones de Maxwell . La ley de gravedad de Gauss tiene la misma relación matemática con la ley de Newton que la ley de electricidad de Gauss se relaciona con la ley de Coulomb . Esto se debe a que tanto la ley de Newton como la ley de Coulomb describen la interacción cuadrado-inversa en un espacio tridimensional.

Declaración cualitativa de la ley [ editar ]

Artículo principal: Campo gravitacional.

El campo gravitacional g (también llamado aceleración gravitacional ) es un campo vectorial, un vector en cada punto del espacio (y tiempo). Se define de modo que la fuerza gravitatoria experimentada por una partícula sea igual a la masa de la partícula multiplicada por el campo gravitatorio en ese punto.

El flujo gravitacional es una integral de superficie del campo gravitacional sobre una superficie cerrada, análogo a cómo el flujo magnético es una integral de superficie del campo magnético.

La ley de Gauss para los estados de gravedad:

El flujo gravitacional a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada .

Forma integral [ editar ]

La forma integral de la ley de Gauss para los estados de gravedad:

$${\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V} $${\ displaystyle \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM}

dónde

$${\ displaystyle \ scriptstyle \ partial V} (tambien escrito $${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V}}) denota una integral de superficie sobre una superficie cerrada,

∂ V es cualquier superficie cerrada (el límite de un volumen arbitrario V ),

d A es un vector , cuya magnitud es el área de una pieza infinitesimal de la superficie ∂ V , y cuya dirección es la normal de la superficie que apunta hacia afuera (consulte la integral de la superficie para obtener más detalles),

g es el campo gravitatorio ,

G es la constante gravitacional universal , y

M es la masa total encerrada dentro del ∂ superficie V .

El lado izquierdo de esta ecuación se llama flujo del campo gravitatorio. Tenga en cuenta que de acuerdo con la ley, siempre es negativo (o cero) y nunca positivo. Esto se puede contrastar con la ley de Gauss para la electricidad, donde el flujo puede ser positivo o negativo. La diferencia es que la carga puede ser positiva o negativa, mientras que la masa solo puede ser positiva.

Forma diferencial [ editar ]

La forma diferencial de la ley de Gauss para los estados de gravedad.

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,}

dónde $${\ displaystyle \ nabla \ cdot}denota divergencia , G es la constante gravitacional universal , y ρ es la densidad de masa en cada punto.

Relación con la forma integral [ editar ]

Las dos formas de la ley de Gauss para la gravedad son matemáticamente equivalentes. El teorema de la divergencia establece:

$${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {g} \ dV}

donde V es una región cerrada delimitada por una superficie orientada cerrada simple ∂ V y dV es una pieza infinitesimal del volumen V (ver la integral de volumen para más detalles). El campo gravitacional g debe ser un continuamente diferenciable campo vectorial definida en una vecindad de V .

Teniendo en cuenta que

$${\ displaystyle M = \ int _ {V} \ rho \ dV}

Podemos aplicar el teorema de la divergencia a la forma integral de la ley de Gauss para la gravedad, que se convierte en:

$${\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {g} \ dV = -4 \ pi G \ int _ {V} \ rho \ dV}

el cual puede ser reescrito

$${\ displaystyle \ int _ {V} (\ nabla \ cdot \ mathbf {g}) \ dV = \ int _ {V} (- 4 \ pi G \ rho) \ dV.}

Esto tiene que mantenerse simultáneamente para cada volumen posible V ; La única forma en que esto puede suceder es si los integrands son iguales. De ahí llegamos a

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho,}

que es la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad.

Es posible derivar la forma integral de la forma diferencial utilizando el reverso de este método.

Aunque las dos formas son equivalentes, una u otra puede ser más conveniente de usar en un cálculo en particular.

Relación con la ley de Newton [ editar ]

Derivando la ley de Gauss de la ley de Newton [ editar ]

La ley de gravedad de Gauss se puede derivar de la ley de gravitación universal de Newton , que establece que el campo gravitatorio debido a una masa puntual es:

$${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}

dónde

e _r es el vector de la unidad radial ,

r es el radio, | r |.

M es la masa de la partícula, que se supone que es una masa puntual ubicada en el origen .

En el recuadro de abajo se muestra una prueba utilizando el cálculo vectorial. Es matemáticamente idéntica a la prueba de la ley de Gauss (en electrostática ) a partir de la ley de Coulomb . ^[1]

muestre elesquema de la prueba: (Haga clic en el botón [mostrar] a la derecha.)

Derivando la ley de Newton de la ley de Gauss y la irrotacionalidad [ editar ]

Es imposible demostrar matemáticamente la ley de Newton de la ley de Gauss solos , porque la ley de Gauss especifica la divergencia de g , pero no contiene ninguna información con respecto a la curvatura de g (ver Helmholtz descomposición ). Además de la ley de Gauss, se utiliza el supuesto de que g es irrotacional (tiene cero curvatura), ya que la gravedad es una fuerza conservadora :

$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {g} = 0}

Incluso estos no son suficientes: las condiciones de contorno en g también son necesarias para probar la ley de Newton, como la suposición de que el campo está cero infinitamente lejos de una masa.

La prueba de la ley de Newton a partir de estos supuestos es la siguiente:

esconderesquema de la prueba

Comience con la forma integral de la ley de Gauss: $${\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {g} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM.} Aplicar esta ley para la situación en la que el volumen V es una esfera de radio r centrado en un punto de masa M . Es razonable esperar que el campo gravitatorio de una masa puntual sea esféricamente simétrico. (Omitimos la prueba de la simplicidad.) Al hacer esta suposición, g toma la siguiente forma: $${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = g (r) \ mathbf {e_ {r}}} (Es decir, la dirección de g es paralela a la dirección de r , y la magnitud de g depende solo de la magnitud, no de la dirección de r ). Enchufando esto, y utilizando el hecho de que ∂ V es una superficie esférica con constante r y área$${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}, $${\ displaystyle g (r) \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {e_ {r}} \ cdot d \ mathbf {A} = -4 \ pi GM} $${\ displaystyle g (r) (4 \ pi r ^ {2}) = - 4 \ pi GM} $${\ displaystyle g (r) = - GM / r ^ {2}} $${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - GM {\ frac {\ mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}} que es la ley de newton.

La ecuación de Poisson y potencial gravitatoria [ editar ]

Como el campo gravitatorio tiene una curvatura cero (de manera equivalente, la gravedad es una fuerza conservadora ) como se mencionó anteriormente, se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar , llamado potencial gravitacional :

$${\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi.}

Entonces la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad se convierte en la ecuación de Poisson :

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.}

Esto proporciona un medio alternativo para calcular el potencial gravitatorio y el campo gravitatorio. Aunque el cálculo de g a través de la ecuación de Poisson es matemáticamente equivalente al cálculo de g directamente de la ley de Gauss, uno u otro enfoque puede ser un cálculo más fácil en una situación dada.

En sistemas radialmente simétricos, el potencial gravitatorio es una función de una sola variable (a saber, $${\ displaystyle r = | \ mathbf {r} |}), y la ecuación de Poisson se convierte (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ):

$${\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} \, {\ frac {\ partial \ phi} { \ partial r}} \ right) = 4 \ pi G \ rho (r)}

Mientras que el campo gravitatorio es:

$${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - \ mathbf {e_ {r}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r}}.

Al resolver la ecuación, se debe tener en cuenta que, en el caso de densidades finitas, ∂ϕ / ∂ r debe ser continua en los límites (discontinuidades de la densidad) y cero para r = 0.

Aplicaciones [ editar ]

La ley de Gauss se puede usar para derivar fácilmente el campo gravitatorio en ciertos casos donde una aplicación directa de la ley de Newton sería más difícil (pero no imposible). Consulte el artículo Superficie gaussiana para obtener más detalles sobre cómo se realizan estas derivaciones. Tres de estas aplicaciones son las siguientes:

Placa de bouguer [ editar ]

Artículo principal: plato bouguer.

Podemos concluir (utilizando un " pastillero gaussiano ") que para una placa plana e infinita (placa Bouguer ) de cualquier espesor finito, el campo gravitacional fuera de la placa es perpendicular a la placa, hacia ella, con una magnitud de 2 πG por la masa. por unidad de área, independientemente de la distancia a la placa ^[2] (ver también anomalías de la gravedad ).

Más generalmente, para una distribución de masa con la densidad que depende de una coordenada cartesiana solo z , la gravedad para cualquier z es 2 πG veces (la masa por unidad de área por encima de z , menos la masa por unidad de área por debajo de z ).

En particular, una combinación de dos placas infinitas paralelas iguales no produce ninguna gravedad en el interior.

Distribución de la masa cilíndrica simétrica [ editar ]

En el caso de una distribución de masa cilíndrica simétricamente uniforme (en z ) infinita , podemos concluir (utilizando una superficie gaussiana cilíndrica ) que la intensidad de campo a una distancia r desde el centro es hacia el interior con una magnitud de 2 G / r por el total masa por unidad de longitud a una distancia menor (desde el eje), independientemente de cualquier masa a una distancia mayor.

Por ejemplo, dentro de un cilindro hueco infinito uniforme, el campo es cero.

Distribución de la masa esféricamente simétrica [ editar ]

Artículo principal: teorema de Shell

En el caso de una distribución de masa esférica simétrica podemos concluir (utilizando una superficie gaussianaesférica ) que la intensidad de campo a una distancia r desde el centro es hacia adentro con una magnitud de G / r ² veces solo la masa total dentro de una distancia menor que r. Toda la masa a una distancia mayor que r del centro puede ignorarse.

Por ejemplo, una esfera hueca no produce ninguna gravedad neta en su interior. El campo gravitatorio en el interior es el mismo que si la esfera hueca no estuviera allí (es decir, el campo resultante es el de cualquier masa dentro y fuera de la esfera solamente).

Aunque esto se sigue en una o dos líneas de álgebra de la ley de Gauss para la gravedad, a Isaac Newton le tomó varias páginas de cálculo engorroso para derivarlo directamente usando su ley de la gravedad; Consulte el artículo teorema de shell para esta derivación directa.

Derivación de Lagrangian [ editar ]

Artículo principal: lagrangiano (teoría de campo)

La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ({\ vec {x}}, t) = - \ rho ({\ vec {x}}, t) \ phi ({\ vec {x}}, t) - {1 \ sobre 8 \ pi G} (\ nabla \ phi ({\ vec {x}}, t)) ^ {2}}

Aplicando el principio de Hamilton a este lagrangiano, el resultado es la ley de Gauss para la gravedad:

$${\ displaystyle 4 \ pi G \ rho ({\ vec {x}}, t) = \ nabla ^ {2} \ phi ({\ vec {x}}, t).}

Ver Lagrangian (teoría de campo) para más detalles.