TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

En la relatividad general, se supone que la luz se propaga en el vacío a lo largo de una geodésica nula en una variedad pseudo-riemanniana . Además del principio de geodésica en una teoría de campo clásica, existe el principio de Fermat para campos de gravedad estacionarios .

El principio de Fermat [ editar ]

En un caso más general para el espacio-tiempo estacionario conforme ^[2] con coordenadas $${\ displaystyle (t, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3})}una métrica de Fermat toma forma

$${\ displaystyle g = e ^ {2f (t, x)} [(dt + \ phi _ {\ alpha} (x) dx ^ {\ alpha}) ^ {2} - {\ hat {g}} _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}]},

donde el factor conformal $${\ displaystyle f (t, x)} dependiendo del tiempo $${\ displaystyle t}y coordenadas espaciales$${\ displaystyle x ^ {\ alpha}}No afecta a las geodésicas similares a la luz aparte de su parametrización.

El principio de Fermat para una variedad pseudo-riemanniana establece que la trayectoria del rayo de luz entre puntos $${\ displaystyle x_ {a} = (x_ {a} ^ {1}, x_ {a} ^ {2}, x_ {a} ^ {3})} y $${\ displaystyle x_ {b} = (x_ {b} ^ {1}, x_ {b} ^ {2}, x_ {b} ^ {3})}Corresponde a cero variación de acción.

$${\ displaystyle S = \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} \ left ({\ sqrt {{\ hat {g}} _ {\ alpha \ beta} {\ frac { dx ^ {\ alpha}} {d \ mu}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ mu}}}} + \ phi _ {\ alpha} (x) {\ frac {dx ^ { \ alpha}} {d \ mu}} \ right) d \ mu},

dónde $${\ displaystyle \ mu}es cualquier parámetro que se extiende sobre un intervalo $${\ displaystyle [\ mu _ {a}, \ mu _ {b}]} y variando a lo largo de la curva con puntos finales fijos$${\ displaystyle x_ {a} = x (\ mu _ {a})} y $${\ displaystyle x_ {b} = x (\ mu _ {b})}.

Principio de integral estacionaria de energía [ editar ]

En principio, la integral estacionaria de energía para el movimiento de una partícula similar a la luz, la métrica pseudo-Riemanniana con coeficientes $${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {ij}} se define por una transformación

$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {00} = \ rho ^ {2} {g} _ {00}, \, \, \, \, {\ tilde {g}} _ {0k} = \ rho {g} _ {0k}, \, \, \, \, {\ tilde {g}} _ {kq} = {g} _ {kq}.}

Con coordenada de tiempo $${\ displaystyle x ^ {0}}y coordenadas espaciales con índices k, q = 1,2,3 el elemento de línea está escrito en forma

$${\ displaystyle ds ^ {2} = \ rho ^ {2} g_ {00} (dx ^ {0}) ^ {2} +2 \ rho g_ {0k} dx ^ {0} dx ^ {k} + g_ {kq} dx ^ {k} dx ^ {q},}

dónde $${\ displaystyle \ rho} es alguna cantidad, que se supone igual a 1 y se considera como la energía de la partícula similar a la luz con $${\ displaystyle ds = 0}. Resolviendo esta ecuación para$${\ displaystyle \ rho} bajo condicion $${\ displaystyle g_ {00} \ neq 0} da dos soluciones

$${\ displaystyle \ rho = {\ frac {-g_ {0k} v ^ {k} \ pm {\ sqrt {(g_ {0k} g_ {0q} -g_ {00} g_ {kq}) v ^ {k} v ^ {q}}}} {g_ {00} v ^ {0}}},}

dónde $${\ displaystyle v ^ {i} = dx ^ {i} / d \ mu}Son elementos de la cuatro velocidades . Incluso si una solución, de acuerdo con hacer definiciones, es$${\ displaystyle \ rho = 1}.

Con $${\ displaystyle g_ {00} = 0} y $${\ displaystyle g_ {0k} \ neq 0}incluso si por una k la energía toma forma

$${\ displaystyle \ rho = - {\ frac {g_ {kq} v ^ {k} v ^ {q}} {2v_ {0} v ^ {0}}}.}

En ambos casos, para la partícula en movimiento libre , el lagrangiano es

$${\ displaystyle L = - \ rho.}

Sus derivados parciales dan a la momia canónica.

$${\ displaystyle p _ {\ lambda} = {\ frac {\ partial L} {\ partial v ^ {\ lambda}}} = {\ frac {v _ {\ lambda}} {v ^ {0} v_ {0}} }}

y las fuerzas

$${\ displaystyle F _ {\ lambda} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial x ^ {\ lambda}}} = {\ frac {1} {2v ^ {0} v_ {0}}} {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {\ lambda}}} v ^ {i} v ^ {j}.}

Momenta satisfacer la condición de energía ^[3] para sistema cerrado

$${\ displaystyle \ rho = v ^ {\ lambda} p _ {\ lambda} -L,}

y por lo tanto $${\ displaystyle \ rho}es hamiltoniano .

El procedimiento variacional estándar según el principio de Hamilton se aplica a la acción.

$${\ displaystyle S = \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} Ld \ mu = - \ int _ {\ mu _ {b}} ^ {\ mu _ {a}} \ rho d \ mu,}

Que es parte integral de la energía. La acción estacionaria está condicionada a las derivadas variacionales cero δS / δx ^λ y conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange

$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ mu}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial v ^ {\ lambda}}} - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x ^ {\ lambda}}} = 0,}

que se reescribe en forma

$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ mu}} p _ {\ lambda} -F _ {\ lambda} = 0.}

Después de la sustitución del impulso y las fuerzas canónicas, dan ecuaciones de movimiento de partículas similares a la luz en un espacio libre.

$${\ displaystyle {\ frac {dv ^ {0}} {d \ mu}} + {\ frac {v ^ {0}} {2v_ {0}}} {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {0}}} v ^ {i} v ^ {j} = 0}

y

$${\ displaystyle (g_ {k \ lambda} v_ {0} -g_ {0k} v _ {\ lambda}) {\ frac {dv ^ {k}} {d \ mu}} + \ left [{\ frac {1 } {2v_ {0}}} {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial x ^ {0}}} (g_ {00} v ^ {0} v _ {\ lambda} + g_ {k \ lambda } v ^ {k} v_ {0}) - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {\ lambda}}} v_ {0} + { \ frac {\ parcial g_ {i \ lambda}} {\ parcial x ^ {j}}} v_ {0} - {\ frac {\ parcial g_ {0i}} {\ parcial x ^ {j}}} v_ { \ lambda} \ derecha] v ^ {i} v ^ {j} = 0.}

Tiempo espacial estático [ editar ]

Para las rutas isotrópicas una transformación a métrica.$${\ displaystyle {\ overline {g}} _ {ij} = g_ {ij} / {g_ {00}}} Es equivalente a la sustitución del parámetro. $${\ displaystyle \ mu} en $${\ displaystyle d {\ overline {\ mu}} = d \ mu / {\ sqrt {g_ {00}}}} a la que las cuatro velocidades $${\ displaystyle {\ overline {v}} ^ {i} = dx ^ {i} / d {\ overline {\ mu}}}corresponder. La curva de movimiento de la partícula similar a la luz en el espacio-tiempo en cuatro dimensiones y el valor de la energía.$${\ displaystyle \ rho}Son invariantes bajo esta reparación. Para el espacio-tiempo estático, la primera ecuación de movimiento con el parámetro apropiado$${\ displaystyle {\ overline {\ mu}}} da $${\ displaystyle {\ overline {v}} ^ {0} = 1}. El impulso y las fuerzas canónicas toman forma.

$${\ displaystyle {\ overline {p}} _ {\ lambda} = {\ overline {v}} _ {\ lambda}; \ qquad {\ overline {F}} _ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial {\ overline {g}} _ {ij}} {\ partial x ^ {\ lambda}}} {\ overline {v}} ^ {i} {\ overline {v} } ^ {j}.}

La sustitución de ellos en las ecuaciones de Euler-Lagrange da

$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ mu}} \ left ({\ overline {g}} _ {\ lambda k} {\ overline {v}} ^ {k} \ right) = {\ frac { 1} {2}} {\ frac {\ partial {\ overline {g}} _ {ij}} {\ partial x ^ {\ lambda}}} {\ overline {v}} ^ {i} {\ overline { v}} ^ {j}}.

Después de la diferenciación en el lado izquierdo y multiplicando por $${\ displaystyle {\ overline {g}} ^ {l \ lambda}} esta expresión, después de la suma sobre el índice repetido $${\ displaystyle \ lambda}, se convierte en nulas ecuaciones geodésicas.

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {l}} {d {\ overline {\ mu}} ^ {2}}} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ frac {dx ^ {i}} {d {\ overline {\ mu}}}} {\ frac {dx ^ {j}} {d {\ overline {\ mu}}}} = 0,}

dónde $${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {l}}son los segundos símbolos de Christoffel con respecto al tensor métrico $${\ displaystyle {\ overline {g}} _ {ij}}.

Entonces, en el caso del espacio-tiempo estático, el principio geodésico y el método variacional de energía, así como el principio de Fermat, dan la misma solución para la propagación de la luz.

la gravitación gauge es el esfuerzo por extender la teoría de Yang-Mills , que proporciona una descripción universal de las interacciones fundamentales, para describir la gravedad . No debe confundirse con la teoría de la medida de la gravedad , que es una formulación de la gravitación (clásica) en el lenguaje del álgebra geométrica . Tampoco debe confundirse con la teoría de Kaluza-Klein , donde los campos de medición se utilizan para describir campos de partículas, y no la gravedad en sí.

R. Utiyama sugirió el primer modelo de gravedad de la galga en 1956 ^[1] dos años después del nacimiento de la teoría de la galga en sí. ^[2] Sin embargo, los intentos iniciales de construir la teoría gauge de la gravedad por analogía con los modelos gauge de simetrías internas encontraron un problema al tratar las transformaciones covariantes generales y al establecer el estado gauge de una métrica pseudo-riemanniana (un campo tétrad).

Para superar este inconveniente, se intentó representar los campos de tétrada como campos de medición del grupo de traducción. ^{[3] Los} generadores infinitesimales de transformaciones covariantes generales se consideraron como los del grupo de indicadores de traducción, y se identificó un campo de tétrada (coframe) con la parte de traducción de una conexión afín en una variedad mundial $${\ displaystyle X}. Cualquier conexión de este tipo es una suma$${\ displaystyle K = \ Gamma + \ Theta}de una conexión mundial lineal $${\ displaystyle \ Gamma} y una forma de soldadura $${\ displaystyle \ Theta = \ Theta _ {\ mu} ^ {a} dx ^ {\ mu} \ otimes \ vartheta _ {a}} dónde $${\ displaystyle \ vartheta _ {a} = \ vartheta _ {a} ^ {\ lambda} \ parcial _ {\ lambda}}Es un marco no holonómico. Por ejemplo, si$${\ displaystyle K} Es la conexión de Cartan, entonces $${\ displaystyle \ Theta = \ theta = dx ^ {\ mu} \ otimes \ partial _ {\ mu}}es la forma de soldadura canónica en$${\ displaystyle X}. Existen diferentes interpretaciones físicas de la parte traducida.$${\ displaystyle \ Theta}de conexiones afines . En la teoría gauge de las dislocaciones , un campo.$${\ displaystyle \ Theta}Describe una distorsión. ^[4] Al mismo tiempo, dado un marco lineal.$${\ displaystyle \ vartheta _ {a}}, la descomposición $${\ displaystyle \ theta = \ vartheta ^ {a} \ otimes \ vartheta _ {a}} Motiva a muchos autores a tratar un coframe. $${\ displaystyle \ vartheta ^ {a}}como un campo de calibre de traducción. ^[5]

Las dificultades para construir la teoría de la gravitación de la galga por analogía con los Yang-Mills se deben a las transformaciones de la galga en estas teorías que pertenecen a diferentes clases. En el caso de las simetrías internas, las transformaciones de los indicadores son solo automorfismos verticales de un paquete principal $${\ displaystyle P \ a X} dejando su base $${\ displaystyle X}fijo. Por otro lado, la teoría de la gravitación se basa en el paquete principal$${\ displaystyle FX} de los marcos tangentes a $${\ displaystyle X}. Pertenece a la categoría de paquetes naturales. $${\ displaystyle T \ to X} Para lo cual difeomorfismos de la base. $${\ displaystyle X} Canónicamente dan lugar a automorfismos de $${\ displaystyle T}. ^[6] Estos automorfismos se denominan transformaciones covariantes generales. Las transformaciones covariantes generales son suficientes para reafirmar la relatividad general de Einstein y la teoría de la gravitación métricas afines como las de calibre.

En términos de la teoría de la galga en paquetes naturales, los campos de la galga son conexiones lineales en una variedad mundial$${\ displaystyle X}, definido como conexiones principales en el paquete de cuadros lineales $${\ displaystyle FX}y un campo gravitacional métrico (tétrico) desempeña el papel de un campo de Higgs responsable de la ruptura espontánea de simetría de las transformaciones covariantes generales. ^[7]

La ruptura espontánea de la simetría es un efecto cuántico cuando el vacío no es invariante en el grupo de transformación. En la teoría de galga clásica , la ruptura de simetría espontánea ocurre si el grupo de estructura $${\ displaystyle G}de un paquete principal $${\ displaystyle P \ a X} es reducible a un subgrupo cerrado $${\ displaystyle H}, es decir, existe un subbundle principal de $${\ displaystyle P}con el grupo de estructura $${\ displaystyle H}. ^[8] En virtud del conocido teorema, existe una correspondencia de uno a uno entre los subbundles principales reducidos de$${\ displaystyle P} con el grupo de estructura $${\ displaystyle H} y las secciones globales del paquete de cociente $${\ displaystyle P / H \ a X}. Estas secciones son tratadas como campos de Higgs clásicos.

La idea de la métrica pseudo-riemanniana como un campo de Higgs apareció al construir representaciones no lineales (inducidas) del grupo lineal general$${\ displaystyle GL (4, \ mathbb {R})}, de los cuales el grupo de Lorentz es un subgrupo de Cartan. ^[9] El principio de equivalencia geométrica que postula la existencia de un marco de referencia en el que se definen las invariantes de Lorentz en todo el mundo es la justificación teórica de que el grupo de estructura $${\ displaystyle GL (4, \ mathbb {R})} del paquete de marco lineal $${\ displaystyle FX}Se reduce al grupo de lorentz . Luego, la misma definición de una métrica pseudo-riemanniana en una variedad$${\ displaystyle X} como una sección global del paquete de cociente $${\ displaystyle FX / O (1,3) \ to X}Conduce a su interpretación física como un campo de Higgs . La razón física de la ruptura de la simetría mundial es la existencia de la materia de fermión de Dirac, cuyo grupo de simetría es la cobertura universal de dos hojas.$${\ displaystyle SL (2, \ mathbb {C})}del grupo restringido Lorentz ,$${\ displaystyle SO ^ {+} (1,3)}.