TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

La teoría del calibre afín es una teoría clásica del calibre donde los campos de calibre son conexiones afinesen el haz tangente sobre un colector liso $${\ displaystyle X}. Por ejemplo, estos son una teoría de la dislocación en medios continuos cuando$${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {3}}, la generalización de la teoría gravitacional afín cuando$${\ displaystyle X}Es un mundo múltiple y, en particular, la teoría gauge de la quinta fuerza .

Paquete tangente afín [ editar ]

Al ser un paquete vectorial , el paquete tangente$${\ displaystyle TX} de una $${\ displaystyle n}colector tridimensional $${\ displaystyle X}Admite una estructura natural de un paquete afín. $${\ displaystyle ATX}, llamado el haz tangente afín , que posee atlas de haz con funciones de transición afines. Se asocia a un paquete principal. $${\ displaystyle AFX} de marcos afines en el espacio tangente sobre $${\ displaystyle X}, cuyo grupo de estructura es un grupo afín general $${\ displaystyle GA (n, \ mathbb {R})}.

El haz tangente $${\ displaystyle TX}Se asocia a un paquete de marco lineal principal $${\ displaystyle FX}, cuyo grupo de estructura es un grupo lineal general $${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}. Este es un subgrupo de$${\ displaystyle GA (n, \ mathbb {R})} para que este último sea un producto semidirecto de $${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})} y un grupo $${\ displaystyle T ^ {n}} de traducciones.

Existe la incorporación canónica de $${\ displaystyle FX} a $${\ displaystyle AFX}en un subbundle principal reducido que corresponde a la estructura canónica de un paquete vectorial$${\ displaystyle TX} como el afín.

Dadas las coordenadas del paquete lineal

$${\ displaystyle (x ^ {\ mu}, {\ dot {x}} ^ {\ mu}), \ qquad {\ dot {x}} '^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ mu}} {\ parcial x ^ {\ nu}}} {\ punto {x}} ^ {\ nu}, \ qquad \ qquad (1)}

en el haz tangente $${\ displaystyle TX}, el paquete tangente afín se puede proporcionar con coordenadas del paquete afín

$${\ displaystyle (x ^ {\ mu}, {\ widetilde {x}} ^ {\ mu} = {\ dot {x}} ^ {\ mu} + a ^ {\ mu} (x ^ {\ alpha} )), \ qquad {\ widetilde {x}} '^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x' ^ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}}} {\ widetilde {x} } ^ {\ nu} + b ^ {\ mu} (x ^ {\ alpha}). \ qquad \ qquad (2)}

y, en particular, con las coordenadas lineales (1).

Campos de calibre afines [ editar ]

El haz tangente afín. $${\ displaystyle ATX}admite una conexión afín $${\ displaystyle A}que se asocia a una conexión principal en un paquete de cuadros afines$${\ displaystyle AFX}. En la teoría del calibre afín, se trata como un campo de calibre afín .

Dadas las coordenadas del paquete lineal (1) en $${\ displaystyle ATX = TX}, una conexion afín $${\ displaystyle A}Se representa mediante una conexión de forma tangente.

$${\ displaystyle A = dx ^ {\ lambda} \ otimes [\ partial _ {\ lambda} + (\ Gamma _ {\ lambda} {} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} (x ^ {\ alpha }) {\ dot {x}} ^ {\ nu} + \ sigma _ {\ lambda} ^ {\ mu} (x ^ {\ alpha})) {\ dot {\ partial}} _ {\ mu}] . \ qquad \ qquad (3)}

Esta conexión afín define una conexión lineal única

$${\ displaystyle \ Gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes [\ partial _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda} {} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} (x ^ {\ alpha }) {\ dot {x}} ^ {\ nu} {\ dot {\ partial}} _ {\ mu}] \ qquad \ qquad (4)}

en $${\ displaystyle TX}, que se asocia a una conexión principal en $${\ displaystyle FX}.

A la inversa, cada conexión lineal. $${\ displaystyle \ Gamma} (4) en $${\ displaystyle TX \ to X} se extiende al afín $${\ displaystyle A \ Gamma} en $${\ displaystyle ATX} que viene dada por la misma expresión (4) que $${\ displaystyle \ Gamma} con respecto a las coordenadas del paquete (1) en $${\ displaystyle ATX = TX}, pero toma forma

$${\ displaystyle A \ Gamma = dx ^ {\ lambda} \ otimes [\ partial _ {\ lambda} + (\ Gamma _ {\ lambda} {} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} (x ^ { \ alpha}) {\ widetilde {x}} ^ {\ nu} + s ^ {\ mu} (x ^ {\ alpha})) {\ widetilde {\ partial}} _ {\ mu}], \ qquad s ^ {\ mu} = - \ Gamma _ {\ lambda} {} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} a ^ {\ nu} + \ parcial _ {\ lambda} a ^ {\ mu},}

en relación con las coordenadas afines (2).

Entonces cualquier conexión afín $${\ displaystyle A} (3) en $${\ displaystyle ATX \ to X} está representado por una suma

$${\ displaystyle A = A \ Gamma + \ sigma \ qquad \ qquad (5)}

de la conexión lineal extendida $${\ displaystyle A \ Gamma}y una forma de soldadura basica

$${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {\ lambda} ^ {\ mu} (x ^ {\ alpha}) dx ^ {\ lambda} \ otimes \ partial _ {\ mu} \ qquad \ qquad (6)}

en $${\ displaystyle TX}, dónde $${\ displaystyle {\ dot {\ partial}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu}} Debido al isomorfismo canónico $${\ displaystyle VATX = ATX \ times _ {X} TX}del haz tangente vertical $${\ displaystyle VATX} de $${\ displaystyle ATX}.

En relación con las coordenadas lineales (1), la suma (5) se lleva a una suma $${\ displaystyle A = \ Gamma + \ sigma} de una conexión lineal $${\ displaystyle \ Gamma} y la forma de soldadura $${\ displaystyle \ sigma}(6). En este caso, la forma de soldadura.$${\ displaystyle \ sigma}(6) a menudo se trata como un campo de medición de traducción , aunque no es una conexión.

Notemos que un verdadero campo de calibre de traducción (es decir, una conexión afín que produce una conexión lineal plana en $${\ displaystyle TX}) está bien definido solo en una variedad paralelizable $${\ displaystyle X}.

Teoría del calibrador de dislocaciones [ editar ]

En la teoría de campos, uno se encuentra con un problema de interpretación física de los campos de medición de traducción porque no hay campos sujetos a traducciones de medición $${\ displaystyle u (x) \ to u (x) + a (x)}. Al mismo tiempo, se observa un campo de este tipo en la teoría de las dislocaciones en medios continuos porque, en presencia de dislocaciones, los vectores de desplazamiento$${\ displaystyle u ^ {k}}, $${\ displaystyle k = 1,2,3}Las pequeñas deformaciones se determinan solo con precisión para calibrar las traducciones. $${\ displaystyle u ^ {k} \ to u ^ {k} + a ^ {k} (x)}.

En este caso, vamos a $${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {3}}, y dejar que una conexión afín tome una forma.

$${\ displaystyle A = dx ^ {i} \ otimes (\ partial _ {i} + A_ {i} ^ {j} (x ^ {k}) {\ widetilde {\ partial}} _ {j})}

con respecto a las coordenadas del paquete afín (2). Este es un campo de calibre de traducción cuyos coeficientes$${\ displaystyle A_ {l} ^ {j}}Describir la distorsión plástica , derivados covariantes.$${\ displaystyle D_ {j} u ^ {i} = \ parcial _ {j} u ^ {i} -A_ {j} ^ {i}} Coincide con la distorsión elástica, y con una resistencia. $${\ displaystyle F_ {ji} ^ {k} = \ parcial _ {j} A_ {i} ^ {k} - \ parcial _ {i} A_ {j} ^ {k}} Es una densidad de dislocación.

Las ecuaciones de la teoría del calibre de las dislocaciones se derivan de una densidad lagrangiana invariante del indicador.

$${\ displaystyle L _ {(\ sigma)} = \ mu D_ {i} u ^ {k} D ^ {i} u_ {k} + {\ frac {\ lambda} {2}} (D_ {i} u ^ {i}) ^ {2} - \ epsilon F ^ {k} {} _ {ij} F_ {k} {} ^ {ij},}

dónde $${\ displaystyle \ mu} y $${\ displaystyle \ lambda}Son los parámetros lamé de los medios isotrópicos. Estas ecuaciones sin embargo no son independientes ya que un campo de desplazamiento$${\ displaystyle u ^ {k} (x)} se puede eliminar mediante traducciones de indicadores y, por lo tanto, no es una variable dinámica.

Teoría del calibrador de la quinta fuerza [ editar ]

En la teoría de la gravitación gauge en un mundo múltiple.$${\ displaystyle X}, se puede considerar una conexión afina, pero no lineal en el paquete tangente $${\ displaystyle TX} de $${\ displaystyle X}. Dadas las coordenadas del paquete (1) en$${\ displaystyle TX}, toma la forma (3) donde la conexión lineal $${\ displaystyle \ Gamma} (4) y la forma básica de soldadura $${\ displaystyle \ sigma} (6) Se consideran variables independientes.

Como se mencionó anteriormente, la forma de soldadura $${\ displaystyle \ sigma}(6) a menudo se trata como un campo de medición de traducción, aunque no es una conexión. Por otro lado, se identifica erróneamente$${\ displaystyle \ sigma}con un campo de tétrada . Sin embargo, estos son objetos matemáticos diferentes porque una forma de soldadura es una sección del paquete tensorial$${\ displaystyle TX \ otimes T ^ {*} X}, mientras que un campo de tétrada es una sección local de un subgrupo reducido de un paquete de cuadros de Lorentz$${\ displaystyle FX}.

En el espíritu de la mencionada teoría de la dislocación, se ha sugerido que un campo de soldadura $${\ displaystyle \ sigma}Puede describir las deformaciones sui generi de una variedad mundial.$${\ displaystyle X} que son dadas por un morfismo de haz

$${\ displaystyle s: TX \ ni \ partial _ {\ lambda} \ to \ partial _ {\ lambda} \ rfloor (\ theta + \ sigma) = (\ delta _ {\ lambda} ^ {\ nu} + \ sigma _ {\ lambda} ^ {\ nu}) \ parcial _ {\ nu} \ en TX,}

dónde $${\ displaystyle \ theta = dx ^ {\ mu} \ otimes \ partial _ {\ mu}}Es una forma tautológica .

Entonces se considera la teoría de la gravitación métrica afín. $${\ displaystyle (g, \ Gamma)} en una variedad mundial deformada como la de una métrica pseudo-riemanniana deformada $${\ displaystyle {\ widetilde {g}} ^ {\ mu \ nu} = s _ {\ alpha} ^ {\ mu} s _ {\ beta} ^ {\ nu} g ^ {\ alpha \ beta}} cuando un lagrangiano de un campo de soldadura $${\ displaystyle \ sigma} toma una forma

$${\ displaystyle L _ {(\ sigma)} = {\ frac {1} {2}} [a_ {1} T ^ {\ mu} {} _ {\ nu \ mu} T _ {\ alpha} {} ^ { \ nu \ alpha} + a_ {2} T _ {\ mu \ nu \ alpha} T ^ {\ mu \ nu \ alpha} + a_ {3} T _ {\ mu \ nu \ alpha} T ^ {\ nu \ mu \ alpha} + a_ {4} \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} T ^ {\ gamma} {} _ {\ mu \ gamma} T _ {\ beta \ nu \ alpha} - \ mu \ sigma ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ sigma ^ {\ nu} {} _ {\ mu} + \ lambda \ sigma ^ {\ mu} {} _ {\ mu} \ sigma ^ {\ nu} {} _ {\ nu}] {\ sqrt {-g}}},

dónde $${\ displaystyle \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ alpha \ beta}}es el símbolo de Levi-Civita , y

$${\ displaystyle T ^ {\ alpha} {} _ {\ nu \ mu} = D _ {\ nu} \ sigma ^ {\ alpha} {} _ {\ mu} -D _ {\ mu} \ sigma ^ {\ alpha } {} _ {\ nu}}

Es la torsión de una conexión lineal.$${\ displaystyle \ Gamma} con respecto a una forma de soldadura $${\ displaystyle \ sigma}.

En particular, consideremos este modelo de medición en el caso de pequeños campos gravitacionales y de soldadura cuya fuente de materia es una masa puntual. Entonces uno llega a un potencial newtonianomodificado del tipo de fuerza quinta .

Las alternativas a la relatividad general son las teorías físicas que intentan describir el fenómeno de la gravitación en competencia con la teoría de la relatividad general de Einstein .

Ha habido muchos intentos diferentes para construir una teoría ideal de la gravedad . ^[1] Estos intentos se pueden dividir en cuatro categorías amplias:

• Alternativas directas a la relatividad general (RG), como las teorías bimétricas de Cartan , Brans-Dicke y Rosen .
• Aquellos que intentan construir una teoría de la gravedad cuantificada , como la gravedad cuántica de bucle .
• Aquellos que intentan unificar la gravedad y otras fuerzas como Kaluza-Klein .
• Aquellos que intentan hacer varios a la vez , como la teoría-M .

Este artículo trata solo con alternativas directas a los GR. Para las teorías de la gravedad cuantificada, consulte el artículo gravedad cuántica . Para la unificación de la gravedad y otras fuerzas, consulte el artículo sobre teorías clásicas de campos unificados . Para aquellas teorías que intentan hacer varias a la vez, vea la teoría delartículo de todo .

Motivaciones [ editar ]

Las motivaciones para desarrollar nuevas teorías de la gravedad han cambiado a lo largo de los años, con la primera para explicar las órbitas planetarias ( Newton ) y las órbitas más complicadas (por ejemplo, Lagrange ). Luego vinieron intentos infructuosos de combinar la gravedad y la ola o las teorías corpusculares de la gravedad. Todo el panorama de la física se cambió con el descubrimiento de las transformaciones de Lorentz , y esto llevó a intentos de reconciliarlo con la gravedad. Al mismo tiempo, los físicos experimentales comenzaron a probar los fundamentos de la gravedad y la relatividad: la invariancia de Lorentz , la desviación gravitacional de la luz , el experimento de Eötvös.. Estas consideraciones condujeron y pasaron al desarrollo de la relatividad general .

Después de eso, las motivaciones difieren. Dos preocupaciones principales fueron el desarrollo de la teoría cuántica y el descubrimiento de las fuerzas nucleares fuertes y débiles . Los intentos por cuantificar y unificar la gravedad están fuera del alcance de este artículo, y hasta ahora ninguno ha sido completamente exitoso.

Después de la relatividad general (RG), se hicieron intentos para mejorar las teorías desarrolladas antes de la RG o para mejorar la RG misma. Se intentaron muchas estrategias diferentes, por ejemplo, la adición de giro a GR, combinando una métrica similar a GR con un espacio-tiempo que es estático con respecto a la expansión del universo, obteniendo libertad adicional al agregar otro parámetro. Al menos una teoría fue motivada por el deseo de desarrollar una alternativa a los recursos genéticos que esté libre de singularidades.

Las pruebas experimentales mejoraron junto con las teorías. Muchas de las diferentes estrategias que se desarrollaron poco después de que se abandonara el GR, y hubo un impulso para desarrollar formas más generales de las teorías que sobrevivieron, de modo que una teoría estaría lista cuando cualquier prueba mostrara un desacuerdo con el GR.

En la década de 1980, la precisión cada vez mayor de las pruebas experimentales había confirmado que todos los GR; no quedaron competidores, excepto aquellos que incluyeron GR como un caso especial. Además, poco después de eso, los teóricos cambiaron a la teoría de cuerdas que estaba empezando a parecer prometedora, pero desde entonces ha perdido popularidad. A mediados de la década de 1980, algunos experimentos sugerían que la gravedad se estaba modificando mediante la adición de una quinta fuerza (o, en un caso, de una quinta, una sexta y una séptima fuerza) actuando en el rango de unos pocos metros. Los experimentos posteriores los eliminaron.

Las motivaciones para las teorías alternativas más recientes son casi todas cosmológicas, asociadas con o que reemplazan constructos como " inflación ", " materia oscura " y " energía oscura ". La investigación de la anomalía de Pioneer ha provocado un renovado interés público en alternativas a la relatividad general.

Notación en este artículo [ editar ]

Artículos principales: Matemáticas de la relatividad general y cálculo de Ricci.

$${\ displaystyle c \;}es la velocidad de la luz ,$${\ displaystyle G \;}Es la constante gravitacional . " Variables geométricas " no se utilizan.

Los índices latinos van de 1 a 3, los índices griegos van de 0 a 3. Se usa la convención de suma de Einstein .

$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \;}Es la métrica de Minkowski .$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \;}Es un tensor, generalmente el tensor métrico . Estos tienen firma (-, +, +, +).

Se escribe diferenciación parcial.$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ varphi \;} o $${\ displaystyle \ varphi _ {, \ mu} \;}. La diferenciación covariante está escrita.$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} \ varphi \;} o $${\ displaystyle \ varphi _ {; \ mu} \;}.

Clasificación de las teorías [ editar ]

Las teorías de la gravedad pueden clasificarse, sin apretar, en varias categorías. La mayoría de las teorías descritas aquí tienen:

• una ' acción ' (ver el principio de acción mínima , un principio variacional basado en el concepto de acción)
• una densidad lagrangiana
• una métrica

Si una teoría tiene una densidad de Lagrange para la gravedad, diga $${\ displaystyle L \,}, luego la parte gravitacional de la acción. $${\ displaystyle S \,} Es la integral de eso:

$${\ displaystyle S = \ int L {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

En esta ecuación es usual, aunque no esencial, tener $${\ displaystyle g = -1 \,}en el infinito espacial cuando se usan coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la acción de Einstein – Hilbert usa

$${\ displaystyle L \, \ propto \, R}

donde R es la curvatura escalar , una medida de la curvatura del espacio.

Casi todas las teorías descritas en este artículo tienen una acción . Es la única forma conocida de garantizar que las leyes de conservación necesarias de energía, momento y momento angular se incorporen automáticamente; aunque es fácil construir una acción donde esas leyes de conservación son violadas. La versión original de MOND de 1983 no tenía acción.

Algunas teorías tienen una acción pero no una densidad lagrangiana. Un buen ejemplo es Whitehead (1922), la acción allí se denomina no local.

Una teoría de la gravedad es una "teoría métrica" ​​si y solo si se le puede dar una representación matemática en la que se cumplen dos condiciones: 
Condición 1 : existe un tensor métrico simétrico $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}de la firma (-, +, +, +), que rige las medidas de longitud adecuada y de tiempo apropiado de la manera habitual de la relatividad especial y general:

$${\ displaystyle {d \ tau} ^ {2} = - g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

donde hay una suma sobre índices $${\ displaystyle \ mu} y $${\ displaystyle \ nu}. 
Condición 2 : la materia estresada y los campos sobre los que actúa la gravedad responden de acuerdo con la ecuación:

$${\ displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = {T ^ {\ mu \ nu}} _ {, \ nu} + \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ mu} T ^ {\ sigma \ nu} + \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ nu} T ^ {\ mu \ sigma} \,}

dónde $${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \,}es el tensor de tensión-energía para todos los campos de materia y no gravitacional, y donde$${\ displaystyle \ nabla _ {\ nu}}es el derivado covariante con respecto a la métrica y$${\ displaystyle \ Gamma _ {\ sigma \ nu} ^ {\ alpha} \,}Es el símbolo de Christoffel . El tensor de tensión-energía también debe satisfacer una condición de energía .

Las teorías métricas incluyen (de lo más simple a lo más complejo):

• Teorías de campos escalares (incluye teorías conformes planas y teorías estratificadas con cortes de espacio conformes planas)
  • Bergman
  • Coleman
  • Einstein (1912)
  • La teoría de Einstein-Fokker.
  • Lee - Lightman - Ni
  • Poca madera
  • Ni
  • Teoría de la gravedad de Nordström (primera teoría métrica de la gravedad que se desarrollará)
  • Page – Tupper
  • Papapetrou
  • Rosen (1971)
  • Whitrow – Morduch
  • Teoría de la gravedad de Yilmaz (intento de eliminar los horizontes de eventos de la teoría).
• Teorías cuasilineales (incluye calibre fijo lineal)
  • Bollini – Giambiagi – Tiomno
  • Deser – Laurent
  • Teoría de la gravedad de Whitehead (destinada a utilizar solo potenciales retardados )
• Teorias tensoriales
  • GR de Einstein
  • Gravedad de cuarto orden (permite que el lagrangiano dependa de las contracciones de segundo orden del tensor de curvatura de Riemann)
  • Gravedad f (R) (permite que el lagrangiano dependa de los poderes superiores del escalar de Ricci)
  • Gravedad Gauss-Bonnet
  • La teoría de la gravedad de Lovelock (permite que el lagrangiano dependa de las contracciones de orden superior del tensor de curvatura de Riemann)
  • Teorema de derivados infinitos de la gravedad
• Teorias del tensor escalar
  • Bekenstein
  • Bergmann – Wagoner
  • Teoría de Brans-Dicke (la alternativa más conocida a los recursos genéticos, que pretende ser mejor aplicando el principio de Mach)
  • Jordán
  • Nordtvedt
  • Treinta
  • Camaleón
  • Pressuron
• Teorias del vector-tensor
  • Hellings– Nordtvedt
  • Will - Nordtvedt
• Teorias bimetricas
  • Lightman - Lee
  • Rastall
  • Rosen (1975)
• Otras teorias metricas

(ver sección teorías modernas más abajo)

Las teorías no métricas incluyen

• Belinfante – Swihart
• Teoría de Einstein-Cartan (destinada a manejar el intercambio de momento angular de giro orbital)
• Kustaanheimo (1967)
• Teleparalelismo
• Teoría del indicador de gravedad

Una palabra aquí sobre el principio de Mach es apropiada porque algunas de estas teorías se basan en el principio de Mach (por ejemplo, Whitehead (1922)), y muchos lo mencionan de pasada (por ejemplo, Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961)). El principio de Mach se puede pensar en una casa de medio camino entre Newton y Einstein. Va de esta manera: ^[2]

• Newton: Espacio y tiempo absolutos.
• Mach: El marco de referencia proviene de la distribución de la materia en el universo.
• Einstein: No hay marco de referencia.

Hasta ahora, toda la evidencia experimental apunta a que el principio de Mach está equivocado, pero no se ha descartado por completo. ^{[ cita requerida ]}

Teorías tempranas, 1686 a 1916 [ editar ]

Artículos principales: Historia de la teoría gravitacional e Historia de la relatividad general.

Newton (1686)

Artículos principales: Ley de Newton de la gravitación universal y Ley de Gauss para la gravedad.

En la teoría de Newton (1686) (reescrita usando matemáticas más modernas) la densidad de masa $${\ displaystyle \ rho \,} Genera un campo escalar, el potencial gravitacional. $${\ displaystyle \ varphi \,} en julios por kilogramo, por

$${\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial x ^ {j} \, \ partial x ^ {j}} = 4 \ pi G \ rho \ ,.}

Usando el operador Nabla $${\ displaystyle \ nabla}para el gradiente y la divergencia (derivadas parciales), esto se puede escribir convenientemente como:

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = 4 \ pi G \ rho \ ,.}

Este campo escalar gobierna el movimiento de una partícula en caída libre mediante:

$${\ displaystyle {d ^ {2} x ^ {j} \ over dt ^ {2}} = - {\ partial \ varphi \ over \ partial x ^ {j} \,}.}

A la distancia r de una masa aislada M , el campo escalar es

$${\ displaystyle \ varphi = - {\ frac {GM} {r}} \ ,.}

La teoría de Newton y la mejora de Lagrange en el cálculo (aplicando el principio variacional), no toma en cuenta los efectos relativistas del curso, por lo que puede rechazarse como una teoría viable de la gravedad. Aun así, se piensa que la teoría de Newton es exactamente correcta en el límite de los campos gravitatorios débiles y las bajas velocidades, y todas las demás teorías de la gravedad necesitan reproducir la teoría de Newton en los límites apropiados.

Explicaciones mecánicas (1650–1900)

Para explicar la teoría de Newton, se crearon algunas explicaciones mecánicas de la gravitación (incluida la teoría de Le Sage ) entre 1650 y 1900, pero fueron derrocadas porque la mayoría de ellas conducen a una cantidad inaceptable de resistencia , que no se observa. Otros modelos violan la ley de conservación de energíay son incompatibles con la termodinámica moderna .

Modelos electrostáticos (1870–1900)

A fines del siglo XIX, muchos intentaron combinar la ley de fuerza de Newton con las leyes establecidas de la electrodinámica, como las de Weber , Carl Friedrich Gauss , Bernhard Riemann y James Clerk Maxwell . Esos modelos se utilizaron para explicar el avance del perihelio de Mercurio . En 1890, Lévy logró hacerlo combinando las leyes de Weber y Riemann, en las que la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz en su teoría. Y en otro intento, Paul Gerber.(1898) incluso logró derivar la fórmula correcta para el cambio del Perihelio (que fue idéntica a la fórmula utilizada más tarde por Einstein). Sin embargo, debido a que las leyes básicas de Weber y otros estaban equivocadas (por ejemplo, la ley de Weber fue reemplazada por la teoría de Maxwell), esas hipótesis fueron rechazadas. ^[3] En 1900, Hendrik Lorentz intentó explicar la gravedad sobre la base de su teoría del éter de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell . Asumió, como Ottaviano Fabrizio Mossotti y Johann Karl Friedrich Zöllner, que la atracción de partículas cargadas opuestas es más fuerte que la repulsión de partículas cargadas iguales. La fuerza neta resultante es exactamente lo que se conoce como la gravitación universal, en el que la velocidad de la gravedad es la de la luz. Pero Lorentz calcula que el valor para el avance del perihelio de Mercurio era demasiado baja. ^[4]

Modelos invariantes de Lorentz (1905–1910)

Basados ​​en el principio de relatividad , Henri Poincaré (1905, 1906), Hermann Minkowski (1908) y Arnold Sommerfeld (1910) intentaron modificar la teoría de Newton y establecer una ley gravitacional invariante de Lorentz , en la cual la velocidad de la gravedad es la de ligero. Sin embargo, como en el modelo de Lorentz, el valor del avance del perihelio de Mercurio era demasiado bajo. ^[5]

Einstein (1908, 1912)

La publicación en dos partes de Einstein en 1912 (y antes de 1908) es realmente solo importante por razones históricas. Para entonces él sabía del desplazamiento al rojo gravitatorio y la desviación de la luz. Se había dado cuenta de que las transformaciones de Lorentz no son generalmente aplicables, pero las conservó. La teoría afirma que la velocidad de la luz es constante en el espacio libre, pero varía en presencia de la materia. Solo se esperaba que la teoría se mantuviera cuando la fuente del campo gravitatorio es estacionaria. Incluye el principio de mínima acción :

$${\ displaystyle \ delta \ int d \ tau = 0 \,}

$${\ displaystyle {d \ tau} ^ {2} = - \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

dónde $${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \,}es la métrica de Minkowski , y hay una suma de 1 a 4 sobre índices$${\ displaystyle \ mu \,} y $${\ displaystyle \ nu \,}.

Einstein y Grossmann (1913) incluyen geometría riemanniana y cálculo tensorial .

$${\ displaystyle \ delta \ int d \ tau = 0 \,}

$${\ displaystyle {d \ tau} ^ {2} = - g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

Las ecuaciones de la electrodinámica coinciden exactamente con las de GR. La ecuacion

$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = \ rho {dx ^ {\ mu} \ over d \ tau} {dx ^ {\ nu} \ over d \ tau} \,}

no está en GR. Expresa el tensor de tensión-energía en función de la densidad de la materia.

Abraham (1912)

Mientras esto sucedía, Abraham estaba desarrollando un modelo alternativo de gravedad en el que la velocidad de la luz depende de la intensidad del campo gravitatorio y, por lo tanto, es variable en casi todas partes. La revisión de Abraham de 1914 de los modelos de gravitación se dice que es excelente, pero su propio modelo era pobre.

Nordström (1912)

El primer enfoque de Nordström (1912) fue retener la métrica de Minkowski y un valor constante de$${\ displaystyle c \,} Pero dejar que la masa dependa de la fuerza del campo gravitatorio. $${\ displaystyle \ varphi \,}. Permitiendo que esta fuerza de campo satisfaga

$${\ displaystyle \ Box \ varphi = \ rho \,}

dónde $${\ displaystyle \ rho \,} es la energía de masa de descanso y $${\ displaystyle \ Box \,}es el d'Alembertian ,

$${\ displaystyle m = m_ {0} \ exp \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \,}

y

$${\ displaystyle - {\ partial \ varphi \ over \ partial x ^ {\ mu}} = {\ dot {u}} _ {\ mu} + {u _ {\ mu} \ over c ^ {2} {\ dot {\ varphi}}} \,}

dónde $${\ displaystyle u \,} es la de cuatro velocidades y el punto es un diferencial con respecto al tiempo.

El segundo enfoque de Nordström (1913) se recuerda como la primera teoría del campo relativista lógicamente consistente de la gravitación formulada. De (nota, notación de Pais (1982) no Nordström):

$${\ displaystyle \ delta \ int \ psi \, d \ tau = 0 \,}

$${\ displaystyle {d \ tau} ^ {2} = - \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

dónde $${\ displaystyle \ psi \,} es un campo escalar,

$${\ displaystyle - {\ partial T ^ {\ mu \ nu} \ over \ partial x ^ {\ nu}} = T {1 \ over \ psi} {\ partial \ psi \ over \ partial x _ {\ mu}} \,}

Esta teoría es invariante de Lorentz, satisface las leyes de conservación, se reduce correctamente al límite newtoniano y satisface el principio de equivalencia débil .