TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

ALTERNATIVAS A LA RELATIVIDAD GENERAL , CONTINUACIÓN

Einstein y Fokker (1914)

Esta teoría es el primer tratamiento de Einstein de la gravitación en el que se obedece estrictamente la covarianza general. Escritura:

$${\ displaystyle \ delta \ int ds = 0 \,}

$${\ displaystyle {ds} ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ psi ^ {2} \ eta _ {\ mu \ nu} \,}

relacionan Einstein – Grossmann (1913) con Nordström (1913). También afirman:

$${\ displaystyle T \, \ propto \, R \ ,.}

Es decir, la traza del tensor de energía de tensión es proporcional a la curvatura del espacio.

Einstein (1916, 1917)

Esta teoría es lo que ahora llamamos "relatividad general" (incluida aquí para comparación). Descartando por completo la métrica de Minkowski, Einstein obtiene:

$${\ displaystyle \ delta \ int ds = 0 \,}

$${\ displaystyle {ds} ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}

$${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ left (T _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g_ {\ mu \ nu} T \ derecha) \,}

que también se puede escribir

$${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {c ^ {4} \ sobre 8 \ pi G} \ left (R ^ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g ^ { \ mu \ nu} R \ derecha) \ ,.}

Cinco días antes de que Einstein presentara la última ecuación anterior, Hilbert había presentado un documento que contenía una ecuación casi idéntica. Ver disputa de prioridad de relatividad . Hilbert fue el primero en indicar correctamente la acción de Einstein-Hilbert para GR, que es:

$${\ displaystyle S = {c ^ {4} \ sobre 16 \ pi G} \ int R {\ sqrt {-g}} \ d ^ {4} x + S_ {m} \,}

dónde $${\ displaystyle G \,} es la constante gravitatoria de Newton, $${\ displaystyle R = R _ {\ mu} ^ {~ \ mu} \,}Es la curvatura de Ricci del espacio.$${\ displaystyle g = \ det (g _ {\ mu \ nu}) \,} y $${\ displaystyle S_ {m} \,}Es la acción debida a la masa.

GR es una teoría del tensor, todas las ecuaciones contienen tensores. Las teorías de Nordström, por otro lado, son teorías escalares porque el campo gravitatorio es un escalar. Más adelante en este artículo, verá teorías del tensor escalar que contienen un campo escalar además de los tensores de GR, y otras variantes que contienen campos vectoriales también se han desarrollado recientemente.

Teorías desde 1917 hasta la década de 1980 [ editar ]

Esta sección incluye alternativas a GR publicadas después de GR pero antes de las observaciones de rotación de galaxias que llevaron a la hipótesis de " materia oscura ". Aquellos considerados aquí incluyen (ver Will (1981), ^[6] Lang (2002) ^[7] ):

Teorías desde 1917 hasta los años ochenta. ^[6] [7]

Año (s) de publicación	Autor (es)	Tipo de teoría
1922	Whitehead	Cuasilineal
1922, 1923	Cartan	No métrico
1939	Fierz y Pauli
1943	Birkhov
1948	Milne
1948	Treinta
1954	Papapetrou	Campo escalar
1953	Poca madera	Campo escalar
1955	Jordán
1956	Bergman	Campo escalar
1957	Belinfante y Swihart
1958, 1973	Yilmaz
1961	Brans y Dicke	Tensor escalar
1960, 1965	Whitrow y Morduch	Campo escalar
1966	Kustaanheimo
1967	Kustaanheimo y Nuotio
1968	Deser & Laurent	Cuasilineal
1968	Página y Tupper	Campo escalar
1968	Bergmann	Tensor escalar
1970	Bollini – Giambiagi – Tiomno	Cuasilineal
1970	Nordtveldt
1970	Carretero	Tensor escalar
1971	Rosen	Campo escalar
1975	Rosen	Bimetricos
1972, 1973	Wei-Tou Ni	Campo escalar
1972	Will y Nordtveldt	Vector-tensor
1973	Hellings & Nordtveldt	Vector-tensor
1973	Lightman & Lee	Campo escalar
1974	Lee, Lightman & Ni
1977	Bekenstein	Tensor escalar
1978	Pregonero	Tensor escalar
1979	Rastall	Bimetricos

Estas teorías se presentan aquí sin una constante cosmológica o un potencial escalar o vectorial agregado, a menos que se indique específicamente, por la sencilla razón de que no se reconoció la necesidad de uno o ambos antes de las observaciones de supernova realizadas por el Proyecto de Cosmología de Supernova y la Búsqueda de Supernova de Alta Z equipo . Cómo agregar una constante cosmológica o quintaesencia a una teoría se discute en Teorías Modernas (ver también aquí ).

Teorías campo escalar [ editar ]

Ver también: Teorías escalares de la gravitación.

Las teorías del campo escalar de Nordström (1912, 1913) ya han sido discutidas. Los de Littlewood (1953), Bergman (1956), Yilmaz (1958), Whitrow y Morduch (1960, 1965) y Page y Tupper (1968) siguen la fórmula general dada por Page y Tupper.

Según Page y Tupper (1968), quienes discuten todo esto excepto Nordström (1913), la teoría general del campo escalar proviene del principio de acción mínima:

$${\ displaystyle \ delta \ int f \ left ({\ tfrac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) \, ds = 0}

donde el campo escalar es,

$${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {GM} {r}}}

y c pueden o no dependerá de$${\ displaystyle \ varphi}.

En Nordström (1912),

$${\ displaystyle f (\ varphi / c ^ {2}) = \ exp (- \ varphi / c ^ {2}), \ qquad c = c _ {\ infty}}

En Littlewood (1953) y Bergmann (1956),

$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} - {\ frac {(c / \ varphi ^ {2}) ^ {2}} {2}} \ right) \ qquad c = c _ {\ infty} \,}

En Whitrow y Morduch (1960),

$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = 1, \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \ ,}

En Whitrow y Morduch (1965),

$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) , \ qquad c ^ {2} = c _ {\ infty} ^ {2} -2 \ varphi \,}

En Page y Tupper (1968),

$${\ displaystyle f \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} + \ alpha \ left ({\ frac {\ varphi} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}, \ qquad {\ frac {c _ {\ infty} ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1 + 4 \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2}}} \ right) + (15 + 2 \ alpha) \ left ({\ frac {\ varphi} {c _ {\ infty} ^ {2 }}} \ right) ^ {2}}

Page y Tupper (1968) emparejan Yilmaz (1958) (véase también la teoría de la gravitación de Yilmaz ) a segundo orden cuando$${\ displaystyle \ alpha = -7 / 2}.

La desviación gravitacional de la luz debe ser cero cuando c es constante. Dado que la variable c y la desviación cero de la luz están en conflicto con el experimento, la perspectiva de una teoría escalar exitosa de la gravedad parece muy poco probable. Además, si los parámetros de una teoría escalar se ajustan para que la desviación de la luz sea correcta, entonces es probable que el desplazamiento gravitacional sea incorrecto.

Ni (1972) resumió algunas teorías y también creó dos más. En la primera, una coordenada especial de tiempo y tiempo de relatividad especial preexistente actúa con campos de materia y no gravitacionales para generar un campo escalar. Este campo escalar actúa junto con el resto para generar la métrica.

La acción es:

$${\ displaystyle S = {1 \ sobre 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} L _ {\ varphi} + S_ {m}}

$${\ displaystyle L _ {\ varphi} = \ varphi R-2g ^ {\ mu \ nu} \, \ parcial _ {\ mu} \ varphi \, \ parcial _ {\ nu} \ varphi}

Misner et al. (1973) da esto sin la$${\ displaystyle \ varphi R} término. $${\ displaystyle S_ {m}} Es la acción de la materia.

$${\ displaystyle \ Box \ varphi = 4 \ pi T ^ {\ mu \ nu} \ left [\ eta _ {\ mu \ nu} e ^ {- 2 \ varphi} + \ left (e ^ {2 \ varphi} + e ^ {- 2 \ varphi} \ right) \, \ partial _ {\ mu} t \, \ partial _ {\ nu} t \ right]}

t es la coordenada de tiempo universal. Esta teoría es autoconsistente y completa. Pero el movimiento del sistema solar a través del universo conduce a un serio desacuerdo con el experimento.

En la segunda teoría de Ni (1972) hay dos funciones arbitrarias. $${\ displaystyle f (\ varphi)} y $${\ displaystyle k (\ varphi)} que están relacionados con la métrica por:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {- 2f (\ varphi)} dt ^ {2} -e ^ {2f (\ varphi)} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right]}

$${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} \ varphi = 4 \ pi \ rho ^ {*} k (\ varphi)}

Ni (1972) cita a Rosen (1971) por tener dos campos escalares $${\ displaystyle \ varphi} y $${\ displaystyle \ psi} que están relacionados con la métrica por:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = \ varphi ^ {2} \, dt ^ {2} - \ psi ^ {2} \ left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ Correcto]}

En Papapetrou (1954a) la parte gravitacional del lagrangiano es:

$${\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {\ varphi} \ left ({\ tfrac {1} {2}} e ^ {- \ varphi} \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi \, \ partial _ {\ alpha} \ varphi + {\ tfrac {3} {2}} e ^ {\ varphi} \, \ parcial _ {0} \ varphi \, \ parcial _ {0} \ varphi \ derecha)}

En Papapetrou (1954b) hay un segundo campo escalar. $${\ displaystyle \ chi}. La parte gravitacional del lagrangiano es ahora:

$${\ displaystyle L _ {\ varphi} = e ^ {{\ frac {1} {2}} (3 \ varphi + \ chi)} \ left (- {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- \ varphi} \, \ parcial _ {\ alpha} \ varphi \, \ parcial _ {\ alpha} \ varphi -e ^ {- \ varphi} \, \ parcial _ {\ alpha} \ varphi \, \ parcial _ {\ chi} \ varphi + {\ tfrac {3} {2}} e ^ {- \ chi} \, \ parcial _ {0} \ varphi \, \ parcial _ {0} \ varphi \ derecha) \,}

Teorías Bimetric [ editar ]

Ver también: Teoría bimétrica.

Las teorías bimétricas contienen la métrica del tensor normal y la métrica de Minkowski (o una métrica de curvatura constante), y pueden contener otros campos escalares o vectoriales.

La teoría bimétrica de Rosen (1973, 1975) La acción es:

$${\ displaystyle S = {1 \ sobre 64 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {- \ eta}} \ eta ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ delta} (g _ {\ alpha \ gamma | \ mu} g _ {\ alpha \ delta | \ nu} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta | \ mu} g _ {\ gamma \ delta | \ nu}) + S_ {m}}

$${\ displaystyle \ Box _ {\ eta} g _ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ gamma \ delta} g _ {\ mu \ alpha | \ gamma} g _ {\ nu \ beta | \ delta} = - 16 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} (T _ {\ mu \ nu} - \ textstyle {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} T ) \,}

Lightman-Lee (1973) desarrolló una teoría métrica basada en la teoría no métrica de Belinfante y Swihart (1957a, 1957b). El resultado es conocido como la teoría BSLL. Dado un campo tensorial$${\ displaystyle B _ {\ mu \ nu} \,}, $${\ displaystyle B = B _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ mu \ nu} \,}y dos constantes $${\ displaystyle a \,} y $${\ displaystyle f \,} la acción es:

$${\ displaystyle S = {1 \ sobre 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} (aB ^ {\ mu \ nu | \ alpha} B _ {\ mu \ nu | \ alpha} + fB _ {, \ alpha} B ^ {, \ alpha}) + S_ {m}}

y el tensor de tensión-energía proviene de:

$${\ displaystyle a \ Box _ {\ eta} B ^ {\ mu \ nu} + f \ eta ^ {\ mu \ nu} \ Box _ {\ eta} B = -4 \ pi G {\ sqrt {g / \ eta}} \, T ^ {\ alpha \ beta} \ left ({\ frac {\ partial g _ {\ alpha \ beta}} {\ partial B _ {\ mu} \ nu}} \ right)}

En Rastall (1979), la métrica es una función algebraica de la métrica de Minkowski y un campo Vector. ^[8] La acción es:

$${\ displaystyle S = {1 \ sobre 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x \, {\ sqrt {-g}} F (N) K ^ {\ mu; \ nu} K _ {\ mu; \ nu} + S_ {m}}

dónde

$${\ displaystyle F (N) = - {\ frac {N} {2 + N}}} y $${\ displaystyle N = g ^ {\ mu \ nu} K _ {\ mu} K _ {\ nu} \;}

(ver Will (1981) para la ecuación de campo para $${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \;} y $${\ displaystyle K _ {\ mu} \;}).

Teorías cuasilineales [ editar ]

En Whitehead (1922), la métrica física.$${\ displaystyle g \;}se construye (por Synge ) algebraicamente a partir de la métrica de Minkowski$${\ displaystyle \ eta \;}y variables de materia, por lo que ni siquiera tiene un campo escalar. La construcción es:

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} (x ^ {\ alpha}) = \ eta _ {\ mu \ nu} -2 \ int _ {\ Sigma ^ {-}} {y _ {\ mu} ^ {- } y _ {\ nu} ^ {-} \ over (w ^ {-}) ^ {3}} \ left [{\ sqrt {-g}} \ rho u ^ {\ alpha} \, d \ Sigma _ { \ alpha} \ right] ^ {-}}

donde el superíndice (-) indica las cantidades evaluadas a lo largo del pasado $${\ displaystyle \ eta \;} cono de luz del punto de campo $${\ displaystyle x ^ {\ alpha} \;} y

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (y ^ {\ mu}) ^ {-} & = x ^ {\ mu} - (x ^ {\ mu}) ^ {-}, \ qquad (y ^ {\ mu}) ^ {-} (y _ {\ mu}) ^ {-} = 0, \\ [5pt] w ^ {-} & = (y ^ {\ mu}) ^ {-} (u _ {\ mu }) ^ {-}, \ qquad (u _ {\ mu}) = {\ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ sigma}}, \\ [5pt] d \ sigma ^ {2} & = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \ end {alineado}}}

Sin embargo, se critica la construcción métrica (a partir de una teoría no métrica) que usa la "contracción de longitud" ansatz. ^[9]

Deser y Laurent (1968) y Bollini – Giambiagi – Tiomno (1970) son teorías de calibrador fijo lineal (LFG). Adoptando un enfoque de la teoría del campo cuántico, combine un espacio-tiempo de Minkowski con la acción invariante del indicador de un campo tensor de espín-dos (es decir, gravitón)$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \;} definir

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu} \;}

La acción es:

$${\ displaystyle S = {1 \ sobre 16 \ pi G} \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- \ eta}} \ left [2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ nu} h _ {\ mu \ lambda} ^ {| \ lambda} -2h_ {| \ nu} ^ {\ mu \ nu} h _ {\ lambda | \ mu} ^ {\ lambda} + h _ {\ nu | \ mu} ^ {\ nu } h _ {\ lambda} ^ {\ lambda | \ mu} -h ^ {\ mu \ nu | \ lambda} h _ {\ mu \ nu | \ lambda} \ right] + S_ {m} \;}

La identidad de Bianchi asociada con esta invariancia de galga parcial es incorrecta. Las teorías de LFG buscan remediar esto rompiendo la invariabilidad de la acción gravitatoria mediante la introducción de campos gravitatorios auxiliares que se unen a$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} \;}.

Una constante cosmológica puede introducirse en una teoría cuasilineal por el simple expediente de cambiar el fondo de Minkowski a un espacio -tiempo de Sitter o anti-de Sitter , como lo sugirió G. Temple en 1923. Las sugerencias de Temple sobre cómo hacer esto fueron criticadas por CB Rayner en 1955.