TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

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Distribución de sistemas astronómicos en el diagrama de espacio de fase o gravedad, graficado por X. Hernández

Las teorías extendidas de la gravedad son teorías alternativas de la gravedad desarrolladas a partir de los puntos de partida exactos investigados primero por Einstein y Hilbert. Estas son teorías que describen la gravedad, que son la teoría métrica , "una conexión lineal" o teorías afines relacionadas, o la teoría de la gravedad afín métrica . En lugar de intentar descubrir cálculos correctos para el lado de la materia de las ecuaciones de campo de Einstein; que incluyen inflación , energía oscura , materia oscura , estructura a gran escala y , posiblemente, gravedad cuántica ; se propone, en cambio, cambiar el lado gravitacional de la ecuación.

Una de esas teorías es también una extensión de la relatividad general y la ley de gravedad universal de Newton($${\ displaystyle f (\ chi) = \ chi ^ {\ frac {3} {2}}}), propuesto por primera vez en 2010 por los astrónomos mexicanos Xavier Hernández Doring, Sergio Mendoza Ramos y otros, investigadores del Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional Autónoma de México . ^[3] [4] Esta teoría está de acuerdo con las observaciones de la cinemática del sistema solar, las estrellas binarias extendidas, ^[5] y todos los tipos de galaxias y grupos galácticos y nubes. ^[6] También reproduce el efecto de lente gravitacional sin la necesidad de postular la materia oscura . ^[7]

Hay algunas pruebas de que también podría explicar los fenómenos de energía oscura ^[8] [9] y dar una buena solución al problema de las condiciones iniciales. ^[10]

Estos resultados se pueden clasificar como una teoría de la gravedad f (R) métrica , más propiamente una teoría f (R, T), derivada de un principio de acción . Este enfoque para resolver el problema de la materia oscura tiene en cuenta la relación Tully-Fisher como una ley empírica que se aplica siempre a escalas mayores que el radio de Milgrom . 

f ( R ) es un tipo deteoría de la gravedad modificada que generaliza la relatividad general de Einstein . f ( R ) la gravedad es en realidad una familia de teorías, cada una definida por una función diferente, f , del escalar Ricci ,R . El caso más simple es simplemente que la función es igual al escalar; Esto es relatividad general. Como consecuencia de la introducción de una función arbitraria, puede haber libertad para explicar la expansión acelerada y la formación de la estructura del Universo sin agregar formas desconocidas de energía oscura ola materia oscura . Algunas formas funcionales pueden inspirarse en correcciones que surgen de una teoría cuántica de la gravedad . La gravedad f ( R ) fue propuesta por primera vez en 1970 por Hans Adolph Buchdahl ^[1] (aunque se usó ϕ en lugar de f para el nombre de la función arbitraria). Se ha convertido en un campo de investigación activo después del trabajo de Starobinsky sobre la inflación cósmica . ^[2] A partir de esta teoría se puede producir una amplia gama de fenómenos mediante la adopción de diferentes funciones; sin embargo, muchas formas funcionales ahora se pueden descartar por motivos de observación o por problemas teóricos patológicos.

Introducción [ editar ]

En la gravedad F ( R ), se busca generalizar el Lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert :

$${\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ over 2 \ kappa} R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

a

$${\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ over 2 \ kappa} f (R) {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

dónde $${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}es el determinante del tensor métrico , y$${\ displaystyle f (R)}Es alguna función del escalar ricci .

Gravedad f ( R ) métrica [ editar ]

Derivación de las ecuaciones de campo [ editar ]

En la gravedad métrica f ( R ), se llega a las ecuaciones de campo variando con respecto a la métrica y no tratando la conexión de forma independiente. Para completar, ahora mencionaremos brevemente los pasos básicos de la variación de la acción. Los pasos principales son los mismos que en el caso de la variación de la acción Einstein-Hilbert (consulte el artículo para obtener más detalles), pero también hay algunas diferencias importantes.

La variación del determinante es como siempre:

$${\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} }

El escalar de Ricci se define como

$${\ displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}

Por lo tanto, su variación con respecto a la métrica inversa. $${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}} es dado por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ delta R & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ left (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ {\ rho} - \ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu} ^ {\ rho} \ right) \ end {alineado}}}

Para el segundo paso, vea el artículo sobre la acción de Einstein-Hilbert . Ya que$${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}Es la diferencia de dos conexiones, debe transformarse como un tensor. Por lo tanto, se puede escribir como

$${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ lambda a} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a \ nu} + \ nabla _ {\ nu} \ delta g_ {a \ mu} - \ nabla _ {a} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right).}

Sustituyendo en la ecuación anterior:

$${\ displaystyle \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}}

dónde $${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}es el derivado covariante y$${\ displaystyle \ square = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}Es el operador D'Alembert .

Denotando $${\ displaystyle F (R) = {\ frac {\ partial f} {\ partial R}}}, la variación en la acción dice:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ delta S [g] & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ delta f (R) {\ sqrt {-g}} + f (R) \ delta {\ sqrt {-g}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (F (R) \ delta R {\ sqrt {-g}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ derecha) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ izquierda (F ( R) (R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}) - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right ) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {alineado}}}

Haciendo integración por partes en el segundo y tercer término obtenemos:

$${\ displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ left (F (R) R_ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} f (R) + [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}] F (R) \ derecha) \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}

Al exigir que la acción permanezca invariante bajo variaciones de la métrica, $${\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}, se obtienen las ecuaciones de campo:

$${\ displaystyle F (R) R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} f (R) g _ {\ mu \ nu} + \ left [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right] F (R) = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}

dónde $${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}es el tensor de energía-momento definido como

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}},}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}Es el asunto lagrangiano.

Las ecuaciones de Friedmann generalizadas [ editar ]

Suponiendo una métrica de Robertson-Walker con factor de escala$${\ displaystyle a (t)}Podemos encontrar las ecuaciones de Friedmann generalizadas (en unidades donde$${\ displaystyle \ kappa = 1}):

$${\ displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rm {m}} + \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ frac {1} {2}} (FR-f) -3H {\ punto {F}}}

$${\ displaystyle -2F {\ dot {H}} = \ rho _ {\ rm {m}} + {\ frac {4} {3}} \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ ddot {F }} - H {\ punto {F}},}

dónde

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}},}

el punto es la derivada con respecto al tiempo cósmico t , y los términos ρ _m y ρ _rad representan las densidades de materia y radiación respectivamente; Estos satisfacen las ecuaciones de continuidad:

$${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {m}} + 3H \ rho _ {\ rm {m}} = 0;}

$${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {rad}} + 4H \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}

Constante de Newton modificada [ editar ]

Una característica interesante de estas teorías es el hecho de que la constante gravitacional depende del tiempo y la escala. ^[3] Para ver esto, agregue una pequeña perturbación escalar a la métrica (en el indicador Newtoniano):

$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1 + 2 \ Phi) \ mathrm {d} t ^ {2} + \ alpha ^ {2} (1-2 \ Psi) \ delta _ { ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}

donde Φ y Ψ son los potenciales newtonianos y usa las ecuaciones de campo de primer orden. Después de algunos cálculos prolongados, se puede definir una ecuación de Poisson en el espacio de Fourier y atribuir los términos adicionales que aparecen en el lado derecho a una constante gravitacional efectiva G _eff . Al hacerlo, obtenemos el potencial gravitatorio (válido en escalas de sub-horizonte k ² ≫ a ² H ² ):

$${\ displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ mathrm {eff}} {\ frac {a ^ {2}} {k ^ {2}}} \ delta \ rho _ {\ mathrm {m}}}

donde δ ρ _m es una perturbación en la densidad de la materia, k es la escala de Fourier y G _eff es:

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {1} {8 \ pi F}} {\ frac {1 + 4 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R} } m} {1 + 3 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R}} m}},}

con

$${\ displaystyle m \ equiv {\ frac {RF _ {, R}} {F}}.

Ondas gravitacionales masivas [ editar ]

Esta clase de teorías cuando linealiza exhibe tres modos de polarización para las ondas gravitacionales , de los cuales dos corresponden al gravitón sin masa (helicities ± 2) y el tercero (escalar) proviene del hecho de que si tenemos en cuenta una transformación conforme, el La teoría de cuarto orden f ( R ) se convierte en relatividad general más un campo escalar . Para ver esto, identificar

$${\ displaystyle \ Phi \ to f '(R) \ quad {\ textrm {and}} \ quad {\ frac {dV} {d \ Phi}} \ to {\ frac {2f (R) -Rf' (R )} {3}},}

y usa las ecuaciones de campo de arriba para obtener

$${\ displaystyle \ Box \ Phi = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} \ Phi}}}

Trabajando a primer orden de la teoría de la perturbación:

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}}

$${\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0} + \ delta \ Phi}

y después de un álgebra tediosa, uno puede resolver la perturbación métrica, que corresponde a las ondas gravitacionales. Un componente de frecuencia particular, para una onda que se propaga en la dirección z , se puede escribir como

$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A ^ {+} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {+} + A ^ {\ times} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {\ times} + h_ {f} (v _ {\ mathrm {g}} tz; \ omega) \ eta _ {\ mu \ nu}}

dónde

$${\ displaystyle h_ {f} \ equiv {\ frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}},}

y v _g ( ω ) = d ω / d k es la velocidad de grupo de un paquete de ondas h _f centrado en vector de onda k . Los dos primeros términos corresponden a las polarizaciones transversales habituales de la relatividad general, mientras que el tercero corresponde al nuevo modo de polarización masiva de las teorías f ( R ). Los modos transversales se propagan a la velocidad de la luz , pero el modo escalar se mueve a una velocidad v _G  <1 donde="" en="" font="" nbsp="" unidades="">c  = 1), este modo es dispersivo.

Formalismo equivalente [ editar ]

Bajo ciertas condiciones adicionales ^[4] podemos simplificar el análisis de f ( R teorías) mediante la introducción de un campo auxiliar Φ . Asumiendo$${\ displaystyle f '' (R) \ neq 0}para todo R , sea V ( Φ ) la transformada de Legendre de f ( R ) para que$${\ displaystyle \ Phi = f '(R)} y $${\ displaystyle R = V '(\ Phi)}. Luego, se obtiene la acción O'Hanlon (1972):

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ Phi RV (\ Phi) \ right) + {\ mathcal {L}} _ {\ text {m}} \ right].}

Tenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange.

$${\ displaystyle V '(\ Phi) = R}

$${\ displaystyle \ Phi \ left (R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R \ right) + \ left (g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right) \ Phi + {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} V (\ Phi) = \ kappa T _ {\ mu \ nu}}

Eliminando Φ , obtenemos exactamente las mismas ecuaciones que antes. Sin embargo, las ecuaciones son solo de segundo orden en las derivadas, en lugar de cuarto orden.

Actualmente estamos trabajando con el cuadro Jordan . Al realizar un reescalado conforme

$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g _ {\ mu \ nu},}

Nos transformamos en el marco de Einstein :

$${\ displaystyle R = \ Phi \ left [{\ tilde {R}} + {\ frac {3 {\ tilde {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}} - {\ frac {9} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} \ right]}

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ frac {V (\ Phi) } {\ Phi ^ {2}}} \ right]}

Después de integrar por partes.

Definiendo $${\ displaystyle {\ tilde {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}, y sustituyendo

$${\ displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde { R}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ tilde {\ nabla}} {\ tilde {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ tilde {V}} ({ \ tilde {\ Phi}}) \ right]}

$${\ displaystyle {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) = e ^ {- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tilde {\ Phi}}} V \ izquierda (e ^ {{\ tilde {\ Phi}} / {\ sqrt {3}}} \ right).}

Esta es la relatividad general acoplada a un campo escalar real: el uso de las teorías f ( R ) para describir el universo acelerado es prácticamente equivalente al uso de la quintaesencia . (Al menos, equivalente a la advertencia de que aún no hemos especificado acoplamientos de materia, por lo que (por ejemplo ) la gravedad f( R ) en la que la materia está acoplada mínimamente a la métrica (es decir, en el marco de Jordan) es equivalente a una teoría de la quintaesencia en el que el campo escalar media una quinta fuerza con fuerza gravitacional.

Palatini f ( R ) gravedad [ editar ]

En la gravedad de Palatini f ( R ), uno trata la métrica y la conexión de forma independiente y varía la acción con respecto a cada uno de ellos por separado. La materia lagrangiana se supone que es independiente de la conexión. Estas teorías se han demostrado para ser equivalente a la teoría Brans-Dicke con ω = - ³ / ₂ . ^[5] [6] Sin embargo, debido a la estructura de la teoría, las teorías de Palatini f ( R ) parecen estar en conflicto con el Modelo Estándar, ^[5] [7] pueden violar los experimentos del Sistema Solar, ^[6]y parecen crear singularidades indeseadas. ^[8]

Gravedad af ( m ) afín métrica [ editar ]

En la gravedad f ( R ) de afinidad métrica , uno generaliza las cosas aún más, tratando tanto la métrica como la conexión de forma independiente, y suponiendo que la materia Lagrangiana también depende de la conexión.

Pruebas de observación [ editar ]

Como hay muchas formas potenciales de gravedad f ( R ), es difícil encontrar pruebas genéricas. Además, dado que las desviaciones con respecto a la Relatividad General se pueden hacer arbitrariamente pequeñas en algunos casos, es imposible excluir de manera concluyente algunas modificaciones. Se puede hacer algún progreso, sin asumir una forma concreta para la función f ( R ) por la expansión de Taylor

$${\ displaystyle f (R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots}

El primer término es como la constante cosmológica y debe ser pequeño. El siguiente coeficiente a ₁ se puede establecer en uno como en la relatividad general. Para la gravedad métrica f ( R ) (a diferencia de Palatini o afinidad métrica f ( R )), el término cuadrático está mejor restringido por las mediciones de la quinta fuerza , ya que conduce a una corrección de Yukawa al potencial gravitatorio. Los mejores límites actuales son | a ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² o equivalente | a ₂ | <2.3 × 10 ²²  GeV ⁻² . ^[9] [10]

El formalismo post-newtoniano parametrizado está diseñado para poder restringir las teorías genéricas modificadas de la gravedad. Sin embargo, f ( R ) la gravedad comparte muchos de los mismos valores que la Relatividad General, y por lo tanto es indistinguible usar estas pruebas. ^[11] En particular, la desviación de la luz no se modifica, por lo que la gravedad f ( R ), como la Relatividad General, es totalmente coherente con los límites del seguimiento de Cassini . ^[9]

Gravedad Starobinsky [ editar ]

Artículo principal: inflación Starobinsky.

La gravedad de Starobinsky tiene la siguiente forma

$${\ displaystyle f (R) = R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}}}

dónde $${\ displaystyle M}Tiene las dimensiones de masa. ^[12]

Generalización tensorial [ editar ]

La gravedad F ( R ) como se presentó en las secciones anteriores es una modificación escalar de la relatividad general. Más generalmente, podemos tener un

$${\ displaystyle \ int \ mathrm {d} ^ {D} x {\ sqrt {-g}} \, f (R, R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}, R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma})}

Acoplamiento que involucra invariantes del tensor de Ricci y el tensor de Weyl . Los casos especiales son la gravedad f ( R ), la gravedad conforme , la gravedad de Gauss-Bonnet y la gravedad Lovelock . Tenga en cuenta que con cualquier dependencia tensorial no trivial, generalmente tenemos más grados de libertad de giro-2 masivos, además del gravitón sin masa y un escalar masivo. Una excepción es la gravedad de Gauss-Bonnet, donde se cancelan los términos de cuarto orden para los componentes de spin-2.