TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

GRAVEDAD CUÁNTICA DE BUCLES , CONTINUACIÓN I

Introducción de la representación bucle [ editar ]

Artículos principales: Holonomy , Wilson loop , y Knot invariant.

Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de soluciones a la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar una nueva representación: la representación de bucle en las teorías de los indicadores y la gravedad cuántica . ^[12]

LQG incluye el concepto de una holonomía . Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores iniciales y finales de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado; se denota

$${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A]}.

El conocimiento de las holonomías es equivalente al conocimiento de la conexión, hasta medir la equivalencia. Las holonomías también pueden asociarse con un borde; bajo una ley de Gauss, estas transforman como

$${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ beta} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ beta} (y)}.

Para un bucle cerrado $${\ displaystyle x = y} y asumiendo $${\ displaystyle \ alpha = \ beta}rendimientos

$${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ alpha} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ alpha} (x) = [U _ {\ sigma \ alpha} (x) U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x)] (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = \ delta _ {\ sigma \ gamma} (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = (h_ {e}) _ {\ gamma \ gamma}}

o

$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} h '_ {\ gamma} = \ operatorname {Tr} h _ {\ gamma}.}.

La traza de una holonomía alrededor de un bucle cerrado está escrita.

$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}

y se llama un bucle de Wilson. Así, los bucles de Wilson son invariantes de calibre. La forma explícita de la holonomía es

$${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A] = {\ mathcal {P}} \ exp \ left \ {- \ int _ {\ gamma _ {0}} ^ {\ gamma _ {1}} ds {\ dot {\ gamma}} ^ {a} A_ {a} ^ {i} (\ gamma (s)) T_ {i} \ right \}}

dónde $${\ displaystyle \ gamma} es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y $${\ displaystyle s} es un parámetro a lo largo de la curva, $${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}denota factores de significado de orden de ruta para valores más pequeños de $${\ displaystyle s} aparece a la izquierda, y $${\ displaystyle T_ {i}} Son matrices que satisfacen las $${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)} álgebra

$${\ displaystyle [T ^ {i}, T ^ {j}] = 2i \ epsilon ^ {ijk} T_ {k}}.

Las matrices de Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende$${\ displaystyle (N + 1) \ times (N + 1)} matrices con $${\ displaystyle N = 1,2,3, \ dots}y donde no se puede pensar que ninguno de estos se "descomponga" en dos o más ejemplos de dimensión inferior. Se denominan diferentes representaciones irreductibles de la$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}álgebra. La representación más fundamental son las matrices de Pauli. La holonomía está etiquetada por medio entero.$${\ displaystyle N / 2}Según la representación irreducible utilizada.

El uso de los bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de gauss de Gauss. La representación en bucle es necesaria para manejar la restricción de difeomorfismo espacial. Con los bucles de Wilson como base, cualquier función invariante del indicador de Gauss se expande a medida que,

$${\ displaystyle \ Psi [A] = \ sum _ {\ gamma} \ Psi [\ gamma] W _ {\ gamma} [A].}

Esto se denomina transformada de bucle y es análoga a la representación del momento en la mecánica cuántica (consulte Posición y espacio de momento ). La representación QM tiene una base de estados.$${\ displaystyle \ exp (ikx)}etiquetado por un número $${\ displaystyle k} y se expande como

$${\ displaystyle \ psi [x] = \ int dk \ psi (k) \ exp (ikx)}.

Y trabaja con los coeficientes de la expansión. $${\ displaystyle \ psi (k).}

La transformada de bucle inverso se define por

$${\ displaystyle \ Psi [\ gamma] = \ int [dA] \ Psi [A] W _ {\ gamma} [A]}.

Esto define la representación del bucle. Dado un operador$${\ displaystyle {\ hat {O}}} en la representación de la conexión,

$${\ displaystyle \ Phi [A] = {\ hat {O}} \ Psi [A] \ qquad Eq \; 1,}

Se debe definir el operador correspondiente. $${\ displaystyle {\ hat {O}} '} en $${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]} en la representación de bucle a través,

$${\ displaystyle \ Phi [\ gamma] = {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] \ qquad Eq \; 2,}

dónde $${\ displaystyle \ Phi [\ gamma]} se define por la transformación de bucle inverso habitual,

$${\ displaystyle \ Phi [\ gamma] = \ int [dA] \ Phi [A] W _ {\ gamma} [A] \ qquad Eq \; 3.}

Una fórmula de transformación que da la acción del operador. $${\ displaystyle {\ hat {O}} '} en $${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]} en términos de la acción del operador $${\ displaystyle {\ hat {O}}} en $${\ displaystyle \ Psi [A]} Entonces se obtiene al igualar el RHS de $${\ displaystyle Eq \; 2} con el RHS de $${\ displaystyle Eq \; 3} con $${\ displaystyle Eq \; 1} sustituido en $${\ displaystyle Eq \; 3}a saber

$${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] W _ {\ gamma} [A] {\ hat {O}} \ Psi [A]},

o

$${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] ({\ hat {O}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A]) \ Psi [A] },

dónde $${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}} significa el operador $${\ displaystyle {\ hat {O}}}pero con el orden inverso de factores (recuerde de la mecánica cuántica simple donde el producto de los operadores se invierte bajo conjugación). La acción de este operador en el bucle de Wilson se evalúa como un cálculo en la representación de la conexión y el resultado se reorganiza puramente como una manipulación en términos de bucles (con respecto a la acción en el bucle de Wilson, el operador transformado elegido es el que tiene El orden del factor opuesto en comparación con el utilizado para su acción en las funciones de onda$${\ displaystyle \ Psi [A]}). Esto da el significado físico del operador.$${\ displaystyle {\ hat {O}} '}. Por ejemplo, si$${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}} correspondía a un difeomorfismo espacial, entonces esto puede pensarse como mantener el campo de conexión $${\ displaystyle A} de $${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}donde está mientras se realiza un difeomorfismo espacial en $${\ displaystyle \ gamma}en lugar. Por lo tanto, el significado de$${\ displaystyle {\ hat {O}} '} Es un difeomorfismo espacial en $${\ displaystyle \ gamma}, el argumento de $${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}.

En la representación del bucle, la restricción del difeomorfismo espacial se resuelve considerando las funciones de los bucles $${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]} que son invariantes bajo los difeomorfismos espaciales del bucle $${\ displaystyle \ gamma}. Es decir, se utilizan nudos invariantes . Esto abre una conexión inesperada entre la teoría de nudos y la gravedad cuántica.

Cualquier colección de bucles de Wilson que no se intersectan satisface la restricción hamiltoniana cuántica de Ashtekar. Usando un orden particular de términos y reemplazo$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}} por una derivada, la acción de la restricción Hamiltoniana cuántica en un bucle de Wilson es

$${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A] = - \ epsilon _ {ijk} {\ hat {F}} _ {ab} ^ {k} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {a} ^ {i}}} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {b} ^ {j}}} W _ {\ gamma} [A]}.

Cuando se toma un derivado, baja el vector tangente, $${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} ^ {a}}del bucle $${\ displaystyle \ gamma}. Asi que,

$${\ displaystyle {\ hat {F}} _ {ab} ^ {i} {\ dot {\ gamma}} ^ {a} {\ dot {\ gamma}} ^ {b}}.

Sin embargo, como $${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}} Es anti-simétrico en los índices. $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b} esto se desvanece (esto supone que $${\ displaystyle \ gamma} no es discontinuo en ninguna parte, por lo que el vector tangente es único).

Con respecto a la representación en bucle, las funciones de onda $${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}Se desvanecen cuando el bucle tiene discontinuidades y son invariantes de nudos. Tales funciones resuelven la ley de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y (formalmente) la restricción hamiltoniana. ¡Esto produce un conjunto infinito de soluciones exactas (aunque solo formales) a todas las ecuaciones de la relatividad cuántica general! ^[12] Esto generó mucho interés en el enfoque y finalmente condujo a LQG.

Operadores geométricos, la necesidad de intersectar los bucles de Wilson y los estados de la red de giro [ editar ]

La cantidad geométrica más fácil es el área. Vamos a elegir las coordenadas para que la superficie.$${\ displaystyle \ Sigma} Es caracterizado por $${\ displaystyle x ^ {3} = 0}. El área del pequeño paralelogramo de la superficie.$${\ displaystyle \ Sigma} Es el producto de la longitud de cada lado. $${\ displaystyle \ sin \ theta} dónde $${\ displaystyle \ theta}Es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde está dado por el vector$${\ displaystyle {\ vec {u}}} y el otro por $${\ displaystyle {\ vec {v}}} entonces,

$${\ displaystyle A = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ sin \ theta = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2 } \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}} = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} - ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) ^ {2}}}}

En el espacio que abarca $${\ displaystyle x ^ {1}} y $${\ displaystyle x ^ {2}} Hay un paralelogramo infinitesimal descrito por $${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {1} dx ^ {1}} y $${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {e}} _ {2} dx ^ {2}}. Utilizando$${\ displaystyle q_ {AB} ^ {(2)} = {\ vec {e}} _ {A} \ cdot {\ vec {e}} _ {B}} (donde los índices $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B} corre de 1 a 2), cede el área de la superficie $${\ displaystyle \ Sigma} dada por

$${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {\ det (q ^ {(2)})}}}

dónde $${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = q_ {11} q_ {22} -q_ {12} ^ {2}} y es el determinante de la métrica inducida en $${\ displaystyle \ Sigma}. Este último puede ser reescrito.$${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = \ epsilon ^ {AB} \ epsilon ^ {CD} q_ {AC} q_ {BD} / 2} donde los indices $${\ displaystyle A \ dots D} ir de 1 a 2. Esto puede ser reescrito como

$${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = {\ epsilon ^ {3ab} \ epsilon ^ {3cd} q_ {ac} q_ {bc} \ sobre 2}}.

La fórmula estándar para una matriz inversa es

$${\ displaystyle q ^ {ab} = {\ epsilon ^ {bcd} \ epsilon ^ {aef} q_ {ce} q_ {df} \ sobre 2! \ det (q)}}

Hay una similitud entre esto y la expresión para $${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)})}. Pero en las variables Ashtekar,$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} ^ {bi} = \ det (q) q ^ {ab}}. Por lo tanto,

$${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {{\ tilde {E}} _ {i} ^ {3} {\ tilde {E }} ^ {3i}}}}.

Según las reglas de cuantización canónica, las tríadas. $${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {3}} debe ser promovido a operadores cuánticos,

$${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E}}} _ {i} ^ {3} \ sim {\ delta \ over \ delta A_ {3} ^ {i}}}.

La zona $${\ displaystyle A _ {\ Sigma}}puede ser promovido a un operador cuántico bien definido a pesar de que contiene un producto de dos derivados funcionales y una raíz cuadrada. ^[13] Poniendo$${\ displaystyle N = 2J} ($${\ displaystyle J}-th representación),

$${\ displaystyle \ sum _ {i} T ^ {i} T ^ {i} = J (J + 1) 1.}

Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro del área. El resultado es

$${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ Sigma} W _ {\ gamma} [A] = 8 \ pi \ ell _ {\ text {Planck}} ^ {2} \ beta \ sum _ {I} { \ sqrt {j_ {I} (j_ {I} +1)}} W _ {\ gamma} [A]}

donde la suma es sobre todos los bordes $${\ displaystyle I} Del bucle de Wilson que perfora la superficie. $${\ displaystyle \ Sigma}.

La fórmula para el volumen de una región. $${\ displaystyle R} es dado por

$${\ displaystyle V = \ int _ {R} d ^ {3} x {\ sqrt {\ det (q)}} = \ int _ {R} dx ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {1} {3!}} \ Epsilon _ {abc} \ epsilon ^ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} {\ tilde {E}} _ {k} ^ {c}}}}.

La cuantización del volumen procede de la misma manera que con el área. Cada vez que se toma la derivada, baja el vector tangente$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} ^ {a}}, y cuando el operador de volumen actúa en los bucles de Wilson que no se intersecan, el resultado desaparece. Por lo tanto, los estados cuánticos con un volumen distinto de cero deben incluir intersecciones. Dado que la suma anti-simétrica se toma en la fórmula para el volumen, necesita intersecciones con al menos tres líneas no coplanares . Se necesitan al menos cuatro vértices de valencia para que el operador de volumen no desaparezca.

Asumiendo la representación real donde se encuentra el grupo gauge. $${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}Los bucles de Wilson son una base completa, ya que existen identidades que relacionan diferentes bucles de Wilson. Esto ocurre porque los bucles de Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen las identidades. Dado cualquiera de dos$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)} matrices $${\ displaystyle \ mathbb {A}} y $${\ displaystyle \ mathbb {B}},

$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A}) \ operatorname {Tr} (\ mathbb {B}) = \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) + \ operatorname {Tr } (\ mathbb {A} \ mathbb {B} ^ {- 1})}.

Esto implica que dados dos bucles. $${\ displaystyle \ gamma} y $${\ displaystyle \ eta} que se intersecan,

$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A] W _ {\ eta} [A] = W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] + W _ {\ gamma \ circ \ eta ^ {- 1}} [A] }

donde por $${\ displaystyle \ eta ^ {- 1}} nos referimos al bucle $${\ displaystyle \ eta} atravesado en la dirección opuesta y $${\ displaystyle \ gamma \ circ \ eta} Significa el bucle obtenido al ir alrededor del bucle. $${\ displaystyle \ gamma} y luego a lo largo $${\ displaystyle \ eta}. Vea la figura abajo. Dado que las matrices son unitarias tiene que$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A] = W _ {\ gamma ^ {- 1}} [A]}. También dada la propiedad cíclica de las trazas matriciales (es decir,$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) = \ operatorname {Tr} (\ mathbb {B} \ mathbb {A})}) uno tiene eso $${\ displaystyle W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] = W _ {\ eta \ circ \ gamma} [A]}. Estas identidades se pueden combinar entre sí en otras identidades de complejidad creciente que agregan más bucles. Estas identidades son las llamadas identidades de Mandelstam. Algunas redes de espín son combinaciones lineales de bucles de Wilson que se cruzan, diseñados para abordar la totalidad completa introducida por las identidades de Mandelstam (para las intersecciones trivalentes, eliminan completamente la sobrecarga) y en realidad constituyen una base para todas las funciones invariantes del calibrador.

Representación gráfica de la identidad de Mandelstam no trivial más simple que relaciona diferentes bucles de Wilson .

Como se mencionó anteriormente, la holonomía le dice a uno cómo propagar la mitad de las partículas de espín de prueba. Un estado de red de espín asigna una amplitud a un conjunto de medias partículas de espín que trazan un camino en el espacio, se fusionan y se dividen. Estos son descritos por redes de spin$${\ displaystyle \ gamma}: los bordes se etiquetan mediante giros junto con "ganadores de lazos" en los vértices, que son una prescripción de cómo sumar las diferentes formas en que se desvían los giros. La suma sobre el reencaminamiento se elige como tal para que la forma del entrelazamiento sea invariante en las transformaciones de Gauss gauge.

Variables reales, análisis moderno y LQG [ editar ]

Artículo principal: Restricción hamiltoniana de LQG

Vayamos con más detalle sobre las dificultades técnicas asociadas con el uso de las variables de Ashtekar:

Con las variables de Ashtekar, se utiliza una conexión compleja, por lo que el grupo de indicadores relevante es en realidad $${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})} y no $${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}. Como$${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})}no es compacto , crea serios problemas para la construcción rigurosa de la maquinaria matemática necesaria. El grupo$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}Por otro lado, es compacto y se han desarrollado las construcciones necesarias.

Como se mencionó anteriormente, debido a que las variables de Ashtekar son complejas, la relatividad general resultante es compleja. Para recuperar la teoría real, uno tiene que imponer lo que se conoce como las "condiciones de realidad". Estos requieren que la tríada densificada sea real y que la parte real de la conexión Ashtekar sea igual a la conexión de giro compatible (la condición de compatibilidad es$${\ displaystyle \ nabla _ {a} e_ {b} ^ {I} = 0}) determinado por la tríada densificada. La expresión para conexión compatible.$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}} es bastante complicado y como tal, la fórmula no polinomial entra por la puerta trasera.

Dado que un tensor de densidad de peso$${\ displaystyle W}Se transforma como un tensor ordinario, excepto que el$${\ displaystyle W}el poder del jacobiano ,

$${\ displaystyle J = \ left | {\ frac {\ partial x ^ {a}} {\ partial x ^ {'b}}} \ right |}

También aparece como un factor, es decir,

$${\ displaystyle {T '} _ {b \ dots} ^ {a \ dots} = J ^ {W} {\ frac {\ partial x ^ {' a}} {\ partial x ^ {c}}} \ dots {\ frac {\ parcial x ^ {d}} {\ parcial x ^ {'b}}} T_ {d \ dots} ^ {c \ dots}.}

Es imposible, en términos generales, construir un operador finito UV, difeomorfismo sin infracción que corresponda a $${\ displaystyle {\ sqrt {\ det (q)}} H}. La razón es que la restricción hamiltoniana reescalada es una densidad escalar de peso dos, mientras que se puede demostrar que solo las densidades escalares de peso uno tienen la posibilidad de dar como resultado un operador bien definido. Por lo tanto, uno se ve obligado a trabajar con la restricción hamiltoniana sin escalar, de densidad de un valor, original. Sin embargo, esto no es polinomial y se cuestiona toda la virtud de las variables complejas. De hecho, todas las soluciones construidas para la restricción hamiltoniana de Ashtekar solo se desvanecieron para la regularización finita (física) , sin embargo, esto viola la invariancia del difeomorfismo espacial.

Sin la implementación y solución de la restricción hamiltoniana, no se puede avanzar ni hacer predicciones confiables.

Para superar el primer problema se trabaja con la variable de configuración.

$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} + \ beta K_ {a} ^ {i}}

dónde $${\ displaystyle \ beta}es real (como lo señaló Barbero, quien introdujo variables reales algún tiempo después de las variables de Ashtekar ^[14] [15] ). La ley de Guass y las restricciones de difeomorfismo espacial son las mismas. En las variables reales de Ashtekar el Hamiltoniano es

$${\ displaystyle H = {\ epsilon _ {ijk} F_ {ab} ^ {k} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ over {\ sqrt {\ det (q)}}} + 2 {\ beta ^ {2} +1 \ over \ beta ^ {2}} {({\ tilde {E}} _ {i} ^ {a } {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} - {\ tilde {E}} _ {j} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b}) \ sobre {\ sqrt {\ det (q)}}} (A_ {a} ^ {i} - \ Gamma _ {a} ^ {i}) (A_ {b} ^ {j} - \ Gamma _ {b} ^ {j}) = H_ {E} + H '}.

La complicada relación entre $${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}}y las tríadas desinfectadas causan serios problemas en la cuantificación. Es con la eleccion$${\ displaystyle \ beta = \ pm i}Que se hace desaparecer el segundo término más complicado. Sin embargo, como se mencionó anteriormente$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}}Reaparece en las condiciones de la realidad. Todavía existe el problema de la$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ det (q)}}} factor.

Thiemann fue capaz de hacerlo funcionar de verdad $${\ displaystyle \ beta}. Primero pudo simplificar lo problemático.$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ det (q)}}}usando la identidad

$${\ displaystyle \ {A_ {c} ^ {k}, V \} = {1 \ sobre 4} {\ epsilon _ {abc} \ epsilon ^ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ { a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ sobre {\ sqrt {\ det (q)}}}}

dónde $${\ displaystyle V}es el volumen. Combinando esta identidad con la identidad simple.

$${\ displaystyle \ epsilon ^ {abc} \ epsilon _ {a'b'c} = \ delta _ {a '} ^ {a} \ delta _ {b'} ^ {b} - \ delta _ {b '} ^ {a} \ delta _ {a '} ^ {b}}

rendimientos

$${\ displaystyle 2 \ epsilon ^ {abc} \ {A_ {c} ^ {k}, V \} = {\ epsilon ^ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ sobre {\ sqrt {\ det (q)}}}.}

Contratando ambos lados con $${\ displaystyle F_ {ab} ^ {k}} da

$${\ displaystyle 2 \ epsilon ^ {abc} F_ {ab} ^ {k} \ {A_ {c} ^ {k}, V \} = {\ epsilon ^ {ijk} F_ {ab} ^ {k} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ sobre {\ sqrt {\ det (q)}}}.}

Luego se puede escribir la función funcional de la restricción hamiltoniana euclidiana.$${\ displaystyle N} es la función de lapso)

$${\ displaystyle H_ {E} [N] = 2 \ int _ {\ Sigma} d ^ {3} xN (x) \ epsilon ^ {abc} F_ {ab} ^ {k} \ {A_ {c} ^ { k}, V \}.}

los $${\ displaystyle A_ {c} ^ {k}, F_ {ab} ^ {K}}y $${\ displaystyle V}puede promoverse a operadores bien definidos en la representación de bucle y el corchete de Poisson se reemplaza por un conmutador en la cuantificación; Esto se encarga del primer término. Resulta que un truco similar puede usarse para tratar el segundo término. Se introduce la cantidad.

$${\ displaystyle K = \ int d ^ {3} xK_ {a} ^ {i} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}

y nota que

$${\ displaystyle K_ {a} ^ {i} = \ {A_ {a} ^ {i}, K \}}.

asi que,

$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} - \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ beta K_ {a} ^ {i} = \ beta \ {A_ {a} ^ {i}, K \} }.

La razón la cantidad $${\ displaystyle K} Es más fácil trabajar con él en el momento de la cuantización, ya que se puede escribir como

$${\ displaystyle K = - \ left \ {V, \ int d ^ {3} xH_ {E} \ right \}}

donde hemos utilizado que la traza densificada integrada de la curvatura extrínseca, $${\ displaystyle K}, es el "derivado del tiempo del volumen".

En la larga historia de la gravedad cuántica canónica, la formulación de la restricción hamiltoniana como operador cuántico ( ecuación de Wheeler-DeWitt ) de una manera matemáticamente rigurosa ha sido un problema formidable. Fue en la representación de bucle donde se formuló finalmente una restricción hamiltoniana matemáticamente bien definida en 1996. ^[9] Dejamos más detalles de su construcción en la restricción hamiltoniana del artículo de LQG . Esto, junto con las versiones cuánticas de la ley de Gauss y las restricciones espaciales del difeomorfismo escritas en la representación del bucle, son las ecuaciones centrales de LQG (relatividad general cuántica canónica moderna).

Encontrar los estados que son aniquilados por estas restricciones (los estados físicos) y encontrar el producto interno físico correspondiente, y los observables, es el objetivo principal del aspecto técnico de LQG.

Un aspecto muy importante del operador hamiltoniano es que solo actúa en vértices (una consecuencia de esto es que el operador hamiltoniano de Thiemann, al igual que el operador de Ashtekar, aniquila los bucles no intersecantes, excepto que ahora no es solo formal y tiene un significado matemático riguroso). Más precisamente, su acción es distinta de cero en al menos vértices de valencia tres y mayores y da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín en las que el gráfico original se ha modificado mediante la adición de líneas en cada vértice y un cambio en las etiquetas. De los enlaces adyacentes del vértice.