TEORIAS DE LA GRAVITACIÓN

GRAVEDAD CUÁNTICA DE BUCLES , CONTINUACIÓN II

Implementación y solución de las restricciones cuánticas de LQG.

Pasemos a LQG, surgirán complicaciones adicionales ya que uno no puede definir un operador para la restricción de difeomorfismo espacial cuántica como el generador infinitesimal de transformaciones de difeomorfismo finito y el hecho de que el álgebra de restricción no es un álgebra de Lie debido al corchete entre dos restricciones Hamiltonianas .

Implementación y solución de la restricción de Gauss:

Uno no necesita realmente promover la restricción de Gauss a un operador, ya que podemos trabajar directamente con funciones invariantes de Gauss (es decir, uno resuelve la restricción de forma clásica y cuantifica solo el espacio de fase reducido con respecto a la restricción de Gauss). La ley de Gauss se resuelve mediante el uso de estados de red de espín. Proporcionan una base para el espacio cinemático de Hilbert.$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Kin}}}.

Implementación de la restricción de difeomorfismo espacial cuántica:

Resulta que uno no puede definir un operador para la restricción cuántica del difeomorfismo espacial como el generador infinitesimal de transformaciones finitas del difeomorfismo, representadas en $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Kin}}}. La representación de los difeomorfismos finitos es una familia de operadores unitarios.$${\ displaystyle {\ hat {U}} _ {\ varphi}} actuando en un estado de red de giro $${\ displaystyle \ psi _ {\ gamma}}por

$${\ displaystyle {\ hat {U}} _ {\ varphi} \ psi _ {\ gamma}: = \ psi _ {\ varphi \ circ \ gamma},}

Para cualquier difeomorfismo espacial. $${\ displaystyle \ varphi} en $${\ displaystyle \ Sigma}. Para entender por qué uno no puede definir un operador para la restricción de difeomorfismo espacial cuántica, considere lo que se llama un subgrupo de 1 parámetro $${\ displaystyle \ varphi _ {t}} en el grupo de difeomorfismos espaciales, esto se representa como un grupo unitario de 1 parámetro $${\ displaystyle {\ hat {U}} _ {\ varphi _ {t}}} en $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Kin}}}. Sin embargo,$${\ displaystyle {\ hat {U}} _ {\ varphi _ {t}}}No es débilmente continuo ya que el subespacio$${\ displaystyle \ psi _ {\ varphi _ {t} \ circ \ gamma}} Pertenece al subespacio y $${\ displaystyle \ psi _ {\ gamma}}Pertenecen a son ortogonales entre sí, no importa cuán pequeño sea el parámetro $${\ displaystyle t}es. Así que uno siempre tiene

{\ displaystyle | <\ psi _ {\ gamma} | {\ hat {U}} _ {\ varphi _ {t}} | \ psi _ {\ gamma}> _ {Kin} - <\ psi _ {\ gamma } | \ psi _ {\ gamma}> _ {Kin} | = <\ psi _ {\ gamma} | \ psi _ {\ gamma}> _ {Kin} \ not = 0,}

incluso en el límite cuando $${\ displaystyle t}va a cero Por lo tanto, el generador infinitesimal de$${\ displaystyle {\ hat {U}} _ {\ varphi _ {t}}} no existe.

Solución de la restricción de difeomorfismo espacial.

La restricción de difeomorfismo espacial ha sido resuelta. El producto interior inducido.{\ displaystyle <\ cdot, \ cdot> _ {Diff}} en $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Diff}}}(No buscamos los detalles) tiene una descripción muy simple en términos de estados de red de giro; dado dos redes de giro$${\ displaystyle s} y $${\ displaystyle s '}, con estados de red de espín asociados $${\ displaystyle \ psi _ {s}} y $${\ displaystyle \ psi _ {s '}}, el producto interior es 1 si $${\ displaystyle s} y $${\ displaystyle s '} están relacionados entre sí por un difeomorfismo espacial y cero en caso contrario.

Hemos proporcionado una descripción de la solución implementada y completa de las restricciones cinemáticas, las restricciones de Gauss y los difeomorfismos espaciales que serán las mismas para cualquier teoría de campo de medición independiente del fondo. La característica que distingue tales teorías diferentes es la restricción hamiltoniana, que es la única que depende del lagrangiano de la teoría clásica.

Problema que surge de la restricción hamiltoniana.

Los detalles de la implementación de la restricción hamiltoniana cuántica y las soluciones se tratan en un artículo diferente de la restricción hamiltoniana de LQG . Sin embargo, en este artículo introducimos un esquema de aproximación para la solución formal del operador de restricción Hamiltoniano que se presenta en la siguiente sección sobre espumas de espuma. Aquí solo mencionamos los problemas que surgen con la restricción hamiltoniana.

La restricción hamiltoniana asigna estados invariables de difeomorfismo a estados invariantes no difeomorfismos, ya que no preserva el espacio de Hilbert difeomorfismo $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Diff}}}. Esta es una consecuencia inevitable del álgebra del operador, en particular el conmutador:

$${\ displaystyle [{\ hat {C}} ({\ vec {N}}), {\ hat {H}} (M)] \ propto {\ hat {H}} ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} M)}

Como se puede ver aplicando esto a $${\ displaystyle \ psi _ {s} \ in {\ mathcal {H}} _ {Diff}},

$${\ displaystyle ({\ vec {C}} ({\ vec {N}}) {\ hat {H}} (M) - {\ hat {H}} (M) {\ vec {C}} ({ \ vec {N}})) \ psi _ {s} \ propto {\ hat {H}} ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} M) \ psi _ {s}}

y usando $${\ displaystyle {\ vec {C}} ({\ vec {N}}) \ psi _ {s} = 0} para obtener

$${\ displaystyle {\ vec {C}} ({\ vec {N}}) [{\ hat {H}} (M) \ psi _ {s}] \ propto {\ hat {H}} ({\ mathcal {L}} _ {\ vec {N}} M) \ psi _ {s} \ not = 0}

y entonces $${\ displaystyle {\ hat {H}} (M) \ psi _ {s}} no está dentro $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Diff}}.

Esto significa que uno no puede simplemente resolver la restricción de difeomorfismo espacial y luego la restricción hamiltoniana. Este problema puede ser evitado por la introducción de la restricción maestra , con su álgebra de operador trivial, uno en principio es capaz de construir el producto interno físico a partir de$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ text {Diff}}}.

Espumas de espín [ editar ]

Artículos principales: red de espín , espuma de espín , modelo BF , y modelo de Barrett-Crane

En la gravedad cuántica de bucle (LQG), una red de espines representa un "estado cuántico" del campo gravitatorio en una hipersuperficie tridimensional. El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más precisamente, "nudos s", es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos) es contable; Constituye una base del espacio de LQG Hilbert.

En física, una espuma de espín es una estructura topológica hecha de caras bidimensionales que representa una de las configuraciones que deben sumarse para obtener una descripción de la gravedad cuántica de la trayectoria cuántica (integración funcional) de Feynman. Está estrechamente relacionado con la gravedad cuántica de bucle.

Espuma de espín derivada del operador de restricción hamiltoniano [ editar ]

La restricción hamiltoniana genera la evolución del "tiempo". Resolver la restricción hamiltoniana debería decirnos cómo evolucionan los estados cuánticos en "tiempo" desde un estado de red de giro inicial a un estado de red de giro final. Un enfoque para resolver la restricción hamiltoniana comienza con lo que se llama la función delta de Dirac . Esta es una función bastante singular de la línea real, denotada$${\ displaystyle \ delta (x)}, eso es cero en todas partes excepto en $${\ displaystyle x = 0}pero cuya integral es finita y no cero. Se puede representar como una integral de Fourier,

$${\ displaystyle \ delta (x) = \ int e ^ {ikx} dk}.

Se puede emplear la idea de la función delta para imponer la condición de que la restricción hamiltoniana debe desaparecer.

$${\ displaystyle \ prod _ {x \ in \ Sigma} \ delta ({\ hat {H}} (x))}

no es cero solo cuando $${\ displaystyle {\ hat {H}} (x) = 0} para todos $${\ displaystyle x} en $${\ displaystyle \ Sigma}. Usando esto podemos "proyectar" soluciones a la restricción hamiltoniana. Con la analogía con la integral de Fourier dada anteriormente, este proyector (generalizado) se puede escribir formalmente como

$${\ displaystyle \ int [dN] e ^ {i \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x)}}.

Esto es formalmente difeomorfismo-invariante espacialmente. Como tal, se puede aplicar en el nivel invariable espacialmente difeomorfismo. Usando esto, el producto interno físico es dado formalmente por

$${\ displaystyle \ left \ langle \ int [dN] e ^ {i \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x)} s _ {\ text {int}} s _ {\ text {fin}} \ right \ rangle _ {\ text {Diff}}}

dónde $${\ displaystyle s _ {\ text {int}}} son la red de giro inicial y $${\ displaystyle s _ {\ text {fin}}} Es la red de spin final.

El exponencial puede ser expandido.

$${\ displaystyle \ left \ langle \ int [dN] \ left (1 + i \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x) + {\ frac {i ^ {2}} {2!}} \ Left [\ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x) \ right] \ left [\ int d ^ {3} x'N (x ') { \ hat {H}} (x ') \ right] + \ cdots \ right) s _ {\ text {int}}, s _ {\ text {fin}} \ right \ rangle _ {\ text {Diff}}}

y cada vez que un operador hamiltoniano actúa, lo hace agregando una nueva ventaja en el vértice. La suma sobre diferentes secuencias de acciones de$${\ displaystyle {\ hat {H}}}se puede visualizar como una suma de diferentes historias de "vértices de interacción" en la evolución del "tiempo" enviando la red de giro inicial a la red de giro final. Esto naturalmente da lugar a los dos complejos (un conjunto combinatorio de caras que se unen a lo largo de los bordes, que a su vez se unen en vértices) subyacentes a la descripción de la espuma de espín; evolucionamos hacia adelante una red de giro inicial barriendo una superficie, la acción del operador de restricción Hamiltoniana es producir una nueva superficie plana a partir del vértice. Podemos usar la acción de la restricción hamiltoniana en el vértice de un estado de red de espín para asociar una amplitud a cada "interacción" (en analogía con los diagramas de Feynman)). Vea la figura abajo. Esto abre una forma de intentar vincular directamente el LQG canónico a una descripción integral de ruta. Ahora, al igual que las redes de espín describen el espacio cuántico, cada configuración que contribuye a estas integrales de trayectoria, o sumas a lo largo de la historia, describe el "espacio-tiempo cuántico". Debido a su parecido con las espumas de jabón y la forma en que están etiquetadas, John Báez le dio a estos 'espacio-tiempos cuánticos' el nombre de 'espumas de espín'.

La acción de la restricción hamiltoniana se tradujo en la integral de trayectoria o la llamada descripción de espuma de espín . Un solo nodo se divide en tres nodos, creando un vértice de espuma de espín.$${\ displaystyle N (x_ {n})} es el valor de $${\ displaystyle N} en el vértice y $${\ displaystyle H_ {nop}} Son los elementos matriciales de la restricción hamiltoniana. $${\ displaystyle {\ hat {H}}}.

Sin embargo, existen graves dificultades con este enfoque en particular, por ejemplo, el operador hamiltoniano no es autoadjuntado, de hecho ni siquiera es un operador normal (es decir, el operador no conmuta con su adjunto) y, por lo tanto, el teorema espectral no se puede utilizar para Definir el exponencial en general. El problema más serio es que el$${\ displaystyle {\ hat {H}} (x)}No se conmutan mutuamente, se puede mostrar la cantidad formal $${\ displaystyle \ int [dN] e ^ {i \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x)}}Ni siquiera se puede definir un proyector (generalizado). La restricción maestra (ver más abajo) no sufre de estos problemas y, como tal, ofrece una forma de conectar la teoría canónica a la formulación integral del camino.

Espumas de espín de la teoría BF [ editar ]

Resulta que hay rutas alternativas para formular el camino integral, sin embargo, su conexión con el formalismo hamiltoniano es menos clara. Una forma es comenzar con la teoría BF . Esta es una teoría más simple que la relatividad general, no tiene grados locales de libertad y, como tal, depende solo de los aspectos topológicos de los campos. La teoría BF es lo que se conoce como teoría del campo topológico . Sorprendentemente, resulta que la relatividad general puede obtenerse de la teoría BF mediante la imposición de una restricción, ^{[16] la} teoría BF implica un campo$${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ}} y si uno elige el campo $${\ displaystyle B} Ser el producto (anti-simétrico) de dos tétradas.

$${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ} = {1 \ sobre 2} (E_ {a} ^ {I} E_ {b} ^ {J} -E_ {b} ^ {I} E_ {a} ^ { J})}

(Las tétradas son como tríadas pero en cuatro dimensiones espaciotemporales), una recupera la relatividad general. La condición de que el$${\ displaystyle B}campo dado por el producto de dos tétradas se llama la restricción de la simplicidad. La dinámica de la espuma de espín de la teoría del campo topológico es bien conocida. Dadas las amplitudes de "interacción" de la espuma de espín para esta teoría simple, se intenta implementar las condiciones de simplicidad para obtener una ruta integral para la relatividad general. La tarea no trivial de construir un modelo de espuma de espín se reduce luego a la cuestión de cómo se debe imponer esta restricción de simplicidad en la teoría cuántica. El primer intento fue el famoso modelo Barrett-Crane . ^[17] Sin embargo, se demostró que este modelo era problemático, por ejemplo, no parecía haber suficientes grados de libertad para garantizar el límite clásico correcto. ^[18]Se ha argumentado que la restricción de la simplicidad se impuso con demasiada fuerza a nivel cuántico y solo se debería imponer en el sentido de los valores de expectativa, al igual que con la condición de galga de Lorenz $${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} {\ hat {A}} ^ {\ mu}}En el formalismo Gupta-Bleuler de la electrodinámica cuántica . Ahora se han presentado nuevos modelos, a veces motivados por imponer las condiciones de simplicidad en un sentido más débil.

Otra dificultad aquí es que las espumas de espín se definen en una discretización del espacio-tiempo. Si bien esto no presenta problemas para una teoría del campo topológico, ya que no tiene grados locales de libertad, presenta problemas para los RR.GG. Esto se conoce como el problema de la triangularización de la dependencia.

Formulación moderna de espumas de espín [ editar ]

Así como la imposición de la restricción de la simplicidad clásica recupera la relatividad general de la teoría BF, se espera que una restricción de la simplicidad cuántica apropiada recupere la gravedad cuántica de la teoría de la BF cuántica.

Engle, Pereira, Rovelli ^[19] y Freidel y Krasnov ^[20] han avanzado mucho con respecto a este tema en la definición de amplitudes de interacción de espumas de espín con mucho mejor comportamiento.

Se ha hecho un intento de hacer contacto entre la espuma de hilatura EPRL-FK y la formulación canónica de LQG. ^[21]

Espuma de espín derivada del operador de restricción maestra [ editar ]

Vea abajo.

El límite semiclásica [ editar ]

¿Cuál es el límite semiclásico? [ editar ]

Artículos principales: Principio de correspondencia y límite clásico.

El límite clásico o el límite de correspondencia es la capacidad de una teoría física para aproximarse o "recuperar" la mecánica clásica cuando se considera sobre valores especiales de sus parámetros. ^[22] El límite clásico se usa con teorías físicas que predicen el comportamiento no clásico.

En física , el principio de correspondencia establece que el comportamiento de los sistemas descritos por la teoría de la mecánica cuántica (o por la antigua teoría cuántica ) reproduce la física clásica en el límite de los grandes números cuánticos . En otras palabras, dice que para órbitas grandes y para energías grandes , los cálculos cuánticos deben coincidir con los cálculos clásicos. ^[23]

El principio fue formulado por Niels Bohr en 1920, ^[24] aunque ya lo había utilizado desde 1913 en el desarrollo de su modelo del átomo . ^[25]

Hay dos requisitos básicos para establecer el límite semiclásico de cualquier teoría cuántica:

i) reproducción de los corchetes de Poisson (de las restricciones de difeomorfismo en el caso de la relatividad general). Esto es extremadamente importante porque, como se señaló anteriormente, el álgebra del corchete de Poisson formado entre las restricciones (manchadas) determina completamente la teoría clásica. Esto es análogo al establecimiento del teorema de Ehrenfest ;

ii) la especificación de un conjunto completo de observables clásicos cuyos operadores correspondientes, cuando actúan según los estados semiclásicos apropiados, reproducen las mismas variables clásicas con pequeñas correcciones cuánticas (un punto sutil es que los estados que son semiclásicos para una clase de observables pueden no serlo) semiclásico para una clase diferente de observables ^[26] ).

Esto se puede hacer fácilmente, por ejemplo, en la mecánica cuántica ordinaria para una partícula, pero en general la relatividad se convierte en un problema altamente no trivial como veremos a continuación.

¿Por qué LQG podría no tener la relatividad general como su límite semiclásico? [ editar ]

Cualquier teoría candidata de la gravedad cuántica debe poder reproducir la teoría de la relatividad general de Einstein como un límite clásico de la teoría cuántica . Esto no está garantizado debido a una característica de las teorías cuánticas de campo, que es que tienen diferentes sectores, que son análogos a las diferentes fases que se producen en el límite termodinámico de los sistemas estadísticos. Así como las diferentes fases son físicamente diferentes, también lo son los diferentes sectores de una teoría cuántica de campos. Puede resultar que el LQG pertenezca a un sector no físico, en el que no se recupera la relatividad general en el límite semiclásico (de hecho, puede que no exista ningún sector físico).

Por otra parte, el espacio físico de Hilbert. $${\ displaystyle H_ {phys}} debe contener suficientes estados semiclásicos para garantizar que la teoría cuántica que uno obtiene pueda regresar a la teoría clásica cuando $${\ displaystyle \ hbar \ to 0}. Para garantizar esto, debemos evitar las anomalías cuánticas a toda costa, porque si no lo hacemos, habrá restricciones en el espacio físico de Hilbert que no tienen contrapartida en la teoría clásica, lo que implica que la teoría cuántica tiene menos grados de libertad que la clásica. teoría.

Los teoremas que establecen la singularidad de la representación de bucle como lo definen Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucle correcto - la comprensión que todos estaban usando) han sido proporcionados por dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann; ^[27] y Christian Fleischhack ^[28] ). Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucle, otras realizaciones, no equivalentes a las que se habían utilizado hasta ahora. Estos teoremas de unicidad implican que no existen otros y, por lo tanto, si LQG no tiene el límite semiclásico correcto, esto significaría el final de la representación del bucle de la gravedad cuántica.

Dificultades para verificar el límite semiclásico de LQG [ editar ]

Hay dificultades para tratar de establecer el LQG. La teoría de la relatividad general de Einstein en el límite semiclásico. Hay una serie de dificultades particulares para establecer el límite semiclásico:

1. No hay un operador correspondiente a los difeomorfismos espaciales infinitesimales (no es sorprendente que la teoría no tenga un generador de "traducciones" espaciales infinitesimales, ya que predice que la geometría espacial tiene una naturaleza discreta, en comparación con la situación en materia condensada). En su lugar, debe ser aproximado por difeomorfismos espaciales finitos y, por lo tanto, la estructura de corchetes de Poisson de la teoría clásica no se reproduce con exactitud. Este problema puede evitarse con la introducción de la llamada restricción maestra (ver más abajo) ^[29]
2. Existe el problema de conciliar la naturaleza combinatoria discreta de los estados cuánticos con la naturaleza continua de los campos de la teoría clásica.
3. Existen serias dificultades derivadas de la estructura de los corchetes de Poisson que involucran el difeomorfismo espacial y las restricciones hamiltonianas. En particular, el álgebra de restricciones hamiltonianas (manchadas) no se cierra, es proporcional a una suma sobre los difeomorfismos espaciales infinitesimales (que, como acabamos de señalar, no existe en la teoría cuántica) donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes pero tienen una dependencia del espacio de fase no trivial, como tal, no forma un álgebra de Lie . Sin embargo, la situación ha mejorado mucho con la introducción de la restricción maestra. ^[29]
4. La maquinaria semiclásica desarrollada hasta ahora solo es apropiada para operadores que no cambian el gráfico, sin embargo, la restricción Hamiltoniana de Thiemann es un operador que cambia el gráfico: el nuevo gráfico que genera tiene grados de libertad de los que no depende el estado coherente y, por lo tanto, su cuantía. Las fluctuaciones no se suprimen. También existe la restricción, hasta ahora, de que estos estados coherentes solo se definen en el nivel cinemático, y ahora uno tiene que elevarlos al nivel de$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Diff}} y $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Phys}}. Se puede mostrar que se requiere que la restricción hamiltoniana de Thiemann sea un cambio de gráfico para resolver el problema 3 en algún sentido. Sin embargo, el álgebra de restricciones maestras es trivial y, por lo tanto, se puede eliminar el requisito de que sea un cambio de gráfico y, de hecho, se han definido operadores de restricciones maestras que no cambian de gráfico.
5. La formulación de observables para la relatividad general clásica es un problema formidable por sí mismo debido a su naturaleza no lineal y la invariabilidad del difeomorfismo en el espacio-tiempo. De hecho, recientemente se ha desarrollado un esquema de aproximación sistemática para calcular los observables. ^[30] [31]

Las dificultades para tratar de examinar el límite semiclásico de la teoría no deben confundirse con el hecho de tener el límite semiclásico equivocado.